Elenco - Dipartimento di Matematica

ALGEBRA PER INFORMATICI 2015-16
ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI
1. L UNEDÌ 28 SETTEMBRE 2015
Chiacchiere.
2. M ERCOLEDÌ 30 SETTEMBRE 2015
Aritmetica modulare. Il caso Z10 . Definizione formale di congruenza modulo n; è una relazione di equivalenza.
Generalità su relazioni di equivalenza e classi di equivalenza; operazioni ben definite e mal definite su classi di equivalenza. Un esempio: la relazione di avere lo stesso segno ripartisce Z in tre classi di equivalenza; la moltiplicazione
è ben definita sulle classi, mentre la somma non lo è.
Le operazioni di somma e prodotto sono ben definite in Zn . Zn è un anello, e possiede esattamente n elementi.
Inverso additivo di elementi in Zn . Elementi che hanno e non hanno inversi moltiplicativi.
Tavola pitagorica per Z2 , Z5 , Z6 . La classe 4 non è invertibile in Z6 . La classe a non può essere invertibile in Zn se
MCD(a, n) 6= 1: dimostrazione.
3. V ENERDÌ 2
OTTOBRE
2015
Il concetto di massimo comuni divisore. Calcolo del MCD con l’algoritmo euclideo. Perché funziona? Calcolo
esplicito di MCD(1001, 224) e MCD(1254, 503).
L’identità di Bézout: se a, b sono interi, e d = MCD(a, b), allora esistono h, k ∈ Z tali che d = ha + kb. Calcolo
dell’identità di Bézout per le coppie (1001, 224) e (1254, 503). Una classe a è invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) =
1: dimostrazione. Calcolo dell’inverso di 224 modulo 1001 e dell’inverso di 503 modulo 1254.
Applicazione: risoluzione della congruenza ax ≡ b mod n quando MCD(a, n) = 1. Cosa succede se MCD(a, n) 6=
1?
4. L UNEDÌ 5 OTTOBRE 2015
Riassunto della lezione precedente. Calcolo di MCD(105, 22) e dell’inverso di 22 in Z105 . Risoluzione della
congruenza 22x ≡ 7 mod 105.
Metodo generale di risoluzione delle congruenze lineari in una incognita. Se MCD(a, n) non divide b, allora
ax ≡ b mod n non ha soluzioni x intere. Se invece d = MCD(a, n) divide b, allora la congruenza è equivalente a
a/dx ≡ b/d mod n/d, e MCD(a/d, n/d) = 1.
Introduzione al teorema cinese del resto. Enunciato. Risoluzione del sistema
(
x ≡ 7 mod 15
x ≡ 6 mod 13.
5. M ERCOLEDÌ 7 OTTOBRE 2015
Ancora sul Teorema cinese del resto. Unicità della soluzione modulo mn. Due dimostrazioni dell’esistenza: per
confronto di cardinalità; utilizzando l’identità di Bézout. Esempi.
Definizione dei concetti di anello e gruppo. Esempi: Z, Q, R, C, Zn sono anelli; N non è un anello. Se A è un anello,
allora (A, +) è un gruppo abeliano. Il prodotto di elementi (moltiplicativamente) invertibili in A è ancora invertibile.
L’identità moltiplicativa 1 è sempre invertibile, (a−1 )−1 = a, (ab)−1 = b−1 a−1 . L’insieme A× degli invertibili di un
anello A è un gruppo rispetto alla moltiplicazione. Se la cardinalità di Z×
n è φ(n), allora φ(p) = p − 1 quando p è un
numero primo.
6. V ENERDÌ 9 OTTOBRE 2015
Richiami sulla definizione di gruppo. In gruppo, l’elemento neutro è unico, e l’inverso di ciascun elemento è
unico. 1−1 = 1, (a−1 )−1 = a, (ab)−1 = b−1 a−1 . Permutazioni di un insieme; il gruppo delle permutazioni può
non essere abeliano. Gruppo simmetrico Sn ; il caso n = 3. Decomposizione di una permutazione in prodotto di
permutazioni cicliche disgiunte e notazione ciclica. Elenco di tutti gli elementi di S3 e S4 in notazione ciclica.
Il concetto di sottogruppo: due definizioni equivalenti. Alcuni esempi di sottogruppi e non sottogruppi di S3 .
Sottogruppi banali di un gruppo. Classificazione dei sottogruppi di (Z, +).
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ALGEBRA
7. L UNEDÌ 12 OTTOBRE 2015
Omomorfismi di gruppi: definizione. Se φ : G → H è un omomorfismo di gruppi, allora φ(1G ) = 1H e φ(a−1 ) =
φ(a)−1 per ogni a ∈ G. Il nucleo e l’immagine di un omomorfismo sono sottogruppi del gruppo di partenza e del
gruppo di arrivo rispettivamente. Un omomorfismo φ : G → H è iniettivo se e solo se ker φ = {1G }.
Esempi di omomorfismi: omomorfismi banali; l’applicazione exp : (R, +) → (R× , ·); l’applicazione (Z, +) 3 n 7→
n
g ∈ G. Ordine di un elemento; sottogruppo generato da un elemento. Ordine di una permutazione: è il minimo
comune multiplo delle lunghezze delle permutazioni cicliche disgiunte in cui si decompone.
Congruenza modulo un sottogruppo: definizione e dimostrazione che è una relazione di equivalenza. Descrizione
delle classi di equivalenza. Le classi di congruenza modulo un sottogruppo H sono i suoi laterali sinistri. Esempi:
laterali sinistri di hni in (Z, +); laterali sinistri di h(1 2 3)i in S3 ; laterali sinistri di h(1 2)i in S3 .
8. M ERCOLEDÌ 14 OTTOBRE 2015
Richiami su sottogruppi, classi laterali sinistre e ordine di elementi. L’ordine di un elemento g ∈ G è il minimo
esponente positivo d tale che g d = 1, ma è anche il numero di elementi (cioè l’ordine) del sottogruppo generato da g.
Esempi.
Teorema di Lagrange: se G è un gruppo finito, e H < G, allora l’ordine di H divide l’ordine di G, cioè l’ordine di
G è multiplo dell’ordine di H. Più precisamente, |G| = [G : H]|H|, dove [G : H] indica il numero di laterali sinistri
di H in G, ed è detto indice di H in G. Se G è un gruppo finito, [G : H] = |G|/|H|.
Applicazioni del teorema di Lagrange: se G è un gruppo finito e g ∈ G, anche l’ordine di g è finito, e divide |G|;
in particolare, g |G| = 1. Se |G| = p è primo, allora ogni 1 6= g ∈ G ha ordine g e G è generato da ogni suo elemento
diverso da 1. Sottogruppi di S3 . Altre applicazioni: se a ∈ Zn , allora na = 0, cioè na ≡ 0 mod n. Se a ∈ Z×
n , allora
aϕ(n) = 1; in altre parole, se MCD(a, n) = 1, allora aϕ(n) ≡ 1 mod n. Piccolo teorema di Fermat.
Come si calcola ϕ(n)? Valore di ϕ sulle potenze di primi. Se MCD(m, n) = 1, allora ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). In
generale
Y 1
ϕ(N ) = N ·
1−
.
p
p primo
che divide n
9. L UNEDÌ 19 OTTOBRE 2015
Ancora sulla moltiplicatività della funzione ϕ di Eulero. Nuovi esempi di gruppi: gruppi ciclici e diedrali.
Struttura del gruppo diedrale Dn .
Parità di permutazioni: il caso di S3 ; il caso generale; la permutazione (1 2) ha segno −1. La funzione sgn : Sn →
{±1} è un omomorfismo di gruppi. Ogni trasposizione ha segno −1. Segno della permutazione sgn(1 2 . . . `) =
(−1)`−1 .
10. M ERCOLEDÌ 21
OTTOBRE
2015
Come calcolare il segno di una permutazione. Permutazioni pari e dispari. Sottogruppo alterno An di Sn : contiene
n!/2 elementi. Elementi che hanno la stessa immagine attraverso un omomorfismo di gruppi: le possibili immagini
sono in corrispondenza biunivoca con i laterali del nucleo dell’omomorfismo.
Sottogruppi normali: tre esempi di congruenze modulo un sottogruppo e buona (o cattiva) definizione dell’operazione di gruppo sulle classi di congruenza. Definizione di sottogruppo normale; il nucleo di un omomorfismo è
sempre normale. Se H < G, l’operazione di G è ben definita sulle classi di congruenza modulo H se e solo se H è
normale in G.
Un sottogruppo H < G è normale se e solo se è il nucleo di un omomorfismo se e solo se gHg −1 = H per ogni
g ∈ G se e solo se gH = Hg per ogni g ∈ G.
11. V ENERDÌ 23
OTTOBRE
2015
Richiami dalla lezione precedente. Un sottogruppo è normale se e solo se ogni laterale sinistro è anche un laterale
destro (e viceversa). Applicazione: i sottogruppi di indice 2 sono tutti normali.
La relazione di coniugio: definizione; è una relazione di equivalenza. Un elemento è centrale se e solo se è il
proprio unico coniugato; elementi coniugati hanno lo stesso ordine. Classi coniugate nei gruppi abeliani e in S3 .
Classi coniugate in Sn : due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Esempio: classi
coniugate in S4 . La cardinalità di ciascuna classe coniugata divide | S4 | = 24.
Centralizzatore di un elemento: è un sottogruppo. xax−1 = yay −1 se e solo se x ≡ y mod C(a). Il numero di
coniugati di a in G coincide con [G : C(a)]. Ordine del centralizzatore degli elementi di S4 .
Classi coniugate in D5 : sono {id}, {ρ, ρ4 }, {ρ2 , ρ3 }, {s, sρ, sρ2 , sρ3 , sρ4 }. Esercizio: classi coniugate in Dn .
12. L UNEDÌ 26
OTTOBRE
2015
Classi di coniugio nei gruppi diedrali. Un sottogruppo è normale se e solo se è unione di classi di coniugio.
Sottogruppi normali di S4 e di S5 .
Calcolo di 12341234 modulo 34 e modulo 35.
ALGEBRA
13. M ERCOLEDÌ 28
3
OTTOBRE
2015
V4 è un sottogruppo di S4 . Classi di coniugio nel gruppo alterno A4 . Sottogruppi normali di A4 . Il gruppo A4
non possiede sottogruppi di ordine 6 (sono tutti normali!).
Crittografia a chiave pubblica: descrizione del protocollo RSA. Dimostrazione rigorosa del suo funzionamento.
14. V ENERDÌ 30
OTTOBRE
2015
Preliminari: un polinomio (in una variabile) di grado d a coefficienti in un campo ha al più d soluzioni nel campo;
se un numero primo p divide |G|, allora il gruppo G contiene almeno un elemento di ordine p (teorema di Cauchy).
La congruenza quadratica x2 ≡ a mod p, dove p è primo. L’insieme degli a 6= 0 per i quali la congruenza ha soluzione (fissato p) è un sottogruppo di Z×
p . Quadrati e non quadrati modulo p: il simbolo di Legendre.
L’applicazione
a
Z×
3
a
→
7
∈ Z×
p
p
p
è un omomorfismo di gruppi. Vale la congruenza
a
≡ a(p−1)/2 mod p.
p
Varie modalità di calcolo del simbolo di Legendre. Il teorema di reciprocità quadratica (Gauss): se p, q sono primi
dispari distinti, allora
q
p
= (−1)(p−1)(q−1)/4 .
p
q
Il calcolo (rapido) del simbolo di Legendre per mezzo della reciprocità quadratica richiede di saper fattorizzare
(rapidamente) numeri dispari.
Il simbolo di Jacobi: definizione e sue proprietà. Algoritmo euclideo per il calcolo del simbolo di Jacobi (e quindi
di quello di Legendre). Teorema di Solovay-Strassen: p è primo se e solo se
a
≡ a(p−1)/2 mod p
p
per ogni a. Conseguenze: se p non è primo, la congruenza fallisce per almeno la metà dei possibili valori di a; se
verifico ripetutamente la congruenza per valori di a scelti a caso, posso ridurre arbitrariamente la probabilità che p
non sia primo nonostante le congruenza siano verificate. Algoritmo probabilistico di primalità di Solovay-Strassen.
Dimostrazione del teorema di Solovay-Strassen.
15. L UNEDÌ 2 NOVEMBRE 2015
Concetto di campo. Un polinomio di grado d (in una indeterminata) a coefficienti in un campo K ha al più d
soluzioni in K. In un campo vale la legge di annullamento del prodotto: se ab = 0, allora a = 0 oppure b = 0.
Esempi di campo: Q, R sono campi. Z non è un campo. Zn è un campo se e solo se n è primo.
Campi finiti. Se K è un campo finito e un numero primo p divide |K|, allora ogni elemento non nullo del gruppo
(K, +) ha ordine p. Conseguenza: se K è un campo finito e p divide |K|, allora |K| = pn per qualche n > 0. Per
ogni scelta di un numero primo p e di n > 0 esiste un campo con esattamente pn elementi ed è “unico a meno di
isomorfismo”(senza dimostrazione). Costruzione del campo con 4 elementi.
Il campo dei numeri complessi. Definizione e operazioni. Coniugazione complessa e norma complessa. Piano di
Argand-Gauss e interpretazione geometrica delle operazioni. Risoluzione di z 3 = 1 in due modi.
16. M ERCOLEDÌ 4 NOVEMBRE 2015
Manipolazioni che non modificano l’insieme di soluzioni di un sistema di equazioni lineari. Risoluzione di
un sistema lineare per mezzo di tali manipolazioni. Ogni sistema lineare si può risolvere con tali manipolazioni.
Risoluzione di sistemi lineari con il procedimento di eliminazione di Gauss.
Il procedimento di eliminazione si può eseguire direttamente sulla matrice di coefficienti. Pivot e forma a gradoni.
17. V ENERDÌ 6 NOVEMBRE 2015
Descrizione accurata dell’algoritmo di eliminazione. Descrizione dell’insieme delle soluzioni del sistema. Forma
a gradoni.
Linearità: un esempio quotidiano. La funzione di spesa dal fruttivendolo è univocamente determinata dai prezzi
unitari dei vari tipi di frutta. Generalizzazione al caso di applicazioni lineari Rm → Rn . Operazioni di somma e
prodotto per un numero reale in Rn .
Matrice associata ad un’applicazione lineare Rm → Rn . Utilizzo della matrice per calcolare i valori dell’applicazione. Interpretazione geometrica di R, R2 , R3 . Un esempio geometrico: l’operatore di rotazione di un angolo α
intorno all’origine del piano R2 è lineare. Calcolo della matrice.
18. L UNEDÌ 9 NOVEMBRE 2015
Esercizi di teoria dei gruppi e aritmetica modulare.
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ALGEBRA
19. G IOVEDÌ 12
NOVEMBRE
2015
Primo esonero.
20. L UNEDÌ 16 NOVEMBRE 2015
Riepilogo del concetto di linearità e del modo di associare una matrice ad un’applicazione lineare. Operazioni
su applicazioni e loro traduzione matriciale: somma di applicazioni lineari; multiplo di un’applicazione lineare;
composizione di applicazioni lineari. La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari è il prodotto
righe per colonne delle matrici associate alle applicazioni lineari da comporre.
Prodotto righe per colonne di una matrice con la matrice identità. Prodotto righe per colonne di matrici di
rotazione: formule di addizione per seni e coseni.
21. M ERCOLEDÌ 18 NOVEMBRE 2015
Commmenti sull’esonero appena svolto. Prodotto righe per colonne di rotazioni inverse l’una dell’altra. Un’applicazione T : Rm → Rn è lineare se e solo se si descrive per mezzo di funzioni di primo grado (senza termine noto)
degli argomenti.
Il concetto di K-spazio vettoriale. Definizione. Proprietà immediate: 0 · v = 0, (−1) · v = −v. Esempi di spazio
vettoriale: {0}, K, K n ; spazi vettoriali di funzioni reali.
Sottospazi vettoriali. Come verificare se un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di R2 .
La derivazione è un’applicazione lineare.
22. V ENERDÌ 20 NOVEMBRE 2015
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare: misurano l’iniettività e la
suriettività e sono entrambi sottospazi vettoriali. Calcolo esplicito del nucleo di un’applicazione lineare Rm → Rn :
gli elementi del nucleo sono le soluzioni del sistema omogeneo di equazioni lineari la cui matrice dei coefficienti è la
matrice dell’applicazione lineare.
Controimmagini di un elemento attraverso un’applicazione lineare: si ottengono traslando il nucleo per una
controimmagine comunque scelta. Esempi: sistemi lineari non omogenei; primitive di una funzione.
Come si possono dare coordinate agli elementi di uno spazio vettoriale? Alcuni esempi motivanti. Il problema
della possibile ridondanza degli elementi di un sistema di riferimento.
23. L UNEDÌ 23 NOVEMBRE 2015
Sottospazio vettoriale generato da un sottoinsieme. Se un sottospazio vettoriale contiene degli elementi, contiene
anche tutte le loro combinazioni lineari. L’insieme delle combinazioni lineari di alcuni elementi dati è il più piccolo
sottospazio vettoriale che li contiene: gli elementi si dicono generatori di tale sottospazio. Se v1 , . . . , vn ∈ V generano
V , allora ogni elemento di V si può scrivere come loro combinazione lineare.
Il concetto di lineare indipendenza. Verifica della lineare dipendenza e indipendenza in alcuni esempi. Un nuovo
punto di vista: l’applicazione K n 3 (α1 , . . . , αn ) 7→ α1 v1 + . . . + αn vn ∈ V . E’ lineare; è suriettiva quando v1 , . . . , vn
generano V ; è iniettiva quando sono linearmente indipendenti. In particolare è invertibile quando sono generatori
linearmente indipendenti: in questo caso v1 , . . . , vn formano una base.
Se un’applicazione lineare K m → K n è iniettiva, allora m ≤ n; se è invertibile, allora m = n. Due basi dello stesso
spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Ogni base di K n ha esattamente n elementi. Dimensione di un
spazio vettoriale.
Se v1 , . . . , vn ∈ V sono linearmente indipendenti e vn+1 ∈
/ hv1 , . . . , vn i, allora v1 , . . . , vn , vn+1 sono linearmente indipendenti. Ogni insieme linearmente indipendente si completa ad una base. Se dim V = n, n elementi linearmente indipendenti sono automaticamente una base, e più di n elementi di V non possono essere linearmente
indipendenti: l’indipendenza lineare è una proprietà di insiemi piccoli. Cenni di spazi vettoriali di dimensione
infinita.
Se U ⊂ V è un sottospazio vettoriale, allora dim U ≤ dim V e dim U = dim V accade solo se U = V .
24. M ERCOLEDÌ 25
NOVEMBRE
2015
Il concetto di spazi vettoriali isomorfi.
Alcune riformulazioni dell’indipendenza lineare. Sono affermazioni equivalenti: v1 , . . . , vn sono linearmente
indipendenti; gli elementi di V si esprimono in al più un modo come combinazione lineare di v1 , . . . , vn ; esiste un
elemento di V che si esprime in modo unico come combinazione lineare di v1 , . . . , vn ; nessuno dei vi si esprime come
combinazione lineare degli altri.
Un modo di costruire una base: se ho generatori non linearmente indipendenti v1 , . . . , vn di V , rimuovendone uno
che è combinazione lineare degli altri, quelli che rimangono continuano a generare V . Continuando a rimuoverne,
si arriva ad una base di V . Da ogni insieme di generatori si estrae una base. Se dim V = n, n generatori di V sono
automaticamente una base, e meno di n elementi non possono generare V .
Un esempio di calcolo del nucleo e dell’immagine di un’applicazione lineare T : Rm → Rn . Il nucleo si ottiene
risolvendo il sistema di matrice [T ]: il metodo di risoluzione che abbiamo studiato produce una base di ker T , e
dim ker T coincide con m − il numero dei pivot alla fine dell’eliminazione di Gauss. L’immagine di T è il sottospazio
vettoriale generato dalle colonne di [T ] e la sua dimensione è il numero dei pivot alla fine dell’eliminazione di Gauss.
ALGEBRA
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25. V ENERDÌ 27 NOVEMBRE 2015
Fine dell’esempio della volta prima. Metodo generale per il calcolo dell’immagine di un’applicazione lineare T :
Rm → Rn : per estrarre una base dello spazio vettoriale generato dalle colonne di una matrice è sufficiente prendere
quelle (della matrice iniziale) che si trovano nella posizione dei pivot al termine del procedimento di eliminazione.
Secondo metodo: le manipolazioni del procedimento di eliminazione non modificano il sottospazio vettoriale
generato dalle righe di una matrice; al termine dell’eliminazione, le righe non nulle sono linearmente indipendenti.
Conseguenza: se si applica l’eliminazione di Gauss ad una matrice e alla sua trasposta, il numero di pivot al termine
del procedimento è lo stesso. Rango di una matrice.
Se T : Rm → Rn è lineare, dim ker T + dim Im T = m. Teorema di Rouché-Capelli: enunciato e dimostrazione.
26. L UNEDÌ 30 NOVEMBRE 2015
Brevi richiami delle lezioni passate.
Determinanti. L’area di un parallelogramma in R2 : calcolo e sue proprietà. Bilinearità e alternanza. Calcolo dell’area con il procedimento di eliminazione di Gauss. Definizione generale di determinante di una matrice quadrata.
Esistenza e unicità del determinante. Espressione esplicita del determinante come somma alternante di n! monomi.
Formula mnemonica per il calcolo dei determinanti 3 × 3.
27. M ERCOLEDÌ 2 DICEMBRE 2015
Richiami dalla lezione precedente. Formula esplicita del determinante di una matrice n × n per mezzo di una
sommatoria sulle permutazioni. Conseguenze: il determinante di una matrice e della sua trasposta coincidono; il
determinante di una matrice è separatamente lineare nelle righe della matrice; il determinante è alternante nelle
righe della matrice.
Determinante di matrici diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori. Lo sviluppo di Laplace. Il caso dello
sviluppo di Laplace lungo la prima colonna; l’espressione che si ottiene è separatamente lineare e alternante nelle
righe della matrice, e vale 1 sull’identità, e coincide quindi con il determinante. Sviluppo di Laplace lungo la prima
riga.
Formula esplicita per lo sviluppo di Laplace lungo una riga (qualsiasi) o una colonna (qualsiasi). Non calcolate il
determinante di una matrice grande applicando ricorsivamente lo sviluppo di Laplace!!!
Esempio di calcolo di un determinante in vari modi.
28. V ENERDÌ 4 DICEMBRE 2015
Matrici inverse. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Calcolo dell’inversa di una matrice (invertibile). Primo modo: si applica l’eliminazione di Gauss alla matrice n × 2n che ha nelle prime
n colonne la matrice A e nelle ultime n colonne l’identità; alla fine dell’eliminazione di Gauss, quando nelle prime
n colonne si legge l’identità, nelle ultime n colonne si legge l’inversa di A. Secondo modo: si ottiene l’inversa della
matrice A dividendo per det A tutti i coefficienti della matrice che, al posto di riga i e colonna j, ha il coefficiente
(−1)i+j |Aji |, dove Aji è la matrice ottenuta da A rimuovendo la j.esima riga e la i.esima colonna.
Esempi e risoluzione di esercizi.
29. L UNEDÌ 7
DICEMBRE
2015
Lezione cancellata dalla segreteria didattica.
30. M ERCOLEDÌ 9 DICEMBRE 2015
Richiami sul calcolo della matrice inversa. Il metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati (stesso
numero di equazioni e incognite) non singolari (la matrice dei coefficienti delle incognite ha determinante non nullo).
La soluzione è unica. Calcolo dei coefficienti della soluzione utilizzando le proprietà del determinante. Un esempio
di risoluzione.
Enunciato del teorema degli orlati. Il concetto di minore. Ordine di un minore. Due enunciati: il rango di una
matrice è il più grande ordine di un minore non nullo; se una matrice possiede un minore non nullo di ordine k e
tutti i minori di ordine k + 1 che lo orlano si annullano, allora la matrice ha rango esattamente k. Dimostrazione che
il secondo enunciato implica il primo. Dimostreremo solamente il secondo enunciato.
31. V ENERDÌ 11 DICEMBRE 2015
Dimostrazione del teorema degli orlati. Il caso di una matrice k × k di determinante non nullo.
Matrici k × n con n > k e un minore non nullo di ordine k: possiedono k colonne linearmente indipendenti e il
loro rango è k; in particolare, le k righe sono linearmente indipendenti. Enunciati analoghi sono veri per le matrici
n × k.
Matrici (k + 1) × n con n > k e un minore non nullo di ordine k, orlato solamente da minori nulli: le k colonne
che intercettano il minore non nullo sono linearmente indipendenti per il punto precedente; ogni altra colonna è loro
combinazione lineare; il rango è k; le k righe che intercettano il minore non nullo sono linearmente indipendenti;
l’altra riga è loro combinazione lineare.
Matrici m × n con m, n > k e un minore non nullo di ordine k, orlato solamente da minori nulli: le k righe
che intercettano il minore non nullo sono linearmente indipendenti per il punto precedente; ogni altra riga è loro
combinazione lineare; il rango è k.
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ALGEBRA
Esempi motivanti la definizione di matrice associata ad un’endomorfismo lineare. L’insieme S delle successioni
a valori reali è uno spazio vettoriale di dimensione infinita; il sottoinsieme F delle successioni che soddisfano una
ricorsione di tipo Fibonacci è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Base esplicita di F . Operatore di shift. Come
associo una matrice all’operatore di shift? E’ sufficiente utilizzare gli elementi di una base. Calcolo esplicito della
matrice associata.
Un altro esempio: i polinomi a coefficienti reali di grado ≤ 3 costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione
4. La derivata è un endomorfismo lineare di questo spazio vettoriale. Matrice associata alla derivata nella base
1, x, x2 , x3 . Importanza della diagonalizzazione.
32. L UNEDÌ 14 DICEMBRE 2015
Come si associa una matrice ad un’applicazione lineare T : U → V una volta scelta una base di U e una base di
V ? Utilizzo della matrice associata a T . Coordinate in una base. Matrice di cambiamento delle coordinate da una
base ad un’altra: è invertibile. Risoluzione di un esercizio per mezzo di questi nuovi concetti.
Il problema della diagonalizzazione. Basi diagonalizzanti. Autovettori e autovalori. Una base è diagonalizzante
se e solo se è costituita da autovettori.
Come si trovano gli autovettori? λ è un autovalore di T se e solo se T −λ id non è iniettiva. Polinomio caratteristico.
Calcolo degli autovalori. Autospazi. Ogni elemento non nullo di ciascun autospazio è un autovettore. Un esempio:
calcolo degli autovalori e degli autovettori di un’applicazione lineare R2 → R2 .
33. M ERCOLEDÌ 16
DICEMBRE
2015
34. V ENERDÌ 18 DICEMBRE 2015
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ Ă DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
E-mail address: [email protected]