Lezioni di Meccanica del Volo 11 - Analisi delle traiettorie in

Lezioni di Meccanica del Volo
11 - Analisi delle traiettorie in volo
manovrato
L. Trainelli
1
2
Indice
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
3.4
INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equazione generale del moto traslazionale . . . . . . . . . .
Fattore di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Componenti del fattore di carico . . . . . . . . . . .
1.2.3 Limitazioni fisiologiche e strutturali . . . . . . . . .
1.2.4 Requisiti normativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esubero di potenza specifico e manovre . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bilancio delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Manovra simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Polare parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RICHIAMATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Considerazioni cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equazioni del volo simmetrico in un piano verticale . . . . .
Richiamata stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Equazioni della richiamata stazionaria . . . . . . . .
2.3.2 Fattore di carico in richiamata stazionaria . . . . . .
Volo parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIRATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Considerazioni cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tipi di virata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Virata piatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Equazioni del volo orizzontale non simmetrico . . . .
3.3.2 Fattore di carico in virata piatta . . . . . . . . . . .
Virata corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Equazioni generali del volo orizzontale simmetrico .
3.4.2 Fattore di carico in virata corretta . . . . . . . . . .
3.4.3 Virata sostenuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Esecuzione della virata corretta – Virosbandometro .
9 luglio 2008
(Versione 3.1)
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3
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5
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8
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17
18
18
20
20
20
21
22
23
24
24
25
27
27
1 INTRODUZIONE
3
Problem: Turn & slip indicator ball stuck in center during turns.
Action: Congratulations. You just made your first coordinated turn!
– one of the ‘QUANTAS squawks’ (from the Internet).
1
INTRODUZIONE
In questa sezione consideriamo l’analisi delle traiettorie relative alle condizioni
di volo curvilineo, o ‘manovrato’.
Si tratta di una classe di condizioni di volo molto vasta che include di fatto
ogni situazione in cui si manifesta un’accelerazione normale alla traiettoria,
che può determinare un percorso contenuto o meno in un piano. Nel seguito,
porremo particolare attenzione alle traiettorie curvilinee contenute in un piano
verticale e a quelle contenute nel piano orizzontale. Queste ultime, attraverso
le quali il velivolo cambia rotta, sono generalmente dette virate.
1.1
Equazione generale del moto traslazionale
L’equazione generale di equilibrio alla traslazione (equazione di bilancio delle
forze) in forma vettoriale per il velivolo in volo è:
m V̇ = T + F + W,
(1)
dove T rappresenta la spinta (o trazione), F il risultante delle azioni aerodinamiche (detto talvolta ‘reazione’ aerodinamica), m la massa e W il peso, mentre
V è la velocità di volo (velocità all’aria, TAS).
Dal momento che, in questa sede, siamo interessati all’analisi delle traiettorie
e non del moto di rotazione del velivolo, non ci interessiamo all’equazione di
equilibrio alla rotazione (equazione di bilancio dei momenti).
Rispetto agli assi dei diversi sistemi di riferimento definiti per il velivolo, possiamo esprimere alcuni dei termini che compaiono nelle equazioni di equilibrio
nel modo seguente:
• la spinta, supponendo che abbia retta d’azione solidale al velivolo, si scrive
T = T ebx ,
(2)
avendo assunto per semplicità l’asse corpo longitudinale (asse di rollio), di
versore ebx , proprio coincidente con la direzione della spinta;
• il risultante delle azioni aerodinamiche si scrive
F = −(D eax + Q eay + L eaz ),
(3)
1 INTRODUZIONE
4
dove (D, Q, L) rappresentano rispettivamente la resistenza, la devianza e
la portanza, ossia le componenti lungo gli assi vento, di versori (eax , eay , eaz ),
cambiate di segno; inoltre, si scrive anche
F = X ebx + Y eby + Z ebz ,
(4)
dove (X, Y, Z) rappresentano rispettivamente la forza longitudinale, la forza laterale e la forza trasversale, ossia le componenti lungo gli assi corpo,
di versori (ebx , eby , ebz );
• il peso si scrive
W = W ehz ,
(5)
dove W = m g, essendo g l’intensità del campo gravitazionale, ossia il
modulo dell’accelerazione di gravità g = g ehz , allineata e concorde col
versore verticale locale rivolto verso il basso;
• la velocità di volo si scrive
V = V eax ,
(6)
facendo riferimento agli assi vento, oppure
V = V cos α cos β ebx + V sin β eby + V sin α cos β ebz ,
(7)
facendo riferimento agli assi corpo, essendo (α, β) gli angoli d’incidenza e
di deriva, o ancora
V = V cos χ cos γ ehx + V sin χ cos γ ehy − V sin γ ehz ,
(8)
facendo riferimento agli assi corpo, essendo (χ, γ) gli angoli di rotta e di
rampa.
Nonostante che alcune delle espressioni precedenti appaiano semplici, il fatto di
essere riferite a terne d’assi differenti comporta che le equazioni di equilibrio in
forma scalare (ossia le proiezioni dell’eq. 1) rispetto ad ognuno dei sistemi di
riferimento siano relativamente complesse. Per questo motivo, non le riportiamo
in questa sede, limitandoci in seguito a precisare le espressioni che si ricavano
nei casi di interesse.
1.2
1.2.1
Fattore di carico
Definizione
L’eq. 1 può essere riscritta nella forma seguente:
0 = (T + F) + (W − m V̇),
(9)
in modo da mostrare l’equilibrio che sussiste tra il risultante delle forze totali
di superficie e quello delle forze totali di massa. Tali risultati, infatti, sono dati
rispettivamente dalla somma della spinta e del risultante delle azioni aerodinamiche (T+F) e dalla somma del peso e della forza d’inerzia (W−m V̇), essendo
1 INTRODUZIONE
5
quest’ultima definita dal prodotto della massa per l’accelerazione cambiata di
segno.
Le forze di superficie, dette anche azioni di contatto, sono definite come
quelle forze che si esercitano attraverso un’azione di contatto (fondamentalmente
quindi attraverso una distribuzione di sforzi) e che pertanto dipendono da una
misura di superficie. Si tratta chiaramente dell’insieme delle forze aerodinamiche
F, generate dal contatto dell’aria circostante con le superfici esterne del velivolo,
e delle forze propulsive T, generate da un simile contatto con le eliche oppure
con le superfici interne del propulsore nei motori a getto.1
Le forze di massa, dette anche azioni a distanza, invece sono definite come
quelle forze che si esercitano attraverso un’azione a distanza e che pertanto
dipendono da una misura di massa. Si tratta chiaramente dell’insieme delle
forze gravitazionali W e delle forze d’inerzia del velivolo (−m V̇).
Il risultante delle forze di massa è spesso detta peso apparente in quanto è
responsabile della sensazione del peso percepito a bordo del velivolo, aumentato
o diminuito per effetto della manovra. È chiaro infatti che, mentre le forze di
superficie sono applicate alle sole superfici esterne del velivolo, le forze di massa
si esercitano sulla struttura del velivolo e su tutto ciò che vi è contenuto (equipaggio e carico, ma anche strumentazione, impianti, etc.). È di fondamentale
interesse quindi valutare di quanto il peso apparente si discosti dal peso effettivo
al fine di valutare la tollerabilità o meno di una manovra.
A questo scopo si definisce il fattore di carico (load factor ) n come il vettore
adimensionale dato dal peso apparente del velivolo diviso il suo peso effettivo:
n :=
1
(W − m V̇).
W
(10)
Notiamo che risulta
1
1
(g − V̇) = ehz − V̇,
(11)
g
g
il che mostra che il fattore di carico risulta pari a ehz (con intensità pari a
1) in condizioni di volo rettilineo uniforme, quando il peso apparente coincide
con quello effettivo, mentre quando il volo è accelerato (non necessariamente
curvilineo) si discosta da tale valore, tanto in intensità, quanto in orientazione.
Il fattore di carico è una grandezza adimensionale e come tale non ha bisogno di un’unità di misura. Tuttavia, nella pratica aeronautica, si fa spesso
riferimento ad esso in termini di numero di ‘g’, indicando quindi una manovra
a fattore di carico pari a x come una manovra ‘a x-g’.
n=
1.2.2
Componenti del fattore di carico
Usando l’eq. 10 per il fattore di carico, il risultante delle forze di massa vale
W n e quindi il bilancio delle forze può essere posto nella forma
(T + F) + W n = 0.
1
(12)
In effetti, il meccanismo di generazione delle forze aerodinamiche e di quelle propulsive
è il medesimo, cosicché sussiste una certa arbitrarietà nel separare i due termini. In alcune
occasioni si fa riferimento alla loro somma come alle forze ‘aeropropulsive’.
1 INTRODUZIONE
6
Tale espressione, esplicitata rispetto a n, viene spesso utilizzata quale definizione
stessa del fattore di carico:
n=−
1
(T + F).
W
(13)
Per valutare l’entità delle forze di massa a cui è sottoposto il velivolo conviene proiettare il fattore di carico su una terna d’assi solidali. Definiamo le
componenti di n rispetto agli assi corpo:
nbx := ebx · n,
nby := eby · n,
nbz := ebz · n.
(14)
Inserendo le espressioni 2 e 4 nell’eq. 13 abbiamo dunque
nbx = −
T +X
,
W
nby = −
Y
,
W
nbz = −
Z
.
W
(15)
Ora, delle tre forze (T + X), Y e Z, l’ultima è quella che tipicamente assume
i valori maggiori, dato che si tratta della componente della forza aerodinamica
perpendicolare al piano dell’ala. Corrispondentemente, il fattore di carico trasversale (o normale), ossia la componente del peso apparente percepito a bordo
del velivolo lungo l’asse di imbardata, è quello che assume i valori più elevati. Si tratta perciò di un fattore dimensionante fondamentale nel progetto e
nell’operatività di ogni velivolo.
Considerando la relazione tra gli assi del riferimento aerodinamico (assi
vento) e quelli del riferimento solidale (assi corpo), si può dimostrare che
Z = −(D sin α cos β − Q sin α sin β + L cos α).
(16)
Tale espressione si semplifica significativamente se si assume che il volo si svolga
• ad incidenze moderate, α ¿ 1 rad;
• a derive moderate, β ¿ 1 rad;
• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).
Tutte queste condizioni sono ampiamente verificate nella stragrande maggioranza delle condizioni di volo livellato d’interesse.
Applicando tali condizioni, si può assumere che la componente legata alla devianza sia del tutto trascurabile dato che è moltiplicata per il prodotto
sin α sin β, ossia due numeri piccoli, e che la componente legata alla resistenza
sia trascurabile rispetto alla portanza. Infatti, per angoli piccoli abbiamo
Z = −(D α − Q α β + L)
µ
¶
D
= − 1 + α L + Qαβ
L
³
α´
=− 1+
L + Q α β.
E
(17)
1 INTRODUZIONE
7
Sotto le ipotesi precedenti, sia α/E, sia α β risultano ¿ 1 rad e quindi si possono
trascurare rispetto a 1. Di fatto, quindi, risulta
Z = −L
(18)
con buona approssimazione. Quindi, il fattore di carico normale coincide col
rapporto portanza/peso (lift to weight ratio), normalmente indicato con n:
n :=
L
.
W
(19)
Si tratta di un parametro adimensionale di uso molto frequente in Meccanica
del Volo, che mostra quale sia l’aggravio imposto da una manovra in termini
di portanza necessaria, normalizzata rispetto al valore corrispondente al volo
livellato (pari al peso). Nelle condizioni assunte, possiamo dunque confondere
il fattore di carico normale col rapporto portanza/peso,
nbz = n.
(20)
D’ora in poi faremo quindi riferimento a n, denominandolo tout court fattore di
carico normale.
1.2.3
Limitazioni fisiologiche e strutturali
Come abbiamo detto, il fattore di carico è una misura della sollecitazione che
agisce sulla struttura del velivolo e su ciò che vi è contenuto. Pertanto, ad esso
si applicano delle limitazioni (tipicamente conseguenti a specifiche normative)
per garantire la sicurezza del volo:
• limitazioni fisiologiche, dovute al fatto che l’organismo umano risente dei
valori elevati (positivi e negativi) di accelerazione, producendo malessere,
riduzione della capacità di controllare il velivolo ed eseguire la missione,
fino alla perdita di coscienza;
• limitazioni strutturali, dovute alla resistenza delle strutture e degli equipaggiamenti, nonché alle capacità di funzionamento corretto degli impianti.
Le limitazioni fisiologiche, nel caso di fattori di carico longitudinale e laterale,
si traducono tipicamente in fastidio e malessere generale, mentre, nel caso del
fattore di carico normale (che può assumere valori elevati), si può arrivare a
severe riduzioni delle capacità di pilotaggio. Infatti, da un lato, i movimenti
stessi per agire sui comandi di volo, ed in particolare sulla barra e sulla manetta, possono risultare parzialmente o totalmente impediti per limiti muscolari,
dall’altro condizioni di fattore di carico normale positivo possono portare alla
‘visione nera’ (deflusso del sangue dalla testa verso i piedi), mentre condizioni di
fattore di carico normale negativo possono portare alla ‘visione rossa’ (deflusso
del sangue dai piedi verso la testa). Oltre un certo limite, poi, si ha la perdita
di coscienza.
1 INTRODUZIONE
8
I valori del fattore di carico normale per cui si producono effetti negativi per
la sicurezza del volo dal punto di vista fisiologico possono variare leggermente
da individuo ad individuo, ed in particolare risentono significativamente di un
addestramento mirato (come nel caso dei piloti acrobatici e da caccia). Nel
caso di velivoli civili, si tende generalmente ad evitare condizioni di volo che
producano fastidi significativi, senza arrivare ai limiti di sicurezza.
Dal punto di vista strutturale, il fattore di carico massimo ammissibile, detto
fattore di contingenza (ultimate load factor ) tiene conto di tutte le limitazioni
strutturali rilevanti (carico a snervamento, fatica, etc.).
1.2.4
Requisiti normativi
Diagramma di manovra Le limitazioni sul fattore di carico in condizioni di
volo manovrato si compendiano nel diagramma di manovra (maneuvering load
factor envelope). In tale grafico, vengono diagrammati i limiti massimi ammissibili per il fattore di carico normale n in funzione della velocità equivalente di
volo VEAS , in configurazione pulita (ipersostentatori retratti e carrello retratto).
Un diagramma tipico, per quanto riguarda il semipiano n > 0, è costruito
come segue:
• si disegna la curva corrispondente alle condizioni di stallo per n crescenti
con inizio nel punto (VS , 1), essendo VS = VEAS stall la velocità equivalente
di stallo in volo livellato; tale curva è un tratto di parabola, dato che
L = n W e quindi
n=
L
=
W
1
2
1
2
2
ρ0 VEAS
S max CL
V2
= 2 EAS ;
2
VEAS stall
ρ0 VEAS stall S max CL
(21)
• giunti al valore positivo massimo ammissibile, indicato con n1 , si traccia un
segmento orizzontale; il punto iniziale di questo segmento è A = (VA , n1 ),
dove con VA si indica la velocità equivalente di stallo alla quale si ottiene
n = n1 ,
√
VA = n1 VEAS stall ,
(22)
detta velocità di manovra di progetto (design maneuvering airspeed );
• il segmento orizzontale di ordinata n1 supera il punto C = (VC , n1 ), dove
con VC si indica la velocità di crociera di progetto (design cruising airspeed )
e si arresta nel punto D = (VD , n1 ), dove con VD si indica la velocità di
affondata di progetto (design diving airspeed ), che rappresenta la massima
velocità consentita nelle normali operazioni di volo;
• giunti al valore VD , si traccia una segmento verticale fino ad intercettare
l’asse delle ascisse, nel punto E = (VD , 0).
Infine, un segmento verticale unisce i punti (VS , 0) e (VS , 1).
Per quanto riguarda il semipiano n < 0, il diagramma è completato come
segue:
1 INTRODUZIONE
9
• si disegna la curva corrispondente alle condizioni di stallo negativo per |n|
crescenti, con inizio nel punto (VN S , −1), dove VN S è la velocità equivalente di stallo in volo livellato rovescio (stallo negativo); tale curva è un
tratto di parabola, normalmente diverso da quello del semipiano positivo
in quanto lo stallo negativo avviene tipicamente con | min CL | < max CL ;
• giunti al valore negativo massimo ammissibile, indicato con n3 , si traccia un segmento orizzontale; il punto iniziale di questo segmento è H =
(VH , n3 ), dove con VH si indica2 la velocità equivalente di stallo alla quale
si ottiene n = n3 ,
√
VH = n3 VEAS stall ;
(23)
• il segmento orizzontale di ordinata n3 si arresta nel punto F = (VF , n3 ),
dove con VF si indica la velocità di progetto con ipersostentatori estesi
(design airspeed with fully deflected flaps);
• il punto F ed il punto E sono convenzionalmente uniti da un segmento di
retta.
Infine, un segmento verticale unisce il punti (VN S , −1) e (VN S , 0).
Il significato del diagramma è il seguente: i punti non compresi nell’area
racchiusa dai tratti di curva descritti non sono consentiti, vuoi per motivi aerodinamici (valori di VEAS inferiori a quelli di stallo, positivo o negativo), vuoi per
motivi fisiologici o strutturali (valori di n superiori a n1 od inferiori a n3 ), vuoi
per motivi di ordine aeroelastico (valori di VEAS superiori alle massime velocità
equivalenti consentite).
I valori assunti per n1 e n3 variano a seconda del tipo di velivolo:
• per velivoli civili non acrobatici, per velivoli militari da trasporto, pattugliamento, etc., valori tipici sono
n1 = 2.5,
n3 = −1.0;
(24)
• per velivoli civili acrobatici e per velivoli militari da combattimento valori
tipici sono
n1 ≥ 7.0,
n3 ≤ −3.5.
(25)
Questi valori sono scalati di un fattore 1.5 rispetto a quelli effettivamente dimensionanti, per ulteriore garanzia.
Il diagramma di manovra descritto è uno strumento fondamentale per caratterizzare il velivolo e la sua missione, e viene sempre riportato sul manuale
di volo.
2 Questa notazione, di uso frequente in campo tecnico, non deve generare confusione con la
notazione identica che si usa, anch’essa in campo tecnico, per indicare la velocità massima in
volo orizzontale.
1 INTRODUZIONE
10
Diagramma di raffica Un altro strumento di grande importanza è il diagramma di raffica (gust load factor envelope). In tale grafico, vengono ancora diagrammati i limiti massimi ammissibili per il fattore di carico normale n in funzione della velocità equivalente di volo VEAS , in configurazione pulita (ipersostentatori retratti e carrello retratto), ma questa volta tenendo conto degli effetti di
raffiche di vento verticali sul volo livellato.
Infatti, nel volo in aria agitata, il velivolo può subire raffiche verticale che ne
variano pressoché istantaneamente l’incidenza e quindi il coefficiente di portanza. Supponiamo che il velivolo, in volo livellato, incontri una raffica verticale
la cui velocità relativa al velivolo stesso sia U , positiva verso l’alto. L’incidenza
passa dal valore di equilibrio
³w´
α = atan
,
(26)
u
dove u = V cos α cos β e w = V sin α cos β sono le componenti della velocità
lungo gli assi di rollio e d’imbardata, al valore
¶
µ
w+U
.
(27)
αg = atan
u
Come si vede, una raffica ascendente aumenta l’angolo d’incidenza, mentre una
raffica discendente la diminuisce.
Supponendo che sia α ¿ 1 rad, possiamo linearizzare l’espressione 26 ottenendo
w
α= ,
(28)
V
e supponendo che anche l’effetto della raffica sia piccolo, αg ¿ 1 rad, anche
αg =
w−U
w
U
U
=
−
=α− .
V
V
V
V
(29)
A comandi bloccati, il coefficiente di portanza del velivolo s’incrementa dunque
del valore
U
∆CL = CL α (αg − α) = CL α ,
(30)
V
e quindi il fattore di carico passa istantaneamente dal valore di equilibrio n = 1
al valore
L
W
1
2
ρ0 VEAS
S (CL + ∆CL )
= 2
1
2
2 ρ0 VEAS S CL
CL α U
=1+
CL V
CL α UEAS
=1+
.
CL VEAS
n=
(31)
1 INTRODUZIONE
11
Sostituendo a CL il suo valore di equilibrio, abbiamo
n=1+
CL α
2 W
1
2
ρ0 S VEAS
UEAS
CL α
=1+
UEAS VEAS ,
VEAS
A0
(32)
dove A0 := ρ20 W
S . L’ultima espressione mostra che il fattore di carico, fissata la
velocità equivalente della raffica, cresce linearmente con la velocità equivalente
a partire dal valore di equilibrio. Ponendo k := CLα UEAS /A0 abbiamo dunque
n = 1 + k VEAS ,
(33)
Pertanto, il luogo dei punti (VEAS , n) per una data velocità equivalente di raffica
è rappresentato da un fascio di rette passanti per (0, 1).
Le normative prevedono dunque una serie di valori ammissibili per le velocità
di raffica a seconda delle condizioni di volo, attenuate opportunamente da un
fattore di attenuazione di raffica (gust alleviation factor ) Kg che tiene conto del
fatto che la raffica non si presenta istantaneamente nella realtà, ma secondo una
curva continua. L’espressione del fattore di carico diviene dunque
n = 1 + Kg
CLα
UEAS VEAS .
A0
(34)
Il diagramma di raffica dunque tiene conto di una velocità di raffica massima
ammissibile in condizioni di stallo (normalmente pari a ±66 ft/s, ovvero circa
±20 m/s), una massima ammissibile in condizioni di crociera di progetto alla VC
(normalmente pari a ±50 ft/s, ovvero circa ±15 m/s), ed una massima ammissibile in condizioni di affondata di progetto alla VD (normalmente pari a ±25 ft/s,
ovvero circa ±7.5 m/s).3
Sul diagramma, questo comporta la definizione del punto B = (VB , nB ), dove
con VB si indica la velocità equivalente di stallo alla quale si raggiunge il valore
di fattore di carico corrispondente alla massima velocità di raffica ammissibile,
detta velocità di progetto per la massima intensità di raffica (design airspeed for
maximum gust velocity o anche rough airspeed ).
La sovrapposizione dei diagrammi di manovra e di raffica consente di determinare l’effettivo inviluppo del fattore di carico (load factor flight envelope)
all’interno del quale dev’essere garantita la sicurezza tanto in relazione a manovre comandate dal pilota, quanto a raffiche di vento dovute a condizioni di
turbolenza atmosferica.
1.3
1.3.1
Esubero di potenza specifico e manovre
Bilancio delle potenze
La possibilità di manovrare è chiaramente legata alla presenza di un esubero di
spinta/potenza, ossia alla differenza tra la spinta/potenza disponibile e quella
necessaria al volo livellato per uguali condizioni di quota, velocità e peso.
3 I valori riportati sono desunti da un’analisi statistica delle condizioni di turbolenza atmosferica in relazione alle diverse fasi del volo. Inoltre, si riferiscono tipicamente al volo a quote
comprese tra il livello del mare e 20000 ft (circa 6100 m). A quote superiori, le normative
prevedono una riduzione progressiva di tali valori.
1 INTRODUZIONE
12
Moltiplicando scalarmente l’eq. 1 per il vettore velocità di volo V si ottiene
l’equazione di bilancio delle potenze:
m V V̇ = Pa − Pr − W Vv ,
(35)
dove Pa := T · V = T V cos α cos β rappresenta la potenza disponibile, Pr :=
D · V = D V la potenza necessaria relativa alla manovra in esame e Vv = V sin γ
la velocità verticale.
Definendo l’esubero di potenza specifico (specific excess power, SEP) come la
differenza tra potenza disponibile e potenza necessaria al volo livellato per gli
stessi valori di (h, V, W ) divisa per il peso, risulta che tale grandezza uguaglia
una combinazione di accelerazione lungo la traiettoria e velocità verticale (come
si vede nel volo in salita), più un termine legato al fatto che la traiettoria è
curvilinea:
µ
¶
Pa − Pr LF
V
Pr − Pr LF
= Vv + V̇ +
,
(36)
W
g
W
avendo indicato con Pr LF = DLF V la potenza necessaria al volo livellato.
Introducendo la quota totale, o quota energetica (energy height), htot ,
htot := h +
V2
,
2g
(37)
che rappresenta il rapporto tra l’energia meccanica totale (somma di energia
potenziale gravitazionale ed energia cinetica) del velivolo ed il suo peso in un
dato istante, è immediato rendersi conto che
ḣtot := ḣ +
Pertanto, essendo
V
V̇ .
g
(38)
ḣ = −VGS · ehz .
(39)
ehz
il versore
dove VGS rappresenta il vettore velocità al suolo (groundspeed ) e
verticale del sistema di riferimento orizzonte locale,4 e ricordando che
VGS = V + VWS ,
(40)
dove VWS rappresenta il vettore velocità del vento (windspeed ), otteniamo
ḣ = Vv − VWS · ehz .
(41)
Quindi, in assenza di una componente di vento verticale, VWS · ehz = 0, abbiamo
ḣ = Vv e di conseguenza anche
ḣtot = Vv +
4
V
V̇ .
g
(42)
Ricordiamo che tale versore è normale alla superficie terrestre e diretto verso il basso.
1 INTRODUZIONE
13
Possiamo, perciò, concludere sinteticamente che l’esubero di potenza specifico
(SEP) si traduce nella variazione della quota totale del velivolo più il termine
legato alla curvatura della traiettoria:
Pa − Pr LF
Pr − Pr LF
= ḣtot +
.
W
W
(43)
Il termine (Pr − Pr LF )/W è dato dalla differenza tra le componenti indotte
delle potenze necessarie relative alla manovra e al volo livellato a pari condizioni di quota, velocità e peso (le componenti passive essendo uguali). Pertanto,
essendo le componenti indotte funzione delle forze aerodinamiche normali alla traiettoria, il termine in oggetto è funzione delle componenti normali alla
traiettoria del fattore di carico, ossia nay e naz , definiti in base alle equazioni
seguenti:
nay := eay · n,
naz := eaz · n.
(44)
Per una generica forma della polare, la dipendenza del termine in oggetto da
(nay , naz ) non è tuttavia esplicitabile in forma analitica.
1.3.2
Manovra simmetrica
Le condizioni di volo simmetriche sono caratterizzate dal fatto che l’angolo di
deriva è identicamente nullo,
β = 0.
(45)
Ciò comporta, dal punto di vista cinematico, che i piani xa y a del riferimento aerodinamico e xb y b del riferimento solidale (di simmetria per il velivolo)
coincidano, ossia che coincidano i versori ad essi normali,
eay ≡ eby .
(46)
In questo caso, le relazioni tra i versori degli assi nel piano di simmetria del
velivolo si riducono alla sola rotazione dell’angolo d’incidenza,
eax = cos α ebx + sin α ebz ,
eaz = − sin α ebx + cos α ebz .
(47)
Inserendo le espressioni 2 e 4 nell’eq. 13 abbiamo dunque
nay =
Q
,
W
naz =
L
.
W
(48)
Dal punto di vista dinamico, assumendo che il piano xb y b sia di simmetria per
le azioni aerodinamiche, la devianza risulta identicamente nulla,
Q = 0,
(49)
sicché in una manovra simmetrica. il fattore di carico laterale in assi vento
risulta nullo, mentre il fattore di carico normale in assi vento coincide con il
rapporto portanza/peso,
nay = 0,
naz = n.
(50)
1 INTRODUZIONE
14
In queste condizioni, per (h, V, W ) fissati, il coefficiente di resistenza CD dipende
dal solo fattore di carico normale n.
1.3.3
Polare parabolica
Assumiamo per la polare la consueta forma parabolica semplice (valida per
condizioni di volo simmetrico)
CD (CL ) = CD 0 + K C2L ,
(51)
ed indichiamo con CL LF il coefficiente di portanza corrispondente al volo livellato
con identici valori di (h, V, W ),
CL LF =
1
2
W
A
= 2,
V
ρ V 2S
(52)
dove
2 W
(53)
ρ S
rappresenta il quadrato di una velocità di riferimento, introdotta per comodità
di scrittura.5 In manovra abbiamo L = n W , e quindi
A :=
CL = n CL LF
(54)
e quindi
CD = CD 0 + n2 K CL 2LF
¡
¢
= CD 0 + K CL 2LF + (n2 − 1) K CL 2LF
2
(55)
2
= CD LF + (n − 1) K CL LF ,
avendo indicato con CD LF il coefficiente di resistenza corrispondente al volo
livellato con identici valori di (h, V, W ).
Ciò mostra che la differenza tra i coefficienti di resistenza in manovra simmetrica ed in volo livellato è proporzionale al fattore (n2 − 1), che per valori
elevati di n può essere approssimato con n2 . Analogamente, la resistenza in
manovra risulta
A
D = DLF + (n2 − 1) K W 2 ,
(56)
V
e la potenza necessaria
Pr = Pr LF + (n2 − 1) K W
A
.
V
(57)
L’eq. 43 dunque risulta, sotto le ipotesi considerate, data da
Pa − Pr LF
A
= ḣtot + (n2 − 1) K .
W
V
(58)
5 Si tratta, evidentemente, della velocità di equilibrio in volo livellato corrispondente a
CL = 1.
2 RICHIAMATA
15
L’esubero di potenza specifico (SEP) dunque può tradursi in una combinazione
di variazioni della quota totale (ossia di quota e/o velocità di volo) e di curvatura
della traiettoria. Nel caso di mantenimento della quota totale, come nel volo
orizzontale stazionario, il fattore di carico risulta quindi legato all’esubero di
potenza specifico secondo la relazione seguente:
n2 = 1 +
1 V Pa − Pr LF
K A
W
(59)
e quindi, a parità di SEP, n risulta tanto maggiore, quanto più sono elevata la
velocità, bassa la quota, basso il carico alare ed elevato l’allungamento alare.
2
2.1
RICHIAMATA
Considerazioni cinematiche
Ci interessiamo della manovra simmetrica del velivolo nel piano verticale (in
queste condizioni, il piano verticale coincide con il piano di simmetria materiale
del velivolo). Si tratta di una manovra compiuta allo scopo di cambiare angolo
di rampa γ, definito come l’angolo formato dalla velocità di volo col piano
orizzontale xh y h :
γ := −asin(ehz · eax ).
(60)
Ricordiamo che, attraverso l’angolo di rampa, la velocità verticale Vv (positiva
verso l’alto) e la velocità orizzontale Vh si scrivono
Vv = V sin γ,
Vh = V cos γ.
(61)
L’angolo di rotta è costante e può essere posto pari a zero per comodità.
In generale l’accelerazione si scrive
V̇ = V̇ et + ω V en ,
ω ≥ 0,
(62)
rispetto ai versori del triedro intrinseco (et , en ), detti rispettivamente versore
tangente e versore normale principale alla traiettoria. Quando ω = +γ̇, abbiamo
en = −eaz , mentre quando ω = −γ̇, abbiamo en = +eaz ; essendo et ≡ eax
abbiamo, rispetto agli assi vento,
V̇ = V̇ eax − γ̇ V eaz .
(63)
La manovra è detta richiamata (pull-up) se porta ad un aumento dell’angolo di
rampa, γ̇ > 0, affondata (push-over ) se porta ad una diminuzione dell’angolo di
rampa, γ̇ < 0. Se la richiamata o l’affondata sono sostenute per un giro completo
dell’angolo di rampa, si parla di una gran volta (loop), rispettivamente positiva
o negativa.
2 RICHIAMATA
2.2
16
Equazioni del volo simmetrico in un piano verticale
Le equazioni di equilibrio alla traslazione relative ad un generico volo accelerato
simmetrico nel piano verticale sono le seguenti:
m V̇ = T cos α − D − W sin γ,
m V γ̇ = T sin α + L − W cos γ,
(64)
dove T rappresenta la spinta (o trazione), D la resistenza aerodinamica, L la
portanza, m la massa e W = m g il peso, mentre V è la velocità di volo e γ
l’angolo di rampa.
Queste equazioni rappresentano, nell’ordine, il bilancio delle forze in direzione tangenziale al moto (ossia la direzione del vettore velocità di volo V) ed
il bilancio delle forze in direzione normale al moto. Le ipotesi che soggiaciono
alla scrittura delle equazioni precedenti sono
• volo simmetrico (β = 0), per cui tutte le azioni latero-direzionali sono nulle
e l’equazione di equilibrio alla traslazione laterale si riduce ad un’identità
banale.
Si è inoltre assunto per comodità l’asse corpo longitudinale coincidente con l’asse
orientato del vettore spinta T.
Le eq. 64 si semplificano significativamente se si assume che il volo si svolga
• ad incidenze moderate, α ¿ 1 rad;
• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).
Bisogna notare che queste condizioni non sono sempre verificate in una richiamata, in quanto comandando la barra non è difficile avvicinarsi alle condizioni
di stallo e quindi ad incidenze elevate ed efficienze relativamente ridotte. Ad
ogni modo, quando è lecito assumere tali condizioni, le equazioni di equilibrio
alla traslazione si semplificano nelle seguenti:
m V̇ = T − D − W sin γ,
m V γ̇ = L − W cos γ.
(65)
Data l’eq. 652 , sostituendo alla portanza il prodotto del peso e del fattore di
carico normale, L = n W , otteniamo
n=
V γ̇
+ cos γ.
g
(66)
Quest’equazione mostra che il fattore di carico in richiamata può variare nel
tempo, anche considerevolmente.
2 RICHIAMATA
2.3
2.3.1
17
Richiamata stazionaria
Equazioni della richiamata stazionaria
Per una richiamata, la nozione di stazionarietà può dare luogo ad una certa
ambiguità. Infatti, non è possibile in generale che tutte le grandezze (V, α, γ̇)
siano costanti nel tempo.
Dal punto di vista della traiettoria, la manovra risulta stazionaria se (V, γ̇)
sono costanti. Denotiamo quindi con Ω := γ̇ = const la velocità angolare sulla
traiettoria con segno,6 ottenendo
0 = T − D − W sin (Ω t + γ0 ),
m V Ω = L − W cos (Ω t + γ0 ),
(67)
essendo γ = Ω t + γ0 .
L’angolo d’incidenza, in generale, varia nel tempo per garantire l’equilibrio
verticale: infatti, il coefficiente di portanza deve soddisfare l’eq. 672 , che si può
riscrivere nella forma seguente:
m V Ω + W cos (Ω t + γ0 )
1
2
2 ρV S
¶
µ
cos (Ω t + γ0 )
Ω
+
,
=A
gV
V2
CL =
dove
A :=
2 W
ρ S
(68)
(69)
rappresenta il quadrato di una velocità di riferimento, introdotta per comodità
di scrittura.7 Risulta quindi CL = CL (t), per cui α = α(t). In particolare,
ciò comporterà un moto non stazionario dal punto di vista dell’equilibrio alla
rotazione, come vedremo in altra sede.
In una richiamata (affondata) stazionaria a partire da condizioni di volo
livellato (γ = 0), il pilota tira (spinge) rapidamente la barra per aumentare
(diminuire) il coefficiente di portanza e procurarsi cosı̀ la forza necessaria per
curvare la traiettoria, dopodiché riduce progressivamente il comando longitudinale per far fronte ai fattori di carico via via decrescenti, fino alle condizioni
di volo orizzontale rovescio (γ = π). Contemporaneamente, deve manovrare la
manetta in modo da garantire l’equilibrio tangenziale, prima aumentando e poi
diminuendo la spinta per compensare l’aumento e la diminuzione della resistenza
per coefficienti di portanza prima crescenti e poi decrescenti. Successivamente, aumenta progressivamente il comando longitudinale per far fronte ai fattori
di carico via via crescenti, fino a raggiungere nuovamente le condizioni di volo
orizzontale.
6
Quindi Ω = ω oppure Ω = −ω a seconda che si tratti di una richiamata o di un’affondata.
Si tratta, evidentemente, della velocità di equilibrio in volo livellato corrispondente a
CL = 1.
7
2 RICHIAMATA
2.3.2
18
Fattore di carico in richiamata stazionaria
Nel caso di una richiamata stazionaria (nel senso precedentemente illustrato),
abbiamo
VΩ
n=
+ cos γ.
(70)
g
con V e Ω costanti. Pertanto, il fattore di carico assume il valore massimo per
γ = 0, pari a
VΩ
+ 1,
(71)
max n =
g
che, in richiamata positiva risulta certamente maggiore di 1, mentre in richiamata negativa (affondata) può essere maggiore o minore di 1, ed eventualmente
anche negativo a seconda dei valori di V e Ω. Analogamente, il fattore di carico
assume il valore minimo per γ = π, pari a
min n =
VΩ
− 1,
g
(72)
che, in richiamata positiva può essere maggiore o minore di 1, ed eventualmente
anche negativo a seconda dei valori di V e Ω, mentre in richiamata negativa
(affondata) risulta certamente negativo.
Si nota quindi che, per richiamate stazionarie ‘a basso numero di g’ si può
avere una variazione molto netta del fattore di carico lungo la traiettoria, finanche il passaggio da valori positivi a valori negativi e viceversa. Se invece
esaminiamo richiamate stazionarie ‘ad alto numero di g’, il rapporto tra le differenze dei valori massimo e minimo (sempre pari a 2) e il massimo fattore di
carico tendo a decrescere, tendendo, in linea di principio. ad una manovra a
fattore di carico costante.8
Dal punto di vista prestazionale, soprattutto a fini acrobatici o di combattimento, la velocità della richiamata è caratterizzata dal rateo
Ω=
g
(max n − 1)
V
(73)
e quindi assume valori maggiori del rapporto g/V in richiamata positiva, mentre
il raggio di curvatura della traiettoria vale
R=
V2
,
g (max n − 1)
(74)
e risulta perciò minore del rapporto V 2 /g in richiamata positiva.
2.4
Volo parabolico
Una richiamata particolare (non stazionaria) è quella eseguita nel cosiddetto
volo parabolico per consentire di sperimentare condizioni di assenza di gravità.
8
In pratica bisognerà tenere conto dei limiti imposti dal diagramma di manovra.
2 RICHIAMATA
19
Il volo, eseguito ad alta quota, consiste in un’affondata lieve per accelerare
il velivolo, seguita da una richiamata positiva con max n ≈ 2 per 10 ÷ 20 s; a
questo punto, viene tolta manetta ed il velivolo segue una curva simile ad una
traiettoria balistica, consentendo circa 20 ÷ 30 s a fattore di carico praticamente
nullo, n = O(10−2 ); infine, si esegue un’altra richiamata positiva con max n ≈ 2
per 10 ÷ 20 s allo scopo di riportare il velivolo in volo livellato.
In effetti, per una traiettoria balistica in coordinate relative ad un riferimento
terrestre con condizioni iniziali
x(0) = x0 ,
y(0) = y0 ,
ẋ(0) = V0 cos γ0 ,
ẏ(0) = V0 sin γ0 ,
(75)
abbiamo la soluzione
x(t) = x0 + V0 cos γ0 t,
y(t) = y0 + V0 sin γ0 t − g
t2
,
2
(76)
e quindi
ẋ(t) = V0 cos γ0 ,
ẏ(t) = V0 sin γ0 − g t.
(77)
Supponendo l’assenza di una componente di vento verticale, abbiamo Vh (t) = ẋ
e Vv (t) = ẏ, per cui
tan γ =
Vv
V0 sin γ0 − g t
g
=
= tan γ0 −
t.
Vh
V0 cos γ0
V0 cos γ0
(78)
Nella regione attorno all’apice della traiettoria, ossia il vertice della parabola,
si ha γ ¿ 1 rad e quindi
γ = const −
g
t
V0 cos γ0
(79)
e, derivando rispetto al tempo,
γ̇ = −
g
.
V0 cos γ0
(80)
Ora, inserendo l’ultima espressione per γ̇ nell’eq. 66 ed imponendo γ = 0 e
quindi V = Vh , otteniamo
n=
V γ̇
V0 cos γ0
g
+ cos γ = −
+ 1 = 0.
g
g
V0 cos γ0
(81)
Naturalmente, l’adesione ad una specifica tecnica di pilotaggio è fondamentale perché si riesca ad ottenere una traiettoria più prossima possibile a quella
balistica. Ciò comporta in particolare che l’incidenza del velivolo venga opportunamente ridotta in corrispondenza alla riduzione della manetta e quindi
controllata in modo adeguato per tutta la durata della fase ‘a 0-g’.
3 VIRATA
3
20
VIRATA
3.1
Considerazioni cinematiche
Per virata (turning flight) s’intende una manovra compiuta nel piano orizzontale
allo scopo di cambiare l’angolo di rotta (track angle) χ, definito come l’angolo
formato dalla proiezione della velocità di volo sul piano orizzontale xh y h con
una direzione fissata su tale piano, convenzionalmente quella dell’asse xh :
χ := atan
ehy · V
.
ehx · V
(82)
Ricordiamo che, attraverso l’angolo di rotta, la velocità V (il cui modulo coincide
con la componente orizzontale, V ≡ Vh ) si scrive
V = V cos χ ehx + V sin χ ehy ,
(83)
essendo ehx il versore di una direzione di riferimento nel piano dell’orizzonte locale
e ehy il versore normale nello stesso piano, tale da formare una terna destra col
versore verticale ehz diretto verso il basso. L’angolo di rampa è identicamente
pari a zero.
In generale l’accelerazione si scrive
V̇ = V̇ et + ω V en ,
ω ≥ 0,
(84)
rispetto ai versori del triedro intrinseco (et , en ), detti rispettivamente versore
tangente e versore normale principale alla traiettoria. Quando ω = +χ̇, abbiamo
en = +eay , mentre quando ω = −χ̇, abbiamo en = −eay ; essendo et ≡ eax
abbiamo, rispetto agli assi vento,
V̇ = V̇ eax + χ̇ V eay .
(85)
La virata è detta positiva se porta ad un aumento dell’angolo di rotta, χ̇ > 0,
negativa se porta ad una diminuzione dell’angolo di rotta, χ̇ < 0. Una virata
‘completa’ comporta un mezzo giro (un’inversione di rotta), ossia una variazione
di χ pari a ±π.
3.2
Tipi di virata
Il pilota ha diverse opzioni per eseguire la virata. Fondamentalmente, ci sono due
meccanismi possibili per sviluppare la forza normale alla traiettoria necessaria
a mantenere il velivolo in virata:
• manovrando il timone, può determinare la nascita di un’ulteriore forza
aerodinamica normale alla traiettoria, ossia una devianza, in aggiunta alla
portanza;
• manovrando gli alettoni, può inclinare il velivolo in modo che la portanza
abbia una componente nel piano orizzontale.
3 VIRATA
Manovra
Virata a destra
Virata a sinistra
21
Rateo di virata
χ̇ > 0
χ̇ < 0
Angolo di deriva
β<0
β>0
Devianza
Q<0
Q>0
Tab. 1: Caratteristiche cinematiche e dinamiche in virata piatta.
Naturalmente, è possibile combinare i due meccanismi accennati. Tuttavia,
nella pratica, le virate vengono eseguite facendo riferimento ad uno solo dei due
meccanismi:9 nel primo caso si ha la virata piatta (flat turn), nel secondo la
virata corretta (coordinated turn oppure true banked turn).
Dagli sviluppi seguenti, appare chiaro che la virata corretta è di gran lunga
preferibile nella maggior parte dei casi, per motivi di praticità, di economia e di
prestazioni. Di fatto, nelle ordinarie operazioni di volo, le virate corrette sono
normalmente usate per significativi cambiamenti di rotta, mentre le virate piatte
vengono utilizzate solitamente per aggiustamenti della rotta di pochi gradi.
3.3
Virata piatta
Nella virata piatta, la principale forza agente nel piano orizzontale perpendicolarmente alla traiettoria è la devianza Q. Per un velivolo materialmente simmetrico, tale forza è generata da un angolo di deriva β 6= 0, per cui la virata piatta
è una condizione di volo non simmetrico.
In particolare, se la virata è positiva, secondo le convenzioni di segno adottate, necessita una devianza negativa e quindi un angolo di deriva anch’esso
negativo; se la virata è negativa necessita invece una devianza positiva e quindi
un angolo di deriva positivo. Pertanto, in entrambi i casi, la prua del velivolo
punta leggermente all’interno della traiettoria, cioè verso il centro di curvatura.
Rispetto al volo livellato alla medesima velocità, la portanza richiesta in
virata piatta è la stessa (pari al peso) e quindi il fattore di carico normale
naz = n è pari a 1. La presenza della devianza induce però un fattore di carico
laterale nay 6= 0.
Inoltre, a seguito della derapata e quindi della generazione della devianza, la
resistenza aumenta in quanto compare un termine di resistenza indotta legato
alla devianza, per il medesimo meccanismo che genera la resistenza indotta dalla
portanza. Pertanto, la richiesta di spinta in virata piatta supera quella necessaria al volo livellato alla stessa velocità. Quest’incremento è tanto maggiore,
quanto maggiore è la devianza generata e quindi quanto minore è il raggio di
curvatura della traiettoria.
9 Fatta salva la necessità di piccole correzioni con gli altri comandi, necessarie per garantire
l’equilibrio alla rotazione (coordinazione dei comandi).
3 VIRATA
3.3.1
22
Equazioni del volo orizzontale non simmetrico
Le equazioni di equilibrio alla traslazione relative ad un generico volo non simmetrico nel piano orizzontale, nell’ipotesi che tale piano coincida con il piano
xa y a , sono le seguenti:
m V̇ = T cos α cos β − D,
m V χ̇ = −T cos α sin β − Q,
0 = T sin α + L − W,
(86)
dove T rappresenta la spinta (o trazione), D la resistenza aerodinamica, Q la
devianza, L la portanza, m la massa e W = m g il peso, mentre V è la velocità
di volo, α e β gli angoli d’incidenza e deriva.
Queste equazioni rappresentano, nell’ordine, il bilancio delle forze in direzione tangenziale al moto (ossia la direzione del vettore velocità di volo V),
il bilancio delle forze in direzione normale al moto nel piano orizzontale ed il
bilancio delle forze in direzione verticale. Si è assunto per comodità l’asse corpo
longitudinale coincidente con l’asse orientato del vettore spinta T.
Nella virata piatta, la maggior parte della spinta è impiegata per vincere la
resistenza e produrre un’accelerazione tangenziale, mentre la portanza, assieme
ad una piccola porzione della spinta, equilibra il peso. La devianza, assieme ad
una piccola porzione della spinta, produce l’accelerazione centripeta, ovvero –
in termini di moto relativo – bilancia la forza centrifuga.
Le eq. 86 si semplificano significativamente se si assume che il volo si svolga
• ad incidenze moderate, α ¿ 1 rad;
• a derive moderate, β ¿ 1 rad;
• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).
Queste condizioni sono ampiamente verificate nella stragrande maggioranza
delle condizioni di virata piatta d’interesse.
Applicando tali condizioni, si può assumere che, trascurando T sin α rispetto
a L e ponendo T cos α cos β ≈ T , tutta la spinta agisca in direzione della velocità
di volo:
m V̇ = T − D,
(87)
m V χ̇ = T β − Q,
0 = L − W,
Per semplicità, supponiamo che sia possibile trascurare T β rispetto a Q, ottenendo l’ulteriore semplificazione per l’eq. 872 :
m V χ̇ = −Q.
(88)
Quest’equazione implica che per una virata destra (sinistra) si ha un angolo
di deriva negativo (positivo), come riportato nella Tabella 1. Inoltre, da essa
3 VIRATA
23
ricaviamo l’espressione per la velocità di virata in termini della velocità di volo
e del coefficiente di devianza:
χ̇ = −
Q
g
=−
mV
W
1
2
ρ V 2 S CQ
V
= −g CQ ,
V
A
dove
A :=
2 W
ρ S
(89)
(90)
rappresenta il quadrato di una velocità di riferimento, introdotta per comodità
di scrittura.10 Il raggio di curvatura istantaneo risulta
R=
V
V
1 A
=
=
,
ω
|χ̇|
g |CQ |
(91)
sicché, fissati quota e carico alare, il raggio di virata dipende dall’inverso del
modulo del coefficiente di devianza CQ . Ora, il coefficiente di devianza, per angoli di deriva moderati, è un numero relativamente piccolo, decisamente minore
di 1, in quanto dominato dal rapporto σ v := S v /S tra la superficie di riferimento della deriva verticale e quella alare. Ne risultano quindi raggi di virata
relativamente elevati e ratei di virata relativamente bassi.
3.3.2
Fattore di carico in virata piatta
Il fattore di carico n ha le seguenti componenti in assi vento:
nax = −
T −D
,
W
nay =
Q
,
W
naz =
L
,
W
(92)
che, date le ipotesi su (α, β), possono essere confuse con le componenti in assi
corpo. Risulta quindi che il fattore di carico normale nbz ≈ naz ≈ n è pari a 1,
come nel volo livellato (a bordo del velivolo si percepisce un peso in direzione
verticale identico al peso effettivo), mentre si determina un fattore di carico
laterale nby ≈ nay pari al rapporto tra devianza e peso. Si tratta dell’effetto
dell’accelerazione centripeta, che si manifesta con una forza centrifuga che, per
fattori di carico anche di poco superiori a 0, può risultare molto fastidiosa per
il pilota e gli eventuali passeggeri.
Notiamo che il rateo di virata, in termini del fattore di carico laterale, vale
ω=
|Q|
W |Q|
g
=
= |nay |,
mV
mV W
V
(93)
e risulta in generale assai minore del rapporto g/V , mentre il raggio di virata
vale
V2
,
(94)
R=
g |nay |
e risulta in generale assai maggiore del rapporto V 2 /g.
10 Si tratta, evidentemente, della velocità di equilibrio in volo livellato corrispondente a
CL = 1.
3 VIRATA
24
Manovra
Rateo di virata
Angolo di bank
Virata a destra
Virata a sinistra
χ̇ > 0
χ̇ < 0
Φ>0
Φ<0
Componente
centripeta
della portanza
L sin Φ > 0
L sin Φ < 0
Tab. 2: Caratteristiche cinematiche e dinamiche in virata corretta.
3.4
Virata corretta
Nella virata corretta, la principale forza agente nel piano orizzontale perpendicolarmente alla traiettoria è una parte della portanza L. Tale forza è generata
imponendo un angolo d’inclinazione laterale (bank angle) Φ 6= 0, mantenendo
condizioni di volo simmetrico.
In particolare, se la virata è positiva, secondo le convenzioni di segno adottate, necessita un angolo d’inclinazione laterale positivo; se la virata è negativa
necessita invece un angolo d’inclinazione laterale negativo. Dato che il volo è
simmetrico, la fusoliera del velivolo si mantiene tangente alla traiettoria.
Rispetto al volo livellato alla medesima velocità, la portanza richiesta in
virata corretta è maggiore e quindi il fattore di carico normale è sempre maggiore
di 1. La simmetria del volo, e quindi l’assenza della devianza, escludono la
nascita di un fattore di carico laterale.
Inoltre, a seguito dell’aumento della portanza, la resistenza aumenta in quanto si incrementa il termine di resistenza indotta dalla portanza. Pertanto,
la richiesta di spinta in virata piatta supera quella necessaria al volo livellato alla stessa velocità. Quest’incremento è tanto maggiore, quanto maggiore
è la portanza generata e quindi quanto minore è il raggio di curvatura della
traiettoria.
3.4.1
Equazioni generali del volo orizzontale simmetrico
Le equazioni di equilibrio relative ad un generico volo simmetrico nel piano
orizzontale sono le seguenti:
m V̇ = T cos α − D,
m V χ̇ = (T sin α + L) sin Φ,
0 = (T sin α + L) cos Φ − W,
(95)
dove T rappresenta la spinta (o trazione), D la resistenza aerodinamica, L la
portanza, m la massa e W = m g il peso, mentre V è la velocità di volo, α e Φ
gli angoli d’incidenza e inclinazione laterale.
Le eq. 95 si semplificano significativamente se si assume che il volo si svolga
• ad incidenze moderate, α ¿ 1 rad;
• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).
3 VIRATA
25
Entrambe queste condizioni sono ampiamente verificate nella stragrande maggioranza delle condizioni di virata corretta d’interesse, con l’eccezione di manovre particolarmente strette, per le quali ci si può avvicinare alle condizioni di
stallo e quindi ad incidenze elevate ed efficienze relativamente basse.
Applicando tali condizioni, si può assumere che, trascurando T sin α rispetto
a L e ponendo T cos α ≈ T , tutta la spinta agisca in direzione della velocità di
volo:
m V̇ = T − D,
m V χ̇ = L sin Φ,
0 = L cos Φ − W,
(96)
Quest’equazione implica che per una virata destra (sinistra) si ha un angolo d’inclinazione laterale positivo (negativo), come riportato nella Tabella 2. Inoltre,
da essa ricaviamo l’espressione per la velocità di virata in termini della velocità
di volo, del coefficiente di portanza e dell’angolo d’inclinazione laterale:
χ̇ =
L sin Φ
g
=
mV
W
1
2
ρ V 2 S CL sin Φ
V
= g CL sin Φ,
V
A
(97)
dove
2 W
(98)
ρ S
rappresenta il quadrato di una velocità di riferimento, introdotta per comodità
di scrittura.11 Il raggio di curvatura istantaneo risulta
A :=
R=
V
V
1 A
=
=
| sin Φ|,
ω
|χ̇|
g CL
(99)
sicché, fissati quota, carico alare e angolo d’inclinazione laterale, il raggio di virata dipende dall’inverso del coefficiente di portanza CL . Ora, il coefficiente di
portanza può assumere valori relativamente elevati, dell’ordine di 1. Pertanto,
supponendo di poter operare ad angoli d’inclinazione laterale relativamente elevati, risultano raggi di virata relativamente ridotti e ratei di virata relativamente
alti.
In realtà, il discorso appena svolto non tiene conto del fatto che coefficiente
di portanza ed angolo d’inclinazione laterale sono legati, dovendo la portanza
assolvere contemporaneamente al compito di bilanciare il peso e creare l’accelerazione centripeta. Vedremo nel seguito come caratterizzare più compiutamente
tale relazione.
3.4.2
Fattore di carico in virata corretta
Il fattore di carico n ha le seguenti componenti in assi vento:
nax = −
T −D
,
W
nay = 0,
naz =
L
,
W
(100)
11 Si tratta, evidentemente, della velocità di equilibrio in volo livellato corrispondente a
CL = 1.
3 VIRATA
26
Angolo
di bank
15◦
30◦
45◦
60◦
75◦
80◦
85◦
89◦
Fattore di carico
normale
1.035
1.155
1.414
2.000
3.864
5.759
11.474
57.299
Incremento
del peso apparente
+ 3%
+ 15%
+ 41%
+ 100%
+ 286%
+ 476%
+ 1047%
+ 5630%
Tab. 3: Corrispondenza angolo d’inclinazione laterale e fattore di carico normale
in virata corretta.
che, date le ipotesi su α, possono essere confuse con le componenti in assi corpo.
Risulta quindi che il fattore di carico normale nbz ≈ naz ≈ n è maggiore di 1 (a
bordo del velivolo si percepisce un peso in direzione verticale maggiore del peso
effettivo), mentre è identicamente nullo il fattore di carico laterale nby ≈ nay .
In altre parole, l’effetto dell’accelerazione centripeta si manifesta con una forza
centrifuga che, componendosi con il peso, fornisce una risultante delle forze di
massa verticale in assi corpo. Questo tipo di accelerazione risulta più facilmente
sopportabile per il pilota e gli eventuali passeggeri, e quindi preferibile agli effetti
fastidiosi presenti invece nella virata piatta.
Data l’eq. 962 , sostituendo alla portanza il prodotto del peso e del fattore di
carico normale, L = n W , otteniamo
1
.
(101)
cos Φ
Quest’equazione mostra che il fattore di carico normale in virata corretta è
sempre positivo e anzi maggiore di 1, cresce con l’angolo d’inclinazione laterale
e può assumere valori considerevoli, essendo n → ∞ per |Φ| → π/2. Risulta
chiaro che la virata ‘a coltello’, ossia con |Φ| = π non può essere eseguita in
condizioni di virata corretta, essendo impossibile bilanciare il peso quando la
portanza si dispone perpendicolarmente alla direzione della gravità.12
Essendo L = W/ cos Φ dall’eq. 963 , sostituendo nell’eq. 962 ed esplicitando
otteniamo
g
χ̇ =
tan Φ,
(102)
V
per la velocità di virata e
n=
R=
V2
1
V
=
,
|χ̇|
g | tan Φ|
(103)
12 In realtà, come si vedrà in altra sede, i limiti per la virata corretta sopraggiungono molto prima di raggiungere valori di |Φ| prossimi a 90◦ , dato che la manovra del velivolo è
limitata aerodinamicamente dallo stallo, propulsivamente dalla massima spinta disponibile e
strutturalmente dal massimo valore ammissibile per il fattore di carico.
3 VIRATA
27
Manovra
Richiamata
Velocità angolare
g
V
Virata corretta
| max n − 1|
√
g
n2 − 1
V
g
V
Virata piatta
Raggio di curvatura
|nay |
V2
1
g | max n−1|
2
V √ 1
g
n2 −1
V2 1
g |na
y|
Tab. 4: Confronto tra i parametri cinematici caratteristici di alcune manovre
stazionarie.
per il raggio di curvatura istantaneo. Data la relazione tra Φ e n, è immediato
ricavare le relazioni precedenti in funzione del fattore di carico normale come
g p 2
|χ̇| =
n − 1,
(104)
V
per la velocità di virata e
R=
V
V2
1
√
.
=
2
|χ̇|
g
n −1
(105)
Dalle formule appena ricavate si deduce che, in virata corretta, il rateo di virata
assume valori maggiori del rapporto g/V , mentre il raggio di virata risulta minore del rapporto V 2 /g. Confrontando queste deduzioni con quelle corrispondenti
tratte a proposito della virata piatta, risulta evidente quanto a quest’ultima sia
preferibile la virata corretta in termini di prestazioni.
3.4.3
Virata sostenuta
In una virata corretta stazionaria, ossia con (V, χ̇) costanti nel tempo, il fattore
di carico è anch’esso costante nel tempo. Tale condizione di volo viene indicata
spesso col termine di virata sostenuta (sustained turn) proprio per il fatto che
il fattore di carico si mantiene costante. Per fattori di carico elevati, si tratta
di una manovra molto significativa, dato che sia le strutture del velivolo, sia
il carico pagante ed i suoi occupanti risultano sottoposti ad un’accelerazione
prolungata.
Nella pratica aeronautica vengono identificate, a titolo di riferimento, quattro valori della velocità di virata, riportati nella tabella 5. Quella compiuta
alla velocità detta ‘Rate 1’, in cui il velivolo compie un mezzo giro sul piano
orizzontale in un minuto, è detta virata standard.
3.4.4
Esecuzione della virata corretta – Virosbandometro
Per eseguire una virata corretta, il pilota deve impostare il corretto angolo
d’inclinazione laterale per la velocità ed il raggio di curvatura desiderati. Ciò si
esegue fondamentalmente manovrando gli alettoni (barra a destra per una virata
positiva, a sinistra per una negativa) mantenendo l’azione fino quasi all’angolo
cercato, quindi riportando la barra al centro. Tuttavia, l’angolo di bank può
risultare insufficiente o eccessivo rispetto alle necessità della traiettoria:
3 VIRATA
28
Rate
Rate
Rate
Rate
1
2
3
4
Velocità di virata
3 /s = 0.0524 rad/s
6◦ /s = 0.1047 rad/s
12◦ /s = 0.2094 rad/s
24◦ /s = 0.4189 rad/s
◦
Tempo di virata
60 s
30 s
15 s
7.5 s
Tab. 5: Ratei di virata di riferimento (il tempo di virata corrisponde all’inversione della rotta, ossia ad una rotazione della velocità di volo di
180◦ ).
• nel primo caso, quando |Φ| è insufficiente si ha la situazione detta skidding
out of turn (‘slittamento all’esterno della curva’); il velivolo, dato che la
forza centrifuga non è completamente bilanciata dalla componente orizzontale della portanza, tende ad allargare la virata, assumendo un angolo
di deriva β < 0 per χ̇ > 0 e viceversa;
• nel secondo caso, quando |Φ| è eccessivo si ha la situazione detta slipping
into turn (‘scivolamento all’interno della curva’); il velivolo, dato che la
forza centrifuga è superata dalla componente orizzontale della portanza,
tende a stringere la virata, assumendo un angolo di deriva β > 0 per χ̇ > 0
e viceversa.
Lo strumento che aiuta il pilota a controllare l’esecuzione della virata è il virosbandometro (turn and bank indicator 13 ). Si tratta di uno strumento composto
che fornisce due distinte indicazioni: la prima è il rateo di virata, mentre la
seconda rappresenta una misura indiretta dell’angolo di bank (inclinometro o
sbandometro).14
L’indicazione del rateo di virata è fornita solitamente da un ago mobile.
Questa misura è ottenuta attraverso l’uso di giroscopi. Sul quadro tipicamente
vengono indicati due segni in corrispondenza del rateo di virata standard.
L’indicazione dell’inclinometro è fornita semplicemente dalla posizione assunta da una sferetta inserita in un condotto trasparente a forma di toro. Quando la virata è corretta, il risultante delle forze di massa ha l’asse corpo verticale
z b come retta d’azione, sicché la sferetta si dispone nel centro dell’inclinometro.
Quando si ha la situazione detta skidding out of turn, il risultante delle forze
di massa ha una retta d’azione che forma con l’asse verticale z h un angolo superiore a |Φ| e quindi la sferetta si dispone fuori centro, in direzione opposta a
quella della virata. Al contrario, quando si ha la situazione detta slipping into
turn, il risultante delle forze di massa ha una retta d’azione che forma con l’asse
verticale z h un angolo inferiore a |Φ| e quindi la sferetta si dispone fuori centro,
nella stessa direzione della virata.
13
Anche detto turn and slip indicator oppure needle and ball indicator.
Un’evoluzione del virosbandometro è lo strumento detto turn coordinator, il quale è costruito in modo tale da essere sensibile anche alle manovre di rollio, indicando quindi sia la
velocità di virata, sia quella di rollio. Il principio di funzionamento è il medesimo, sia per la
parte giroscopica, sia per l’inclinometro.
14
3 VIRATA
29
Avvertenza
Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile in
forma preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.
È gradita la segnalazione di errori e refusi.
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(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)