Quesiti sulla geometria piana

Verso la prova di Matematica all’esame di Stato
Quesiti sulla geometria piana
o ad essa riconducibili
Liceo Scientifico tradizionale
1. Quesito 10, a.s. 2010/11, sessione suppletiva
Data una circonferenza di centro O, si conducano negli estremi A e B di un suo
diametro AB le tangenti e siano C e D i punti d’intersezione di esse con una terza
tangente alla circonferenza. Di dimostri che l’angolo CÔD è retto.
2. Quesito 9, a.s. 2010/11, sessione ordinaria
Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti
equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al
piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.
3. Quesito 10, a.s. 2009/10, sessione suppletiva
Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla
differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del
triangolo.
4. Quesito 2, a.s. 2009/10, sessione ordinaria
Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del
triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC
e PCA sono triangoli rettangoli.
5. Quesito 4, a.s. 2008/09, sessione straordinaria
Se P è un punto arbitrario del diametro MN di una data semicirconferenza, sui
segmenti MP e NP, presi come diametri, si descrivano due semicirconferenze dalla
stessa parte di quella data. Si dimostri che la figura (è detta arbelo, limitata dalle
tre semicirconferenze, è equivalente al cerchio il cui diametro è medio proporzionale
tra MP e NP.
6. Quesito 4, a.s. 2008/09, sessione suppletiva
Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi
come diametri ed esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato
semicerchio sono determinati due menischi, detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che
la loro somma ha la stessa area del triangolo.
7. Quesito 5, a.s. 2006/07, sessione suppletiva
Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, si determini
quello per cui è massima la somma dell’altezza e del doppio della base.