Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Scheda (4) per lo svolgimento delle attività
Prima parte
Domanda 1. Scrivi la definizione di minimo comune multiplo di due
numeri naturali a e b.
Il minimo comune multiplo (mcm) di due naturali a e b è il più piccolo
naturale positivo che è multiplo sia di a che di b.
Domanda 2. Considera la corona dello spirografo e la ruota con 36
denti. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della ruota da 36
e un segno sulla corona circolare dello spirografo, in corrispondenza di
uno spazio vuoto fra due denti sotto la corona. Posiziona la ruota da 36
denti in modo che i segni fatti sulla ruota e sulla corona siano uno di
fronte all’altro. Muovi la ruota da 36 denti entro la corona fino a quando i due segni non tornano a coincidere.
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota da 36 denti? ........................ 3
Ricordando che la corona dello spirografo ha 96 denti, dopo quanti
denti la ruota torna al punto di partenza ?.............. Dopo 3◊96 = 288 denti
Nello stesso movimento, quante rotazioni ha compiuto la ruota attorno
al proprio centro? ................................ 8
Ricordando che la ruota ha 36 denti, dopo quanti denti la ruota torna
quindi al punto di partenza? .............................. Dopo 8◊36 = 288 denti
Considerando i due numeri, 96 e 36, si può concludere che il mcm tra 96
e 36 coincide con il prodotto tra il numero di rivoluzioni della ruota
mobile, cioè ......................... 3, e il numero dei denti della corona, quindi
a........................ 3◊96 = 288; o analogamente coincide con il prodotto tra
il numero di rotazioni della ruota mobile, cioè ......................... 8, e il
numero dei denti della ruota stessa, quindi nuovamente a ........................
8◊36 = 288
Domanda 3. Verifica che il mcm tra 96 e 36 è proprio 288. Scrivi la
regola per calcolare il mcm di due numeri naturali ........................
..........................................................................................................................
Il mcm è il prodotto di tutti i fattori primi dei numeri dati, presi una sola
volta con il massimo esponente.
Scomponi in fattori primi il 96: ..................................... 25◊3
Scomponi in fattori primi il 36: ........................... 22◊32
Calcola l’mcm tra 96 e 36: ......................................... 25◊32 = 288
Domanda 4. Ora riduci ai minimi termini la frazione 96/36 che rappresenta il rapporto tra i numeri dei denti di corona (numeratore) e ruota
dentata (denominatore). Ottieni .......................... 8/3
Matebilandia
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Che cosa puoi concludere? .............................. Se si considera la frazione,
ridotta ai minimi termini, ottenuta facendo il rapporto tra i numeri dei
denti delle ruote, si può vedere che il numeratore indica il numero di
rotazioni, mentre il denominatore il numero di rivoluzioni.
Domanda 5. Utilizzando un’altra ruota dentata e la corona, trova il
mcm tra 96 e 30. Riduci il loro rapporto ai minimi termini e ottieni:
Numero di rotazioni della ruota mobile: ......................... 16
Numero di rivoluzioni della ruota mobile: ......................... 5
Il mcm tra 30 e 96 risulta quindi .................... 5◊96 = 16◊30=480, mcm tra
96 e 30.
Verifica con lo spirografo che il numero di rotazioni e rivoluzioni concordi con quello trovato algebricamente.
Domanda 6. Utilizzando due ruote dentate, trova il mcm tra 63 e 45,
agendo come sopra.
Numero di rotazioni ....................... 7
Numero di rivoluzioni ....................... 5
Mcm .............................................. 5◊63 = 7◊45=315, mcm tra 63 e 45.
Verifica sperimentalmente i risultati trovati.
Domanda 7. Utilizza ora lo spirografo virtuale (software Spirograph) e
scegli opportunamente i raggi delle due ruote per trovare il mcm tra 90
e 30, agendo come sopra.
Numero di rotazioni ....................... 3
Numero di rivoluzioni ....................... 1
Mcm .............................................. 1◊90 = 3◊30=90, mcm tra 90 e 30.
Verifica sperimentalmente sul computer i risultati trovati. Che figura
ottieni? ................ deltoide/curva a tre petali.
In questo caso il numero di denti della ruota fissa è multiplo del numero
di denti della ruota mobile: la figura si chiude dopo una sola rivoluzione.
Domanda 8. Utilizza ancora lo spirografo virtuale e scegli opportunamente i raggi delle due ruote per trovare il mcm tra 47 e 29, agendo
come sopra.
Numero di rotazioni ....................... 47
Numero di rivoluzioni ....................... 29
Mcm .............................................. 29◊47 = 47◊29=1363, mcm tra 47 e 29.
Verifica sperimentalmente sul computer i risultati trovati. Che figura
ottieni? ................ una stella a 47 punte.
In questo caso, il numero di denti della ruota fissa e quello della ruota
mobile sono primi tra loro: la figura si chiude solo dopo un numero di
rivoluzioni pari ai denti della ruota piccola.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Seconda parte
Domanda 1. Considera la corona dello spirografo (96 denti) e la ruota
con 36 denti. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della
ruota da 36 denti e un segno sulla corona circolare dello spirografo, in
corrispondenza di uno spazio vuoto fra due denti. Posiziona la ruota da
36 denti in modo che i segni fatti sulla ruota e sulla corona siano uno di
fronte all’altro. Il dente contrassegnato corrisponde al numero uno, poi
via via i numeri crescono, andando in senso orario fino all’ultimo
dente, che corrisponde al numero 36. Muovi la ruota da 36 denti, ruotandola su se stessa in senso antiorario, fino a quando uno dei denti non
torna a inserirsi nello spazio vuoto di partenza.
Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso un primo giro della corona
dello spirografo, a quale numero corrisponde (da 1 a 36) il dente che si
inserisce nello spazio vuoto di partenza? .......................... 24
Quante rotazioni complete ha effettuato la ruota? .......................... 2
Esegui ora la divisione intera 96:36 e ottieni: quoziente ....................... 2
resto ....................... 24
Lo spirografo può allora essere usato come macchina per fare alcune
divisioni: il quoziente è il numero di rotazioni complete in una sola rivoluzione; il resto è il numero di denti restanti dopo l’ultima rotazione completa, ovvero il numero del dente che chiude la prima rivoluzione.
Prova con l’aiuto dello spirografo, a eseguire le seguenti operazioni:
96 : 30 = ..........................
50 : 30 = .......................... (in questo caso devi usare due ruote dentate)
30 : 5 = .......................... (puoi usare lo spirografo virtuale)
Diamo la seguente definizione:
Dato k ΠN, k > 1, si dice che i numeri naturali n e m sono congrui modulo k, e
si scrive n ∫ m(mod k), se le divisioni di n e m per k hanno lo stesso resto.
Per stabilire se due numeri naturali sono congrui modulo k, risulta utile il
seguente teorema:
Dati due numeri naturali m e n, si ha n ∫ m(mod k) se, e soltanto se, m-n è un
multiplo intero di k, ossia se, e solo se, esiste h ΠZ tale che m-n = kh.
Nota per il docente. Se la situazione lo consente, è possibile eseguire la dimostrazione del teorema. Inoltre, la relazione definita gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva ed è dunque una relazione di equivalenza. Le classi di
equivalenza rispetto a tale relazione sono chiamate classi resto (modulo k).
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Domanda 2. Indichiamo con [m]k, la classe di equivalenza di un numero m. Da quali numeri naturali è formata la classe di equivalenza [m]k?
.......................................................... Da tutti i numeri naturali che, nella
divisione per k, danno lo stesso resto di m.
Domanda 3. Il resto di una divisone per k è un numero naturale
maggiore
uguale
minore
di k?
Quali numeri naturali apparterranno alla prima classe di equivalenza?
......................... Tutti i numeri naturali che divisi per k danno resto 0, cioè
i multipli di k.
Tale classe sarà quindi chiamata [0]k, perché ........................ il resto della
divisione 0:k è uguale a 0.
Quali numeri naturali apparterranno alla seconda classe di equivalenza? .........................Tutti i numeri naturali che divisi per k danno resto 1.
Tale classe sarà quindi chiamata [1]k.
Quante sono le classi resto (modulo k)? ........................................ Le classi resto sono k.
Domanda 4. Ora considera le ruote dello spirografo, quella da 63 e
quella da 30. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della
ruota da 30 denti e un segno su uno spazio vuoto sulla ruota da 63. Sulla
ruota mobile, il dente contrassegnato corrisponde al numero uno, poi
via via andando in senso orario fino all’ultimo dente, corrispondente al
numero 30. La ruota con il numero maggiore dei denti è mantenuta
fissa (con tre chiodini). Posiziona le due ruote in modo che i segni fatti
siano uno di fronte all’altro. Muovi la ruota da 30 denti, ruotandola su
se stessa in senso antiorario, fino a quando uno dei denti non torna a
inserirsi nello spazio vuoto di partenza.
Dopo che la ruota da 30 denti ha percorso un primo giro della ruota da
63, a quale numero corrisponde il dente che si inserisce nello spazio
vuoto di partenza? .......... 3
Quante rotazioni intere ha compiuto la ruota da 30 denti? .................... 2
Quindi, ricordando che n ∫ m(mod k), dove m vale ......................... 63 e
k vale ................... 30 qual è il numero n a cui equivale 63 (mod 30)?
............... 3
Quali numeri formano la classe [3]30? ...................... 3, 33, 63, 93…
Se avessimo fatto muovere la ruota da 63 su quella da 30, tenuta fissa,
quale numero n avremmo trovato equivalente a 30 (mod 63)?
................... 30
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Domanda 5. Ora considera le ruote dello spirografo, quella da 50 e quella da 30 e ripeti le procedure descritte alla domanda 4. Il dente contrassegnato corrisponde al numero uno, l’ultimo dente al numero 30.
Dopo che la ruota da 30 denti ha percorso un primo giro della ruota da
50, a quale numero corrisponde il dente che si inserisce nello spazio
vuoto di partenza? .......... 20
Quante rotazioni intere ha compiuto la ruota da 30 denti?
............................ 1
Qual è il numero n a cui equivale 50 (mod 30)? .................................. 20
Come si indica la classe resto? ............................... [20]30
Sostituisci quella da 50 denti con quella da 36.
Dopo che la ruota da 30 denti ha percorso un primo giro della ruota da
36, a quale numero corrisponde il dente che si inserisce nello spazio
vuoto di partenza? .......... 6
Quante rotazioni intere ha compito la ruota da 30 denti? ....................... 1
Qual è il numero n a cui equivale 36 (mod 30)? .................................. 6
Domanda 6. In base alle risposte date alla domanda 5, qual è il risultato di
50 (mod 30) + 36 (mod 30) = ........................... 20+6=26=86 (mod 30)
Avendo a disposizione tutte le ruote dello spirografo (30, 36, 45, 50, 63
denti e la corona da 96), in che modo puoi verificare la risposta data alla
domanda 6? ........................................... Facendo muovere la ruota da 30
denti entro la corona da 96: con un pennarello marca lo spazio vuoto corrispondente al numero 86 (50+36); fai muovere la ruota da 30 fino a
quando un suo dente si incastra nell’86esimo spazio vuoto della corona.
Conta a che numero (da 1 a 30) corrisponde il dente: 26.
Domanda 7. Usando lo spirografo risolvi e verifica, la seguente somma:
50 (mod 36) + 45 (mod 36) = ........................... 14+9=23=95 (mod 36)
