6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
(ultima modifica 27/10/2016)
Campi armonici nel tempo
Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un
campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti  e J .
In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo
hanno una larga applicazione, infatti:
• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate
in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e
• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse
come integrali di Fourier o trasformate di Fourier.
M. Usai
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1
Poichè le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari,
le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una
data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di E e H con la
stessa frequenza in regime permanente.
Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con
andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi
elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli
generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni
sorgenti.
Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti , determinando in tal modo il campo
totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.
M. Usai
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2
I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge
periodica sinusoidale.
Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente
espresse con la notazione fasoriale.
I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano
nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con
fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma
non dal tempo. Per esempio un campo E armonico nel tempo
riferito a una cosinusoide, può essere espresso come:
E ( x, y, z , t )  E ( x, y, z )e jt
ossia come un fasore definito in direzione, modulo e fase.
M. Usai
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3
Infatti una funzione sinusoidale E(t)=EM sin(t+)
o cosinusoidale E(t)=EMcos(t+), è completamente definita da
tre parametri (ampiezza EM, pulsazione , fase ).
Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi
trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme
di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.
Rappresentazione cosinusoidale
u(t)=U M cos( t+ )
Rappresentazione complessa
U=U(j t)=U M e j(t+ )
M. Usai
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4
Rappresentazione cosinusoidale
Rappresentazione complessa
E (t )  EM cos(t   )
j( t  )
E ( jt )  E M e
e j  e j
ricordando che cos  
si ha:
2
e j   t    e  j   t    E M e
E (t )  EM cos(t   )  EM

2
j
e 
j t 
  EM e  j  e  j t 
2
*

Ee
j  t 
E e
2
 j t 


 Re  Ee jt 


*
con E  EM e j e E  EM e  j
__________________________________________________________
__
Infatti se
I  I R  jI I si ha:
M. Usai
__
 __ __*


I

I

I

jI

I

jI

2
I

2
Re
I
R
I
R
I
R

 
 __ __
__
 I  I *  I R  jI I  I R  jI I  2 jI I  2 j Im  I 
 

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5
e j   t    e  j   t    E M e
E (t )  EM cos(t   )  EM

2
j
e 
j t 
  EM e  j  e  j t 
2
*

j  t 
Ee
E e
2
 j t 


 Re  Ee jt 


*
con E  EM e j e E  EM e  j
__
E‘(t)=EMsen(t+)
E e jt
__
E jt
e
2
(t+)
__
E  j t
e
2
E(t)=EMcos(t+)
M. Usai
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6
I fasori sono grandezze complesse per cui:
se il campo E(x,y,z,t) é rappresentato da un fasore E(x,y,z),
allora

E(x,y,z,t)
t
e
 E(x,y,z,t)dt
l’operatore derivata e l’operatore integrale di un fasore, si
potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente
il fasore per j  :
j E(x,y,z)
E(x,y,z) / j
E in generale
derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere
rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore
E(x,y,z) per potenze superiori di j.
M. Usai
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7
Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in
termini di fasori delle grandezze di campo E , H  e fasori delle
grandezze sorgenti  , J  in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo:
δB 
δ t 

D 
H  J 
t 
E  
  E   j B   jμ H

  H  J  j D  J  jε E
 D     E   /
B  0  H  0
essendo D  ε E
Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V
e il potenziale vettore A diventano rispettivamente:
ρ
 2
2
essendo k il numero d'onda
 V  k V   ε
 2
ω
 A  k 2 A  μJ
k  ω με 

u
esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee.
M. Usai
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8
Infatti le equazioni delle onde armoniche nel tempo o equazioni di
Helmholtz non omogenee si ottengono dalle espressioni generali:
 2
2 A
 2 A  με  jω 2 A  μ J
 A  με 2  μ J


t
  2

ρ
2
2



V
ρ

V

με
jω
V


2
 V  με




ε
2

ε

t
con
 jω  ω
2
2

ρ
 2
2
 V  k V   ε
 2
 A  k 2 A  μJ

M. Usai
ω2
με  ω  2  k 2
u
2
2
essendo k il numero d'onda
k  ω με 
ω
u
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9
CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
La condizione di Lorentz per i potenziali dei campi armonici nel tempo diventa:
V
  A  j V  0 .
  A  με
0 
t
Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le
grandezze armoniche nel tempo si determinano dalle espressioni più generali del
potenziale scalare ritardato V e vettoriale ritardato A dove;
la variabile temporale t è stata modificata nella variabile temporale t-R/u per
considerare il ritardo temporale R/u, legato a R, ossia alla posizione del punto P:
V R,t  
1
4πε

V'
ρt  R/u 
dv'
R
e
AR,t  
μ
4π

J t  R/u 
dv'
R
V'
essendo la densità di carica ρ e la densità di corrente J grandezze sinusoidal i :

ωR 
  R 



ρ
t

R/u

ρ
sin
ω
t


ρ
sin
ωt

 ρ sin ωt  kR 


 


u 
u 

ω


k

 ωku

u
Jt  R/u   J sin ω  t  R   J sin  ωt  ωR   J sinωt  kR 
 


u 
u 


M. Usai
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10
CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
Riassumendo :
le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le
grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni:
1
V R,t  
4πε

ρt  R/u 
dv'
R
e
μ
AR,t  
4π
V'

J t  R/u 
dv'
R
V'
ρt  R/u   ρ sin ωt  kR 
ω
k  ωku

u
Jt  R/u   J sinωt  kR 
1
V  R, t  
4πε
M. Usai

V'
ρe  jkR
dv'
R
μ
A R,t  
4π

V'
J e  jkR
dv'
R
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11
Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale
ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e
J
1
V  R, t  
4πε

V'
ρe  jkR
dv'
R
μ
A R,t  
4π

V'
J e  jkR
dv'
R
possono essere ulteriormente semplificate se R  . Infatti essendo lo
sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a:
e  jkR
k 2R2
k 3 R3 k 4 R 4
 1  jkR 
j

 ...
2
3
4
u
dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda  
f
 2f 2
R

del mezzo: k  
quindi se kR  2  1,
u
u


 jkR
o se R   , l’esponenziale e
può essere approssimato a 1.
M. Usai
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12
Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza
d’onda , le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi
statiche:
1
V  R, t  
4πε

V'
ρ
dv'
R
μ
A R,t  
4π

V'
J
dv'
R
Ciò verifica la generalità e la validità del metodo.
M. Usai
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13
La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e
magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la
seguente:
1) determinazione di V(R,t) e A R, t  in funzione di ρ e J dalle
equazioni:
V  R, t  
1
4πε

ρe
 jkR
R
V'
dv'
μ
A R,t  
4π

V'
J e  jkR
dv'
R
2) calcolo delle grandezze di campo fasoriali:
ER   V  jωA e BR     A
3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei con
riferimento al coseno) :

E R, t   e E R e jt
e

BR, t   e BR e jt

Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle
integrazioni al punto 1).
M. Usai
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14
Campo armonico nello spazio privo di sorgenti
In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti:
ρ  0, J  0 e σ  0;
Le equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:
  E   jω H

  H  J  jω E
D  ρ

B  0

M. Usai

  E   jω H
  H  jω E
  ε E  ρ se ρ  0    E  0
H
  0
 H  0

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15
  E   jω H
E  0
H  0
  H  jω E
Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono
essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle
derivate parziali espresse in funzione della singola E o H
Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo E si ottiene,
essendo:


2
2
    A     A   A se   A  0      A   A

2
2
   ( j H )   E 
    E   E



2

2
 j   H   E   j  j E   E
2
2
j   E   E   E   2  E  0
2
2
M. Usai
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16
Analogamente per il campo H
:
  E   jω H
E  0
  H  jω E
H  0


2
2
 A     A   A se   A  0   A   A

2
    H   H



2
  ( j E )   H 

2

2
j   E   H  j  j H   H
2
 j   H   H
2
M. Usai
2

2
 H   2  H  0
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17
Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono
le equazioni di Helmholtz per i campi armonici:
 2 E   2  E  0



 2
2

H


 H  0

 2 E  k 2 E  0


 2
2

H

k
H 0

2
ω
2
2
k


ω

 
essendo:
u
M. Usai
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18
Si noti che se E , H  sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in
un mezzo semplice caratterizzato da  e , allora anche E' , H' 
lo sono se:
E
(***)
E'  η H e H'  η
dove  

é l’impedenza intrinseca del mezzo.

Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per
un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le
trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).
Questa é una affermazione del principio di dualità.
Questo principio é una conseguenza della simmetria delle
equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.
M. Usai
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19
Campo armonico in un mezzo conduttore
Se in un mezzo la densità di corrente é J e il mezzo è dissipativo, la
densità di corrente è legata al campo elettrico E dalla relazione.
J   E dove σ è la conducibilità del mezzo. Quindi la prima
equazione di Maxwell deve essere considerata nella forma completa, ciò
comporta che la permettività diventi complessa, infatti :
  H  J  j D con D   E
σ

  H  J  jω E   σ  jω  E  jω  ε   E  jωε c E
jω 

  H  jωε c E
σ
"  F
con ε c  ε -j
  ' j  
ω
m
Le altre equazioni di Maxwell rimangono invariate.
M. Usai
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20
Campo armonico in un mezzo conduttore
In realtà occorrerebbe tener conto anche della componente
sfasata della magnetizzazione sotto l’influenza di un campo
magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze:
   ' j ' '
Nei materiali ferromagnetici la parte reale  ' è alcuni ordini di
grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria  ' ' e
quindi l’effetto della parte immaginaria è praticamente
trascurabile, →  ' '  0
.
M. Usai
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21
Quindi nelle equazioni di Maxwell, il valore reale di k in un mezzo
dielettrico con perdite, è un numero complesso:
k c  ω μ εc
ε"
Il rapporto
é chiamata tangente di perdità perché é una
ε'
ε" σ
misura della perdita di potenza nel mezzo: tan δc   .
c può essere chiamato angolo di perdita.
ε'
ωε
Si può dimostrare che la tangente di perdita equivale a:
tan c 
l’ energia dissipata/ per ciclo della grandezza di campo
l’ energia elettrostatica accumulata/ per ciclo della grandezza di campo
M. Usai
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22
σ
Sulla base della espressione di ε c  ε -j
e per la I° equazione di
ω
Maxwell:
D
H  J 
per i campi armonici :
t

 

  H  J  j D  J  jε E   E  jε E  j   j E  ε E   j  c E
 

si può affermare che per i campi armonici:
• un mezzo è detto buon conduttore se  >>  e
• un mezzo è detto buon isolatore se  >>  .
Quindi, essendo =2f , un materiale può essere
• un buon conduttore alle basse frequenze, ma
• può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle alte frequenze.
M. Usai
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23
Inoltre essendo:
D  εc E
J  σE
E
In generale un campo E induce su un campione di materiale
caratterizzato da un certo valore di conducibilità σ e
permettività εc:
• sia un vettore spostamento D a cui corrisponde una energia
elettrostatica accumulata
• sia una densità di corrente J che comporta una dissipazione
di potenza per effetto joule
M. Usai
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24
H  J 
D
t

 

  H  J  j D  J  jε E   E  jε E  j   j E  ε E   j  c E
 

Quindi essendo: D  ε c E
J  σE
• se ωε >> σ un campo elettrico E induce nel materiale un vettore
spostamento D prevalente rispetto alla densità di corrente J, per cui
prevale il comportamento della materia come isolante.
• se ωε << σ un campo elettrico E induce nel materiale un vettore
spostamento D prevalente rispetto alla densità di corrente J, per cui
prevale il comportamento della materia come conduttore.
M. Usai
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25
Per esempio considerando che la tangente di perdita per la terra umida che
è caratterizzata da una costante dielettrica εr e una conduttività σ che
sono circa uguali a 10 e 10-2 ( S/m) rispettivamente.
La tangente di perdita della terra umida sarà:
ε'' σ
σ
10 - 2
tan δc  


ε' ωε ωε0 ε r 2π f  8.856 10 12  10

1.8 10 4 peri segnali con f  1kHz  è un buon conduttore
tan δc  
3
1.8 10 per i segnali con f  1GHz  diventa un isolatore
M. Usai
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26
Spettro elettromagnetico
Si possono evidenziare due punti fondamentali:
• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono
valide per onde di frequenza qualsiasi .
Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro
elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da
frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1018 Hz).
• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un
qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità,
che dipende solo dalla natura del mezzo: u  1 / 
• In un mezzo con perdite, u dipende dalla frequenza e anche dalla
conducibilità del mezzo σ ed è un operatore complesso:
σ

essendo μ   μ'  j''  e ε   ε'  j   u 
ω

M. Usai
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1

27
 Rays
 X rays
Ultraviolet
Visible light
Infrared
mm wave
EHF
Extremely high frequency
SHF
Super high frequency
UHF
Ultra high frequency
VHF
Very high frequency
HF
High frequency
MF
Medium frequency
LF
Low frequency
VLF
Very low frequency
ULF
Ultra low frequency
SLF
Super Low frequency
ELF
Extremely low frequency
M. Usai
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28
 rays
X rays
Ultraviolet
Visible light
Infrared
Mm wave
EHF Extremely high frequency
SHF Super high frequency
UHF Ultra high frequency
VHF Very high frequency
HF High frequency
MF Medium frequency
LF Low frequency
VLF Very low frequency
ULF Ultra low frequency
SLF Super Low frequency
ELF Extremely low frequency
VL
M. Usai
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29
M. Usai
6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
30