Matematica per la nuova maturità scientifica
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A. Bernardo M. Pedone
Questionario
Quesito 1
Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire,
fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto fra i volumi dei
solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima attorno alla base
maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.
Soluzione
b2
D
C
b1
=4
b2
h
A
b1
H
1) Rotazione del trapezio
intorno alla base maggiore
AB
b2
D
C
B
K
2) Rotazione del trapezio
intorno alla base minore
DC
A’
H’
K’
D’
h
A
b1
H
O
B
K
b2
D
O’
C
h
D’
A
C’
V1 = Vcilindro ( DD' C ' C ) + 2Vcono ( ADD' )
V1 = πh b2 + 2
2
Si ha:
πh 2 b1 − b2
3
⋅
2
⇒ V1 =
πh 2
3
e
(2b2 + b1 )
b1
H
B
K
V2 = Vcilindro ( HKK ' H ' ) − 2Vcono ( ADA' )
V2 = πh 2 b1 − 2
V1 2b2 + b1 b1 = 4b2 V1 2b2 + 4b2 6 2
=
→ =
= =
V2 2b1 + b2
V2 8b2 + b2
9 3
2
Quindi il rapporto tra i due volumi é:
3
πh 2 b1 − b2
3
⋅
2
⇒ V2 =
πh 2
2b1 + b2
3
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A. Bernardo M. Pedone
Quesito 2
Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A' e A'' e volumi V' e V''. Si sa che
A'/A''=2. Calcolare il valore del rapporto V'/V''.
Soluzione
A'
=2
A' '
l’’
l’
L’area del tetraedro regolare è:
A = 3l 2
Il volume del tetraedro regolare è:
V=
3 3
l
12
Si ha che:
A' =
A' ' =
V ' =
V ' ' =
3l '2
2
A' l '2 l '
⇒
=
= = 2 ⇒ l ' = 2l ' '
A' ' l ' '2 l ' '
3l ' '2
3l '3
V ' l '3 l '
⇒
= 3 =
3
V
'
'
l' ' l' '
3l ' '
3
Quindi il valore del rapporto tra i due volumi è:
V'
=2 2
V ''
3
V ' 2l ' '
= 23 = 2 2
⇒
=
V '' l''
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Quesito 3
Considerati i numeri reali a,b,c,d - comunque scelti - se a>b e c>d allora
A. a+d>b+c
B. a-d>b-c
C. ad>bc
D. a/d > b/c
Una sola alternativa è corretta : individuarla e motivare esaurientemente la risposta.
Soluzione
L’alternativa corretta e la B.
Dimostrazione
Essendo
a > b ⇒ ∃x > 0 t.c. a = b + x
c > d ⇒ ∃y > 0 t.c. c = d + y
quindi :
a − d > b − c ⇒ (b + x) − d > b − (d + y ) ⇔ x > − y
che è sempre verificata, essendo x>0 è y>0.
Quesito 4
Si consideri la seguente proposizione: "La media aritmetica di due numeri reali positivi,
comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica". Dire se è vera o falsa e motivare
esaurientemente la risposta
Soluzione
Siano
a, b ∈ ℜ 0+
con a ≠ b
La media aritmetica M e la media geometrica G sono definite nel seguente modo:
a+b
2
G = a ⋅b
M=
dimostriamo che:
a ⋅b <
elevando al quadrato si ottiene:
a+b
2
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a 2 + 2ab + b 2
4ab − a 2 − 2ab − b 2
a ⋅b <
⇒
< 0 ⇒ ( a − b) 2 > 0
4
4
che è sempre verificata
∀a, b ∈ ℜ 0+
con a ≠ b .
Se a = b la media aritmetica è uguale alla media geometrica.
Quesito 5
Determinare se esistono i numeri a, b in modo che la seguente relazione sia un'identità:
1
a
b
=
+
2
x − 2x − 3 x − 3 x + 1
Soluzione
Dall’eguaglianza proposta si ottiene:
a
b
a ( x + 1) + b( x − 3)
1
1
=
+
⇒
=
x2 − 2x − 3 x − 3 x + 1 x2 − 2x − 3
x2 − 2x − 3
supposto x≠3 e x≠-1; dalla relazione precedente si ottiene: (a+b)x+a-3b=1
per il principio di identità dei polinomi si ha:
1
a
=
a + b = 1
4
⇒
a − 3b = 0 b = − 1
4
Quesito 6
Si consideri la funzione f ( x) = ( 2 x − 1) ( 4 − 2 x ) . Stabilire se ammette massimo o minimo
7
assoluti nell'intervallo
5
1
≤ x ≤ 2.
2
Soluzione
Per il teorema di Weierstass, essendo f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato, 1 ;2 ammette
2
valore minimo e massimo assoluti.
Dallo studio del segno della derivata prima:
f ' ( x) = 2(2 x − 1) 6 (4 − 2 x) 4 (33 − 24 x)
si ottiene:
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1/2
11/8
2
I punti ½ e 2 rappresentano due punti di flesso e nell’intervallo considerato rappresentano due punti
di minimo assoluto [f(1/2)=f(2)=0].
Nel punto di ascissa x=11/8 la funzione presenta un punto di massimo assoluto.
Quesito 7
x +1
Calcolare la derivata, rispetto a x, della funzione f(x) tale che f ( x) =
∫ ln t dt ,
con x > 0 .
x
Soluzione
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene :
f ' ( x) = [ln t ]x
x +1
= ln
x +1
x
Procedendo con il calcolo diretto ed integrando per parti, si ottiene lo stesso risultato.
Infatti:
f ( x) = [x ln x − x ]x
x +1
= ( x + 1) ln( x + 1) − ( x + 1) − x ln x + x
cioè
f ( x) = ( x + 1) ln( x + 1) − x ln x − 1
quindi
f ' ( x) = ln( x + 1) + 1 − ln x − 1 = ln
x +1
x
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Quesito 8
La funzione reale di variabile reale f(x) è continua nell'intervallo chiuso e limitato [1,3] e
derivabile nell'intervallo aperto ]1,3[ . Si sa che f(1)=1 e inoltre 0 ≤ f '( x) ≤ 2 per ogni x
nell'intervallo ]1,3[. Spiegare in maniera esauriente perché risulta 1 ≤ f (3) ≤ 5
Soluzione
Ipotesi
f ( x) continua in [1;3]
f ( x) derivabile in ]1;3[
⇒ (1 ≤ f (3) ≤ 5
f (1) = 1
0 ≤ f ' ( x) ≤ 2 ∀x ∈ ]1;3[
Dimostrazione
Si può applicare il teorema di Lagrange ottenendo
f (3) − f (1)
= f ' (c )
3 −1
con c opportuno.
Poiché f(1)=1 si ha f(3)=1+2f’(c).
Poiché 0 ≤ f ' (c) ≤ 2
si ha
f ' (c) = 0 ⇒ f (3) = 1
f ' (c) = 2 ⇒ f (3) = 5
quindi
1 ≤ f (3) ≤ 5
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Quesito 9
In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti
che soddisfano alla seguente equazione:
y = x2 − 1 + 1 − x2
Tale luogo è costituito da:
A) un punto;
B) due punti;
C) infiniti punti;
D) nessun punto;
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.
Soluzione
L’alternativa giusta è la B.
La funzione proposta è costituita dalla somma di due radici con indice pari, quindi il campo di
esistenza è dato dalla soluzione del sistema .
x 2 − 1 ≥ 0 x ≤ −1 x ≥ 1
⇒
1 − x 2 ≥ 0 − 1 ≤ x ≤ 1
-1
+1
Quindi la funzione è definita solo per x=±1
Il luogo geometrico è costituito dai due punti P(+1;0) P(-1;0)
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Quesito 10
La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che
2
∫
6
f ( x)dx = a
0
∫ f ( x)dx = b
0
dove a,b sono numeri reali. Determinare, se esistono, i valori a,b per cui risulta
3
∫
3
f (2 x)dx = ln 2
0
∫ f (2 x) = ln 4
1
Soluzione
Ponendo 2x=t si ha :
dt
2
per x → 0 ⇒ t → 0
per x → 1 ⇒ t → 2
dx =
per
x→3 ⇒t →6
Quindi:
3
6
1
1
f (t )dt = b = ln 2 ⇒ b = 2 ln 2
∫
20
2
∫
f (2 x)dx =
3
1
1
1
1
f (2 x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = (b − a) = ln 4 ⇒ b − a = 2 ln 4
20
20
2
22
0
∫
1
6
6
2
In conclusione
a = − ln 4
b = ln 4
⇒ a = 2 ln 2 − 2 ln 4
