Circuiti per l’Elaborazione del
Segnale: Capacità Commutate
Lucidi del Corso di Microelettronica
Parte 6
Università di Cagliari
Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Laboratorio di Elettronica (EOLAB)
Segnali a Tempo Discreto
L’elaborazione a tempo discreto si basa sul campionamento del segnale.
Non viene elaborato un segnale continuo nel tempo ma una successione di
valori che rappresentano il campionamento a intervalli T (tempo di
campionamento) del segnale in ingresso.
Questa elaborazione può comunque essere considerata analogica se i
campioni non vengono successivamente quantizzati ma possono assumere
un valore qualsiasi (continui nell’ampiezza).
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Segnali a Tempo Discreto
E
Esempio
i di segnale
l a ttempo di
discreto
t nell ttempo ed
d iin ffrequenza.
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Capacità Commutate
L’approccio di elaborazione del segnale a capacità commutate (switched
capacitors)
it ) sii basa
b
sull’uso
ll’
di opamp, switch
it h e capacitori
it i per implementare
i l
t
filtri, amplificatori a guadagno programmabile ed altri dispositivi di
elaborazione del segnale molto precisi.
I valori in ingresso sono discretizzati nel tempo (non nell’ampiezze) e
rappresentano quindi successioni di valori (vengono quindi trattati con la
trasformata Z).
L’uso delle capacità commutate permette di fare dipendere i parametri del
dispositivo (ad esempio un filtro) non da valori assoluti di grandezze non
omogenee fra loro (es. RC, prodotto di resistenza e capacità) ma da
RAPPORTI di capacità, quindi di grandezze omogenee e molto ben
controllabili.
L’errore sull valore
L’
l
assoluto
l t di un parametro,
t
i f tti può
infatti,
ò aggirarsi
i
i intorno
i t
all
30%, mentre l’errore sul rapporto di valori di capacità può anche ridursi a solo
lo 0.1%.
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Capacità Commutate: Capacitori
I capacitori utilizzati sono quelli realizzati con due piatti di polisilicio sovrapposti
((capacità
p
poly1-poly2).
p
y p y ) Oltre alla capacità
p
desiderata ((C1),
), tali strutture
introducono due capacità parassite (Cp1 e Cp2) delle quali soprattutto quella
associata al piatto inferiore (bottom plate) può essere molto grande, circa il 2030% della capacità C1 realizzata. I circuiti basati su queste capacità devono
tenere conto di questi dispositivi parassiti.
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Capacità Commutate: Principio Base
Il principio base da cui si parte è quello dell’equivalenza fra capacità commutata e
resistenza. Dati due clock non sovrapposti (F1 e F2), ciascuno di frequenza f=1/T la
struttura costituita dai due switch e la capacità C1 è equivalente (in media) ad una resitenza
inversamente proporzionale al valore della capacità ed alla frequenza di ciascun clock.
Infatti:
F1) Su C1 compare la tensione V1 e la carica immagazzinata è Q1=C1 V1
F2) Su C1 compare la tensione V2 e la carica immagazzinata è Q2=C1 V2
Questo vuole dire che in un periodo T fra V1 e V2 scorre una carica pari alla differenza fra
Q1 e Q2. La corrente media allora è data dalla carica diviso il tempo (T) in cui tale carica si
trasferisce da V1 a V2.
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SC: Filtro Passa-Basso
Avendo a disposizione una resistenza è possibile implementare un filtro
passa-basso la cui costante di tempo sia:
τ = Req C2 = f ( C1 /C2 )
I parametri del filtro quindi non dipendono da valori assoluti di capacità e
resistenza ma dipendono dal rapporto fra due capacità che può essere reso
molto preciso.
preciso Questo permette inoltre di realizzare filtri che sarebbero
irrealizzabili con sole resistenze e capacità perché richiederebbero valori
troppo elevati (irrealizzabili su singolo chip).
L’equivalenza con una resistenza vale solo per segnali a frequenze molto
basse (molto inferiori alla frequenza di commutazione). A frequenze
intermedie si fa l’analisi con la trasformata Z.
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Capacità Commutate: Analisi
L’analisi di un circuito a capacità commutate richiede l’individuazione della
sua funzione di trasferimento. Tale funzione di trasferimento è ricavata
scrivendo le equazioni (tempo-discrete)
(
) che legano la carica alle tensioni ai
nodi ed ai capi delle capacità. Tali equazioni sono l’equivalente delle
equazioni differenziali che portano all’identificazione della funzione di
t f i
trasferimento
t di un sistema
i t
LTI mediante
di t trasformata
t f
t di Laplace.
L l
N l caso di
Nel
sistemi tempo-discreti si usa la trasformata Z e si scrivono equazioni alle
differenze anzi che equazioni differenziali.
L’analisi si basa sul principio di conservazione della carica.
Per convenzione parlare di un segnale v(n+k) significa parlare del segnale
v(t) campionato all
all’istante
istante (n+k)T.
(n+k)T
I clock F1 e F2 sono non-sovrapposti ed hanno entrambi periodo T:
F1
F2
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0 T/4 T/2
3/2T
T
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SC: Filtro Passa-Basso (1)
Per implementare un filtro passa-basso (quindi un integratore) con
l’approccio a capacità commutate la soluzione più semplice e la seguente:
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Passa-Basso (1): Analisi (1)
Perché il circuito precedente è un passa-basso (integratore)? Supponendo che
all’istante ((n-1)T
) l’uscita sia Vco(n-1)
( )q
quale sarà l’uscita all’istante nT?
Istante (n-1)T (F1 si è appena spento): Vcx(n-1) = Vci(n-1) quindi le cariche sulle
due capacità saranno
QC1(n-1)=C
(n 1)=C1Vci(n-1)
Vci(n 1)
QC2(n-1)=C2 Vco(n-1)
Istante (n-3/4)T (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c’è una tensione nulla (la
massa virtuale è applicata
pp
al top
pp
plate di C1 e la massa reale al bottom p
plate)) dunque
q
tutta la carica QC1 deve lasciare la C1 e portarsi su C2 (QC1 si somma sul top plate di
C2 quindi si sottrae dal bottom plate)
QC1(n-3/4)=0
QC2(n-3/4)=
(n 3/4)= C2 Vco(n-3/4)=
Vco(n 3/4)= QC2(n-1)-Q
(n 1) QC1(n-1)=
(n 1)= C2Vco(n-1)Vco(n 1) C1Vci(n-1)
Vci(n 1)
Istante (n-1/2)T (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono
variare
QC1((n-1/2)=0
)
QC2(n-1/2)= QC2(n-3/4)
Istante (n-1/4)T (F1 si è appena acceso): C2 non varia, C1 è connessa all’ingresso
QC1(n-1/4)=C1Vci(n-1/4)
QC2(n-1/4)=
(n 1/4)= QC2(n-3/4)
(n 3/4)
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Passa-Basso (1): Analisi (2)
Istante nT (F1 si è appena spento): Vcx(n) = Vci(n)
QC1(n)=C1Vci(n)
QC2(n)
(n)=C
C2 Vco(n)
Vco(n)= QC2(n
(n-3/4)
3/4) = C2Vco(n
Vco(n-1)1) C1Vci(n
Vci(n-1)
1)
Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è:
V ( )=V
Vo(n)
Vco(n)
( )=V
Vo(n-1)( 1) C1/C2Vci(n-1)
V i( 1)
Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la
t
tensione
i
di uscita
it è incrementata
i
t t di una quantità
tità proporzionale
i
l (tramite
(t
it -C1/C2)
C1/C2)
all’ingresso nell’istante di campionamento precedente.
Questo integratore è invertente (per via del segno meno) ed ha un ritardo di un
periodo nel senso che l’uscita viene aggiornata
p
gg
dopo
p un p
periodo T ((l’ingresso
g
in ((n-1)T
)
ha effetto sull’uscita in nT).
Facendo la trasformata Z dell’espressione precedente si ottiene la funzione di
t f i
trasferimento
t (in
(i Z) del
d l sistema
i t
che
h risulta
i lt essere proprio
i un integratore
i t
t
poiché
i hé ha
h un
polo in z=1 (e guadagno in continua -C1/C2).
L’uscita è significativa
g
solo negli
g istanti T,, q
quindi va campionata
p
a sua volta ogni
g T.
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Passa-Basso (1): Effetti Parassiti
La presenza delle capacità parassite fa degradare le prestazioni del dispositivo, in
particolare:
Cp2
p e Cp3
p non hanno influenza p
perché sono sempre
p cortocircuitate ((Cp3
p p
per mezzo della
massa virtuale)
Cp4 non ha effetto perché connesso sull’uscita (la sua tensione viene imposta
dall’amplificatore a prescindere dal suo valore)
Cp1 invece risulta in parallelo a C1 e quindi si somma al suo valore, di conseguenza la
relazione diventa:
Vo(n) = Vo(n-1)- (C1 + Cp1 )/C2Vci(n-1)
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Passa-Basso Insensibile ai parassiti
L’effetto della capacità parassita Cp1 può essere molto consistente quindi si
ricorre a configurazioni circuitali differenti che eliminano gli effetti parassiti.
Adesso la capacità C1 non ha più un terminale sempre connesso a massa
ma ogni suo nodo viene alternato fra massa e l’ingresso (o massa e il
t
terminale
i l invertente
i
t t dell’opamp).
d ll’
)
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Passa-Basso (2): Analisi (1)
Considero come morsetto positivo di C1 il top plate e come morsetto positivo di C2 il
bottom plate:
p
Istante (n-1)T (F1 si è appena spento):
QC1(n-1)= - C1Vci(n-1)
QC2(n-1)=C2 Vco(n-1)
Istante (n-3/4)T
(n 3/4)T (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 cc’è
è una tensione nulla (la
massa virtuale è applicata al top plate di C1 e la massa reale al bottom plate tramite lo
switch) dunque tutta la carica QC1 deve lasciare la C1 e portarsi su C2 (QC1 si somma
sul top
pp
plate di C2 q
quindi si sottrae dal bottom p
plate))
QC1(n-3/4)=0
QC2(n-3/4)= C2 Vco(n-3/4)= QC2(n-1)-QC1(n-1)= C2Vco(n-1)+ C1Vci(n-1)
Istante (n-1/2)T (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono
variare
QC1(n-1/2)=0
QC2(n-1/2)= QC2(n-3/4)
Istante ((n-1/4)T
) ((F1 si è appena acceso):
) C2 non varia, C1 è connessa all’ingresso
g
QC1(n-1/4)= - C1Vci(n-1/4)
QC2(n-1/4)= QC2(n-3/4)
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Passa-Basso (2): Analisi (2)
Istante nT (F1 si è appena spento): Vcx(n) = Vci(n)
QC1((n)=
) - C1Vci(n)
( )
QC2(n)=C2 Vco(n)= QC2(n-3/4) = C2Vco(n-1)+ C1Vci(n-1)
Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è:
Vo(n) = Vco(n) = Vo(n-1)+ C1/C2Vci(n-1)
Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la
tensione di uscita è incrementata di una quantità proporzionale (tramite C1/C2)
all’ingresso nell’istante di campionamento precedente.
Questo integratore è non invertente ed ha un ritardo di un periodo nel senso che
l’uscita viene aggiornata dopo un periodo T (l’ingresso in (n-1)T ha effetto sull’uscita in
nT).
Il guadagno in continua è C1/C2
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Passa-Basso (2): Effetti Parassiti
Questo filtro è insensibile alle capacità parassite:
Cp4 non conta perché è sull
sull’uscita
uscita e viene sempre pilotato dall
dall’opamp
opamp
Cp3 è cortocircuitato (tramite la massa virtuale)
Cp2 è cortocircuitato sia in F1 (tramite switch) sia in F2 (tramite massa
virtuale))
Cp1 non ha effetto perché è in parallelo a C1 solo quando questa è
connessa all’ingresso, ma quando F2 va alto Cp1 si scarica tramite lo switch
g
su C1 che rimane q
quindi inalterata.
e non influenza la carica immagazzinata
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Passo-Basso Invertente (3)
Il precedente filtro passa-basso insensibile ai parassiti era non invertente.
Questa è la realizzazione di un passa-basso insensibile alle capacità parassite
invertente.
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Passa-Basso (3): Analisi (1)
Considero come morsetto positivo di C1 il top plate e come morsetto positivo di C2 il
bottom plate:
Istante ((n-1)T
) ((F1 si è appena
pp
spento):
p
)
QC1(n-1)= - C1Vci(n-1)
QC2(n-1)=C2 Vco(n-1)
Istante (n-3/4)T (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c’è una tensione nulla (tramite
gli switch) dunque tutta la carica QC1 deve lasciare la C1.
C1 Non va però su C2 ma
fluisce a massa tramite gli switch
QC1(n-3/4)=0
QC2(n-3/4)= QC2(n-1)
Istante (n-1/2)T (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono
variare
QC1(n-1/2)=0
QC2(n-1/2)=
(n 1/2)= QC2(n-3/4)
(n 3/4) = QC2(n-1)
(n 1)
Istante (n-1/4)T (F1 si è appena acceso): C1 è connessa all’ingresso ed alla massa
virtuale quindi la sua carica varia. Ma per portare la carica opportuna sul top plate non
c’è un percorso conduttivo (la carica non può arrivare dal morsetto invertente
dell’opamp) quindi la carica arriva dal top plate di C2 che cambia così il proprio
potenziale e la propria carica.
QC1(n-1/4)= - C1Vci(n-1/4)
QC2(n-1/4)= QC2(n-1) + QC1(n-1/4)
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Passa-Basso (3): Analisi (2)
Istante nT (F1 si è appena spento): Quando si spegne F1 la carica su C2 non può
più variare ((come q
p
quella di C1))
QC1(n)= - C1Vci(n)
QC2(n)= QC2(n-1) + QC1(n) = C2 Vco(n-1) - C1Vci(n)
Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è:
Vo(n) = Vco(n) = Vo(n-1)- C1/C2Vci(n)
Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la
tensione di uscita è incrementata di una quantità proporzionale (tramite -C1/C2)
all ingresso.
all’ingresso
Questo integratore è invertente ed non ha ritardo nel senso che l’uscita viene
aggiornata istantaneamente (l’ingresso in nT ha effetto sull’uscita in nT).
Il guadagno in continua è -C1/C2
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SC: Filtri
In generale, secondo la metodologia proposta si possono implementare filtri di
ogni ordine combinando opportunamente i blocchi base.
Il più generico filtro del primo ordine è ricavato sostituendo alle resistenze le SC:
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SC: Circuito di Guadagno con Reset
Le capacità commutate possono essere utilizzate anche per implementare
altri circuiti di elaborazione del segnale,
g
, come circuiti di g
guadagno
g
con
opportuno guadagno programmabile (e molto preciso).
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Programmable Gain : Analisi (1)
Istante (n-1)T (F1 si è appena spento):
QC1((n-1)=
) - C1Vin(n-1)
( )
QC2(n-1)=C2 Vout(n-1)
Istante (n-3/4)T (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c’è una tensione nulla (la
massa virtuale è applicata al top plate di C1 e la massa reale al bottom plate) dunque
tutta la carica QC1 deve lasciare la C1; ma C2 è cortocircuitato da F2 quindi
QC1(n-3/4)=0
QC2(n-3/4)= 0
Istante ((n-1/2)T
) ((F2 si è appena
pp
spento):
p
) sia C1 che C2 sono isolate e non p
possono
variare
QC1(n-1/2)=0
QC2(n-1/2)= 0
Istante (n-1/4)T
(n 1/4)T (F1 si è appena acceso): C1 è connessa all
all’ingresso
ingresso quindi si carica,
carica
ma la carica sul suo top plate può arrivare solo da C2 che acquista quindi la stessa
carica di C1 però sull’altro morsetto
QC1((n-1/4)=
) - C1Vin(n-1/4)
(
)
QC2(n-1/4)= QC1(n-3/4) = - C1Vin(n-1/4)
Istante nT (F1 si è appena spento):
QC1(n)= - C1Vin(n)
QC2(n)= QC1(n) = - C1Vin(n) ->
> C2Vout(n) = - C1Vin(n) ->
> Vout(n) = - C1/C2Vin(n)
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