Lezione 3 - Storia della Matematica
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Storia della matematica Lezione 3 Enrico Rogora Lezione 3 Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Enrico Rogora [email protected] Problemi classici Coniche I filosofi Università di Roma 5 Marzo 2017 - Roma Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 1 / 12 Da Pitagora ad Euclide Lezione 3 Enrico Rogora Fase eroica della matematica: Raramente uomini così sprovvisti di mezzi hanno affrontato problemi matematici di importanza così fondamentale. [Cfr. Boyer]. Temi dominanti Algebra geometrica. Teoria delle proporzioni. Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I tre problemi classici: quadratura del cerchio, trisezione dell’angolo, duplicazione del cubo. I filosofi Studio delle coniche. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 2 / 12 Algebra geometrica Lezione 3 Enrico Rogora Metodo delle proporzioni Costruzione del quarto proporzionale dopo tre, Costruzione del medio proporzionale tra due. Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Metodo delle aree Applicazione parabolica delle aree Coniche I filosofi Applicazione ellittica delle aree Applicazione iperbolica delle aree Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 3 / 12 Quarto proporzionale a : b = c : x Lezione 3 Soluzione con Talete [Euclide VII,12] Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica La risoluzione mediante la sola teoria dell’equivalenza [Euclide I.43, I.44] è una tappa importante del movimento di svincolo della teoria delle proporzioni che Euclide attua nei primi quattro libri. Problemi classici Coniche I filosofi Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 4 / 12 Medio proporzionale a : x = x : b La costruzione si basa sul teorema (di Euclide): l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è media proporzionale tra la proiezione dei cateti sull’ipotenusa. Lezione 3 Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 5 / 12 Applicazioni delle aree Lezione 3 Applicazione parabolica delle aree. Data un’area S, solitamente assegnata nella forma S = bc, con b e c segmenti dati, e un segmento a, determinare un segmento x tale che ax = bc. Dal punto di vista geometrico significa determinare il rettangolo su un segmento dato equivalente a un rettangolo assegnato. Dal punto di vista aritmetico si tratta di determinare due numeri di cui sia dato il prodotto e sia fissato uno di essi. Se, invece di dare una dimensione del rettangolo di data area si dà una relazione di primo grado tra le due dimensioni, il problema diventa di secondo grado. E precisamente si ha l’applicazione ellittica se delle due dimensioni è data la somma, mentre si ha l’applicazione iperbolica se delle due dimensioni è data la differenza. L’applicazione delle aree viene generalizzata a parallelogrammi qualsiasi e viene risolta, in generale, nel libro VI (Proposizione VI.28, cfr anche [Giaq pp. 25 – 26]), utilizzando la teoria delle proporzioni e nel libro II per i rettangoli. L’applicazione ellittica si può risolvere anche grazie alla proposizione II.5 [Euc, pp. 166-170] Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi 5 Marzo 2017 6 / 12 Elementi, II.5 Lezione 3 Se si divide una retta in parti uguali e diseguali, il rettangolo compreso dalle parti diseguali della retta, insieme con la parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta. Se la retta è AB, C il suo punto medio e D il suo ulteriore punto di divisione, posto AC=a e CD=b, allora AD=a+b e DB=a-b e quindi l’asserto si legge Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi (a + b)(a − b) = a2 − b 2 . Confronto tra algebra geometrica e algebra. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 7 / 12 I tre problemi classici: irrisolubili con riga e compasso Lezione 3 Quadratura del cerchio Enrico Rogora Antifonte: [Giaq. p. 31]; Spirale di Archimede, quadratrice di Ippia, concoide di Nicomede [Boyer]. Quadratura delle lunule [Cfr. Giaq. p. 30]. Dinostrato, con la trisettrice di Ippia. Duplicazione del cubo Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Lettera di Eutocio [cfr. Giaq. p. 32]. Coniche Ippocrate, con due medie proprzionali in progressione continua. Menecmo, con le coniche. Eudosso e Nicomede (concoide), Apollonio (cissoide). I filosofi Trisezione dell’angolo Pappo, [Cfr. Giaq. p. 33]. Quadratrice di Ippia [Cfr. Giaq. pp. 34 – 35]. Critiche all’uso della quadratrice [Cfr. Giaq. p. 36]. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 8 / 12 Trisettrice di Ippia o quadratrice di Dinostrato Equazione polare: 2r sin φ a = 2φ π . Lezione 3 Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/ 7a/Quadratrix_animation.gif Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 9 / 12 Spirale di Archimede Lezione 3 Enrico Rogora Equazione polare: r = a + bθ Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 10 / 12 Studio delle coniche Ippocrate osserva che per duplicare il cubo, basta risolvere una doppia proporzione a : x = x : y = y : 2a. Menecmo, per risolvere il problema di Ippocrate, inizia lo studio delle curve che si ottengono intersecando un cono retto con apertura pari a 45◦ con un piano perpendicolare a una delle sue generatrici: parabola. [Cfr. Boyer] Lezione 3 Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 11 / 12 Importanza di Platone e Aristotele per la matematica Lezione 3 Platone assegna alla matematica grande importanza. Alla sua scuola si formano molti matematici (Eudosso, Menecmo e Dinostrato). Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni all’indietro. Aristotele, studente di Platone, fu principalmente filosofo e biologo. Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni in avanti, regole della logica. Enrico Rogora Da Pitagora ad Euclide Algebra geometrica Problemi classici Coniche I filosofi Problemi dell’infinito Platone Indivisibili Aristotele Infinito attuale vs infinito potenziale. La matematica può fare a meno dell’infinito. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 12 / 12
