ANALISI AGLI ANELLI

ANALISI AGLI ANELLI
Questa dispensa presenta un metodo alternativo a quello presentato nel libro
Circuiti Elettrici di C.K. Alexander, M.N.O.Sadiku - seconda edizione - traduzione a cura del Prof. P.Gubian nel capitolo 3 paragrafo 4 per l’applicazione
della Analisi agli ANELLI per i circuiti che presentano generatori di corrente.
—Prof. Paolo Gubian - Ing. Giuseppe VOGLINO
1.1
Assenza di generatori di corrente ideali.
L’analisi agli Anelli, al pari dell’Analisi Nodale, è un procedimento sistematico
per analizzare i circuiti che, utilizzando le correnti di anello1 come incognite al
posto delle correnti dei singoli elementi circuitali, permette di ridurre il numero
di equazioni simultanee da risolvere.
L’obiettivo dell’analisi agli anelli è, allora, la determinazione delle correnti di
anello.
R1
5Ω
E1
+
−
15 V
R3
10Ω
R2
6Ω
R4
E2
4Ω
+ 10 V
−
Figura 1.1: Circuito 1 - lezione del 09 maggio 2005
In pratica, dato un circuito con n anelli, l’analisi agli anelli consiste di 4
passi:
1
Un anello è una maglia che non contiene maglie al suo interno.
1
2
ANALISI AGLI ANELLI
Dispensa 2
Procedura per determinare le tensioni di nodo:
1. Assegnare le correnti di anello i1 , i2 , . . . , in agli n anelli.
Solitamente le correnti di anello hanno
segno positivo se in senso orario ( esempio
di fig. 1.2.)
2. Applicare la KVL a ciascuno degli n anelli.
3. Applicare la legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini
delle correnti di anello.
4. Risolvere le equazioni ottenute cosı̀ da calcolare appunto le
correnti di anello.
PASSO 1
Il circuito di fig. 1.1 ha due anelli; si assegneranno, quindi, due
correnti di anello, i1 e i2 2 . Il circuito di fig. 1.1 si ridisegna come:
+ v R1 −
R1
5Ω
E1
+
−
15 V
i1
+
+ v R3 −
R3
6Ω
R 2 v R2
10Ω −
E2
+ R4
i2
+ 10 V
−
v R4
− 4Ω
Figura 1.2: Circuito 1 con assegnate le correnti di anello.
PASSO 2
PASSO 3
Si applichi la KVL ai due anelli; le equazioni sono le seguenti:
Anello 1
v R1 + v R2 = E 1 − E 2
Anello 2
− v R2 + v R3 + v R4 = E 2
(1.1)
Si applichi la legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini
delle correnti i1 e i2 di anello; le equazioni diventano 2 :
2 Si
sono volute evidenziare le correnti di anello i1 e i2 usando il carattere grassetto.
3
1.2. PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE IDEALI.
Anello 1
R1 · i1 + R2 · (i1 − i2 ) = E1 − E2
Anello 2
R2 · (i2 − i1 ) + R3 · i2 R4 · i2 = E2
(1.2)
che, in termini dei valori dei componenti riportati in fig. 1.1, si riscrivono come:
Anello 1
5 · i1 + 10 · (i1 − i2 ) = 15 − 10
Anello 2
10 · (i2 − i1 ) + 6 · i2 4 · i2 = 10
(1.3)
PASSO 4
Si lascia al lettore la risoluzione del sistema di 2 equazioni in 2
incognite (appunto le due correnti di anello).
1.2
Presenza di generatori di corrente ideali.
Si consideri come la formulazione dell’analisi agli anelli venga influenzata dalla
presenza di generatori di corrente ideali.
Caso 1
Il generatore di corrente risulta appartenere ad un solo anello.
+ v R1 −
R1
5Ω
E1
+
−
+ v R3 −
R3
6Ω
+
R2 +
i1
v R2
10Ω −
i2
Vx
A1
−
Figura 1.3: Circuito per il caso 1.
Soluzione
Se il generatore di corrente risulta parte di un solo anello, è ovvio che la corrente
di quell’anello risulterà pari alla corrente imposta da quel generatore di corrente.
A tal proposito, si veda l’esempio di fig. 1.3.
4
ANALISI AGLI ANELLI
Dispensa 2
A tale proposito, per il circuito di figura 1.3, l’analisi agli anelli può essere
sempre affrontata seguendo i passi descritti nel paragrafo precedente (1.1).
PASSO 1 Gli anelli presenti nel circuito di fig. 1.3 sono due per ognuno dei
quali si avrà un corrente di anelli incognita, i1 e i2 .
PASSO 2 Il passo 2 richiede di scrivere la KVL per entrambi gli anelli;
la difficoltà risiede nella impossibilità di poter conoscere la tensione ai capi del
generatore di corrente A1 .
Anello 1
v R1 + v R2 = E 1
Anello 2
− vR2 + vR3 = −Vx
(1.4)
PASSO 3
Tuttavia, da una semplice ispezione del circuito di fig. 1.3 si nota
che in realtà se il generatore di corrente appartiene solo ad un ramo, la corrente
di quell’anello sarà proprio pari alla corrente impressa da quel generatore di
corrente. Quindi, nel caso di fig. 1.3 la corrente di anello i2 è uguale a quella
imposta dal generatore di corrente A1 . Le equazioni sono:
Anello 1
R1 · i1 + R2 · (i1 − i2 ) = E1
Anello 2
i 2 = A1
(1.5)
L’analisi agli anelli risulta, in questo caso, in un certo senso semplificata perchè si conosce a priori la corrente di anello.
Caso 2
Il generatore di corrente risulta appartenere a più di un anello.
Soluzione
Anche in questo caso l’analisi agli anelli si applica seguendo i passi descritti
nella procedura di cui al paragrafo 1.1.
5
1.2. PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE IDEALI.
R1
6Ω
E1
+
−
15 V
R3
2Ω
R2
10Ω
R4
4Ω
6A
A1
Figura 1.4: Circuito per il caso 2.
PASSO 1 Gli anelli presenti nel circuito di fig. 1.4 sono due per ognuno dei
quali si avrà un corrente di anello incognita: siano queste i1 e i2 .
R1
6Ω
E1
+
−
15 V
R3
2Ω
R2
i1
10Ω
i2
R4
4Ω
6A
A1
Figura 1.5: Circuito ridisegnato dopo il passo 1.
PASSO 2 Il passo 2 richiede di scrivere la KVL per entrambi gli anelli;
la difficoltà risiede nella impossibilità di poter conoscere la tensione ai capi del
generatore di corrente A1 .
+ v R1 −
R1
6Ω
E1
+
−
15 V
R2
i1
+ v R3 −
R3
10Ω
+
v R2
2Ω −
+
Vx
+ R4
i2
6A
v R4
− 4Ω
− A1
Figura 1.6: Circuito ridisegnato per il passo 2
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ANALISI AGLI ANELLI
Anello 1
v R1 + v R2 = E 1 − V x
Anello 2
− v R2 + v R3 + v R4 = V x
Dispensa 2
(1.6)
che rappresenta un sistema di 2 equazioni in 3 incognite, per la presenza del
termine Vx : occorre aggiungere una terza equazione.
PASSO 3 Una semplice ispezione del circuito di fig. 1.3 evidenzia che in
realtà la corrente nel ramo costituito dalla resistenza R2 e dal generatore di
corrente Q1 è imposta dallo stesso generatore di corrente A1 , di valore 6 A. Ma
la corrente di questo ramo espresso in termini delle due correnti di anello vale
i2 − i1 , poichè la corrente i2 è concorde con il generatore di corrente A1 mentre
la corrente di anello i1 risulta discorde in segno con A1 .
Le equazioni sono:
R2 · i1 + (R3 + R4 ) · i2 = E1
(1.7)
i2 − i 1 = A 1
che rappresenta un sistema di 2 equazioni nelle 2 correnti di anello incognite i1
e i2 .