LA LETTERA: DA INCOGNITA A VARIABILE
Luisa Bertazzoli, Rosa Iaderosa, Sergio Vettore, Luciana Bazzini
Gruppo di ricerca in Didattica della Matematica, IRRSAE Lombardia.
PREMESSA
A partire dal giugno 1998, si è svolta, presso l’ IRRSAE Lombardia, un’attività, finalizzata a
promuovere innovazioni nell’insegnamento dell’Algebra, che ha coinvolto docenti di scuola media,
selezionati in base alle loro biografie professionali ed in modo da coprire
tutto il territorio delle
provincie lombarde. L'attività si è articolata in tre fasi.
1.
In un corso di formazione iniziale Luciana Bazzini e Rosa Iaderosa
hanno
illustrato ai
corsisti le attuali linee di tendenza della ricerca didattica ed hanno presentato vario materiale
riguardante esperienze innovative di approccio all'Algebra
2.
Successivamente il gruppo di insegnanti ha discusso e rielaborato le proposte e progettato
alcune attività da sperimentare nelle classi e ha concordato le modalità con cui affrontare il lavoro;
in fase di progettazione è stata dedicata particolare attenzione alla riflessione sui nodi concettuali e
didattici e sugli aspetti di continuità/rottura nel passaggio Aritmetica/Algebra
3.
Nel corso degli anni scolastici 98 / 99 e 99 / 00 alcuni insegnanti hanno svolto con le
proprie classi le attività progettate: durante il lavoro sono stati raccolti protocolli,
osservazioni e discussioni, annotazioni puntuali dei comportamenti degli allievi. Il
registrazioni di
gruppo si è
riunito con regolarità per confrontare, studiare, discutere ed interpretare i dati raccolti; si è creato in
questo modo un bagaglio comune di esperienze e riflessioni
e si sono via via affinate e
maggiormente condivise le strategie metodologiche e di ricerca. Sulla scorta delle prime interessanti
esperienze, nel secondo anno è stato elaborato un percorso di avvio all’Algebra per la scuola media,
articolato in tappe scandite da schede guida, e sono stati definiti alcuni aspetti del progetto.
L’itinerario didattico propone un approccio all’algebra precoce, graduale, articolato nel triennio,
centrato sulla riflessione, la costruzione del senso di ciò che si apprende, la conquista progressiva di
consapevolezza nell’uso del simbolismo algebrico; la fase introduttiva è perciò collocata in prima
media. L’itinerario dunque si distingue da quelli tradizionalmente più radicati e diffusi nella pratica
didattica in cui ci si avvicina all’algebra in terza, in un arco di tempo piuttosto breve, con percorsi
centrati sull’acquisizione di convenzioni formali, di regole, di algoritmi operativi.
Il percorso progettato mira all’educazione al pensiero algebrico e perciò alla conquista, prima che di
conoscenze e di tecniche, di atteggiamenti, sensibilità, modi di essere che si costruiscono “a piccoli
passi”, per graduali tappe di sviluppo. Vengono privilegiate perciò alcune metodologie e strategie di
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lavoro che appaiono idonee a stimolare la riflessione sui percorsi di insegnamento/apprendimento e
a favorire un approccio critico alle conoscenze. L’attenzione è focalizzata sui processi cognitivi
piuttosto che sui prodotti, i tentativi, gli errori diventano risorsa generatrice di pensiero. Viene
perciò richiesto agli alunni di verbalizzare per esprimere idee e congetture, per giustificare
procedimenti, per illustrare ragionamenti; viene promossa l’analisi critica dei percorsi e dei prodotti
propri ed altrui, viene dato sistematicamente spazio alle discussioni orchestrate dall’insegnante per
confrontare le idee, per far emergere difficoltà, per giungere a costruire conclusioni socialmente
condivise.
L’ITINERARIO PER LA PRIMA
L’itinerario progettato per la classe prima è costituito da varie attività per le quali sono stati presi
spunti anche dalla letteratura esistente nell’ambito della ricerca didattica. Esso è caratterizzato
dall’introduzione precoce della lettera ed è finalizzato
al riconoscimento dei possibili ruoli che la
lettera può svolgere ( incognita, numero generalizzato, variabile ) e alla comprensione e all’uso
della lettera nelle diverse accezioni. Larga parte del percorso si articola in situazioni che partono
dalla lettera come incognita e si aprono alla lettera come variabile. Per favorire questo passaggio si
è scelto di affrontare i problemi proposti con un approccio che evidenzi fin dall’inizio gli aspetti
relazionali: uno dei fili conduttori del percorso è dunque costituito da attività di lettura e scrittura di
relazioni letterali.
-
La SCHEDA 1 introduce la lettera come valore incognito ed è centrata sulla lettura ed il
confronto di scritture letterali riguardanti le operazioni aritmetiche fondamentali nella forma diretta
ed inversa. Vengono presentati agli allievi alcuni semplici problemi ( uno di essi è riportato
nell’allegato A ), si chiede di analizzarli e poi di individuare tra alcune espressioni proposte quelle
che traducono in modo corretto le informazioni del problema.
-
La SCHEDA 2 è centrata sulle relazioni in ambito geometrico. Vengono assegnate alcune
istruzioni da interpretare per disegnare un rettangolo corrispondente, viene poi richiesto di mettere
in formula la relazione tra le dimensioni del rettangolo disegnato
-
La SCHEDA
3 introduce la lettera come variabile assegnando in forma letterale le
informazioni sulla base e l’altezza di vari rettangoli. Richiede la riflessione sulle lettere, sulle
espressioni letterali, sul loro variare al variare del valore attribuito alla lettera, sul contemporaneo
variare delle figure ottenute
-
La SCHEDA 4 ( allegato B ) è centrata sul riconoscimento e la gestione dei diversi ruoli
della lettera e chiede di ragionare con le lettere e sulle lettere.
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Nell’analisi dei protocolli e delle osservazioni degli allievi ci siamo soffermati soprattutto su alcuni
aspetti:
•
il ruolo giocato dalla rappresentazione iconica e geometrica come facilitatore della
comprensione e come “sostegno visivo”
della scrittura di espressioni letterali, come mediatore
potenzialmente efficace ma non privo di insidie, utile o addirittura necessario ma certamente non
sempre sufficiente
•
la lettura e la scrittura di relazioni: quali tra le espressioni vengono più facilmente
interpretate nella lettura, quali
“stili”
vengono privilegiati nella scrittura, quanto e come giocano
l’interpretazione “procedurale” e quella “relazionale” di una stessa espressione
•
il rapporto Aritmetica/Algebra: quali sono, dove si fanno sentire maggiormente gli effetti
della consuetudine aritmetica nel primo approccio all’Algebra, fino a che punto gli allievi sono in
grado di gestire i due codici in modo che essi concorrano al pensiero con reciproco aiuto
•
la duplicità processo-oggetto delle espressioni algebriche: fino a che punto gli allievi sono in
grado di
“vedere”
le scritture letterali come oggetti, quando e come riescono ad esercitare il
necessario controllo “fine” del significato delle scritture, quando e come sanno confrontare, porre
in relazione le espressioni letterali.
Questioni importanti, nodali, sulle quali però in questa sede non possiamo soffermarci
adeguatamente.
GLI ALUNNI DI FRONTE ALLA LETTERA
Riflettendo sui protocolli degli allievi e sulle registrazioni di discussioni in classe, vogliamo
focalizzare l’attenzione su uno degli aspetti centrali del percorso: le reazioni degli alunni di fronte
alla lettera.
Come è noto ed è puntualmente emerso nel corso della nostra attività con le classi, i ragazzi
incontrano difficoltà e compiono errori, di varia natura, quando sono chiamati ad operare con le
lettere e a gestire le scritture letterali. Tuttavia ci sembra che gli allievi accettino con facilità la
lettera quando essa rappresenta un numero incognito
La discussione sulla scheda 1
Insegnante
“Cosa indica la a?”
Andrea
“il risultato”
Massimo
“no….in alcune era dentro nell’operazione”
Giuliano
“la a non era il risultato…lo nascondeva il risultato e dovevi
trovartelo tu”
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trovartelo tu”
Edoardo
“ la a è il numero da trovare… nel tre la a sono i topi ma se io te li
davo e ti chiedevo le gabbie, la a diventava le gabbie…. è sempre
quello che non sai”
Alice
“io non ho capito perché i topi non li chiamano t, le ore o… poteva
aiutare”
Marta
“ ma cosa cambiava?…t …a…è un modo di dire”
La discussione sul quesito a) della scheda 4
Brunella
“Per trovare t devi fare il contrario di quello che ti dicono nel
settore…c’è più 2, tu fai meno… 6 – 2 …trovi 4 cioè t”
Insegnante
“ Ma se allora vi dico che ci sono 12 grani in B, sapete dirmi che
valore è stato scelto per t?”
Emanuele
“ Certo…è come prima…Adesso devi pensare da dove devi partire
se vuoi arrivare a 12 raddoppiando”
Insegnante
“E se vi dico che t è 10, sapete dirmi quanti grani mettere nei
settori?”
Luisa
“ Fai le operazioni……. Segui le istruzioni… è molto più facile……
non devi più scoprire niente”
Insegnante
“Quali istruzioni?”
Andrea
“ t , che sarà un numero, più 2….. poi lo raddoppi…..poi gli togli
due grani….. poi ne prendi metà….. sempre di quel t ”
Michele
“ t può variare….però una volta che lo decidi è quello per tutte le
regole dei settori”
A partire dall’idea della lettera come incognita, numero da trovare procedendo a ritroso, gli allievi
mettono in moto una riflessione più profonda sul significato e sulla molteplicità di ruoli della
lettera, colgono la diversità tra le situazioni in cui t è incognita e quelle in cui t ha valore noto,
sanno riconoscere t come numero generico, come “cosa che varia”,
maturano la consapevolezza
che il valore di t nei quattro settori della stessa tavola deve mantenersi costante.
La risposta di Nicholas al quesito c)
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La discussione sul quesito c)
Stefano
“ t può essere qualsiasi numero, ci posso mettere tutti i numeri”
Francesco
“ tanti…… non proprio tutti….per A vanno bene tutti ma gli altri…..”
Emanuele
“ 1 non si può”
Angelo
“ Per me si può…..in A ce ne vanno 3”
Emanuele
“ Certo…ma C e D?……………non ti lasciano mica spezzare i
chicchi”
Sara
“Se metto 1 non posso né sottrarre né dividere per 2”
Francesco
“ lo 0 e l’ 1 creano problemi nei quadrati C e D”
Insegnante
“ Può andar bene t = 3 ?”
Francesco
“No…non posso dividere per 2….mi diventa decimale”
Stefano
“ t dev’essere per forza un numero pari…. è per il quadrato D…”
La risposta di Francesco al quesito e)
Gli alunni
percepiscono che la lettera varia, però
non si “muove” con totale libertà, ma
all’interno di un dominio i cui confini sono delimitati dalle condizioni imposte dalle scritture e dal
problema, condizioni che vanno considerate non una per una, ma nel loro insieme.
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Naturalmente la conquista della capacità di mantenere il controllo sul significato complessivo delle
espressioni letterali e di valutare la legittimità di alcuni interventi sulle scritture in relazione alle
condizioni del problema e del quesito non è facile e non è automatica. Anche qui sono emerse
infatti numerose difficoltà che hanno richiesto un’attenta analisi.
La risposta di Ambra al quesito f)
La risposta di Fabio al quesito f)
La risposta di Stefano al quesito f)
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Operando sull’incognita per tentativi e riflessioni, con procedimenti che sanno sfruttare gli
errori
come risorsa per orientare la ricerca, gli allievi mettono in moto qualcosa che va oltre l'incognita:
la possibilità di sostituire alla lettera dei valori numerici e così di generare i valori ( determinati
valori ) della formula che contiene la lettera stessa
A conclusione del lavoro
Sanja
“ Comunque c’è un legame tra il totale dei chicchi e t….. più è t…
più tanti chicchi”
Insegnante
“ Proviamo ad assegnare a t qualche valore e a determinare il
totale dei chicchi?”
Emanuele
“ 4…2…8… li abbiamo già”
L’insegnante prepara allora una tabella alla lavagna e chiede di completarla con i primi tre casi
e poi di continuare proponendo altri valori di t
T
Chicchi in A
Chicchi in B
Chicchi in C
Chicchi in D
Totale
Insegnante
“ Cosa notate?”
Elisa
“I totali sono un po’ pari e un po’ dispari ”
Brunella
“Sono della tabellina del 3 ”
Ilaria
“Più che altro del 9”
Insegnante
“ Proviamo ad esprimere i totali come prodotti con un fattore uguale
a 9. Cosa notate?”
Stefano
“ La metà di t!…. moltiplichi per 9 e ottieni il totale”
Michele
“ Se moltiplichiamo per 4,5 il valore di t troviamo i chicchi totali”
Facendo variare il valore attribuito alla lettera, esplorando
vari casi, organizzandoli attraverso la
tabulazione, gli allievi pongono le scritture “in relazione” con la lettera, intuiscono cioè che c’è
un legame tra i valori della lettera e quelli assunti dalle espressioni letterali, anzi dall’insieme delle
scritture letterali , e percepiscono che c’è una regolarità anche nel modo in cui i valori assunti
dalle scritture variano.
Siamo di fronte ad uno stadio più evoluto: una visione “dinamica” della lettera “che varia” porta i
ragazzi a “vedere” le scritture letterali che variano come ingranaggi concatenati mossi dallo stesso
motore, la lettera da cui dipendono.
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CONCLUSIONE
Abbiamo presentato il percorso dell’attività
“per flash”, per episodi significativi, attraverso i suoi
“momenti d’oro” di crescita, di evoluzione, di balzi cognitivi “in avanti”. Non intendiamo tuttavia
sostenere che è stato un percorso lineare, semplice, di facile percorrenza. Al contrario, il cammino è
stato faticoso, irto di ostacoli, ha presentato anche “momenti bui”, critici, di instabilità, di ritorno
“indietro”. E’ stato naturalmente molto interessante anche esaminare gli
errori di percorso e le
difficoltà, che sono documentati nel materiale che stiamo elaborando.
Resta comunque il fatto che in un processo ricco di spunti per la riflessione ed il ragionamento, il
percorso dall’incognita alla variabile, dalle scritture/procedura alle scritture/relazioni, è possibile
per i ragazzi di prima media.
Si può
dire che
Riteniamo però che
le “intuizioni felici” non sono di tutti i ragazzi. Questo è certamente vero.
la riflessione collettiva sui processi, la
valutazione dei prodotti di
ciascuno
come spunto di ragionamento per tutti, il confronto e l’interazione delle idee, la discussione si siano
rivelate
metodologie
efficaci
per
diffondere
e
condividere
la
progressiva
conquista
di
consapevolezza.
Riferimenti
- Arzarello F, Bazzini L., Chiappini G.
L'algebra come strumento di pensiero Progetto TID, Quad. n.6, 1994
- Bazzini L., Iaderosa R.,
Approccio all'Algebra, Franco Angeli, MI, 2000
- Usiskin Z.,
Conceptions of school algebra and uses of variables
in Coxford A.F. (Ed.) The ideas of Algebra k-12, 1988 Yearbook, NCTM, Reston, Va.
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