Moto di “puro rotolamento” ω - INFN

Moto di “puro rotolamento”
Roto-traslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un
piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo
rispetto a questo ( ⇒ non vi è strisciamento )
y
ω
R
vG
G
z
x
P
Condizione cinematica:
r
v
P
velocità del CM
velocità relativa
di P rispetto al CM
r
r
v 'P = −vG
Derivando rispetto al tempo:
U.Gasparini, Fisica I
r
r
r
v P = v 'P +vG ≡ 0
≡ 0
vG = v'P = ωR
a
G
= α R
accelerazione angolare
velocità angolare
di rotazione
Moto di puro rotolamento (II)
ω
y
z ×
Φ
G
R
F
aG
f P
x
Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione
vincolare Φ che ha una componente –f lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito
statico ; perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio
deve essere scabro.
r
→
Ciò è evidente dall’ equazione del d L G
r (E )
r ( Φ e’ l’unica forza che ha
momento angolare rispetto al CM : dt = M G = GP × Φ momento rispetto a G, in
Proiettando lungo l’asse z :
r 
dL Gz
 →
= I Gz α =  GP × Φ  = Rf
dt

z
grado quindi di dare una
accelerazione angolare
α intorno a G)
f = I Gz α / R ≠ 0
La forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) e’ la
forza responsabile dell’accelerazione angolare del sistema α = a G / R
richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento.
U.Gasparini, Fisica I
2
“Attrito volvente”
Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra
superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione delle
superfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante
ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”:
G
aCM
Φ ×
⇒
z
F
aG
x
f
Dal teorema del moto del CM:
r (E )
r
r
r
r
m aG = R
= F + mg + Φ
ma
Proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) :
G
= F − f
I Gz α = fR
Dall’ eq. delle rotazioni (2a eq. cardinale):
= a
(m + I
f = F − ma G
Gz
/R
2
)a
G
= F
 I G / mR 2
F
=F−
= F 
2
(1 + I G / mR 2 )
 1 + I G / mR
a



G
=
I Gz aG / R 2 = f
G
/ R
F / m
1 + I G / mR
f =
< F/m
2
F
1 + mR
2
/ I
Gz
Esempio:
moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa m
momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G:
y
ω
F
G
f
aG
P
=
f
aG
F / m
=
1 + I G / mR
1
I G = mR 2
2
R
2
x
F
1 + mR
2
/ I
G
2 F
3 m
aG =
F / m
=
1+ 1/ 2
=
F
3

 =

F
−
m
f



L’accelerazione aG è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di
massa M soggetto alla stessa forza F.
Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto ∆x :
W
F
= F ∆ x = ∆ E
k
=
1
mv
2
2
G
+
1
I
2
G
ω
2
vG
=
1 3m
v
2
2
/ R
determina un aumento di energia cinetica sia di traslazione
1
F
∆
x
=
mv
che di rotazione, mentre per un punto materiale:
2
2
2
G
4
La rotazione può essere considerata come
rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :
ω
y
G
Φ
R
F
aG
z×
P
Dal teorema del momento angolare
(calcolato rispetto al punto fisso P ) :
dL Pz
dt
= I
Pz
r 
 →
α =  PG × F 


x
r
dL P
dt
=
= RF
r
M
( E )
P
con :
RF
IP
=
2 F
3 mR
e quindi :
U.Gasparini, Fisica I
a
f = F − ma
r
= P G × F
I P = I G + mR
=
z
Ciò permette di calcolare immediatamente a G :
α =
→
G
= α R =
G
=
F
3
3
mR
2
2
2
2 F
3m
, come già trovato.
5
Forza d’attrito statico nel puro rotolamento
La forza d’attrito statico f non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza
‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco:
y
F
A
R
G
z
dL Pz
dt
= I
P α
α =
P
Φ
Φ x =f
r 
 →
=  PA × F 


2 RF
IP
=
aG
= 2 RF
x
I
con:
z
4F
3 mR
a
CM
P
=
3
mR
2
= α R =
2
4 F
3m
r(E) r
r
r r
Dalla legge del moto del CM: maG = R = F + mg + Φ
proiettata sull’ asse x :
(nota: in questo caso non sappiamo
maG = F + Φ x
U.Gasparini, Fisica I
Φ x = maG − F = F / 3 > 0
a priori come Φ e’ diretta)
6
Puro rotolamento: caso di una coppia di forze di momento M applicata
all’ asse di rotazione
y
R
M
G×
P
Φ
Φ x =f
aG
x
In questo caso, l’ unica forza esterna accelerante e’ la forza d’ attrito f (che e’ quindi
certamente diretta nella direzione del moto).
Le equazioni
del moto sono:
maG = f
IG
aG = M / R − f
2
R
I G α = M − Rf
= aG / R
IG 

m
+
a = M /R

2  G
R 

La forza d’attrito che si sviluppa e’:
aG =
f = ma G =
M
mR (1 + I G / mR 2 )
M
R (1 + I G / mR 2 )
M
= f ≤ µ S mg
R (1 + I G / mR 2 )
il massimo momento che puo’ essere applicato
(senza che la ruota slitti) e’:
Poiche’ deve essere:
M ≤ µ S mgR (1 + I G / mR 2 )
“Assi principali di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:
= I zω
L Oz
L // ω
In generale
ossia non vale la relazione vettoriale:
v
r
L O = I zω
Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione
r
si dicono “assi principali di inerzia” r
L ≡
dL
L
Esempio:
z
L
z ω
r
r r
ω
dL
d L ≡ r × v dm
∫
r
z è un asse principale di inerzia
v
v
r
z non è un asse principale
di inerzia
Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia
mutuamente perpendicolari.
U.Gasparini, Fisica I
8
Esempio: rotazione intorno ad un asse generico
z
ω
L
L
z
ω
dL
r
v
dL
r
v
z non è un asse principale
di inerzia
dopo una rotazione di π
Anche se ω e’ costante, il momento angolare varia
(ruota intorno all’ asse z di direzione costante)
e’necessario un momento esterno per variare L :
l’ asse di rotazione deve essere sollecitato da forze
Esempio 2: ruota “scentrata”
asse di
rotazione
ω
LO
U.Gasparini, Fisica I
“Tensore di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L
e la velocità angolare ω è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :
(formalmente: L = I ω
con I matrice 3x3)
3
L
 L

 L

 L
x
y
z
I
≡
xx
I
yx
I
I
zx
I
xx
∫
(y
ω
jk
k = 1
 I



=
 I


 I


dove :
∑
=
j
yy
I
I
zy
I
xy
2
+ z
2
+ z
2
(j= 1, 2, 3 )
k
xz
yz
zz
  ω
 
 ⋅ω
  ω

)dm ≡ I
x
)dm ≡ I
y
x
y
z
 I xx ω



≡
 I yxω


 I


zx ω
≡
yy
∫
(x
2
x
x
ω
yy ω
+ I zy ω
+ I
+ I
xy
y
y
y
ω
yzω
+ I zzω
+ I
+ I
xz
z
z
z





momento d’inerzia del corpo
rispetto all’asse x
co rp o
I
x
I
zz
∫
≡
(x
2
+ y
2
)dm ≡ I
z
corpo
corpo
gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo
rispetto agli assi coordinati .
Gli elementi
non diagonali sono:
I
yz
=
I
zy
I
≡ −
=
xy
I
yx
≡ −
∫
xyd m
co rp o
∫
yzd m
co rp o
I
xz
=
I
zx
∫
≡ −
xzd m
co rp o
la matrice d’inerzia è simmetrica
10
z
r
ux
=
r
uz
r
∫
asse di rotazione
ω
r
u
r
LO ≡
x
Gli elementi della matrice d’inerzia
d m
∫
r
ω
y
r
r
(r × v )dm =
y
r
r
r
( x u x + y u y + z u z ) × [(ω
L
x
=
∫ [ y (ω
L
x
=
ω
x
L
x
∫
( y
x
2
= I
y
z − ω
+
z
xx
ω
2
= ω
x
r
xu
r
u
x
r
r
+
y
u
+
z
u
x
y
z
r
r
+ ω y u y + ω zu
z
r
r
r
[ r × (ω × r ) ]d m =
∫
y − ω
r
r =
y
r
y ) u x + (ω
z
x − ω
x ) − z (ω
z
x − ω
z
) d m
x
−ω
+ I
y
xy
∫
ω
x y d m
y
x
r
z ) u y + (ω
x
−
+ I
x
y − ω
y
r
x ) u z ]d m
z ) ]d m
− ω
z
∫
x z d m
xzω z
e analoghe espressioni per L y , Lz .
U.Gasparini, Fisica I
11
Momento anolare e matrice d’inerzia
Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’assercoordinato (ad es. l’asse z)
lungo la direzione di rotazione; in questo caso:
ω = ( 0 ,0 , ω )
l’espressione per il momento angolare:
 L

 L

 L
x
y
z
 I



=
 I


 I


si semplifica :
ω
yx ω
zx ω
xx
x
x
x
ω
+ I yyω
+ I zy ω
+ I
L
x
=
I
x z
ω
L
y
= I
yz
ω
L
z
= I
zzω
xy
y
y
y
≡ I zω
ω
+ I yzω
+ I zzω
+ I
xz
z
z
z





componente del
momento angolare
lungo l’asse di rotazione
I xz ≠ 0 , I yz ≠ 0
Tuttavia, essendo in generale
,
il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y
perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L // ω .
Se
I
= 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.
Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale
costituisce un sistema di assi principali di inerzia
xz
U.Gasparini, Fisica I
= I
yz
12
Teorema di Poinsot
Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un
r
punto O e individuato dal versore u ≡ ( u x , u y , u z )
è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :
I z ' = I x x u x2 + I
= r s in ϕ
R
I
z '
∫
≡
2
R
2
2
u
+
I
u
yy y
zz z − 2 ( I xy u x u y + I xz u x u z + I
r
r
(r × u )
∫
=
d m
r
r
r × u
≡
2
z
R
r
r
u ≡ (u
O
∫
y
2
u
=
2
z
[( yu z − zu
+ z
∫
2
[u
2
x
− 2 yzu
2
( y
y
) 2 + ( xu z − zu x ) 2 + ( xu
− 2 yzu zu
2
y
u
y
u
z
+ z
2
x 2 u z2 + z 2 u
y
) + u
− 2 xzu
x
u
2
y
( x
2
Ixx
=
u
2
x
− 2 u
∫
y
( y
u
z
∫
2
+ z
2
,u
,u
y
+ z
2
x
) + u
u
x
2
z
]d m
y
2
x
( x
u
2
2
y
+ y
+
y
2
2
u
x
u
2
y
z
∫
∫
z
)
( x
2
+ z
2
=
x
u
y
− 2 xyu xu
Izz
)d m + u
x zd m − 2 u
2
x
)
Iyy
)d m + u
y zd m − 2 u
x
− y u x ) 2 ]d m =
y
− 2 xzu z u
2
x
− 2 xyu
z
ϕ
y
x
I z' =
uz )
z’
dm
d m
yz u y
∫
2
z
∫
( x
x y d m
2
+
y
2
13
)d m
y
“Ellissoide di inerzia”
L’equazione che esprime il momento d’inerzia:
I
z'
= I
xx
u
2
x
+ I
yy
+ I
2
y
u
u
zz
2
z
− 2(I
u
xy
può essere riscritta, dividendo ambo i membri per
I
(1)
con :
xx
X
2
+ I
X
yy
2
Y
+ I
zz
u
,Y
1
≡
I
x
Z
− 2 I
2
1
≡
u
I
z '
xy
x
u
I z'
:
y
+ I
XY − 2 I
y
, Z
≡
z '
xz
xz
1
I
u
x
u
z
+ I
XZ − 2 I
u
yz
yz
u
y
u
z
)
YZ = 1
z
z '
la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto
al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti
P
= ( X ,Y , Z ) ≡
sono a distanza
O P
1
I
(u
x
,u
z '
=
1
I
y
,u
z
)
coseni direttori
dell’asse z’
dal punto O
z '
Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo
è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo
Z
mediante la relazione:
z’
Ellissoide
1
P
I z' =
d’inerzia
2
O P
O
Y
1
(“Teorema di Poinsot”) X
O P =
U.Gasparini, Fisica I
I
z'
Ellissoide d’inerzia e assi principali
Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio
dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli
assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia I jk
dipende da questa scelta
Z
Z’
z’
z’
Ellissoide
P
P
d’inerzia
Y
O
O
1 X’
OP =
X
I
z'
I
xx
2
X
− 2 I
xy
I
+ I
yy Y
2
X Y − 2 I
xx
≠ I
+ I
xz
equazione dell’ellissoide:
zz
Z
2
X Z − 2 I
I
yz
Y Z = 1
, I yy ≠ I y 'y '
x 'x '
x 'x '
− 2 I
X '2 + I
x 'y '
y 'y
2
'Y ' + I
X ' Y '− 2 I
x 'z '
2
z 'z ' Z '
X ' Z '− 2 I
Y’
y ' z 'Y
'Z '= 1
, … ecc .
E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema
di assi coordinati per il quale sia:
0
0 
 I xx
equazione dell’ellissoide:


Z
I ≡  0
I yy
0 
2
2
2


0
0
I
zz


I xx X
+ I
yy Y
+ I zz Z
= 1
X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno
r
ad essi:
r
L
=
I
ω
jj
U.Gasparini, Fisica I
(j=x,y,z)
X
15
Y
Esempi di ellissoide d’inerzia:
i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:
Iz =
2
MR
5
1
I
2
=
1
2
MR2
5
R
l’ ellissoide d’inerzia è una sfera
corpo sferico omogeneo
ii) ellissoide d’inerzia di2 un cilindro di lunghezza
I
z
=
z
M l
12
l
I
y
Mr
=
2
l e raggio r :
2
1 /
M l
2
/ 12
r
x
I
x
=
M l
12
2
corpo cilindrico
U.Gasparini, Fisica I
y
1 /
M r
2
ellissoide d’inerzia
16
/ 2
Giroscopio
“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di
vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua
orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.
Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento
risultante diverso da zero rispetto ad esso:
( ⇒ le reazioni vincolari che sostengono
il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )
il momento angolare rimane costante:
L G=costante
Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: ω =costante
⇒ la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :
r
M
( E )
G
= 0
“bussola giroscopica”
massa rotante
ω
“giunto cardanico”
z’
y’
U.Gasparini, Fisica I
x’
z
asse di rotazione
(fisso in un sistema
inerziale)
17
Precessione e nutazione
Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”
del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :
ω
r
M
r
r
dLG
= G P × F =
dt
→
G
G
z
P
F
LG
(E) =
G
moto di
precessione
dLG
r r
0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia (L / / ω )
Se M
l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”
Esempio: moto della Terra:
l’asse di rotazione compie un moto
di nutazione con periodo di 19 anni
(l’angolo tra L ed ω è comunque
molto piccolo)
U.Gasparini, Fisica I
LG
S
N
ω
18
Esempio: moto di precessione di una trottola
Sotto l’ azione della forza peso:
moto di precessione
dϕ
ϕ
dLO
ω
r
→
r
r d LO
M O = OG × m g =
dt
G
ϑ
LO
mg
O
O
d L
dLO
dt
= L
O
O
dϕ
s in ϑ
dt
=
≡ L
L
O
O
s in ϑ d ϕ
s in ϑ Ω =
→
M
O
= m g O G
s in ϑ
“velocità angolare di precessione”
→
→
mg OG
Ω =
LO
mg OG
Ω=
Iω
la velocità angolare di precessione Ω è inversamente proporzionale alla velocità
angolare di rotazione ω della trottola
U.Gasparini, Fisica I
19
Moto della Terra: precessione degli equinozi
m ≅ 10 21 Kg
(deformazione del
La Terra e’ un “geoide”:
geoide: δ~ 10 km)
ω
F1 = γmM S / r 2
m
N
θ
θ ≅ 230
O
S
Sole
r ≅ 150⋅106 km
δ
F2 = γmMS /(r + d)2
Momento delle forze esterne rispetto ad O:
= γmMS / r 2 (1+ d / r)2
M O = RT sin θ ( F1 − F2 ) ≅ RT sin θF1 2 x
= F1 /(1+ x) ≅ F1(1− 2x)
2
d~2RT, x ≡ d/r << 1
RT ≅ 6400 km
M T = 6 ⋅ 10 Kg , I = ( 2 / 5 ) M T R
24
LO = I ω
θ
Ω
2
T
dL O
dϕ
= L O sin θ
≡ L O sin θ ⋅ Ω = M O
dt
dt
Il momento angolare della Terra LO
precede con velocita’ angolare:
O
U.Gasparini, Fisica I
periodo di precessione degli equinozi:
Ω=
T =
MO
Iω ⋅ sin θ
2π
≅ 26000 anni
Ω