Kangourou della Matematica 2006
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 8 maggio 2006
LIVELLO ÈCOLIER
E1. (5 punti ) Qual è il multiplo di 11 più vicino a 1000?
Soluzione: 1001.
Infatti 11×90 = 990 < 1000 < 1001 = 11×91, ma 1000 – 990 =10 mentre 1001 − 1000 = 1.
E2. (7 punti ) Le lettere della parola “MELA” sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad
ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola “MELA” rappresenti il più
piccolo numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. Mantenendo questa scelta delle cifre,
che numero è rappresentato dalla parola “MALE”?
Soluzione: 1320.
Infatti il più piccolo numero di 4 cifre con cifre tutte distinte fra loro (come le lettere di
MELA) è 1023. Se MELA = 1023, allora MALE = 1320.
E3. (11 punti ) Sulla vetrina di una cartoleria campeggia la scritta (composta con lettere
adesive)
Disegna qui sotto la scritta che vedresti guardando la vetrina dall’interno del negozio.
Soluzione:
Per ottenere agevolmente questa immagine, puoi ricorrere a questo trucco: osservare controluce il retro del foglio con la scritta PUZZLES.
E4. (14 punti ) Arturo dice sempre la verità, invece Bernardo mente sempre. Trova una
affermazione che entrambi possano pronunciare.
Soluzione: vi sono diverse affermazioni possibili. Alcuni esempi:
"Io dico la verità",
oppure
" Lui mente",
oppure, con la premessa che Arturo e Bernardo non siano nati nello stesso giorno e Arturo sia
nato nel giorno X, la frase
"Il mio compleanno è il giorno X".
E5. (18 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0),
tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4?
Soluzione: 18.
Le terne di cifre in questione sono (1,5,9) (0,4,8) (0,4,9) (0,5,9) e le disposizioni ammissibili
sono 6 per la prima terna e 4 per ciascuna delle altre: si ottengono così 18 numeri di tre cifre.
Possiamo elencarli:
159, 195, 519, 591, 915, 951; 408, 480, 804, 840; 409, 490, 904, 940; 509, 590, 905, 950.
E6. (22 punti ) Hai a disposizione, nella quantità che desideri, mattonelle quadrate di tre
misure diverse: i loro lati sono lunghi 1, 2 o 3 decimetri. Accostandole, senza sovrapporle e
senza lasciare zone scoperte, puoi costruire un quadrato il cui lato misura 7 decimetri. Qual è
il più piccolo numero di mattonelle che ti basta accostare e come vanno ripartite fra le
diverse misure? Utilizza la quadrettatura per disegnare la figura che realizza la soluzione che
hai trovato e spiega perché, secondo te, non basta un numero inferiore di mattonelle. (Puoi
usare la quadrettatura sottostante anche per altri eventuali disegni che possano servire allo
scopo.)
Soluzione: bastano 12 mattonelle di cui 2 grandi, 7 medie e 3 piccole,
disposte ad esempio come nel primo disegno a lato.
Dimostriamo che 12 è il numero minimo di mattonelle sufficienti a
pavimentare il quadrato di lato 7 decimetri e che la ripartizione indicata è
ottimale.
Se non usassimo mattonelle grandi, per coprire una superficie di 49 dm quadrati non
basterebbero 12 mattonelle medie.
Se usassimo una sola mattonella grande, rimarrebbe da coprire una
superficie di 40 dm quadrati: dal momento che il lato del quadrato è lungo
un numero dispari di decimetri, non potremmo utilizzare solo mattonelle
medie, per cui ne servirebbero almeno 4 piccole, portando il totale ad
almeno 14 (in realtà ne occorrerebbero di più: una configurazione possibile
è indicata nel secondo disegno a lato).
Usando due mattonelle grandi, come abbiamo fatto, rimane da coprire una superficie di 31 dm
quadrati: questa richiede almeno 10 mattonelle, potendo essere usate al massimo 7 mattonelle
medie, dunque non avremmo potuto fare meglio.
D’altra parte, usando almeno 3 mattonelle grandi, dal momento che il lato
del quadrato è lungo 7 dm, occorrerebbero almeno 6 mattonelle piccole
(infatti in ognuna delle due direzioni parallele ai lati verrebbe lasciata una
“striscia” lunga 3 dm e larga 1): i restanti 16 dm quadrati da coprire
richiederebbero non meno di 4 mattonelle (la copertura ottimale si
otterrebbe con esattamente 4 mattonelle medie) portando il totale ad
almeno 13 (questa costruzione è effettivamente realizzabile e una possibile configurazione è
mostrata nel terzo disegno a lato).
Kangourou della Matematica 2006
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 8 maggio 2006
LIVELLO BENJAMIN
B1. (5 punti ) Le lettere della parola “MELA” sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad
ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola “MELA” rappresenti il più piccolo
numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. Mantenendo questa scelta delle cifre, che numero
è rappresentato dalla parola “MALE”?
Soluzione: 1320.
Infatti il più piccolo numero di 4 cifre con cifre tutte distinte fra loro (come le lettere di
MELA) è 1023. Se MELA = 1023, allora MALE = 1320.
B2. (7 punti ) Qual è la somma dei primi 40 numeri della sequenza: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, …? (La regola con cui è costruita la sequenza è la seguente: ogni numero intero
positivo, a partire da 1, viene ripetuto consecutivamente tante volte quale è il suo valore.)
Soluzione: 240.
La somma dei primi 8 numeri interi 1+2+…+8 vale 36; visto che ogni numero è rappresentato
nella sequenza tante volte quanto esso vale, si deduce che gli ultimi quattro elementi della
sequenza sono quattro 9.
1+ 2+2 + 3+3+3 + 4+4+4+4 + 5+5+5+5+5 + 6+6+6+6+6+6 + 7+7+7+7+7+7+7 +
+ 8+8+8+8+8+8+8+8 + 9+9+9+9 = 1+4+9+16+25+36+49+64+36 =
= 30+25+100+85 = 240
N
A
B3. (11 punti ) Osserva la figura: ABCD è un quadrato, M è il punto
medio di AB ed N è il punto medio di DA. I segmenti CM e BN si
incrociano in Y. Quanto misura l’angolo NYC ? Perché?
M
D
Y
Soluzione: 90 gradi.
B
C
I triangoli rettangoli NAB e MBC sono congruenti (avendo cateti a due a
due di ugual misura): in particolare l’angolo BNA misura come l’angolo CMB e l’angolo ABN
come l’angolo BCM. Il triangolo BYM è allora simile ai triangoli NAB e MBC : quindi l’angolo
BYM è retto e così pure l’angolo NYC.
B4. (14 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0),
tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4?
Soluzione: 18.
Le terne di cifre in questione sono (1,5,9) (0,4,8) (0,4,9) (0,5,9) e le disposizioni ammissibili
sono 6 per la prima terna e 4 per ciascuna delle altre: si ottengono così 18 numeri di tre cifre.
Possiamo elencarli:
159, 195, 519, 591, 915, 951; 408, 480, 804, 840; 409, 490, 904, 940; 509, 590, 905, 950.
B5. (18 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi
(almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare
l’interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne
siano sempre almeno due di colori diversi, ma non conosci il numero degli
spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo
numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal
numero degli spicchi?
(Ti suggeriamo di calcolare preliminarmente il minimo numero di colori sufficiente in ciascuno dei
seguenti casi: gli spicchi sono 4, gli spicchi sono 5 e così via fino a 8.)
Soluzione: 5.
Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori,
• se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come …1231231…
• se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, …) bastano 4 colori, ordinati
come … 123 123 1234,
• se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, …) bastano
4 colori, ordinati come … 123 123 1234 1234.
Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8.
B6. (22 punti ) Nell’operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una
cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse
rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0.
Quanto vale il risultato?
ORE +
ORE +
ORE =
VIVE
Soluzione: 2625.
La lettera E deve rappresentare 5 (poiché nessuna altra cifra, a parte lo 0 che non è
ammesso, moltiplicata per 3 dà un numero con cifra delle unità che coincide con la cifra
iniziale); la lettera V deve rappresentare 1 oppure 2 (sommando tre numeri minori di 1000 si h
comunque un numero più piccolo di 3000).
Tenuto conto del riporto 1 che si ha dalla somma delle cifre delle unità, il numero R+R+R+1
deve avere V come cifra delle unità: se V fosse 1, 3 volte R dovrebbe valere 10 o 20:
impossibile. Dunque V=2 e R+R+R=21, cioè R=7.
Inoltre si ha riporto 2 e quindi 3 volte O sommato a 2 deve dare un numero più grande di 20:
quindi O non può valere 6 (la somma varrebbe esattamente 20), non può valere 7 (che è il
valore già impegnato per R), non può valere 9 poiché in tal caso anche I dovrebbe valere 9.
Invece, se O vale 8, si ha che I vale 6 e tutte le richieste sono rispettate:
875 +
875 +
875 =
2625
Il ragionamento illustrato dimostra che il problema ammette la sola soluzione trovata.
Kangourou della Matematica 2006
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 8 maggio 2006
LIVELLO CADET
C1. (5 punti ) Il raggio dei due cerchi piccoli è un sesto del raggio del
cerchio grande. Il raggio del cerchio di media misura è il doppio di quello
dei cerchi piccoli. Quale frazione del cerchio grande è colorata in grigio?
Soluzione: 5/6.
Fatto pari a 1 il raggio dei cerchi piccoli, il raggio di quello medio è 2 e il raggio di quello
grande è 6. Allora l’area del cerchio grande (in unità quadrate) è 62 π, quella della regione
grigia è (62 - 22 - 2)π e quindi il rapporto vale 5/6.
C2. (7 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e
il cui punto medio è denotato con M, è appoggiata in piedi contro un muro e
aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di
M
marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre
aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la
posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è
simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive M sulla parete? Motiva la tua affermazione.
Soluzione: un quarto di circonferenza con centro nel vertice dell’angolo tra il muro e il
pavimento e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra.
In ciascun istante in cui la sbarra scivola, si denoti con ABC il triangolo, rettangolo in A,
evidenziato in figura. Se M è il punto medio dell’ipotenusa BC, si ha AM = MB = MC (infatti BC
è una delle due diagonali del rettangolo che ha in comune tre vertici con il triangolo ABC):
quindi la distanza di M da A è costante durante il movimento, per cui la traiettoria descritta
da M è un quarto della circonferenza con centro in A e raggio pari a metà della lunghezza
della sbarra.
C3. (11 punti ) In figura sono rappresentati un rettangolo di base a e
altezza b, ed un quadrato avente un vertice sulla diagonale del rettangolo e il
vertice opposto in comune con il rettangolo. Che cosa si può dire circa i
numeri che forniscono (rispetto alle opportune unità di misura) l’area e il
perimetro del rettangolo se il quadrato ha lato 2?
Soluzione: i due numeri sono uguali.
Tutti i triangoli rettangoli che compaiono in figura sono simili. In particolare a :b = (a – 2) : 2,
quindi a b = 2(a +b).
C4. (14 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi
(almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare
l’interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne
siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli
spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più
piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente
dal numero degli spicchi?
Soluzione: 5.
Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori,
• se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come …1231231…
• se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, …) bastano 4 colori, ordinati
come … 123 123 1234,
• se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, …) bastano
4 colori, ordinati come … 123 123 1234 1234.
Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8.
C5. (18 punti ) Nell’operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una
cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse
rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0.
Quanto vale il risultato?
ORE +
ORE +
ORE =
VIVE
Soluzione: 2625.
La lettera E deve rappresentare 5 (poiché nessuna altra cifra, a parte lo 0 che non è
ammesso, moltiplicata per 3 dà un numero con cifra delle unità che coincide con la cifra
iniziale); la lettera V deve rappresentare 1 oppure 2 (sommando tre numeri minori di 1000 si
ha comunque un numero più piccolo di 3000).
Tenuto conto del riporto che si ha dalla somma delle cifre delle unità, risulta R+R+R+1 = 10k+V
con k = 1 oppure k = 2: se fosse V=1, si avrebbe 3R = 10k, il che è impossibile per quanto
sappiamo su k. Dunque V = 2 e 3R = 21, cioè R = 7.
Tenuto conto del riporto, si ha O+O+O+2 > 20: quindi O non può valere 6 (la somma varrebbe
esattamente 20), non può valere 7 (che è il valore già impegnato per R), non può valere 9
poiché in tal caso anche I dovrebbe valere 9.
Invece, se O vale 8, si ha che I vale 6 e tutte le richieste sono rispettate:
875 +
875 +
875 =
2625
Il ragionamento illustrato dimostra che il problema ammette la sola soluzione trovata.
C6. (22 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo da
formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna
678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di
divisori (diversi fra loro)?
Soluzione: due.
Le terne, elencate in modo che in ciascuna le cifre appaiano in ordine crescente, sono 012 123
234 345 456 567 678 789. Vogliamo appurare quanti, tra i numeri che si possono ottenere
permutando le cifre di ognuna di queste terne, sono dei quadrati perfetti: infatti tutti i
divisori di un numero, che non ne siano radici quadrate, si presentano a coppie di numeri
distinti. Conviene quindi elencare i quadrati da 11 2 = 121 a 312 = 961: 144, 169, 196, 225, 256,
289, 324 = 182 (ecco il primo!), 361, 400, 441, 484, 529, 576 = 242 (ecco il secondo!), 625,
676, 729, 784, 841, 900.
Kangourou della Matematica 2006
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 8 maggio 2006
LIVELLO JUNIOR
J1. (5 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e il
cui punto medio è denotato con M, è appoggiata in piedi contro un muro e
aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di
M
marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre
aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la
posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è
simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive M sulla parete? Motiva la tua affermazione.
Soluzione: un quarto di circonferenza con centro nel vertice dell’angolo tra il muro e il
pavimento e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra.
In ciascun istante in cui la sbarra scivola, si denoti con ABC il triangolo, rettangolo in A,
evidenziato in figura. Se M è il punto medio dell’ipotenusa BC, si ha AM = MB = MC (infatti BC
è una delle due diagonali del rettangolo che ha in comune tre vertici con il triangolo ABC):
quindi la distanza di M da A è costante durante il movimento, per cui la traiettoria descritta
da M è un quarto della circonferenza con centro in A e raggio pari a metà della lunghezza
della sbarra.
J2. (7 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di
una circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non
ordinata) di punti adiacenti consideriamo il valore assoluto della differenza dei due numeri
corrispondenti; sommiamo quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo
questa somma ?
Soluzione: 2n - 2.
Il punto 1 e il punto n ripartiscono la circonferenza in due archi: per ciascuno di essi la somma
dei valori assoluti che ci interessano non può essere inferiore a n - 1, quindi la somma totale non
può essere minore di 2n - 2. D’altra parte, questo valore viene realizzato quando la numerazione
viene effettuata rispettando il verso orario o antiorario dei punti. Ci sono però casi in cui la
somma risulta maggiore: ad es. se n = 4 e si assegnano ai punti i numeri 1, 3, 2, 4 in verso
orario, le somme sono del tipo: (3 - 1) + (3 - 2) + (4 - 2) + (4 - 1) = 8 > 6 = 2x4 - 2.
J3. (11 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi
(almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare
l’interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne
siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli
spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più
piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente
dal numero degli spicchi?
Soluzione: 5.
Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori,
• se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come …1231231…
• se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, …) bastano 4 colori, ordinati
come … 123 123 1234,
• se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, …) bastano
4 colori, ordinati come … 123 123 1234 1234.
Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8.
J4. (14 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali
che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il
prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra
loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa
trova un contro-esempio.
Soluzione: è vero.
Nelle nostre ipotesi p + q è pari: se non potesse essere scritto come prodotto di almeno tre
numeri interi positivi maggiori di 1, sarebbe della forma 2r con r numero primo. Ma allora r
sarebbe un numero primo strettamente compreso tra p e q (essendone la media aritmetica).
J5. (18 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo
da formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna
678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di
divisori (diversi fra loro)?
Soluzione: due.
Le terne, elencate in modo che in ciascuna le cifre appaiano in ordine crescente, sono 012
123 234 345 456 567 678 789. Vogliamo appurare quanti, tra i numeri che si possono
ottenere permutando le cifre di ognuna di queste terne, sono dei quadrati perfetti: infatti
tutti i divisori di un numero, che non ne siano radici quadrate, si presentano a coppie di numeri
distinti. Conviene quindi elencare i quadrati da 11 2 = 121 a 312 = 961: 144, 169, 196, 225, 256,
289, 324 = 182 (ecco il primo!), 361, 400, 441, 484, 529, 576 = 242 (ecco il secondo!), 625,
676, 729, 784, 841, 900.
J6. (22 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c’è almeno un punto
rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito.
a) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un
punto blu.
b) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due
punti blu.
È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? Motiva le tue risposte.
Soluzione: la a) non è possibile.
Infatti sia B un punto blu: sulla circonferenza di centro B e raggio 1 centimetro dovrebbe
trovare posto un altro punto blu, diciamo B’. Allora sulla circonferenza di raggio 1 centimetro,
centrata nel terzo vertice di un triangolo equilatero che ha per primi due vertici B e B’, ci
sarebbero almeno due punti blu: B e B’.
La b) invece è realizzabile.
Si colorino di blu una retta fissata e tutte le rette ad essa parallele che distino 2 centimetri
dalla più vicina retta blu; si colori di rosso il resto del piano. Una circonferenza di raggio 1
centimetro o ha centro equidistante da due di queste rette e quindi risulta ad esse tangente
(e i punti di tangenza sono i due punti blu), oppure interseca solo una di queste rette,
esattamente in due punti (che sono ovviamente i suoi unici punti blu).
Kangourou della Matematica 2006
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 8 maggio 2006
LIVELLO STUDENT
S1. (5 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di una
circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non
ordinata) di punti adiacenti si consideri il valore assoluto della differenza dei due numeri
corrispondenti; si sommino quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo
questa somma ?
Soluzione: 2n - 2.
Il punto 1 e il punto n ripartiscono la circonferenza in due archi: per ciascuno di essi la somma
dei valori assoluti che ci interessano non può essere inferiore a n - 1, quindi la somma totale non
può essere minore di 2n - 2. D’altra parte, questo valore viene realizzato quando la numerazione
viene effettuata rispettando il verso orario o antiorario dei punti. Ci sono però casi in cui la
somma risulta maggiore: ad es. se n = 4 e si assegnano ai punti i numeri 1, 3, 2, 4 in verso
orario, le somme sono del tipo: (3 - 1) + (3 - 2) + (4 - 2) + (4 - 1) = 8 > 6 = 2x4 - 2.
S2. (7 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che
non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il prodotto
di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In
caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un
contro-esempio.
Soluzione: è vero.
Nelle nostre ipotesi p + q è pari: se non potesse essere scritto come prodotto di almeno tre
numeri interi positivi maggiori di 1, sarebbe della forma 2r con r numero primo. Ma allora r
sarebbe un numero primo strettamente compreso tra p e q (essendone la media aritmetica).
S3. (11 punti ) Considera, in un poligono regolare di 9 lati, la lunghezza delle diagonali più
lunghe e quella delle diagonali più corte. Se il lato del poligono misura 1 centimetro, quanto
vale la differenza di queste due lunghezze?
A
Soluzione: 1 centimetro.
B
In base alla formula sugli angoli interni di un poligono regolare, l’angolo
ABC misura 180×7/9 = 140 gradi (e quindi CAB ne misura 20), mentre
l’angolo EAB, che per motivi di simmetria è uguale all’angolo DEA, misura C
(180×3-140×3)/2 = 60 gradi. Sia ora K il punto di AE tale che AK = AC :
K
nel triangolo isoscele KAC, l’angolo ACK misura (180 - 40)/2 = 70 gradi.
D
Dunque CK è perpendicolare a BC e quindi anche a DA, che gli è parallelo.
Allora AD è asse di CK, per cui il triangolo CDK è isoscele; ne segue che i
E
due angoli alla base misurano entrambi 50 gradi, quello al vertice 80
gradi e quindi KDE misura 60 gradi come DEK : il triangolo DEK è dunque equilatero e la
lunghezza di EK è 1 centimetro.
S4. (14 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c’è almeno un punto
rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito.
a. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un
punto blu.
b. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due
punti blu.
È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? Motiva le tue risposte.
Soluzione: la a) non è possibile.
Infatti sia B un punto blu: sulla circonferenza di centro B e raggio 1 centimetro dovrebbe
trovare posto un altro punto blu, diciamo B’. Allora sulla circonferenza di raggio 1 centimetro,
centrata nel terzo vertice di un triangolo equilatero che ha per primi due vertici B e B’, ci
sarebbero almeno due punti blu: B e B’.
La b) invece è realizzabile.
Si colorino di blu una retta fissata e tutte le rette ad essa parallele che distino 2 centimetri
dalla più vicina retta blu; si colori di rosso il resto del piano. Una circonferenza di raggio 1
centimetro o ha centro equidistante da due di queste rette e quindi risulta ad esse tangente
(e i punti di tangenza sono i due punti blu), oppure interseca solo una di queste rette,
esattamente in due punti (che sono ovviamente i suoi unici punti blu).
S5. (18 punti ) Quattro numeri interi a, b, c, d, con a non nullo, sono scelti in modo che
l’insieme E dei numeri interi positivi n tali che an + b divide cn + d non sia finito. L’insieme E
può essere diverso dall’insieme N dei numeri interi positivi? Motiva la risposta.
Soluzione: no.
Se an +b divide cn +d allora divide anche a(cn +d) e c(an +b) e quindi la loro differenza ad-bc.
Se an +b divide ad - bc per infiniti n, deve risultare ad - bc = 0: deve quindi esistere un intero
positivo k tale che b = ak e d = ck. Sostituendo tali espressioni nel rapporto tra cn +d e an +b,
si trova che il rapporto vale costantemente c /a al variare comunque di n : quindi, se anche
per un solo n tale rapporto è un intero, lo è per tutti gli n.
S6. (22 punti ) Un triangolo equilatero di lato n (n intero
maggiore di 1) è suddiviso in n2 “piccoli” triangoli equilateri
utilizzando segmenti paralleli ai lati, come suggerito dalla
figura. A tutti i punti della rete (vertici dei triangoli) che viene
così realizzata è inizialmente associato il numero 0, tranne ai
quattro punti marcati con , cui è associato il numero 1.
Vogliamo fare in modo che a tutti i suddetti punti, compresi
questi ultimi quattro, finisca per essere associato il numero 0
dopo aver eseguito un numero finito di mosse, ciascuna
esclusivamente del tipo seguente: sommare 1 o -1 simultaneamente a ciascuno dei numeri nei
quattro vertici di un qualunque rombo che sia formato dall’unione di due degli n2 triangoli
equilateri “piccoli”. Per quali valori di n è possibile realizzare il progetto (e con quale strategia) ?
C
Soluzione: solo per n dispari.
Se n è dispari, in due mosse è possibile spostare 1 da A in A’ (si
veda la figura); similmente si sposta 1 da B in B’. Dunque in 2(n-3)
mosse questi “1” passano nei vertici in basso del triangolo
evidenziato in grigio e in 4 ulteriori mosse tutti gli “1” vengono
concentrati nel rombo superiore. Possono quindi venire azzerati
con un’ultima mossa.
B’
A’
A
Se invece n è pari il progetto non può essere realizzato. Infatti
A
coloriamo i punti della rete con i quattro colori a, b, c, d in modo
che, per ogni rombo, i suoi vertici abbiano colori a due a due
diversi, per esempio nel modo seguente: alterniamo i colori a e b, partendo da a, sul lato
orizzontale del triangolo “grande”, i colori c e d sul segmento parallelo adiacente, di nuovo i colori
a e b sul segmento parallelo al livello superiore e così via. Se n è pari, tutti i tre vertici A, B, C del
triangolo “grande” di partenza vengono colorati con a, mentre il rimanente punto, cui è associato il
numero 1, viene colorato con b. Complessivamente, la somma dei numeri associati ai punti colorati
con a vale 3, la somma dei numeri associati ai punti colorati con b vale 1, la somma dei numeri
associati ai punti colorati con c o con d vale 0. Poiché ogni mossa altera ognuna di queste somme
di 1, è chiaro che le prime due somme non potranno mai essere rese uguali fra loro.
B
