4.1-Introduzione

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Le relazioni
La nozione di relazione (e il caso particolare di funzione) è un concetto basilare sia in matematica
sia per l’apprendimento degli allievi dai sei ai quattordici anni: si tratta infatti di un concetto
unificante che permette di sintetizzare molti altri concetti matematici e condensare varie esperienze
didatticamente significative. L’apprendimento di aritmetica e algebra può vedersi come un unico
itinerario, che parte con le strutture additive (problemi additivi e sottrattivi), prosegue con quelle
moltiplicative (problemi di moltiplicazione e divisione), e giunge a una prima sintesi con le funzioni
lineari.
Naturalmente il cammino va perseguito con le opportune gradualità e anche con le necessarie
attenzioni alle difficoltà che gli allievi incontrano. È necessario avere presente questa unitarietà per
evitare da un lato di fornire ai bambini una serie infinita di casi tutti apparentemente diversi tra di
loro, dall’altro di addestrare i ragazzi alla manipolazione puramente sintattica di formule avulse da
ogni significato.
Il cammino continuo dall’aritmetica all’algebra qui delineato non avviene senza ostacoli:
l’approccio aritmetico ai problemi è operativo, procedurale, collocato nel tempo; quello algebrico è
sistemico, relazionale, a-temporale. D’altra parte, moltissimi sono gli aspetti didattici che possono
favorire il superamento di tale discontinuità, soprattutto con un accorto intervento didattico
dell’insegnante. Ad es., gli studenti spesso descrivono le regolarità riscontrate a parole piuttosto che
con i simboli matematici. Uno scopo dell’istruzione matematica scolastica è di basarsi su questa
verbalizzazione e fornire agli studenti un’esperienza sufficiente che li faccia trovare a proprio agio e
li aiuti a utilizzare con scioltezza i simboli matematici per rappresentare generalizzazioni.
La nozione di incognita appare molto presto nell’insegnamento primario, da quando si propone ai
bambini di trovare la soluzione (una soluzione …) di un problema. Non è opportuno, a questo
stadio, formalizzare l’idea di incognita. È buona cosa, invece, che la maggior parte dei problemi
rimandino a situazioni concrete. Si propongono a volte agli allievi delle vere e proprie equazioni,
nelle quali l’incognita appare sotto forma di un punto interrogativo.
I primi approcci alle funzioni e alla loro rappresentazione grafica fanno la loro comparsa nella
scuola primaria, per esempio sotto forma di un rilevamento di temperature ora dopo ora, o l’altezza
di una pianta che cresce giorno per giorno, o sotto forma di una tabella di proporzionalità. Non
bisogna certo formalizzare la funzione a questo stadio. Ma queste funzioni che esprimono delle
situazioni concrete, preparano bene gli allievi ad incontrare più tardi le funzioni scritte in forma
simbolica. Verso la fine della scuola primaria si imparano anche alcune formule che danno
lunghezze, aree, o volumi di oggetti geometrici: è meglio insistere, piuttosto che sulle formule e le
loro applicazioni, sulla loro costruzione e sull’idea di misura.
Un altro esempio di difficoltà concettuale nella comprensione della rappresentazione simbolica di
relazioni quantitative riguarda la nozione di uguaglianza. Il segno uguale può essere percepito in
modi assai diversi, per es. in modo operativo, cioè come un segnale per calcolare. Prima della
scuola secondaria II grado gli studenti devono imparare a considerare il segno di uguale anche come
un simbolo di equivalenza e di equilibrio.
Le competenze nell’ambito di modelli, funzioni e algebra si sviluppano, dunque, in complessità
durante gli anni. In modo analogo, il pensiero degli studenti in questi ambiti dovrebbe evolversi e
maturare attraverso una dialettica che prevede il continuo passaggio tra formule, come strumenti di
pensiero e formule, come depositi di conoscenza.
Sono da evitarsi, perché inutili, gli addestramenti alle pure manipolazioni sintattiche delle formule:
gli automatismi necessari non sono infatti moltissimi a questi livelli di età e comunque le ricerche in
merito dimostrano che gli addestramenti alla manipolazione delle espressioni (esplicitamente
sconsigliati in tutto il curricolo proposto) non sortiscono alcun effetto nella comprensione dei
concetti da parte degli allievi e nelle loro capacità di risolvere problemi.
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Elenco delle attività
Scuola primaria
Livello
scolare
Titolo
Contesto
Collegamenti
Esterni
1a classe
Gli amici
del 5
2a classe
Sopra o sotto
Classificazione di oggetti in Scienze
il pelo dell’acqua base al materiale, alla forma, Tecnologia
al volume, al peso, …
3a classe
Le ombre
Relazioni tra luce, forme,
dimensioni di oggetti
e la loro ombra.
4a classe
Le biciclette
VELOX
Compra-vendita:
Relazione prezzo/quantità.
4a - 5a classe
Diversi tra
confini uguali
Rapporto tra le nozioni di
area e perimetro di un
poligono.
Numeri naturali da 0 a 5.
Scienze
Scuola secondaria di primo grado
Livello
scolare
Titolo
Contesto
Collegamenti
Esterni
1a classe
I figlio del re e il Racconto di due storie
Lingua italiana
messaggero
parallele ed interagenti, in cui
il rapporto spazio/tempo
gioca un ruolo primario.
2a classe
Il numero … di
ferro
Relazione tra peso e volume
di un oggetto.
3a classe
Quante camicie
usava Diofanto?
I numeri interi.
Classificazione
degli insiemi
numerici
Gli insiemi numerici.
3a classe
Fisica