INSIEME Z L'insieme dei numeri interi (Z) è un'estensione dell'insieme dei numeri naturali N. Ai numeri positivi si aggiungono, così, anche i numeri negativi. Tale estensione comporta la “chiusura” in Z dell'operazione di sottrazione. La sottrazione è un'operazione chiusa in Z: se scelgo una qualsiasi coppia di numeri in Z la loro differenza è sempre un numero che appartiene a Z. Le operazioni di addizione e moltiplicazione erano operazioni già chiuse su N, e lo rimangono in Z. Alcune definizioni Ogni numero Z è individuato da una coppia: SEGNO e MODULO. + 2 N.B.: Lo 0 è l'unico numero privo di segno. Numeri Concordi: due numeri sono concordi se hanno lo stesso segno. Esempio: • +2 e +3 sono concordi positivi • -5 e -7 sono concordi negativi Numeri Discordi: due numeri sono discordi se hanno segni diversi. Esempio: • +5 e -7 • -12 e +4 Numeri Opposti: due numeri sono opposti se sono discordi ed hanno stesso modulo. Esempio: • +3 e -3 • -4 e +4 Ordinamento La linea dei numeri ci fornisce un'idea di come siano ordinati i numeri Z -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Dalla sua osservazione deduciamo che: • Ogni numero positivo è maggiore di un qualsiasi numero negativo (+ 2 > - 3) • Tra due numeri positivi è maggiore quello con modulo più grande (+ 3 > +1) • Tra due numeri negativi è maggiore quello con modulo più piccolo (- 1 > - 3) • Lo 0 è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo. Somma tra numeri Z Per sommare due numeri Z devo imparare due regole fondamentali: Somma tra due numeri concordi: Se i numeri da sommare sono concordi positivi (negativi) il segno del risultato è positivo (negativo) ed il modulo è la somma dei moduli. Esempi: • (+2) + (+4) Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo modulo è la somma dei moduli. 2+4=6 Risultato: +6 • (-3) + (-5) Concordi negativi. Allora il segno del risultato è negativo (-) ed il suo modulo è la somma dei moduli. 3+5=8 Risultato: -8 Somma tra due numeri discordi: Se i due numeri da sommare sono discordi il segno del risultato è il segno del numero con modulo più grande; ed il modulo è la differenza dei moduli. Esempi: • (+2) + (-5) Discordi. Allora il segno del risultato è quello del numero con modulo maggiore (-5) quindi negativo ed il suo modulo è la differenza dei moduli. 5 – 2 = 3 Risultato: -3 • (-6) + (+8) Discordi. Allora il segno del risultato è quello del numero con modulo maggiore (+8) quindi positivo ed il suo modulo è la differenza dei moduli. 8 – 6 = 2 Risultato: +2 Sottrazione tra numeri Z La sottrazione tra numeri Z si esegue trasformandola in addizione con l'opposto e, successivamente, applicando le due regole dell'addizione. (-4) - (+7) diventa (-4) + (-7) Esempi: • (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 • (-2) - (+5) = (-2) + (-5) = -7 • (-3) - (-4) = (-3) + (+4) = +1 Prodotto tra numeri Z Anche per l'operazione di moltiplicazione è necessario prima definire il segno del risultato e, successivamente, calcolarne il modulo. Prodotto tra due numeri concordi: Se i numeri da moltiplicare sono concordi positivi o concordi negativi il segno del risultato è positivo (+); ed il modulo è il prodotto dei moduli. Esempi: • (+2) * (+4) Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo modulo è il prodotto dei moduli. 2*4=8 Risultato: +8 • (-3) * (-5) Concordi negativi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo modulo è il prodotto dei moduli. 3 * 5 = 15 Risultato: +15 Prodotto tra due numeri discordi: Se i due numeri da moltiplicare sono discordi il segno del risultato è negativo (-); ed il modulo è il prodotto dei moduli. Esempi: • (+2) * (-5) Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il prodotto dei moduli. 5 * 2 = 10. Risultato: -10 • (-6) * (+8) Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il prodotto dei moduli. 8 * 6 = 48 Risultato: -48 RICORDA • • • Lo 0 (zero) non ha segno. Ogni numero moltiplicato per 0 dà sempre 0. La moltiplicazione è un'operazione chiusa sia su N che su Z. Quoziente tra numeri Z Anche per l'operazione di divisione è necessario prima definire il segno del risultato e, successivamente, calcolarne il modulo. Quoziente tra due numeri concordi: Se i numeri da dividere sono concordi positivi o concordi negativi il segno del risultato è positivo (+); ed il modulo è il quoziente dei moduli. Esempi: • (+6) : (+2) Concordi positivi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo modulo è il quoziente dei moduli. 6:2=3 Risultato: +3 • (-8) : (-2) Concordi negativi. Allora il segno del risultato è positivo (+) ed il suo modulo è il quoziente dei moduli. 8:2=4 Risultato: +4 Quoziente tra due numeri discordi: Se i due numeri da dividere sono discordi il segno del risultato è negativo (-); ed il modulo è il quoziente dei moduli. Esempi: • (+10) : (-5) Discordi. Allora il segno del risultato è negativo (-); ed il suo modulo è il quoziente dei moduli. 10 : 5 = 2. Risultato: -2 RICORDA • • • 0 : (-3) = 0 (-5) : 0 = Impossibile. La divisione è un'operazione aperta sia su N che su Z. Espressioni in Z La risoluzione di espressioni con i numeri Z segue le stesse regole di precedenza già studiate per le espressioni con numeri N. Ricordiamole: • • • Le parentesi vanno risolte dall'interno verso l'esterno. Le operazioni del primo gruppo (* e :) hanno precedenza sulle operazioni del secondo gruppo (+ e -). Le operazioni dello stesso gruppo vanno eseguite da sinistra verso destra. Esempi: • (+7) * [(-2) + (-4)] = (+7) * (-6) = -42 • (+7) * (-2) + (-4) = (-14) + (-4) = -18 • (+8) * (-2) : (-4) = (-16) : (-4) = +4 Potenze con base negativa L'estensione del calcolo con le potenze dall'insieme N all'insieme Z prevede di lavorare con i numeri negativi solo per ciò che riguarda la base, e non l'esponente. Quindi data una potenza del tipo: an avremo che: • • n (esponente) a (base) è un numero sempre positivo. può essere sia positivo che negativo. Segno del risultato Ricordando la definizione di potenza possiamo dedurre il segno del risultato di una potenza con esponente positivo e base positiva o negativa. Definizione di potenza an = a*a*a.......*a (n volte) Caso 1: Se la base (a) è positiva torniamo alla situazione già esaminata in N, per cui il risultato sarà sempre positivo. Esempio: (+2)3 = (+2) * (+2) * (+2) = +8 Caso 2: Se la base (a) è negativa e l'esponente (n) è pari il risultato è positivo, visto che devo moltiplicare coppie di numeri che hanno tutti segno negativo. Esempio: (-2)4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = +16 Caso 3: Se la base (a) è negativa e l'esponente (n) è dispari il risultato è negativo, visto che, dopo aver moltiplicato coppie di numeri che hanno tutti segno negativo, mi resta sempre un ulteriore numero negativo da moltiplicare. Esempio: (-2)5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = -32 Osservazioni: • Se l'esponente è pari basi opposte hanno stesso risultato. Esempi: (-2)4 = (+2)4 = +16 • (-3)2 = (+3)2 = +9 Le scritture (-2)2 e -22 non sono la stessa cosa: Nella potenza (-2)2 l'esponente 2 è applicato alla base negativa (-2), per cui avremo (-2)2 = +4. Nella potenza -22 l'esponente 2 è applicato alla base positiva 2, e, successivamente il risultato viene cambiato di segno. Per cui avremo -22 = -4. Proprietà delle potenze Le proprietà studiate in N continuano a valere in Z. Ricordiamole: • an * am = an+m • an : am = an-m • (an)m = an*m • an * bn = (a * b)n • an : bn = (a : b)n Attenzione: Ricordiamo che per affrontare espressioni contenenti potenze è necessario verificare la possibilità di applicare le proprietà e, solo quando ciò non è possibile, passare al calcolo usando la definizione. A tal proposito l'osservazione 1 della pagina precedente ci consente, talvolta, di evitare il calcolo anche se nessuna proprietà sembra applicabile. Esempio: Supponiamo di dover effettuare il seguente calcolo (-2)4 * (+2)3 E' semplice osservare che in questo caso nessuna delle 5 proprietà è applicabile. Ma utilizzando quanto espresso nell'osservazione 1 possiamo sostituire la quantità (+2)4 alla quantità (-2)4 . In questo modo il nostro calcolo diventa (+2)4 * (+2)3 Su questa espressione posso quindi applicare la prima proprietà: Ricorda infine che anche in Z valgono le seguenti uguaglianze: • 0n = 0 • a0 = 1 • 00 è una forma indeterminata. (+2)4 * (+2)3 = (+2)7