Operatori di valutazione su classi di individui deboli 1

Operatori di valutazione
su classi di individui deboli
1
Yo Chi Son
Dipartimento di Matematica. Politecnico di Milano
Via Bonardi 9. 20133 Milano
Abstract. Si presentano risultati recenti di teoria spettrale degli operatori di valutazione, che hanno
interessanti relazioni con la logica proposizionale di Murphy e la teoria non Zermeliana delle classi.
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Sia h un'università. Si dice che un individuo ? - h vive in condizioni umane minimali ÐM. H. C.Ñ se:
ha aria da respirare;
ha cibo discreto di cui nutrirsi.
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33Ñ
Si dice che un individuo soddisfa condizioni debolmente umane ÐW. H. C.Ñ se:
respira aria generalizzata;
si nutre con continuità di ciò che non è cibo.
Esempi di tali individui debolmente umani (o "individui deboli") sono gli studenti che mangiano
panini nell'aula in cui hanno appena fatto lezione in 400. (Qui entrambe le condizioni M. H. C. sono
violate). Aggregati di individui debolmente umani formano insiemi "fuzzy", "noisy" o "messy", secondo le
loro dimensioni. Chiameremo genericamente classi tali aggregati. (Non si può parlare di insiemi, in senso
stretto, altrimenti il lemma di Zorn implicherebbe l'esistenza di condizioni umane minimali, che invece non
valgono, salvo il caso banale in cui l'università h è vuota).
Le classi di un'università presentano fenomeni interessanti per la logica proposizionale. Si può infatti
dimostrare che:
Teorema 1. Ogni proposizione : rivolta a una classe non viene recepita ne´ puntualmente ne´ in senso
integrale.
Tuttavia:
Teorema 2. Ogni classe G contiene un insieme fortemente compatto di individui che all'iterata 8-esima
dell'esame mostrano di aver recepito la proposizione :.
Sia MÐ:ß G Ñ tale insieme, e sia T un insieme minimale di proposizioni, con card T
2. Allora:
+ MÐ:ß G Ñ œ g.
:-T
Quest'ultima formula è nota come "Teorema di non esistenza dello studente modello", per quanto scarso sia
lo standard richiesto.
Sia ora T l'algebra degli operatori di valutazione su una classe G ; chiameremo esami tali operatori.
Si dice che X - T è un esame fortemente critico se il suo spettro è continuo, diffuso e terrificante. Esempi
di tali operatori sono ampiamente trattati nella letteratura popolare. La composizione di 2 operatori di
questo tipo è detta catenaccio ("big chain operator"), e il suo spettro si estende ben oltre l'asse reale,
nell'immaginario studentesco.
Sia X un esame fortemente critico dotato di un autovalore - reale e ž 1. Ciò significa che esiste un
individuo non banale ? tale che
X ? œ -?
ossia ? accresce se stesso sotto l'azione dell'esame X : un tale ? si dice autodidatta. L'insieme degli
autodidatti è un insieme magro, nel senso della categoria di Baire. Gli individui di tale insieme sono invece
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Ricerca svolta con il patrocinio della Commissione per le Attività Ricreative del Politecnico.
magri, nel senso di Barilla. La presenza di autodidatti non è di alcuna utilità nello studio delle proprietà di
una classe sotto l'azione di un operatore X , in quanto tali individui sono generalmente isolati.
Bibliografia
Malthus: Minimal Human Conditions versus Minimal Animal Conditions: Comparison Theorems.
Taylor: The Chain Rule: Analysis 1 before Analysis 2.
A. Merio: Esami supercritici in assenza di studenti critici.
Kolmogorov: Noisy sets of students in Brownian motion.
Zermelo: The axiom of choice and the choice of axioms: my favourite game.
Milano, ottobre '94.