Fisica applicata – Lezione 6
Maurizio Tomasi
[email protected]
Dipartimento di Fisica
Università degli studi di Milano
10 Novembre 2016
Parte I
Lavoro ed energia
(conclusione)
Energia di un sistema di corpi
Il principio di conservazione vale in forma più
generale, anche se in un sistema ci sono più corpi
in interazione.
Nel caso di N corpi in interazione, è l’energia
totale Etot del sistema a conservarsi:
Etot “
N
ÿ
j “1
Ej “ E1 ` E2 ` ¨ ¨ ¨ ` EN .
Conversione di energia
Il teorema di conservazione dice che l’energia
totale di un corpo si conserva. Questo vuol dire
che durante il moto l’energia può convertirsi in un
tipo o in un altro, ma non può sparire.
La tecnologia può usare questo meccanismo a
suo vantaggio, convertendo l’energia nella forma
più utile per un certo scopo.
Conversione di energia
L’energia si può accumulare facilmente se è in
forma di energia elettrica o chimica.
Ma come si converte l’energia in forma elettrica?
Conversione di energia
Le dinamo possono convertire energia cinetica
(rotazione) in energia elettrica.
Conversione di energia
Diga di Itaipu: produce il 93 % dell’energia elettrica usata in Paraguay e il
20 % di quella usata in Bolivia.
Conversione di energia
Hydroelectric Dam
Reservoir
Long Distance
Power Lines
Powerhouse
Intake
Generator
Penstock
Turbine
River
Conversione di energia
Conservazione dell’energia
Nel caso in cui entrino in gioco forze non
conservative, l’energia totale non si conserva.
In tal caso è possibile dimostrare che la variazione
dell’energia è uguale al lavoro fatto dalle forze non
conservative:
Lnc “ Ef ´ Ei .
(Pensate alla forza di attrito: i segni corrispondono
a quello che vi aspettereste?)
Potenza
La potenza P è definita come il lavoro compiuto
nell’unità di tempo:
P“
L
.
∆t
Misura quanto velocemente una forza è in grado di
compiere lavoro (intuitivamente è una specie di
misura dell’efficienza con cui le forze riescono a
spostare i corpi).
Potenza
L’unità di misura della potenza è il Watt (W):
1 W “ 1 J{s.
In Italia il Watt si usa per definire un’unità di misura
dell’energia alternativa al Joule, il kilowattora
(KWh):
1 KWh “ 103 W ˆ 3600 s “ 3.6 ˆ 106 J.
L’energia elettrica che si paga nella bolletta ha un
costo di circa 0.2˜0.3 EUR/KWh.
Esercizio svolto
Quanto costa usare per un’ora un aspirapolvere da
1500 W, se la tariffa del fornitore di energia
elettrica è 0.2 EUR/KWh?
Assegnamo a ogni quantità un simbolo:
t
P
c
S
“ 1 h,
“ 1500 W,
“ 0.2 EUR{KWh,
“?
Esercizio svolto
Usando la definizione di potenza, l’energia
consumata E è
E “ P ˆ t,
e quindi il costo totale è
S “ E ˆ c “ P ˆ t ˆ c.
Per verificare se il risultato è corretto, controlliamo
le unità di misura:
rS s “ rP ˆ t ˆ c s “ J{s ˆ s ˆ EUR{J “ EUR.
Esercizio svolto
Per calcolare il risultato numerico, dobbiamo
convertire le unità non espresse nel S.I. (Sistema
Internazionale):
c “ 0.2 EUR{KWh “ 0.2 EUR{KWh ˆ
1 KWh
“
3.6 ˆ 106 J
20 ˆ 10´2 EUR
“
{J « 5.5 ˆ 10´8 EUR{J.
6
3.6 ˆ 10
Esercizio svolto
Ora possiamo calcolare il costo necessario a far
funzionare l’aspirapolvere:
S “Pˆt ˆc “
“ 1500 J{s ˆ 3600 s ˆ 5.5 ˆ 10´8 EUR{J “
“ 1.5 ˆ 103 J{s ˆ 3.6 ˆ 103 s ˆ 5.5 ˆ 10´8 EUR{J “
“ 0.30 EUR.
Esercizi
Un corpo di 5 kg viene sollevato con velocità
costante di un tratto di 10 m da una forza F . Qual
è il lavoro compiuto dalla forza F ? Qual è il lavoro
compiuto dalla forza gravitazionale? Qual è il
lavoro totale? [R: 500 J, -500 J, 0 J]
Un blocco di 2 kg viene lanciato lungo una
superficie priva di attrito, in fondo alla quale c’è
uno scivolo privo di attrito in salita, dall’altezza
totale di 1 m. Qual è la minima velocità con cui
deve essere lanciato il corpo perché riesca a
raggiungere la sommità dello scivolo? [R: 4.5 m/s; il
risultato non dipende dalla massa]
Esercizi
Un blocco di 2 kg è spinto contro una molla con
k “ 500 N{m, accorciandola di 20 cm. La molla lo
spinge lungo una superficie orizzontale priva di
attrito lunga 1 m, e poi su un piano inclinato di 45˝ ,
sempre senza attrito. A che altezza sale il blocco?
[R: 0.5 m]
In un’ora, una lampadina da 50 W quanti Joule
consuma? Se pagate l’energia 0.2 EUR/KWh, quanto
vi è costata quest’ora di luce? [R: 1.8 ˆ 105 J; 1
centesimo]
Parte II
Fisica dei fluidi
,
Cos’è un fluido
In fisica, per “fluido” si intende una sostanza in
forma gassosa o liquida, ossia senza forma
propria.
Se sufficientemente scaldate, tutte le sostanze
diventano fluide. Ma non tutte lo sono a
temperatura ambiente.
Caratteristiche dei fluidi
I fluidi sono sistemi decisamente diversi da quelli
che abbiamo studiato fino a questo punto del
corso:
1. Sono composti da tante particelle in
interazione tra loro;
2. Siamo interessati alla variazione delle loro
caratteristiche medie, non tanto alla
variazione nella posizione delle loro particelle.
Programma di questa parte
Questa parte del corso è divisa in tre sottoparti:
§ Fluidostatica;
§ Fluidodinamica;
§ Cenni di teoria dei gas.
Densità numerica e di massa
Visto che un fluido è composto da molte particelle,
iniziamo introducendo due quantità che ne
caratterizzano il loro numero:
1. La densità numerica, n;
2. La densità di massa, ρ (spesso chiamata
semplicemente “densità”).
Densità numerica e di massa
La densità numerica n è definita come il numero di
particelle per unità di volume:
n“
N
,
V
rns “ m´3 .
La densità ρ è definita come la massa per unità di
volume:
Nm
ρ“
,
rρs “ kg{m3 ,
V
dove m è la massa di una particella. Ovviamente
ρ “ m ˆ n.
Densità numerica e di massa
V
Esempi numerici
L’aria è un fluido composto da vari gas; il più
diffuso (78 %) è l’azoto (N2 ), con massa
m “ 2.34 ˆ 10´26 kg.
La densità numerica dell’aria al livello del mare è
circa
n “ 5.22 ˆ 1025 m´3 “ 52.2 ˆ 106 ˆ 109 ˆ 109 m´3 ,
e quindi la densità è
ρ “ m ˆ n “ 1.22 kg{m3 .
Esempi numerici
La molecola d’acqua è H2 O, con massa
m “ 3.01 ˆ 10´26 kg.
La densità numerica dell’acqua a temperatura
ambiente è
n “ 3.33 ˆ 1028 m´3 “ 33.3 ˆ 109 ˆ 109 ˆ 109 m´3 ,
e quindi la densità è
ρ “ m ˆ n “ 103 kg{m3 “ 1 kg{L.
Esempi numerici
Il ferro è costituito da un reticolo di atomi, ciascuno
di massa
m “ 9.33 ˆ 10´26 kg.
La densità numerica dell’acqua a temperatura
ambiente è
n “ 8.44 ˆ 1028 m´3 “ 84.4 ˆ 109 ˆ 109 ˆ 109 m´3 ,
e quindi la densità è
ρ “ m ˆ n “ 7.87 ˆ 103 kg{m3 “ 7.87 kg{L.
La pressione
Un’altra quantità rilevante nel caso dei fluidi è la
pressione, ossia la forza esercitata per unità di
area:
F
P“ ,
rP s “ N{m2 ” Pa.
A
Il “Pascal” è l’unità di misura del S.I. per la
pressione.
La forza esercitata dalla pressione è sempre
perpendicolare alla superficie considerata.
La pressione
Anche se la pressione trova un’applicazione
naturale nella fisica dei fluidi (tante particelle), si
può calcolare la pressione esercitata anche da
singoli oggetti.
Ad esempio, la pressione della mano quando
schiaccia il tavolo è
P“
F
Amano
.
La pressione
A
F4
F1
F
F2
F3
Direzione della forza di pressione
L’immagine precedente ci aiuta a capire la
direzione della forza associata alla pressione.
Essa è dovuta alla componente della velocità delle
particelle di fluido perpendicolare alla superficie.
Ecco perché la forza di pressione di un fluido è
sempre perpendicolare alle pareti del recipiente.
Esempi numerici
§
§
§
§
La pressione atmosferica al livello del mare è
105 Pa, ossia 1 atm;
La pressione subacquea a 1000 m di
profondità è circa 100 atm;
Di conseguenza, la pressione subacquea
aumenta di 1 atm ogni 10 m di profondità;
Ad un’altezza di 10 km (quota a regime degli
aerei di linea), la pressione atmosferica è
0.2˜0.3 atm.
Esempio: la pressione atmosferica
Se consideriamo un foglio di carta sospeso a
mezz’aria, è evidente che la pressione su
ciascuna di esse sia uguale sulle due facce
(superiore/inferiore).
Foglio di carta
Le due pressioni quindi si pareggiano, e l’effetto
netto è nullo: il foglio non va né in su, né in giù a
causa della pressione.
Esperimento del bicchiere capovolto
Esperimento del bicchiere capovolto
mg
S
P
Il peso dell’acqua nel bicchiere è di qualche
Newton (150 g Ñ 1.5 N). Se la superficie di base è
20 cm2 , la pressione atmosferica (105 Pa) esercita
una forza
105 N{m2 ˆ 2 ˆ 10´3 m2 “ 200 N.
La legge di Stevino
Nel caso di un fluido soggetto a forza di gravità, la
pressione dipende sia dal moto casuale delle
particelle, sia dal peso di ciascuna delle masse
delle molecole.
La relazione tra peso e profondità è detta legge di
Stevino, e si ricava dalle leggi della dinamica.
La legge di Stevino
p0
Consideriamo il caso di un
contenitore cilindrico pieno
di fluido, con base S.
La base del recipiente
avverte il peso della massa
M di fluido, in aggiunta alla
forza di pressione.
S
mg
p
h
La legge di Stevino
Di conseguenza, la
superficie inferiore ha una
pressione maggiore di
quella superiore (p0 ):
M ˆg
“
S
ρˆV ˆg
“ p0 `
“
S
ρˆSˆhˆg
“ p0 `
“
S
“ p0 ` ρ ˆ h ˆ g .
p “ p0 `
p0
S
mg
p
h
La legge di Stevino
Il risultato vuol dire che, aumentando la profondità
in cui ci si immerge in un fluido, aumenta anche la
pressione.
Tale aumento è proporzionale alla profondità (h):
raddoppiando la profondità, raddoppia la
pressione.
Applicabilità della legge
La legge di Stevino fa un’assunzione forte:
suppone che la densità non cambi con la
profondità.
Questo è vero solo se si considerano piccoli
incrementi di profondità, oppure se il fluido in
questione è un liquido (ossia incomprimibile).
Ad esempio, salendo di quota la densità ρ
dell’atmosfera diminuisce.
Il principio di Pascal
Un’altra assunzione della nostra derivazione della
legge è che la superficie inferiore sia
perpendicolare alla forza di gravità.
In realtà la legge di Stevino vale per recipienti di
qualsiasi forma. Una conseguenza di ciò è il
principio di Pascal:
“La pressione applicata a un liquido racchiuso in
un recipiente si trasmette invariata a ogni punto
del liquido e alle pareti del recipiente.”
Esempio: il torchio idraulico
Un’applicazione del principio di Pascal è il torchio
idraulico:
F
S1
S2
Esempio: il torchio idraulico
Supponendo che i due pistoni del torchio idraulico
abbiano un raggio di 2 cm e 20 cm, che forza
bisogna applicare al pistone piccolo per sollevare
un’automobile di 1500 kg?
Esempio: il torchio idraulico
Assegnamo ad ogni quantità dei simboli:
M “ 1500 kg,
R1 “ 2 cm,
R2 “ 20 cm.
La forza peso della macchina è Mg; essa produce
una pressione
Mg
P“
,
π R22
che si trasmette al pistone piccolo.
Esempio: il torchio idraulico
Per pareggiare la pressione occorre una forza F
tale che
F
Mg
“
P
“
.
π Rr2
π R12
Risolvendo per F , si ottiene
π R12
F “
ˆMg “
π R22
ˆ
R1
R2
˙2
ˆMg “
15 000 N
“ 150 N.
100
Esempio: il torchio idraulico
Ovviamente, deve comunque valere la
conservazione dell’energia! La forza applicata
sulla sinistra deve quindi spostare il pistone
piccolo di un tratto più lungo di quanto si sollevi il
pistone grande.
I torchi idraulici sono usati anche nelle poltrone
che usano i barbieri e i dentisti.
Esempi
Alcune situazioni in cui si sperimenta la legge di
Stevino:
1. Salendo di quota (es., viaggiando in auto in
montagna), le orecchie si tappano;
2. Immergendosi in acqua a discreta profondità
(qualche metro), si avvertono dolori alle
orecchie;
3. I batiscafi che fanno immersioni in profondità
hanno bisogno di rinforzi per non collassare.
Vasi comunicanti
Un’applicazione immediata della legge di Stevino
è il principio dei vasi comunicanti.
h1
h2
Q
S1
S2
Dati h1 , S1 ed S2 , vogliamo determinare h2 .
Vasi comunicanti
Per la legge di Stevino, alla base dei due vasi le
pressioni sono
p1 “ patm ` ρgh1 ,
p2 “ patm ` ρgh2 .
Ma le pressioni p1 e p2 devono essere uguali, se il
fluido è in equilibrio (cioè è fermo): basta pensare
a cosa succede nel punto Q. Quindi
p1 “ p2
Ñ
h1 “ h2 .
Vasi comunicanti
Se nei due vasi vengono versati due fluidi di
densità diversa, è facile vedere (dimostratelo!) che
l’altezza h2 è data dalla formula
h2 “
ρ1
h1 .
ρ2
Se quindi uno dei due fluidi è meno denso, la sua
colonna è più alta: ciò è intuitivo.
Vasi comunicanti
Il principio dei vasi comunicanti è usato dai
muratori quando devono realizzare una serie di
finestre lungo un muro, soprattutto se il pavimento
è scosceso.
Visto che una semplice bolla può aiutare a fare le
finestre dritte, ma non ad allineare più finestre alla
stessa altezza, si usa un tubo trasparente pieno
d’acqua per quest’ultimo scopo.
http://www.firstinarchitecture.co.uk/tips-for-building-on-a-sloped-terrain/
