Moto di “puro rotolamento” Roto-traslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo rispetto a questo ( ⇒ non vi è strisciamento ) y ω R vG G z x P Condizione cinematica: r v P velocità del CM velocità relativa di P rispetto al CM r r v 'P = −vG Derivando rispetto al tempo: U.Gasparini, Fisica I r r r v P = v 'P +vG ≡ 0 ≡ 0 vG = v'P = ωR a G = α R accelerazione angolare velocità angolare di rotazione Moto di puro rotolamento (II) ω y z × Φ G R F aG f P x Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione vincolare Φ che ha una componente –f lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito statico ; perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio deve essere scabro. r → Ciò è evidente dall’ equazione del d L G r (E ) r ( Φ e’ l’unica forza che ha momento angolare rispetto al CM : dt = M G = GP × Φ momento rispetto a G, in Proiettando lungo l’asse z : r dL Gz → = I Gz α = GP × Φ = Rf dt z grado quindi di dare una accelerazione angolare α intorno a G) f = I Gz α / R ≠ 0 La forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) e’ la forza responsabile dell’accelerazione angolare del sistema α = a G / R richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento. U.Gasparini, Fisica I 2 “Attrito volvente” Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione delle superfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”: G aCM Φ × ⇒ z F aG x f Dal teorema del moto del CM: r (E ) r r r r m aG = R = F + mg + Φ ma Proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) : G = F − f I Gz α = fR Dall’ eq. delle rotazioni (2a eq. cardinale): = a (m + I f = F − ma G Gz /R 2 )a G = F I G / mR 2 F =F− = F 2 (1 + I G / mR 2 ) 1 + I G / mR a G = I Gz aG / R 2 = f G / R F / m 1 + I G / mR f = < F/m 2 F 1 + mR 2 / I Gz Esempio: moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa m momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G: y ω F G f aG P = f aG F / m = 1 + I G / mR 1 I G = mR 2 2 R 2 x F 1 + mR 2 / I G 2 F 3 m aG = F / m = 1+ 1/ 2 = F 3 = F − m f L’accelerazione aG è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di massa M soggetto alla stessa forza F. Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto ∆x : W F = F ∆ x = ∆ E k = 1 mv 2 2 G + 1 I 2 G ω 2 vG = 1 3m v 2 2 / R determina un aumento di energia cinetica sia di traslazione 1 F ∆ x = mv che di rotazione, mentre per un punto materiale: 2 2 2 G 4 La rotazione può essere considerata come rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P : ω y G Φ R F aG z× P Dal teorema del momento angolare (calcolato rispetto al punto fisso P ) : dL Pz dt = I Pz r → α = PG × F x r dL P dt = = RF r M ( E ) P con : RF IP = 2 F 3 mR e quindi : U.Gasparini, Fisica I a f = F − ma r = P G × F I P = I G + mR = z Ciò permette di calcolare immediatamente a G : α = → G = α R = G = F 3 3 mR 2 2 2 2 F 3m , come già trovato. 5 Forza d’attrito statico nel puro rotolamento La forza d’attrito statico f non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza ‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco: y F A R G z dL Pz dt = I P α α = P Φ Φ x =f r → = PA × F 2 RF IP = aG = 2 RF x I con: z 4F 3 mR a CM P = 3 mR 2 = α R = 2 4 F 3m r(E) r r r r Dalla legge del moto del CM: maG = R = F + mg + Φ proiettata sull’ asse x : (nota: in questo caso non sappiamo maG = F + Φ x U.Gasparini, Fisica I Φ x = maG − F = F / 3 > 0 a priori come Φ e’ diretta) 6 Puro rotolamento: caso di una coppia di forze di momento M applicata all’ asse di rotazione y R M G× P Φ Φ x =f aG x In questo caso, l’ unica forza esterna accelerante e’ la forza d’ attrito f (che e’ quindi certamente diretta nella direzione del moto). Le equazioni del moto sono: maG = f IG aG = M / R − f 2 R I G α = M − Rf = aG / R IG m + a = M /R 2 G R La forza d’attrito che si sviluppa e’: aG = f = ma G = M mR (1 + I G / mR 2 ) M R (1 + I G / mR 2 ) M = f ≤ µ S mg R (1 + I G / mR 2 ) il massimo momento che puo’ essere applicato (senza che la ruota slitti) e’: Poiche’ deve essere: M ≤ µ S mgR (1 + I G / mR 2 ) “Assi principali di inerzia” Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione: = I zω L Oz L // ω In generale ossia non vale la relazione vettoriale: v r L O = I zω Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione r si dicono “assi principali di inerzia” r L ≡ dL L Esempio: z L z ω r r r ω dL d L ≡ r × v dm ∫ r z è un asse principale di inerzia v v r z non è un asse principale di inerzia Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia mutuamente perpendicolari. U.Gasparini, Fisica I 8 Esempio: rotazione intorno ad un asse generico z ω L L z ω dL r v dL r v z non è un asse principale di inerzia dopo una rotazione di π Anche se ω e’ costante, il momento angolare varia (ruota intorno all’ asse z di direzione costante) e’necessario un momento esterno per variare L : l’ asse di rotazione deve essere sollecitato da forze Esempio 2: ruota “scentrata” asse di rotazione ω LO U.Gasparini, Fisica I “Tensore di inerzia” Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L e la velocità angolare ω è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) : (formalmente: L = I ω con I matrice 3x3) 3 L L L L x y z I ≡ xx I yx I I zx I xx ∫ (y ω jk k = 1 I = I I dove : ∑ = j yy I I zy I xy 2 + z 2 + z 2 (j= 1, 2, 3 ) k xz yz zz ω ⋅ω ω )dm ≡ I x )dm ≡ I y x y z I xx ω ≡ I yxω I zx ω ≡ yy ∫ (x 2 x x ω yy ω + I zy ω + I + I xy y y y ω yzω + I zzω + I + I xz z z z momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse x co rp o I x I zz ∫ ≡ (x 2 + y 2 )dm ≡ I z corpo corpo gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi coordinati . Gli elementi non diagonali sono: I yz = I zy I ≡ − = xy I yx ≡ − ∫ xyd m co rp o ∫ yzd m co rp o I xz = I zx ∫ ≡ − xzd m co rp o la matrice d’inerzia è simmetrica 10 z r ux = r uz r ∫ asse di rotazione ω r u r LO ≡ x Gli elementi della matrice d’inerzia d m ∫ r ω y r r (r × v )dm = y r r r ( x u x + y u y + z u z ) × [(ω L x = ∫ [ y (ω L x = ω x L x ∫ ( y x 2 = I y z − ω + z xx ω 2 = ω x r xu r u x r r + y u + z u x y z r r + ω y u y + ω zu z r r r [ r × (ω × r ) ]d m = ∫ y − ω r r = y r y ) u x + (ω z x − ω x ) − z (ω z x − ω z ) d m x −ω + I y xy ∫ ω x y d m y x r z ) u y + (ω x − + I x y − ω y r x ) u z ]d m z ) ]d m − ω z ∫ x z d m xzω z e analoghe espressioni per L y , Lz . U.Gasparini, Fisica I 11 Momento anolare e matrice d’inerzia Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’assercoordinato (ad es. l’asse z) lungo la direzione di rotazione; in questo caso: ω = ( 0 ,0 , ω ) l’espressione per il momento angolare: L L L x y z I = I I si semplifica : ω yx ω zx ω xx x x x ω + I yyω + I zy ω + I L x = I x z ω L y = I yz ω L z = I zzω xy y y y ≡ I zω ω + I yzω + I zzω + I xz z z z componente del momento angolare lungo l’asse di rotazione I xz ≠ 0 , I yz ≠ 0 Tuttavia, essendo in generale , il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L // ω . Se I = 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia. Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale costituisce un sistema di assi principali di inerzia xz U.Gasparini, Fisica I = I yz 12 Teorema di Poinsot Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un r punto O e individuato dal versore u ≡ ( u x , u y , u z ) è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk : I z ' = I x x u x2 + I = r s in ϕ R I z ' ∫ ≡ 2 R 2 2 u + I u yy y zz z − 2 ( I xy u x u y + I xz u x u z + I r r (r × u ) ∫ = d m r r r × u ≡ 2 z R r r u ≡ (u O ∫ y 2 u = 2 z [( yu z − zu + z ∫ 2 [u 2 x − 2 yzu 2 ( y y ) 2 + ( xu z − zu x ) 2 + ( xu − 2 yzu zu 2 y u y u z + z 2 x 2 u z2 + z 2 u y ) + u − 2 xzu x u 2 y ( x 2 Ixx = u 2 x − 2 u ∫ y ( y u z ∫ 2 + z 2 ,u ,u y + z 2 x ) + u u x 2 z ]d m y 2 x ( x u 2 2 y + y + y 2 2 u x u 2 y z ∫ ∫ z ) ( x 2 + z 2 = x u y − 2 xyu xu Izz )d m + u x zd m − 2 u 2 x ) Iyy )d m + u y zd m − 2 u x − y u x ) 2 ]d m = y − 2 xzu z u 2 x − 2 xyu z ϕ y x I z' = uz ) z’ dm d m yz u y ∫ 2 z ∫ ( x x y d m 2 + y 2 13 )d m y “Ellissoide di inerzia” L’equazione che esprime il momento d’inerzia: I z' = I xx u 2 x + I yy + I 2 y u u zz 2 z − 2(I u xy può essere riscritta, dividendo ambo i membri per I (1) con : xx X 2 + I X yy 2 Y + I zz u ,Y 1 ≡ I x Z − 2 I 2 1 ≡ u I z ' xy x u I z' : y + I XY − 2 I y , Z ≡ z ' xz xz 1 I u x u z + I XZ − 2 I u yz yz u y u z ) YZ = 1 z z ' la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti P = ( X ,Y , Z ) ≡ sono a distanza O P 1 I (u x ,u z ' = 1 I y ,u z ) coseni direttori dell’asse z’ dal punto O z ' Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo Z mediante la relazione: z’ Ellissoide 1 P I z' = d’inerzia 2 O P O Y 1 (“Teorema di Poinsot”) X O P = U.Gasparini, Fisica I I z' Ellissoide d’inerzia e assi principali Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia I jk dipende da questa scelta Z Z’ z’ z’ Ellissoide P P d’inerzia Y O O 1 X’ OP = X I z' I xx 2 X − 2 I xy I + I yy Y 2 X Y − 2 I xx ≠ I + I xz equazione dell’ellissoide: zz Z 2 X Z − 2 I I yz Y Z = 1 , I yy ≠ I y 'y ' x 'x ' x 'x ' − 2 I X '2 + I x 'y ' y 'y 2 'Y ' + I X ' Y '− 2 I x 'z ' 2 z 'z ' Z ' X ' Z '− 2 I Y’ y ' z 'Y 'Z '= 1 , … ecc . E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema di assi coordinati per il quale sia: 0 0 I xx equazione dell’ellissoide: Z I ≡ 0 I yy 0 2 2 2 0 0 I zz I xx X + I yy Y + I zz Z = 1 X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno r ad essi: r L = I ω jj U.Gasparini, Fisica I (j=x,y,z) X 15 Y Esempi di ellissoide d’inerzia: i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R: Iz = 2 MR 5 1 I 2 = 1 2 MR2 5 R l’ ellissoide d’inerzia è una sfera corpo sferico omogeneo ii) ellissoide d’inerzia di2 un cilindro di lunghezza I z = z M l 12 l I y Mr = 2 l e raggio r : 2 1 / M l 2 / 12 r x I x = M l 12 2 corpo cilindrico U.Gasparini, Fisica I y 1 / M r 2 ellissoide d’inerzia 16 / 2 Giroscopio “Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato. Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento risultante diverso da zero rispetto ad esso: ( ⇒ le reazioni vincolari che sostengono il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM ) il momento angolare rimane costante: L G=costante Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: ω =costante ⇒ la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale : r M ( E ) G = 0 “bussola giroscopica” massa rotante ω “giunto cardanico” z’ y’ U.Gasparini, Fisica I x’ z asse di rotazione (fisso in un sistema inerziale) 17 Precessione e nutazione Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione” del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio : ω r M r r dLG = G P × F = dt → G G z P F LG (E) = G moto di precessione dLG r r 0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia (L / / ω ) Se M l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione” Esempio: moto della Terra: l’asse di rotazione compie un moto di nutazione con periodo di 19 anni (l’angolo tra L ed ω è comunque molto piccolo) U.Gasparini, Fisica I LG S N ω 18 Esempio: moto di precessione di una trottola Sotto l’ azione della forza peso: moto di precessione dϕ ϕ dLO ω r → r r d LO M O = OG × m g = dt G ϑ LO mg O O d L dLO dt = L O O dϕ s in ϑ dt = ≡ L L O O s in ϑ d ϕ s in ϑ Ω = → M O = m g O G s in ϑ “velocità angolare di precessione” → → mg OG Ω = LO mg OG Ω= Iω la velocità angolare di precessione Ω è inversamente proporzionale alla velocità angolare di rotazione ω della trottola U.Gasparini, Fisica I 19 Moto della Terra: precessione degli equinozi m ≅ 10 21 Kg (deformazione del La Terra e’ un “geoide”: geoide: δ~ 10 km) ω F1 = γmM S / r 2 m N θ θ ≅ 230 O S Sole r ≅ 150⋅106 km δ F2 = γmMS /(r + d)2 Momento delle forze esterne rispetto ad O: = γmMS / r 2 (1+ d / r)2 M O = RT sin θ ( F1 − F2 ) ≅ RT sin θF1 2 x = F1 /(1+ x) ≅ F1(1− 2x) 2 d~2RT, x ≡ d/r << 1 RT ≅ 6400 km M T = 6 ⋅ 10 Kg , I = ( 2 / 5 ) M T R 24 LO = I ω θ Ω 2 T dL O dϕ = L O sin θ ≡ L O sin θ ⋅ Ω = M O dt dt Il momento angolare della Terra LO precede con velocita’ angolare: O U.Gasparini, Fisica I periodo di precessione degli equinozi: Ω= T = MO Iω ⋅ sin θ 2π ≅ 26000 anni Ω