Liceo LeoMajor Pordenone
Dimostrazioni
Le Dimostrazioni Matematiche
dobbiamo riempire le righe tra la prima e l’ultima:
utilizziamo la definizione di numero dispari per x e
Una proposizione matematica é una qualunque frase per x2 :
(che, ovviamente, riguarda la matematica) di cui sia
possibile dire se vera o falsa. Ad esempio:
Proposizione:
Tutti i triangoli sonon rettangoli
É una proposizione , ovviamente falsa
se x é dispari allora x2 é dispari
I numeri interi possono essere pari o dispari
É una proposizione vera.
Dimostrazione: Suppongo x dispari
Aggiungere tre ad entrambi i membri dell’equazione
x = 2a + 1, a ∈ Z
Non é una proposizione perché non é possibile dire
se sia vera o falsa.
Tra tutte le proposizioni, quelle che sono vere e si
può verificare che sono vere sono dette teoremi.
quindi x2 = 2b + 1, b ∈ Z
Dimostrare un teorema significa provare che esso é
vero mediante un ragionamento logico.
quindi x2 é dispari
La maggior parte dei teoremi che dimostreremo sono
nella forma P =⇒ Q.
Nota he abbiamo usato due numeri a e b inPassiamo in rassegna le principali tecniche di diteri,perché saranno generalmente diversi. Dobbimostrazione a nostra disposizione.
amo ora passare dalla prima all’ultima proposizione:
Dimostrazioni Dirette
Proposizione:
La prima tecnica che analizzeremo é quella della
dimostrazione diretta:
Dobbiamo dimostrare la proposizione: se P allora
Q .
Lo schema risolutivo della dimostrazione diretta é
molto semplice:
se x é dispari allora x2 é dispari
Dimostrazione: Suppongo x dispari
x = 2a + 1, a ∈ Z
x2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1
pongo 4a2 + 4a = 2b, con b ∈ Z
Proposizione: se P allora Q
quindi x2 = 2b + 1, b ∈ Z
Dimostrazione: suppongo P
..
.
quindi x2 é dispari
quindi Q
Alcune definizioni
Diamo un esempio di tale tipologia di dimostrazione:
Prima di proseguire con altri esercizi ecco alcune
definizioni che potranno esservi utili nelle prossime
dimostrazioni:
Def. 1: un intero x é pari se x=2a per qualche
a ∈ Z.
Def. 2: un intero x é dispari se x=2a+1 per qualche
a∈Z
Def. 3: Dati due interi, a e b, a si dice divisore di
b, oppure b multiplo di a, se: b = k · a, per qualche
k ∈ Z. Il simbolo utilizzato per esprimere questa
relazione tra i due numeri interi a e b si indica con
a|b (ad es. 5|20)
Proposizione:
se x é dispari allora x2 é dispari
Dimostrazione: Suppongo x dispari
..
.
quindi x2 é dispari
1
Dimostrazioni
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Dimostrazioni
per contrapposizione
Def. 4: Dati due interi, a e b, a si dice congruente b
modulo n (oppure congruo b modulo n), con n ∈ N e
si scrive a ≡ b (mod n) se n|(a−b), ovvero se il resto
della divisione per n di a e b é identico. Ad es. 5
e 9 sono congruenti modulo 2, ossia 5 ≡ 9 (mod 2),
infatti 2|(5 − 9), ed anche il resto della divisione per
2 é per entrambi 1.
La dimostrazione per contrapposizione considera
che l’implicazione P =⇒ Q é vera anche quando é
falsa la Q e da ciò si ricava falsa anche la P. Notate
che il simbolo che rappresenta la negazione di P é
¬P . Quindi si procederà come segue:
Esercizi
Ecco alcuni esercizi da risolvere mediante la tecnica
della dimostrazione diretta:
1. se k = 4a allora k = 1 + (−1)n (2n − 1)
2. se a|b allora a2 |b2
Proposizione: se P allora Q, cioè
3. se 7|4a allora 7|a
Soluzione: 7 é divisore di 4a, quindi 4a = b · 7,
con b intero. Quindi:
se ¬Q allora ¬P
Dimostrazione: suppongo ¬Q
..
.
2 · 2a = b · 7
bdeve essere pari, dovendo il suo prodotto con
7 essere uguale ad un numero pari. Quindi:
2 · 2a = 2 · c · 7
ossia
quindi ¬P
2a = c · 7
Anche in questo caso c deve essere pari, e
quindi:
2 · 2a = 2 · d · 7
con
Vediamo un’applicazione della tecnica:
Proposizione Supponi x ∈ Z. Se x2 − 6x+ 5 é pari,
allora x é dispari.
Procediamo con la prova per contrapposizione,
prima partendo dalla tesi negata, ossia che x sia
pari, e derivando da ciò che la negazione della tesi,
ossia x2 − 6x + 5 é dispari:
d∈Z
semplificando ulteriormente si ha:
a=d·7
e quindi
7|a
.
4. Il numero 100 · · · 01, con 3n − 1 zeri, n intero
positivo, non é primo
Proposizione: se x2 − 6x + 5 é pari,
Alcune dimostrazioni richiedono l’analisi di più casi,
come nell’esempio sotto riportato:
siano x, y ∈ R. Se x2 + 5y = y 2 + 5x, allora x = y
oppure x + y = 5.
Infatti, riscrivendo l’ipotesi: x2 − y 2 = 5(x − y),
quindi (x − y)(x + y) = 5(x − y), osservo che, se:
• x = y,
allora x é dispari.
Dimostrazione: Suppondo x pari
..
.
quindi x2 − 6x + 5 é dispari
0 = 0, verificato e quindi corretto
• x 6= y allora posso dividere per (x − y) e risulta:
x+y =5
Dobbiamo adesso completare i passaggi logici che
portano dalla prima proposizione all’ultima:
5. Se n ∈ Z allora n2 + 3n + 4 é pari.
2
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Dimostrazioni
assumendo P vero e Q falso per concludere, ancora
una volta, C ∧ ¬C, cioé un assurdo.
Dimostrazione: Suppondo x pari
x = 2a, per a ∈ Z
Proposizione: se P =⇒ Q
Quindi x2 − 6x + 5 = 4a2 − 12a + 5 =
2
Dimostrazione: suppongo P e ¬Q
..
.
2
= 4a − 12 + 4 + 1 = 2(2a − 6a + 2) + 1
Quindi x2 − 6x + 5 = 2b + 1,
quindi C ∧ ¬C
con b, intero, uguale a 2a2 − 6a + 2
diamo un esempio per entrambe le tipologie:
Esempio 1: Ci sono infiniti numero primi.
Dimostrazione: Supponiamo che i numeri primi
siano finiti. Allora essi sono: p1 , p2 , p3 , . . . , pn .
Esercizi
Adesso consideriamo il numero a = (p1 p2 p3 · · · pn )+
1. Supponi x, y ∈ R. Se y 3 +yx2 ≤ x3 +xy 2 , allora 1 dato dal prodotto di tutti i numeri primi piú 1.
y≤x
Ora, a, non essendo primo per l’ipotesi da noi scelta,
ha almeno un divisore tra i numeri primi, chiami2. Supponi x, y ∈ Z. Se 5 ∤ xy allora 5 ∤ x e 5 ∤ y
amolo pk ; si ha, quindi, a = c · pk , e quindi:
NOTA: in questo caso la tesi richiede che due
affermazioni valgano contemporanemente:
c · pk = (p1 p2 p3 · · · pk−1 pk pk+1 . . . n) + 1
quindi x2 − 6x + 5 é dispari
5∤x
∧
Divido entrambi i membri per pk , ottenendo:
5∤y
1
c = (p1 p2 p3 · · · pk−1 pk+1 . . . n) +
La negazione di tale proposizione é che: 5|x oppk
pure 5|y, cioé può valere solo una delle due affermazioni negate. Nella dimostrazione si dovrá quindi:
procedere, quindi, per casi: caso 1, 5|x, caso 2,
1
c − (p1 p2 p3 · · · pk−1 pk+1 . . . n) =
5|y.
pk
3. Supponi n ∈ Z+ . Se n (mod 4) é 2 o 3, allora Il termine a sinistra dell’uguale é un intero, il termine a destra é razionale, sicuramente non é un inn non é un quadrato perfetto.
tero. Siamo giunti quindi ad un assurdo, per cui il
nostro punto di partenza deve essere falso: esistono
Dimostrazioni per assurdo
finiti numeri primi. Quindi abbiamo dimostrato che
esistono infiniti numeri primi.
La dimostrazione per assurdo può darsi in due modi:
Esempio 2: se a, b ∈ Z e a ≥ 2, allora a ∤ b oppure
√
per dimostrare una semplice proposizione (as es. 2 a ∤ (b + 1).
é irrazionale) parto negando la proposizione P e Dimostrazione: Supponiamo vera la tesi e neghiconcludo che vale contemporaneamente una propo- amo l’ipotesi, cioé supponiamo che esistano a, b ∈ Z,
sizione C ed il suo opposto, ossia un assurdo: .
con a ≥ 2 per i quali non é vero che a ∤ b oppure
a ∤ (b + 1). Dobbiamo porre particolare attenzione
alla negazione della tesi: essa riguarda due propoProposizione: P
sizioni, almeno una delle quali deve essere vera. Il
suo contrario é, allora che nè una nè l’altra siano
Dimostrazione: suppongo ¬P
vere: deve essere a | b e a | (b + 1). Adesso partiamo
..
.
con la dimostrazione: a | b e a | (b + 1) significa che
b = ac e b + 1 = ad, con c, d ∈ Z. Sottraggo le due
quindi C ∧ ¬C
equazioni: ad − ac = 1, cosı́ a(d − c) = 1; sia a sia
1
< 2;
d − c devono essere positivi, quindi: a = (d−c)
se la dimostrazione richiede una proposizione con- siamo arrivati alla conclusione che a < 2, ma anche
dizionale, del tipo se P =⇒ Q, allora si parte a ≥ 2 (per ipotesi). Assurdo.
3
Dimostrazioni
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Dimostrazione per induzione
= k 2 + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 .
Abbiamo quindi dimostrato che Sk =⇒ S(k+1) e
L’induzione matematica consente di dimostrare che
quindi la proposizione iniziale é dimostrata.
una serie di proposizioni P1 , P2 , P3 , . . . Pn , . . . sono
tutte vere. Per comprendere la tecnica si fa spesso
uso dell’immagine del domino: ogni proposizione Esercizi
rappresenta una pedina del domino. Si parte di1. Dato n ∈ N, si ha che 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n =
mostrando che la prima proposizione (cioè la prima
n2 + n
pedina) é vera (cioé la pedina é fatta cadere); si
2
passa a dimostrare che, essendo vera una qualunque
2. Dato n ∈ N, 1·3+2·4+3·5+4·6+n(n+2) =
proposizione Pk , da ciò segue che anche la propox(n + 1)(2n + 7)
sizione successiva P(k+1) é vera (nell’esempio del
6
domino: la pedina Sk cadendo, fa cedere la ped3. Dato n ∈ N, si ha che 6|(n3 − n).
ina successiva S(k+1) . La conclusione é che tutte le
proposizioni risultano vere (cioé tutte le pedine cadranno).
Ripasso (veloce...) di geometria
Punti notevoli di un triangolo
Circocentro: punto di intersezione degli assi.
Centro della circonferenza circoscritta.
Incentro:
punto di intersezione delle bisettrici. Centro della circonferenza inscritta.
Baricentro: punto di intersezione delle mediane. Il baricentro divide ogni mediana in due
parti, delle quali quella che contiene il vertice, é il
doppio dell’altra.
Vediamo un esempio di dimostrazione:
Ortocentro: punto di intersezione delle alEsempio 1: La somma dei primi n numeri dispari: tezze.
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
Dimostrazione: Partiamo dalla verifica che la proposizione da dimostrare vale per n = 1, per il quale si
deriva 1 = 12 , che é vero.
Assumiamo vera la proposizione Sk , cioé: 1 + 3 + Poligoni inscrivibili e circoscrivibili in
5 + · · · + (2k − 1) = k 2 . A questo punto dobbiamo una circonferenza
dimostrare che la proposizione S(k+1) é vera, cioé:
Un quadrilatero é inscrivibile in una circonferenza se i suoi angoli opposti sono supplementari
1 + 3 + 5 + · · · + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Si ha che:
Un quadrilatero é circoscrivibile ad una
circonferenza se la somma dei due lati opposti é
congruente alla somma degli altri due.
1 + 3 + 5 + · · · + (2(k + 1) − 1) =
= 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) =
per l’ipotesi induttiva, la prima parte della somma
Poligoni regolari Un poligono é regolare
k2
é pari a k 2 , cioé:
se ha lati ed angoli uguali. Ogni poligono regolare
é inscrivibile e circoscrivibile
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1)
+2(k+1)−1 =
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Dimostrazioni
Circonferenza
Febbraio 2008
• Ogni angolo alla circonferenza é congruente Sia AB una corda di una circonferenza e P un punto
alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo interno ad AB tale che AP = 2PB. Sia DE la corda
stesso arco
passante per P e perpendicolare ad AB. Dimostrare
che il punto medio Q di AP é l’ortocentro di ADE.
• Angoli alla circonferenza che insistono sullo
stesso arco sono congruenti
Sia H il punto in cui la retta EQ interseca AD;
si deve dimostrare che l’angolo AĤE é retto.
• Archi congruenti sottendono corde congruenti
Tracciamo il segmento BE. Il triangolo BQE é
• Corde congruenti hanno stessa distanza dal cen- isoscele perché l’altezza EP é anche mediana; infatti
P, piede dell’altezza EP, é punto medio di BQ in
tro
1
quanto P Q = 1 AP = P B. EP é pertanto anche
2
Teorema di Talete
bisettrice dell’angolo B ÊQ, ossia i due angoli P ÊQ,
P
ÊB sono congruenti. Poi, sono congruenti gli
Se un fascio di rette parallele é tagliato da due
angoli
DÊB, DÂB perché angoli alla circonferenza
trasversali
che insistono sullo stesso arco; segue che sono
1. a segmenti congruenti su una trasversale cor- congruenti gli angoli P ÊQ, DÂP . I triangoli AHQ,
rispondono segmenti congruenti sull’altra
EPQ hanno dunque gli angoli in A e in E congruenti; ancora, sono congruenti i rispettivi angoli con
2. alla somma di due segmenti su una trasversale
vertice in Q, perché opposti al vertice. I triangoli
corrisponde la somma di due segmenti sull’altra
AHQ, EPQ sono pertanto simili, ed in particolare
3. a segmenti non congruenti su una trasver- sono congruenti gli angoli con vertici in P e H.
sale corrispondono segmenti non congruenti Poiché l’angolo E P̂ Q é retto per costruzione, é retto
anche l’angolo AĤE come si voleva dimostrare.
sull’altra
I poligoni
E
b
• in ogni poligono ciascun lato é minore della
somma degli altri
• La somma degli angoli interni di un poligono
convesso é congruente a tanti angoli piatti
quanti sono i suoi lati meno due.
• poligoni sono congruenti se hanno lati ed angoli
ordinatamente uguali
b
P
B
b
b
Q
b
Primo teorema di Euclide
b
D
b
A
H
b
In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto é medio
proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione
sull’ipotenusa
Secondo teorema di Euclide
Febbraio 2007
In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa
all’ipotenusa é media proporzionale tra i due seg- É data una circonferenza di diametro AB e centro
O. Sia C un punto sulla circonferenza (diverso da A
menti in cui essa divide l’ipotenusa
e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC per O.
Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla
Dimostrazioni Geometriche
parte opposta di C rispetto ad AB.
a. Dimostrare che DO é bisettrice di C D̂B.
5
Dimostrazioni
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b. Dimostrare che il triangolo CDB é simile al triangolo AOD
a. se E ÂD = 90◦ allora BC é parallelo a AD
b. se E ÂD = F ÂB = 90◦ allora ABCD é un parallelogramma
a. Abbiamo AĈD = C D̂O, perché alterni interni rispetto alle parallele AC e DO; inoltre AĈD
=AB̂D dato che insistono sullo stesso arco di circonferenza.
b
c. se ABCD é un parallelogramma allora E ÂD =
F ÂB = 90◦
C
Le presenti dispense, ad uso interno degli allievi del
liceo Leo-Major, rappresentano l’adattamento e la
traduzione di alcune pagine del libro The book of
proof, di Richard Hammack, della Viriginia Commonwelath University, liberamente scaricabile in internet.
A
b
O
b
D
b
b
B
Il triangolo ODB é isoscele, quindi i due angoli OB̂D
e OD̂B sono congruenti. Quindi OD̂B=C D̂O e
quindi DO é bisettrice.
b. Lasciamo a voi la dimostrazione, tenendo presente il seguente grafico:
b
C
A
b
O
b
D
b
b
B
Febbraio 2006
Sia ABCD un quadrilatero;
chiamiamo E
l’intersezione (distinta da A) tra le circonferenze
di diametri AB e AC ed F l’intersezione (sempre
distinta da A) tra le circonferenze di diametri AC e
AD. Dimostrare che:
6
