insieme z + - Francesco Cerino

INSIEME Z
L'insieme dei numeri interi (Z) è un'estensione dell'insieme dei numeri naturali N. Ai numeri
positivi si aggiungono, così, anche i numeri negativi. Tale estensione comporta la “chiusura” in Z
dell'operazione di sottrazione.
La sottrazione è un'operazione chiusa in Z: se scelgo una qualsiasi coppia di numeri in Z la loro
differenza è sempre un numero che appartiene a Z.
Le operazioni di addizione e moltiplicazione erano operazioni già chiuse su N, e lo rimangono in Z.
Alcune definizioni
Ogni numero Z è individuato da una coppia: SEGNO e MODULO.
+
2
N.B.: Lo 0 è l'unico numero privo di segno.
Numeri Concordi: due numeri sono concordi se hanno lo stesso segno.
Esempio:
• +2 e +3 sono concordi positivi
• -5 e -7 sono concordi negativi
Numeri Discordi: due numeri sono discordi se hanno segni diversi.
Esempio:
• +5 e -7
• -12 e +4
Numeri Opposti: due numeri sono opposti se sono discordi ed hanno stesso modulo.
Esempio:
• +3 e -3
• -4 e +4
Ordinamento
La linea dei numeri ci fornisce un'idea di come siano ordinati i numeri Z
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Dalla sua osservazione deduciamo che:
• Ogni numero positivo è maggiore di un qualsiasi numero negativo (+ 2 > - 3)
• Tra due numeri positivi è maggiore quello con modulo più grande (+ 3 > +1)
• Tra due numeri negativi è maggiore quello con modulo più piccolo (- 1 > - 3)
• Lo 0 è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.
Somma tra numeri Z
Per sommare due numeri Z devo imparare due regole fondamentali:
Somma tra due numeri concordi:
Se i numeri da sommare sono concordi positivi (negativi) il segno del risultato è positivo
(negativo) ed il modulo è la somma dei moduli.
Esempi:
• (+2) + (+4)
Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo
modulo è la somma dei moduli.
2+4=6
Risultato: +6
•
(-3) + (-5)
Concordi negativi. Allora il segno del risultato è negativo (-) ed il suo
modulo è la somma dei moduli.
3+5=8
Risultato: -8
Somma tra due numeri discordi:
Se i due numeri da sommare sono discordi il segno del risultato è il segno del numero con
modulo più grande; ed il modulo è la differenza dei moduli.
Esempi:
• (+2) + (-5)
Discordi. Allora il segno del risultato è quello del numero con modulo
maggiore (-5) quindi negativo ed il suo modulo è la differenza dei moduli. 5 – 2 = 3
Risultato: -3
•
(-6) + (+8)
Discordi. Allora il segno del risultato è quello del numero con modulo
maggiore (+8) quindi positivo ed il suo modulo è la differenza dei moduli. 8 – 6 = 2
Risultato: +2
Sottrazione tra numeri Z
La sottrazione tra numeri Z si esegue trasformandola in addizione con l'opposto e,
successivamente, applicando le due regole dell'addizione.
(-4) - (+7)
diventa
(-4) + (-7)
Esempi:
• (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8
• (-2) - (+5) = (-2) + (-5) = -7
• (-3) - (-4) = (-3) + (+4) = +1
Prodotto tra numeri Z
Anche per l'operazione di moltiplicazione è necessario prima definire il segno del risultato e,
successivamente, calcolarne il modulo.
Prodotto tra due numeri concordi:
Se i numeri da moltiplicare sono concordi positivi o concordi negativi il segno del risultato è
positivo (+); ed il modulo è il prodotto dei moduli.
Esempi:
• (+2) * (+4)
Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo
modulo è il prodotto dei moduli.
2*4=8
Risultato: +8
•
(-3) * (-5)
Concordi negativi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo
modulo è il prodotto dei moduli.
3 * 5 = 15
Risultato: +15
Prodotto tra due numeri discordi:
Se i due numeri da moltiplicare sono discordi il segno del risultato è negativo (-); ed il modulo
è il prodotto dei moduli.
Esempi:
• (+2) * (-5)
Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il
prodotto dei moduli.
5 * 2 = 10. Risultato: -10
•
(-6) * (+8)
Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il
prodotto dei moduli.
8 * 6 = 48 Risultato: -48
RICORDA
•
•
•
Lo 0 (zero) non ha segno.
Ogni numero moltiplicato per 0 dà sempre 0.
La moltiplicazione è un'operazione chiusa sia su N che su Z.
Quoziente tra numeri Z
Anche per l'operazione di divisione è necessario prima definire il segno del risultato e,
successivamente, calcolarne il modulo.
Quoziente tra due numeri concordi:
Se i numeri da dividere sono concordi positivi o concordi negativi il segno del risultato è
positivo (+); ed il modulo è il quoziente dei moduli.
Esempi:
• (+6) : (+2)
Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo
modulo è il quoziente dei moduli.
6:2=3
Risultato: +3
•
(-8) : (-2)
Concordi negativi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo
modulo è il quoziente dei moduli.
8:2=4
Risultato: +4
Quoziente tra due numeri discordi:
Se i due numeri da dividere sono discordi il segno del risultato è negativo (-); ed il modulo è il
quoziente dei moduli.
Esempi:
• (+10) : (-5)
Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il
quoziente dei moduli.
10 : 5 = 2. Risultato: -2
RICORDA
•
•
•
0 : (-3) = 0
(-5) : 0 = Impossibile.
La divisione è un'operazione aperta sia su N che su Z.
Espressioni in Z
La risoluzione di espressioni con i numeri Z segue le stesse regole di precedenza già studiate per le
espressioni con numeri N.
Ricordiamole:
•
•
•
Le parentesi vanno risolte dall'interno verso l'esterno.
Le operazioni del primo gruppo (* e :) hanno precedenza sulle operazioni del
secondo gruppo (+ e -).
Le operazioni dello stesso gruppo vanno eseguite da sinistra verso destra.
Esempi:
•
(+7) * [(-2) + (-4)] = (+7) * (-6) = -42
•
(+7) * (-2) + (-4) = (-14) + (-4) = -18
•
(+8) * (-2) : (-4) = (-16) : (-4) = +4
Potenze con base negativa
L'estensione del calcolo con le potenze dall'insieme N all'insieme Z prevede di lavorare con i
numeri negativi solo per ciò che riguarda la base, e non l'esponente.
Quindi data una potenza del tipo:
an
avremo che:
•
•
n (esponente)
a (base)
è un numero sempre positivo.
può essere sia positivo che negativo.
Segno del risultato
Ricordando la definizione di potenza possiamo dedurre il segno del risultato di una potenza con
esponente positivo e base positiva o negativa.
Definizione di potenza
an = a*a*a.......*a
(n volte)
Caso 1: Se la base (a) è positiva torniamo alla situazione già esaminata in N, per cui il risultato
sarà sempre positivo.
Esempio: (+2)3 = (+2) * (+2) * (+2) = +8
Caso 2: Se la base (a) è negativa e l'esponente (n) è pari il risultato è positivo, visto che devo
moltiplicare coppie di numeri che hanno tutti segno negativo.
Esempio: (-2)4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = +16
Caso 3: Se la base (a) è negativa e l'esponente (n) è dispari il risultato è negativo, visto che,
dopo aver moltiplicato coppie di numeri che hanno tutti segno negativo, mi resta sempre
un ulteriore numero negativo da moltiplicare.
Esempio: (-2)5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = -32
Osservazioni:
•
Se l'esponente è pari basi opposte hanno stesso risultato.
Esempi: (-2)4 = (+2)4 = +16
•
(-3)2 = (+3)2 = +9
Le scritture (-2)2 e -22 non sono la stessa cosa:
Nella potenza (-2)2 l'esponente 2 è applicato alla base negativa (-2), per cui avremo
(-2)2 = +4.
Nella potenza -22 l'esponente 2 è applicato alla base positiva 2, e, successivamente il
risultato viene cambiato di segno. Per cui avremo
-22 = -4.
Proprietà delle potenze
Le proprietà studiate in N continuano a valere in Z. Ricordiamole:
•
an * am = an+m
•
an : am = an-m
•
(an)m = an*m
•
an * bn = (a * b)n
•
an : bn = (a : b)n
Attenzione:
Ricordiamo che per affrontare espressioni contenenti potenze è necessario verificare la possibilità di
applicare le proprietà e, solo quando ciò non è possibile, passare al calcolo usando la definizione.
A tal proposito l'osservazione 1 della pagina precedente ci consente, talvolta, di evitare il calcolo
anche se nessuna proprietà sembra applicabile.
Esempio: Supponiamo di dover effettuare il seguente calcolo
(-2)4 * (+2)3
E' semplice osservare che in questo caso nessuna delle 5 proprietà è applicabile.
Ma utilizzando quanto espresso nell'osservazione 1 possiamo sostituire la quantità (+2)4 alla
quantità (-2)4 .
In questo modo il nostro calcolo diventa
(+2)4 * (+2)3
Su questa espressione posso quindi applicare la prima proprietà:
Ricorda infine che anche in Z valgono le seguenti uguaglianze:
•
0n = 0
•
a0 = 1
•
00 è una forma indeterminata.
(+2)4 * (+2)3 = (+2)7