L`insieme dei numeri interi Z

L’insieme dei numeri
interi Z
Prof. Walter Pugliese
L’insieme Z
Indichiamo con Z l’insieme costituito dai numeri:
…,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,…
Questi numeri si chiamano interi relativi o semplicemente interi.
•
•
•
•
•
0 è l’unico numero intero senza segno.
Indichiamo con 𝒁+ l’insieme degli interi positivi e con 𝒁− l’insieme degli interi negativi.
I numeri che hanno lo stesso segno si chiamano concordi, quelli che hanno segno diverso discordi.
Il valore assoluto di un numero è il numero considerato senza il segno che lo precede. Per indicarlo si
usa il simbolo
. (es.: +6 = 6; −6 = 6
Due numeri interi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto e sono discordi (es.: -4 e +4
sono opposti. ). Il numero 0 può essere considerato l’opposto di sé stesso.
L’insieme Z come ampliamento dell’insieme N
Consideriamo il sottoinsieme di Z formato da 0 e da tutti gli interi positivi , che indichiamo con 𝑍0 + :
𝑍0 + = 0, +1, +2, +3, +4, …
I.
E’ possibile creare una «legge» che ad ogni numero di 𝑍0 + associa uno e un solo numero di 𝑁,
cioè associamo allo 0 di 𝑍0 + lo 0 di 𝑁, il numero +1 al numero 1, il numero +2 al numero 2 e
così via.
I.
Il confronto tra numeri e le operazioni in 𝑍0 + conservano gli stessi risultati ottenuti con i loro
corrispondenti naturali (es.: +5>+2 in 𝑍0 + e 5>2 in N; (+5)+(+3)=+8 in 𝑍0 + e 5+3=8 in N e ecc.)
II.
In 𝑍0 + vengono mantenute le proprietà formali relative al confronto e alle operazioni
introdotte precedentemente in N (es. proprietà commutativa per l’addizione e la
moltiplicazione ecc.)
Il sussistere di queste tre condizioni ci permette di identificare 𝑍0 +
con N e di poter dunque considerare N come un sottoinsieme proprio di Z.
La rappresentazione dei numeri interi su una
retta
Mentre i numeri naturali si possono rappresentare graficamente su una
semiretta orientata, i numeri interi si rappresentano su una retta orientata
sulla quale i numeri opposti saranno equidistanti da 0:
Confronto fra numeri interi
Tenendo presente la rappresentazione dei numeri interi sulla retta orientata, ogni numero risulta
minore di tutti quelli che stanno alla sua destra e maggiori di tutti quelli che stanno alla sua sinistra.
In generale:
•
•
•
•
Fra due numeri positivi, il maggiore è quello che ha valore assoluto maggiore
Fra due numeri negativi il maggiore è quello che ha valore assoluto minore
Ogni numero positivo è sempre maggiore di ogni numero negativo
Il numero 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo
Dunque dati due numeri interi a e b, si verifica sempre una e una sola delle seguenti condizioni: a0b,
oppure a<b, oppure a>b. Diciamo perciò che l’insieme Z è un insieme ordinato.
Anche nell’insieme Z come in N, è sempre possibile conoscere il precedente e il successivo di un
numero.
Infine, sulla retta che rappresenta Z, fra un numero intero e il suo successivo non vi sono altri
numeri interi. Per questo motivo anche l’insieme Z come N è un insieme discreto.
Le operazioni nell’insieme dei numeri interi
L’addizione
Somma di numeri concordi:
Somma di numeri discordi:
La somma di due numeri concordi è un numero che
ha:
La somma di due numeri discordi è un numero che
ha:
•
•
Per valore assoluto la somma fra i valori assoluti
dei due numeri
Per segno lo stesso segno dei due numeri
Esempio:
(+4)+(+5)=+(4+5)=+9
(-3)+(-7)=-(3+7)-10
•
•
Per valore assoluto la differenza fra il maggiore e
il minore dei valori assoluti
Per segno quello del numero che ha valore
assoluto maggiore
Esempio:
(-12)+(+40)=+(40-12)=+28
(-20)+(+4)=-(20-4)=-16
L’addizione è una operazione interna in Z ed è inoltre possibile verificare che anche per l’addizione fra interi valgono
le proprietà commutativa, associativa, e che lo 0 è l’elemento neutro.
Infine per ogni numero intero ne esiste un) secondo (il suo opposto) tale che la loro somma è 0.
La sottrazione
Differenza fra interi:
•
La differenza tra due interi è la somma del
minuendo con l’opposto del sottraendo.
•
a-b=a+(-b)
Esempio:
(+14)-(+3)=(+14)+(-3)=+11
(-4)-(-6)=(-4)+(+6)=+2
•
Anche per la sottrazione vale la proprietà
invariantiva.
L’operazione di sottrazione è un’operazione
interna in Z mentre non lo è in N.
L’operazione 4-7 può essere vista sia come
un’addizione (+4)+(-7), sia come una
sottrazione (+4)-(+7). Poiché la sottrazione può
essere riconducibile all’addizione, è possibile
parlare più semplicemente di addizione
algebrica senza specificare addizioni e
sottrazioni.
La moltiplicazione
Prodotto di due interi:
Il prodotto di due numeri interi è un intero che ha:
•
•
Per valore assoluto il prodotto fra i valori
assoluti dei due numeri
Per segno, il segno positivo se i due fattori
sono concordi, il segno negativo se i due fattori
sono discordi.
∙
+
-
+
+
-
-
-
+
Esempi0:
+6 ∙ +8 = +48
−5 ∙ −7 = +35
−3 ∙ +5 = −15
(+9) ∙ −2 = −18
La moltiplicazione è un’operazione interna in Z.
Inoltre valgono tutte le proprietà già esaminate
in N. +1 è l’elemento neutro
La divisione
Esempio:
Quoziente di due interi:
(+45):(+9)=+5
(-12):(-6)=+2
Il quoziente di due numeri interi, quando il primo è
multiplo del secondo è il secondo è diverso da zero, è
un intero che ha :
(+24):(-4)=-6
(-15):(+5)=-3
•
•
Per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti
dei due numeri
Per segno quello dato dalle regole di segno della
moltiplicazione
•
•
Nella divisione valgono le proprietà invarinativa
e distributiva a destra rispetto all’addizione.
Anche in Z come in N, la divisione non è
un’operazione interna, (-20):(+3) non ha risultato
in Z.
La potenza
Potenza di un intero con esponente naturale:
La potenza di un numero intero è un intero che ha:
•
•
Per valore assoluto la potenza del valore assoluto
Per segno, il segno negativo se la base è negativa
e l’esponente è dispari, il segno positivo negli altri
casi.
Esempio:
+3
+3
3
2
= +9
−3
2
= +9
= +27
−3
3
= −27
Quando una potenza è scritta senza le parentesi,
significa che è riferita solo al numero (in valore
assoluto) e non al segno che la precede
Esempio:
−32 = −9
−3
2
= +9
Per le potenze in Z valgono le stesse proprietà delle
potenze valide in N.