Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 2012-2013

Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 2012-2013
Dario Bambusi, Andrea Carati
5.06.2013
Abstract
Tra i seguenti esercizi verranno scelti gli esercizi dell’esame di Fisica
Matematica 3.
1
Meccanica Hamiltoniana
Esercizio 1.1. Nel piano si consideri il gruppo di matrici
cos θ
sin θ
R(θ) :=
− sin θ cos θ .
(1.1)
Si consideri il gruppo di trasformazioni di coordinate x = R(t)y e si completi
tale trasformazione di coordinate nello spazio delle configurazioni ad una trasformazione canonica nel corrispondente spazio delle fasi. Calcolare la quantità
conservata associata all’invarianza sotto il gruppo di trasformazioni canoniche
cosı́ ottenuto.
Esercizio 1.2. Nel piano si consideri il gruppo di trasformazioni
x′ = x + t
y′ = y
(1.2)
Si completi tale trasformazione di coordinate nello spazio delle configurazioni
ad una trasrormazione canonica nel corrispondente spazio delle fasi. Calcolare
la quantità conservata associata all’invarianza sotto il gruppo di trasformazioni
canoniche cosı́ ottenuto.
Esercizio 1.3. Dire per quali valori dei parametri α e β la seguente trasformazione di coordinate è canonica.
P = αpeβq ,
Q=
1 −βq
e
α
(1.3)
Esercizio 1.4. Dire per quali valori dei parametri α, β e γ la seguente trasformazione di coordinate è canonica.
P = pα sin(βq) ,
Q = pγ cos(βq)
1
(1.4)
Esercizio 1.5. Determinare dei valori opportuni delle costanti A, α, β in corrispondenza dei quali la seguente trasfromazione è canonica
Q = log(eαp /q) ,
P = Aqeβp
Esercizio 1.6. Determinare le variabili azione angolo per l’oscillatore armonico
H(p, q) =
p2
1
+ ω2 q2 .
2m 2
Esercizio 1.7. Determinare la trasformazine canonica che rimuove la perturbazione a ordine ǫ2 per l’Hamiltoniana
H(A, φ, t) =
A2
+ ǫ(cos φ + cos(φ − t)) .
2
Esercizio 1.8. Determinare la funzione generatrice della trasformazine canonica che rimuove la perturbazione a ordine ǫ2 per l’Hamiltoniana
H(A1 , A2 , φ1 , φ2 ) =
2
A21
A2
+ 2 + ǫ[(A1 − A2 ) sin2 (φ1 − φ2 ) + cos φ1 ] .
2
2
Meccanica Hamiltoniana e quantizzazione
Esercizio 2.1. Data la langragiana
1 2
q̇ + q q̇ − 3q 2 .
2
L(q, q̇) =
(2.1)
• Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana
• risolvere le equazioni di Hamilton
• si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema.
Esercizio 2.2. Data la langragiana
L(q, q̇) =
1 2
(q̇ + 2q 2 q̇) − q 2
2
(2.2)
• Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana
• risolvere le equazioni di Hamilton
• si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema.
Esercizio 2.3. Data la langragiana
L(q, q̇) =
q̇ 2
3
− q2
2
1+q
4
• Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana
• si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema.
2
(2.3)
3
Meccanica quantistica
A premessa di tutti gli esercizi si ricordano le seguenti formule; quelle rilevanti
verranno anche ricordate nel testo dei compiti
r
√
Z +∞
Z +∞
π
π b22
−σx2
−a2 x2 +bx
e
dx =
e
dx =
,
e 4a ,
σ
a
−∞
−∞
1 0
0 −i
0 1
.
, σz =
, σy =
σx =
0 −1
i 0
1 0
Le autofunzioni dell’oscillatore armonico
Ĥ := −
~2 ∂ 2
1
+ Kx2
2
2m ∂x
2
sono
1
un (x) = Nn Hn (αx)e− 2 α
2
x2
,
n = 0, 1, ...
(3.1)
(3.2)
con Hn i polinomi di Hermite e α = (mK/~2 )1/4 . I primi sono dati da
H0 (ξ) = 1 ,
H1 (ξ) = 2ξ ,
H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2 .
(3.3)
Nell’oscillatore armonico con K = m = ~ = 1 gli operatori di creazione e
distruzione a, a† sono dati da
a=
q̂ + ip̂
√
,
2
a† =
q̂ − ip̂
√
2
Esercizio 3.1. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate
di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 ≤ x ≤ L e
V = ∞ altrimenti.
Calcolare il valor medio e lo scarto quadratico medio della posizione.
Calcolare le stesse quantità nel sistema classico e confrontare i risultati.
Esercizio 3.2. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate
di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 ≤ x ≤ L e
V = ∞ altrimenti.
Trovare la distribuzione del momento per una particella che si trovi nell’nesimo livello energetico
Esercizio 3.3. Scrivere l’equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico
in rappresentazione momento. Scriverne la soluzione. Calcolare la distribuzione
di probabilità del momento nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato.
Esercizio 3.4. Scrivere la soluzione dell’equazione di Schrödinger per una particella soggetta al potenziale V (x) = −F x.
Esercizio 3.5. Si consideri una particella quantistica soggetta la potenziale
V = V0 cos(bx). Scrivere l’equazione per le autofunzioni del corrispondente operatore di Schrödinger. Scrivere la corrispondente equazione in rappresentazione
momento1
1 Cioé
l’equazione per la quantità c(p) data da
Z
i
1
ψ(x) = √
c(p)e− ~ px dp .
2π~ R
3
Esercizio 3.6. Trovare l’unica autofunzione propria ed il corrispondente valore
dell’energia per una particella soggetta ad un potenziale della forma V (x) =
−qδ(x).
Esercizio 3.7. Trovare le relazioni di indeterminazione tra le osservabili q e
F (p), dove F è un polinomio.
Esercizio 3.8. Si stimi l’energia dello stato fondamentale di un oscillatore
armonico usando le relazioni di indeterminazione. Si assuma che in tale stato
valga hxi = hpi = 0.
Esercizio 3.9. Si consideri la funzione d’onda
i
ψ(x) = φ(x)e ~ p0 x
con φ a valori reali. Si calcoli il valor medio del mmento. Come si interpreta
p0 ?
Esercizio 3.10. Si mostri che gli autostati di una particella soggetta ad un
potenziale soddisfano a
hpi = 0 .
Esercizio 3.11. Dimostrare che, nel caso di operatori limitati vale la formula
eL̂ Âe−L̂ = Â + [L̂, Â] +
1
1
[L̂, [L̂, Â]] + [L̂, [L̂, [L̂, Â]]] + ...
2!
3!
La serie converge?
Esercizio 3.12. Calcolare l’espressione di p̂x in coordinate sferiche.
Esercizio 3.13. Sapendo che
∂
∂
1
∂
1 sin φ ∂
= cos φ sin θ
+ cos φ cos θ
−
∂x
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
∂
1
∂
1 cos φ ∂
= sin φ sin θ
+ sin φ cos θ
+
∂y
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
1
∂
∂
= cos θ
− sin θ
∂z
∂r
r
∂θ
calcolare, in coordinate sferiche l’espressione dell’operatore relativo all’osservabile
“momento angolare lungo l’asse z”.
Esercizio 3.14. Sapendo che
∂
∂
1
∂
1 sin φ ∂
= cos φ sin θ
+ cos φ cos θ
−
∂x
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
∂
1
∂
1 cos φ ∂
= sin φ sin θ
+ sin φ cos θ
+
∂y
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
1
∂
∂
= cos θ
− sin θ
∂z
∂r
r
∂θ
4
calcolare, in coordinate sferiche l’espressione dell’operatore relativo all’osservabile
“momento angolare lungo l’asse x”.
Esercizio 3.15. Sapendo che
∂
∂
1
∂
1 sin φ ∂
= cos φ sin θ
+ cos φ cos θ
−
∂x
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
1
∂
1 cos φ ∂
∂
= sin φ sin θ
+ sin φ cos θ
+
∂y
∂r
r
∂θ
r sin θ ∂φ
∂
∂
1
∂
= cos θ
− sin θ
∂z
∂r
r
∂θ
calcolare, in coordinate sferiche l’espressione dell’operatore relativo all’osservabile
“momento angolare lungo l’asse y”.
Esercizio 3.16. Calcolare le relazioni di commutazione [M̂i , x̂j ] e [M̂i , p̂j ], dove
M̂i sono le varie componenti dell’operatore momento angolare.
Esercizio 3.17. Calcolare le relazioni di commutazione [M̂i , (x̂2 + ŷ 2 + ẑ 2 )] e
[M̂i , (p̂2x + p̂2y + p̂2z )], dove M̂i sono le varie componenti dell’operatore momento
angolare.
Esercizio 3.18. Mostare che in un autostato di M̂z i valori di aspettazione di
Mx ed My sono nulli.
Calcolare in un siffatto stato il valore di aspettazione della componente del
momento angolare lungo un asse che forma un angolo θ con l’asse z.
Esercizio 3.19. Si calcolino, al primo ordine in ǫ gli autovalori dell’Hamiltoniana
per una particella soggetta ad un potenziale della forma
ǫ sin x se x ∈ [0, π]
(3.4)
V (x) =
∞
se x 6∈ [0, π]
Esercizio 3.20. Si calcolino, al primo ordine in ǫ gli autovalori dell’operatore
−∂xx + ǫ sin(4x) su (−π, π) con condizioni periodiche al bordo:
u′ (−π) = u′ (π) .
u(−π) = u(π) ,
Esercizio 3.21. Si ricorda che l”hamiltoniana di unaparticella in un campo
magnetico è data da
e 2
1 p̂ − A + V (x)
Ĥ =
2m
c
dove p̂ ≡ (p̂x , p̂y , p̂z ) e A è il potenziale vettore. Avendo definito l’operatore
velocità come
i
v̂j [Ĥ, x̂i ] ,
~
si calcoli tale operatore e si calcolino le relazioni di commutazione tra le sue
componenti.
Utilizzare il risultato per calcolare lo spettro di Ĥ nel caso di potenziale nullo
e campo magnetico uniforme.
5
Esercizio 3.22. Si scriva l’Hamiltoniana di due particelle sulla retta interagenti
tramite un potenziale centrale. Definite le variabili
X :=
m1 x 1 + m2 x 2
,
m1 + m 2
x = x1 − x2
e i corrispondenti operatori momento, cioè
P̂ := −i~
∂
,
∂X
p̂ := −i~
∂
,
∂x
si riscriva l’Hamiltoniana in termini di tali operatori e se ne deducano alcune
conseguenze.
Esercizio 3.23. Un campo di forze a simmetria centrale da luogo ad un sistema
discreto di autovalori. Mostrare che il minimo dell’energia per un dato ℓ (dove
ℓ è il numero quantico orbitale), aumenta con ℓ.
Esercizio 3.24. Si consideri ψ0 (x) = Ce−x
2
/2
.
• Determinare C in modo che valga kψ0 kL2 = 1
• Si consideri l’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico con K = ~2 /m e si
calcoli il valor medio dell’energia in ψ0 . Commentare.
2
Esercizio 3.25. Si consideri ψ0 (x) = Ce−x .
• Determinare C in modo che valga kψ0 kL2 = 1
• Si consideri l’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico con K = ~2 /m.
q Si
calcoli la probabilità che una misura dell’energia fornisca il valore
Esercizio 3.26. Si consideri ψ0 (x) = Ce−x
2
/2
~
2
K
m.
.
• Determinare C in modo che valga kψ0 kL2 = 1
• Calcolare la soluzione ψ(x, t) dell’equazione di Schrödinger per la particella
libera con dato iniziale ψ0 .
• quanto vale limt→∞ ψ(0, t)?
Esercizio 3.27. Si consideri l’equazione di Schrödinger per una particella libera
di massa m e si assuma che all’istante iniziale la funzione d’onda valga
1
se |x| ≤ 1
(3.5)
ψ0 (x) = 2
0 se |x| > 1
Calcolare ψ(x, t) in termini di trasformata di Fourier. Calcolare la probabilità
che la quantità di moto all’istante t sia tra p e p + dp.
6
Esercizio 3.28. Dato il più generale stato a spin ~/2 e cioé
iα
e cos δ
eiβ sin δ
(3.6)
calcolare il valor medio della misura dello spin lungo un asse arbitrario.
Esercizio 3.29. Dato il più generale stato a spin ~/2 e cioé
iα
e cos δ
eiβ sin δ
(3.7)
calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l’asse (1,1,0) dia risultato
~/2.
Esercizio 3.30. Dopo aver misurato la componente z dello spin di una particella di spin ~/2 e aver trovato ~/2, si applica al sistema un campo magnetico
intensità B nella direzione (1, 0, 0).
• Calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l’asse z all’istante
t dia risultato ~/2.
• Calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l’asse x all’istante
t dia risultato ~/2.
Si ricorda che la Hamiltoniana di una particella di spin ~/2 in un campo
magnetico B è µs B·σ, dove µs = e/(mc)
Esercizio 3.31. Al tempo t = 0 lo stato di un sistema è dato da
1
1+i
ψ = √ u0 + √ u1
3
3
(3.8)
dove u0 ed u1 sono rispettivamente lo stato fondamentale e il primo stato eccitato
di un oscillatore armonico con K = m = ~ = 1.
• Calcolare il valor medio delle osservabili momento e posizione (si ricordi
la loro espressione in termini dei creatori e distruttori).
• Calcolare lo scarto quadratico medio ∆x e ∆p. Verificare la relazione di
indeterminazione di Heisenberg.
Esercizio 3.32. Calcolare in funzione dell’energia (positiva) il coefficiente di
riflessione della buca di potenziale
−1 |x| ≤ 1
U (x) =
(3.9)
0 |x| > 1
Esercizio 3.33. Calcolare in funzione dell’energia (maggiore di 1/2) il coefficiente di riflessione della buca di potenziale corrispondente ad un’onda che
arriva da destra

−1 |x| ≤ 1
0
x>1
U (x) =
(3.10)
 1
x
<
−1
2
7
Esercizio 3.34. Calcolare in funzione dell’energia il coefficiente di riflessione
della barriera di potenziale
1 |x| ≤ 1
U (x) =
(3.11)
0 |x| > 1
Esercizio 3.35. Calcolare in funzione dell’energia (positiva) il coefficiente di
riflessione della buca di potenziale per un’onda che arriva da destra

|x| ≤ 1
 1
0
x>1
(3.12)
U (x) =
 1
− 2 x < −1
8