Storia della matematica
Lezione 3
Enrico
Rogora
Lezione 3
Da Pitagora
ad Euclide
Algebra
geometrica
Enrico Rogora
[email protected]
Problemi
classici
Coniche
I filosofi
Università di Roma
5 Marzo 2017 - Roma
Enrico Rogora (UniRoma)
Lezione 3
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Da Pitagora ad Euclide
Lezione 3
Enrico
Rogora
Fase eroica della matematica: Raramente uomini così sprovvisti
di mezzi hanno affrontato problemi matematici di importanza
così fondamentale. [Cfr. Boyer].
Temi dominanti
Algebra geometrica. Teoria delle proporzioni.
Da Pitagora
ad Euclide
Algebra
geometrica
Problemi
classici
Coniche
I tre problemi classici: quadratura del cerchio, trisezione
dell’angolo, duplicazione del cubo.
I filosofi
Studio delle coniche.
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Algebra geometrica
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Enrico
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Metodo delle proporzioni
Costruzione del quarto proporzionale dopo tre,
Costruzione del medio proporzionale tra due.
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Algebra
geometrica
Problemi
classici
Metodo delle aree
Applicazione parabolica delle aree
Coniche
I filosofi
Applicazione ellittica delle aree
Applicazione iperbolica delle aree
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Quarto proporzionale a : b = c : x
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Soluzione con Talete [Euclide VII,12]
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Da Pitagora
ad Euclide
Algebra
geometrica
La risoluzione mediante la sola teoria dell’equivalenza [Euclide I.43, I.44] è
una tappa importante del movimento di svincolo della teoria delle
proporzioni che Euclide attua nei primi quattro libri.
Problemi
classici
Coniche
I filosofi
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Medio proporzionale a : x = x : b
La costruzione si basa sul teorema (di Euclide): l’altezza
relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è media
proporzionale tra la proiezione dei cateti sull’ipotenusa.
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Problemi
classici
Coniche
I filosofi
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Applicazioni delle aree
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Applicazione parabolica delle aree. Data un’area S, solitamente assegnata
nella forma S = bc, con b e c segmenti dati, e un segmento a, determinare
un segmento x tale che ax = bc.
Dal punto di vista geometrico significa determinare il rettangolo su un
segmento dato equivalente a un rettangolo assegnato. Dal punto di vista
aritmetico si tratta di determinare due numeri di cui sia dato il prodotto e
sia fissato uno di essi.
Se, invece di dare una dimensione del rettangolo di data area si dà una
relazione di primo grado tra le due dimensioni, il problema diventa di
secondo grado. E precisamente si ha l’applicazione ellittica se delle due
dimensioni è data la somma, mentre si ha l’applicazione iperbolica se delle
due dimensioni è data la differenza.
L’applicazione delle aree viene generalizzata a parallelogrammi qualsiasi e
viene risolta, in generale, nel libro VI (Proposizione VI.28, cfr anche [Giaq
pp. 25 – 26]), utilizzando la teoria delle proporzioni e nel libro II per i
rettangoli. L’applicazione ellittica si può risolvere anche grazie alla
proposizione II.5 [Euc, pp. 166-170]
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Problemi
classici
Coniche
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Elementi, II.5
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Se si divide una retta in parti uguali e diseguali, il rettangolo
compreso dalle parti diseguali della retta, insieme con la parte
compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della
metà della retta.
Se la retta è AB, C il suo punto medio e D il suo ulteriore punto
di divisione, posto AC=a e CD=b, allora AD=a+b e DB=a-b e
quindi l’asserto si legge
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Problemi
classici
Coniche
I filosofi
(a + b)(a − b) = a2 − b 2 .
Confronto tra algebra geometrica e algebra.
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I tre problemi classici: irrisolubili con riga e
compasso
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Quadratura del cerchio
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Antifonte: [Giaq. p. 31];
Spirale di Archimede, quadratrice di Ippia, concoide di Nicomede
[Boyer]. Quadratura delle lunule [Cfr. Giaq. p. 30]. Dinostrato, con
la trisettrice di Ippia.
Duplicazione del cubo
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Algebra
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Problemi
classici
Lettera di Eutocio [cfr. Giaq. p. 32].
Coniche
Ippocrate, con due medie proprzionali in progressione continua.
Menecmo, con le coniche. Eudosso e Nicomede (concoide), Apollonio
(cissoide).
I filosofi
Trisezione dell’angolo
Pappo, [Cfr. Giaq. p. 33].
Quadratrice di Ippia [Cfr. Giaq. pp. 34 – 35]. Critiche all’uso della
quadratrice [Cfr. Giaq. p. 36].
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Trisettrice di Ippia o quadratrice di Dinostrato
Equazione polare:
2r sin φ
a
=
2φ
π .
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Problemi
classici
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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/
7a/Quadratrix_animation.gif
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Spirale di Archimede
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Equazione polare: r = a + bθ
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classici
Coniche
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Studio delle coniche
Ippocrate osserva che per duplicare il cubo, basta risolvere una
doppia proporzione a : x = x : y = y : 2a.
Menecmo, per risolvere il problema di Ippocrate, inizia lo studio
delle curve che si ottengono intersecando un cono retto con
apertura pari a 45◦ con un piano perpendicolare a una delle sue
generatrici: parabola. [Cfr. Boyer]
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Problemi
classici
Coniche
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Importanza di Platone e Aristotele per la
matematica
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Platone assegna alla matematica grande importanza. Alla sua
scuola si formano molti matematici (Eudosso, Menecmo e
Dinostrato). Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni
all’indietro.
Aristotele, studente di Platone, fu principalmente filosofo e
biologo. Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni in
avanti, regole della logica.
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Algebra
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Problemi
classici
Coniche
I filosofi
Problemi dell’infinito
Platone Indivisibili
Aristotele Infinito attuale vs infinito potenziale. La
matematica può fare a meno dell’infinito.
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