M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016
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VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI
Chiamiamo vettore un qualsiasi segmento orientato del piano o dello spazio. Orientare un
segmento significa scegliere un verso per percorrerlo, cioè fissare un estremo iniziale ed uno
finale.
$ $
I vettori si indicano con u, v, w ... (o anche u, v, w
..., o u, v, w ...), oppure con AB, AC,
$
BC ... qualora se ne vogliano evidenziare gli estremi finale ed iniziale. L’estremo finale di un
vettore u si chiama punta di u, quello iniziale punto di applicazione o coda di u. Un vettore
con punta e coda coincidenti si dice vettore nullo.
Si conviene che due vettori sono uguali1 se sono perfettamente sovrapponibili mediante
traslazione (la definizione non è rigorosa, ma nemmeno ambigua). Ne consegue che il vettore nullo è unico (per cui lo si indica semplicemente con 0) e che uno stesso vettore può essere
rappresentato come applicato in un punto qualsiasi, arbitrariamente scelto.
$
Ad un qualsiasi vettore u = AB si associa il numero reale 0 che esprime la lunghezza del
segmento AB rispetto ad un prefissata unità di misura; tale numero è detto modulo o norma
di u e si indica con |u| o nun. Se nun = 1, si dice che u è un versore.
Risulta nun = 0 / u = 0, cioè il vettore nullo è caratterizzato dall’avere modulo nullo.
$
Ad un qualsiasi vettore u = AB 9= 0 si associano anche una direzione (quella della retta
AB)2 e, ovviamente, un verso (quello da A a B). Stante la definizione data di uguaglianza tra
vettori, modulo, direzione e verso caratterizzano un vettore u 9= 0 (che, ricordiamo, può però
essere rappresentato come uscente da un punto qualsiasi).
$
$
Dato un vettore qualsiasi u = AB, il vettore BA è detto vettore opposto di u e si indica
con u. Risulta u = u / u = 0, mentre, se u 9= 0, allora u è il vettore con modulo e
direzione uguali a quelli di u e verso opposto.
Due (o più) vettori si dicono paralleli se, applicati in uno stesso punto, stanno sulla stessa
retta. Due vettori si dicono ortogonali se, applicati in uno stesso punto, stanno su rette
perpendicolari. Per indicare che u e v sono paralleli o ortogonali, si scrive rispettivamente u n v
o u B v. Si noti che il vettore nullo è parallelo ed ortogonale ad ogni altro.
Se rappresentati con lo stesso punto di applicazione, due vettori non paralleli individuano un
unico piano (quello passante per il punto di applicazione comune e contenente i due vettori).
Tre o più vettori si dicono complanari se, applicati in uno stesso punto, stanno su uno stesso
piano.
Applicando nello stesso punto due vettori non nulli u, v (del piano o dello spazio), risultano
individuati due angoli di lati u e v: tra questi, quello di ampiezza non superiore a si dice
f Dunque si ha sempre 0 uv
f e, in particolare, risulta:
angolo di u e v e si indica con uv.
f = 0 / u, v paralleli e concordi (stesso verso);
• uv
f = / u, v paralleli e discordi (verso opposto);
• uv
f = Z2 / u B v.
• uv
1
a rigori si dovrebbe dire equivalenti o equipollenti
una definizione rigorosa di direzione di una retta non è semplice, ma intuitivamente essa può
essere pensata come la qualità comune a tutte le rette tra loro parallele (si veda anche l’articolo
https://it.wikipedia.org/wiki/Direzione_(geometria))
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1. SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI
Sui vettori si definiscono varie operazioni, motivate dal comportamento delle grandezze che in
Fisica si rappresentano tramite vettori (grandezze vettoriali, come spostamenti, velocità, forze
ecc.). Ancora per analogia con la Fisica (dove le grandezze rappresentate da numeri e non da
vettori sono dette grandezze scalari), nel contesto del calcolo vettoriale i numeri reali prendono
il nome di scalari.
1.1. SOMMA DI VETTORI. La somma u + v è definita, in generale, con la regola del
punta-coda: rappresentando v come uscente dalla punta di u, la somma u + v è il vettore che
va dalla coda di u alla punta di v; in altri termini
$ $
$
AB + BC := AC.
Se u, v non sono paralleli, tale regola equivale alla regola del parallelogramma: applicando tutti
i vettori in uno stesso punto, u + v è la diagonale del parallelogramma di lati u, v.
I tre vettori u, v e u + v sono sempre complanari.
Proprietà algebriche della somma:
(S1) commutativa: u + v = v + u
(S2) associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
( la regola del punta-coda si generalizza a più vettori, dando la regola del parallelepipedo
nel caso di tre addendi non complanari: applicando tutti i vettori in uno stesso punto,
u + v + w è la diagonale del parallelepipedo di spigoli u, v, w)
(S3) esistenza dell’elemento neutro: u + 0 = u
(S4) esistenza dell’opposto: u + (u) = 0
( si può definire la dierenza come u v := u + (v)).
1.2. PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE. Dati uno scalare 9= 0
ed un vettore u 9= 0, si indica con u il vettore parallelo ad u che ha modulo || nun ed è
concorde con u se > 0, discorde se < 0. Si conviene poi che u = 0 se = 0 oppure u = 0.
Per ogni u e , il vettore u è detto multiplo del vettore u secondo lo scalare .
Dati u 9= 0 e v qualsiasi, v è parallelo ad u se e solo se v è multiplo di u.
Dato u 9= 0, l’unico versore parallelo e concorde con u è detto versore di u e si indica con
1
u
e
e = 8u8
u oppure vers u. Risulta evidentemente u
u (si scrive anche 8u8
).
Proprietà algebriche del prodotto per scalari:
(P1) (µu) = (µ) u
(P2) 1u = u
(D1) distributiva rispetto alla somma di scalari: ( + µ) u = u + µu
(D2) distributiva rispetto alla somma di vettori: (u + v) = u + v.
Altre proprietà (che seguono dalle precedenti) sono:
i) u = (1) u e, più in generale, u = () u
ii) legge di annullamento del prodotto: u = 0 / = 0 oppure u = 0.
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1.3. COMBINAZIONE LINEARE. Dati n scalari 1 , 2 , ..., n ed n vettori u1 , u2 , ..., un
(n 1), l’espressione
1 u1 + 2 u2 + ... + n un
si chiama combinazione lineare dei vettori u1 , ..., un con coe!cienti 1 , ..., n .
L’insieme delle combinazioni lineari di u1 , ..., un si indica con L (u1 , ..., un ), cioè si definisce
L (u1 , ..., un ) := {1 u1 + ... + n un : 1 , ..., n 5 R} .
In particolare, L (u) = {u : 5 R} è l’insieme dei multipli di u.
Dati u1 , u2 non paralleli e v qualsiasi, v è complanare con u1 , u2 se e solo se v 5 L (u1 , u2 ).
2. DECOMPOSIZIONE FONDAMENTALE DI UN VETTORE
Per ricondurre il calcolo vettoriale ad un calcolo scalare (più agevole), è di fondamentale importanza la seguente identificazione tra vettori e coppie (nel piano) o terne (nello spazio) ordinate
di numeri reali. Illustriamo solo il caso dello spazio, essendo quello del piano del tutto analogo
(oltre che più semplice).
Fissiamo un riferimento cartesiano R = (O; x, y, z) (a volte indicato con Oxyz) e rappresen$
tiamo tutti i vettori come applicati nell’origine O. Un qualsiasi vettore u = OP è univocamente
individuato dalla sua punta P = (x, y, z), la quale è a sua volta univocamente individuata dalle
proprie coordinate cartesiane (x, y, z) rispetto ad R. Pertanto l’insieme dei vettori u dello spazio
può essere identificato con l’insieme R3 delle terne ordinate (x, y, z) di numeri reali. Realizzando
tale identificazione, si parla (impropriamente) di vettori di R3 e si scrive u = (x, y, z). Gli scalari
x, y, z sono detti componenti di u rispetto al riferimento R. Chiaramente risulta 0 = (0, 0, 0).
In particolare, i vettori i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) sono versori con la stessa
direzione e lo stesso verso degli assi coordinati e vengono detti versori fondamentali del riferimento R. Assegnare un riferimento R equivale ad assegnare l’origine O ed i versori fondamentali
i, j, k, per cui si scrive anche R = (O; i, j, k).
Teorema (di decomposizione). Se u = (x, y, z), allora risulta u = xi + yj + zk. Inoltre,
le componenti (x, y, z) di u rispetto ad R sono gli unici coe!cienti che consentono una tale
decomposizione di u come combinazione lineare dei versori fondamentali di R. In altri termini:
u = (x, y, z) +, u = xi + yj + zk.
Osserviamo che, mentre l’identificazione u = (x, y, z) tra vettori e coordinate è stata realizzata
applicando tutti i vettori in O, la decomposizione u = xi + yj + zk prescinde dai punti di
applicazione dei vettori considerati.
Somma e prodotto per scalari in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello
spazio, per ogni u = (x, y, z), u = (x , y , z ) e 5 R si ha
u + u = (x + x , y + y , z + z )
e
u = (x, y, z) .
Di conseguenza, due vettori risultano paralleli se e solo se le loro componenti omologhe sono
nulle o proporzionali.
$
Inoltre, le componenti del vettore P1 P2 si ottengono dalle coordinate dei punti P1 = (x1 , y1 , z1 )
e P2 = (x2 , y2 , z2 ) per dierenza, cioè
$
P1 P2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
$
$ $
(infatti, per definizione di somma, risulta P1 P2 = OP2 OP1 ). Per questo motivo, il vettore
$
P1 P2 si indica spesso anche con P2 P1 .
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3. ALTRE OPERAZIONI
Altre operazioni di notevole importanza sui vettori sono il prodotto scalare (che opera su due
vettori del piano o dello spazio e produce uno scalare), il prodotto vettoriale (che opera su due
vettori dello spazio e produce un vettore) e il prodotto misto (che opera su tre vettori dello spazio
e produce uno scalare).
3.1. PRODOTTO SCALARE (O INTERNO). Dati due vettori non nulli u, v (del piano
o dello spazio), si chiama prodotto scalare (o prodotto interno) di u e v il numero reale
f
u · v := nun nvn cos uv.
Si conviene inoltre che u · v = 0 se u = 0 oppure v = 0.
Per ogni u e v, risulta u · v = 0 / u B v (si ricordi che il vettore nullo è ortogonale ad ogni
altro) e u · u = nun2 . Inoltre, se v è non nullo, allora
|u · v|
= lunghezza della proiezione ortogonale di u
nvn
sulla retta parallela a v e passante per la coda di u.
Proprietà algebriche del prodotto scalare:
(1) commutativa: u · v = v · u
(2) distributiva: u · (v + w) = u · v + u · w
(3) omogeneità: (u) · v = u · (v) = (u · v).
Prodotto scalare in componenti (nello spazio). Fissato un riferimento cartesiano R nello
spazio, per ogni u1 = (x1 , y1 , z1 ) e u2 = (x2 , y2 , z2 ) risulta
u1 · u2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Di conseguenza, per ogni u = (x, y, z) si ha
x = u · i, y = u · j, z = u · k
e
nun =
s
s
u · u = x2 + y2 + z 2 .
3.2. PRODOTTO VETTORIALE (O ESTERNO). Dati due vettori non paralleli u, v
dello spazio, si chiama prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di u e v l’unico vettore u × v
(o u a v) che è ortogonale ad entrambi u e v, ha modulo
f
nu × vn := nun nvn sin uv
ed è diretto in modo che la terna ordinata (u, v, u × v) sia destrorsa (= applicando tutti i
vettori nello stesso punto e disponendo indice e medio di una mano destra rispettivamente sul
primo e secondo vettore in modo che tra le due dita sia compreso l’angolo dei due, il terzo vettore
è orientato come il pollice). Si conviene inoltre che u × v = 0 se u e v sono paralleli.
Per ogni u, v nello spazio, risulta u × v = 0 / u n v (si ricordi che il vettore nullo è parallelo
ad ogni altro). Inoltre, se u × v 9= 0, allora
nu × vn = area del parallelogramma di lati u, v
= 2 volte l’area del triangolo di lati u, v.
Proprietà algebriche del prodotto vettoriale:
(1) anticommutativa: u × v = (v × u)
(2) distributiva: u × (v + w) = u × v + u × w
(3) omogeneità: (u) × v = u × (v) = (u × v).
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Prodotto vettoriale in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per
ogni u1 = (x1 , y1 , z1 ) e u2 = (x2 , y2 , z2 ) risulta
i j k
u1 × u2 = x1 y1 z1 = (y1 z2 y2 z1 , x2 z1 x1 z2 , x1 y2 x2 y1 )
x2 y2 z2 dove il determinante è solo formale e va sviluppato rispetto alla prima riga.
3.3. PRODOTTO MISTO. Dati tre vettori u, v, w dello spazio, si chiama prodotto misto
di u, v, w (nell’ordine) il numero reale u · v × w (ovviamente si intende u · (v × w), perché
(u · v) × w non ha senso).
Per ogni u, v, w nello spazio, risulta u · v × w = 0 / u, v, w sono complanari . Se u·v×w 9=
0, allora la terna (u, v, w) è destrorsa se e solo se u · v × w > 0; inoltre risulta
|u · v × w| = volume del parallelepipedo di spigoli u, v, w
= 6 volte il volume del tetraedro di spigoli u, v, w.
Prodotto misto in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per ogni
terna di vettori ui = (xi , yi , zi ), i = 1, 2, 3, risulta
x1 y1 z1 u1 · u2 × u3 = x2 y2 z2 .
x3 y3 z3 4. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E COMPLANARITÀ NELLO SPAZIO
Si è già visto che (nel piano o nello spazio):
• dati u 9= 0 e v qualsiasi, v è parallelo ad u se e solo se v è multiplo di u;
• dati u1 , u2 non paralleli e v qualsiasi, v è complanare con u1 , u2 se e solo se v 5 L (u1 , u2 ).
Per due o tre vettori nello spazio, valgono inoltre le seguenti caratterizzazioni di parallelismo e
complanarità:
1 dati due vettori u, v dello spazio, le seguenti aermazioni sono equivalenti:
•
•
•
•
u e v sono paralleli;
almeno uno tra u e v è multiplo dell’altro;
le componenti omologhe di u e v sono nulle o proporzionali;
u × v = 0;
2 dati tre vettori u, v, w dello spazio, le seguenti aermazioni sono equivalenti:
• u, v, w sono complanari;
• almeno uno tra u, v, w è combinazione lineare degli altri;
• u · v × w = 0.
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5. PROIEZIONI ORTOGONALI
1 Dati u 9= 0 e v qualsiasi (nel piano o nello spazio), si chiama proiezione ortogonale di v
e) u
e .
sulla retta di u il vettore vu := (v · u
Il vettore vu può essere caratterizzato come:
i) l’unico vettore parallelo ad u tale che v vu B u
ii) l’unico vettore tale che nv vu n = min nv wn .
wML(u)
Di conseguenza, la scrittura v = vu + (v vu ) fornisce una decomposizione (unica) di v come
somma di un vettore parallelo ad u con uno ortogonale ad u.
2 Dati nello spazio u1 , u2 non paralleli e v qualsiasi, si chiama proiezione ortogonale di v
sul piano di u1 , u2 il vettore vu1 u2 := v vu dove u = u1 × u2 .
vu1 u2 può essere caratterizzato come l’unico vettore:
v vu1 u2 B u1
i) complanare con u1 , u2 e tale che
v vu1 u2 B u2
ii) tale che nv vu1 u2 n =
min
wML(u1 ,u2 )
nv wn .
La scrittura v = vu1 u2 + vu fornisce una decomposizione (unica) di v come somma di un vettore
complanare con u1 , u2 con uno ortogonale al piano di u1 , u2 .
e1) u
e 1 + (v · u
e2) u
e2 .
Se u1 B u2 , risulta anche vu1 u2 = (v · u
