Quesiti sulla geometria piana

Verso la prova di Matematica all’esame di Stato
Quesiti sulla geometria piana
o ad essa riconducibili
Liceo Scientifico tradizionale
1. Quesito 10, a.s. 2010/11, sessione suppletiva
Data una circonferenza di centro O, si conducano negli estremi A e B di un suo
diametro AB le tangenti e siano C e D i punti d’intersezione di esse con una terza
tangente alla circonferenza. Di dimostri che l’angolo CÔD è retto.
2. Quesito 9, a.s. 2010/11, sessione ordinaria
Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti
equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al
piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.
3. Quesito 10, a.s. 2009/10, sessione suppletiva
Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla
differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del
triangolo.
4. Quesito 2, a.s. 2009/10, sessione ordinaria
Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del
triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC
e PCA sono triangoli rettangoli.
5. Quesito 4, a.s. 2008/09, sessione straordinaria
Se P è un punto arbitrario del diametro MN di una data semicirconferenza, sui
segmenti MP e NP, presi come diametri, si descrivano due semicirconferenze dalla
stessa parte di quella data. Si dimostri che la figura (è detta arbelo, limitata dalle
tre semicirconferenze, è equivalente al cerchio il cui diametro è medio proporzionale
tra MP e NP.
6. Quesito 4, a.s. 2008/09, sessione suppletiva
Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi
come diametri ed esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato
semicerchio sono determinati due menischi, detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che
la loro somma ha la stessa area del triangolo.
7. Quesito 5, a.s. 2006/07, sessione suppletiva
Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, si determini
quello per cui è massima la somma dell’altezza e del doppio della base.