Analisi combinatoria
1. Disposizioni semplici di n oggetti
Siano dati n oggetti distinti tra loro che verranno indicati da una stessa lettera
contrassegnata da un indice, per esempio con a1, a2, …., an e sia k un numero intero
positivo inferiore o uguale ad n.
Con questi n oggetti si possono costruire dei gruppi ciascuno di k oggetti che differiscono
tra loro per gli elementi che li compongono o per il loro ordine. Questi gruppi sono setti
DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti di classe k.
DEFINIZIONE
Dati n oggetti distinti a1, a2, …., an si dicono disposizioni semplici di di classe k, con
k n, tutti gli aggruppamenti che si possono fare prendendo k degli n oggetti (ciascuno di
questi non più di una volta per ogni gruppo), in modo che i gruppi differiscano tra loro o per
qualche oggetto o per l’ordine con cui gli oggetti compaiono nel gruppo.
Esempio:
Siano dati quattro oggetti
a1,
a2 ,
a3 , a4
con essi si possono costruire disposizioni semplici di classe 1, 2, 3 e 4 nel seguente modo:
disposizioni di classe 1
a1
disposizioni di classe 2
a1 a2
a1 a3
a1 a4
disposizioni di classe 3
disposizioni di classe 4
a2
a3
a2 a1
a2 a3
a2 a4
a4
a3 a1
a3 a2
a3 a4
a4 a1
a4 a2
a4 a3
a1 a2 a3
a1 a2 a4
a1 a3 a2
a1 a3 a4
a1 a4 a2
a1 a4 a3
a2 a1 a3
a2 a1 a4
a2 a3 a1
a2 a3 a4
a2 a4 a1
a2 a4 a3
a3 a1 a2
a3 a1a4
a3 a2 a1
a3 a2 a4
a3 a4 a1
a3 a4 a2
a4 a1 a2
a4 a1 a3
a4 a2 a1
a4 a2 a3
a4 a3 a1
a4 a3 a2
a1 a2 a3 a4
a1 a2 a4 a3
a1 a3 a2 a4
a1 a3 a4 a2
a1 a4 a2 a3
a1 a4 a3 a2
a2 a1 a3 a4
a2 a1 a4 a3
a2 a3 a1 a4
a2 a3 a4 a1
a2 a4 a1 a3
a2 a4a3 a1
a3 a1 a2 a4
a3 a1 a4 a2
a3 a2 a1 a4
a3 a2 a4 a1
a3 a4 a1 a2
a3 a4 a2 a1
a4 a1 a2 a3
a4 a1 a3 a2
a4 a2 a3 a1
a4 a2 a1 a3
a4 a3 a1 a2
a4 a3 a2 a1
Come si può vedere il numero delle disposizioni che si ottiene è rispettivamente:
per la classe 1 : numero 4
per la classe 2: numero 12
per la classe 3: numero 24
per la classe 4: numero 24
Il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe k che si ottiene viene in genere
indicato con il simbolo Dn,k quindi per il nostro esempio si vede che otteniamo:
D4,1 = 4
D4,2=12
D4,3=24
D4,4=24
La formula che permette di stabilire il valore Dn,k è
Dn,k =n(n-1)(n-2)(n-3)….(n-(k-1))= n(n-1)(n-2)(n-3)….(n-k+1)
e quindi il numero delle disposizioni semplici di n oggetti distinti, di classe k, è uguale al
prodotto dei numeri interi consecutivi dei quali il primo è n e l’ultimo è n-k+1.
2. PERMUTAZIONI DI n OGGETTI E IL FATTORIALE DI n
Si chiamano permutazioni di n oggetti distinti a1, a2, …., an le disposizioni di questi oggetti
di classe n.
Il numero di disposizioni di classe n diviene quindi
Dn,n =n(n-1)(n-2)(n-3)….(n-(n-1))= n(n-1)(n-2)(n-3)….(n-n+1)= n(n-1)(n-2)(n-3)….(1)
E viene indicato generalmente con il simbolo
Pn = n!
Si ricordi che per convenzione 0! = 1! =1
3 COMBINAZIONI SEMPLICI DI n OGGETTI
Si chiamano combinazioni semplici di n oggetti distinti a1, a2, …., an di classe k (con k n)
tutti gli aggruppamenti che si possono fare prendendo di volta in volta k oggetti (ciascuno
non più di una volta per gruppo)in modo che i gruppi differiscano tra loro per qualche
oggetto ( e non per l’ordine).
Vanno presi in considerazione quindi solo i gruppi che differiscono di almeno un oggetto, il
nostro esempio quindi ci porta a determinare
combinazioni di classe 1
a1
a2
a3
a4
combinazioni di classe 2
a1 a2
a1 a3
combinazioni di classe 3
a1 a2 a3
combinazioni di classe 4
a1 a2 a3 a4
a1 a4
a1 a2 a4
a2 a3
a2 a4
a1 a3 a4
a4 a1
a2 a3 a4
In generale quindi ogni combinazione di n oggetti di classe k genera k! Disposizioni degli
oggetti sempre di classe k, per cui vale la relazione:
Dn,k = Cn,k k!
Da cui si ricava
Cn,k = Dn,k / k! = n(n-1)(n-2).....(n-k+1)/K!
Che equivale anche a dire
C n ,k =
n!
k! (n − k )!
Tale numero viene spesso indicato con il coefficiente binomiale
n
k
Quindi
n
n!
=
k k! (n − k )!
In particolare, ricordando che 0!= 1 avranno anche significato i simboli
Elementi di statistica descrittiva.
Gli obiettivi che si prefigge la statistica descrittiva possono essere riassunti nel seguente
modo:
1) imparare a descrivere e ad analizzare dati e informazioni su fenomeni del mondo
reale;
2) saper rappresentare dati sotto forma di tabelle e di grafici;
3) acquisire pratica dei processi induttivi;
4) elaborare le informazioni raccolte, al fine di pervenire alla scoperta di leggi generali
che regolano i fenomeni osservati.
Una prima classificazione che può essere introdotta per descrivere la statistica è la
seguente:
- statistica metodologica
- statistica applicata (demografica,biometrica,sanitaria,economica,giudiziaria,…).
Il metodo statistico consente all’uomo, studiando il mondo con il quale interagisce ed i
fenomeni che gli accadono intorno di risalire, mediante opportune elaborazioni
matematiche , alla conoscenza delle leggi generali che governano quei fenomeni e quelle
cose.
1) FENOMENI SPONTANEI E PROVOCATI.
Nelle scienze sperimentali, quali la fisica , la chimica , la biologia, l’economia etc si
possono osservare fenomeni, fatti o eventi che si presentano naturalmente, cioè
spontaneamente, sia fenomeni provocati dai ricercatori nei laboratori con esperimenti
accuratamente preparati.
Esempi:
1) Fenomeno relativo alle nascite avvenute in Italia nel decennio dal 1974 al 1984
Tale fenomeno è sociale e non riproducibile in laboratorio
2) Fenomeno relativo alla produzione di vino nelle varie regioni d’Italia, nell’anno 1984
Appartenente all’economia che si manifesta spontaneamente non riproducibile in
laboratorio;
3) Fenomeno relativo ai composti che si ottengono combinando, secondo opportune
proporzioni, gli elementi di idrogeno, ossigeno, cloro, sodio e potassio
Appartenente al campo della chimica, si può manifestare spontaneamente in
natura, ma per uno studio approfondito, occorre che i ricercatori preparino opportuni
e accurati esperimenti in laboratorio
4) Fenomeno legato alla caduta naturale di un grave
Accade sponataneamente in natura ma per il suo studio accurato e quindi per
ricavare la legge a cui obbedisce, conviene riprodurlo e studiarlo sistematicamente
in laboratorio.
Per lo studio dei fenomeni statistici e per la determinazione delle leggi generali che li
descrivono occorre utilizzare il metodo induttivo con il quale si passa dal particolare
all’universale. Tale metodo, è molto utile e per essere considerato valido, dopo aver
effettuato numerose prove, osservazioni e ricerche deve consentire il passaggio inverso e
cioè dall’universale al particolare.
Il metodo induttivo viene detto, quando si occupa di dati quantitativi, metodo caratteristico
dell’indagine statistica.
FASI DELLA RICERCA STATISTICA
Una indagine statistica si articola nelle seguenti fasi:
1) determinazione del fenomeno da sottoporre a ricerca statistica;
2) determinazione della popolazione oggetto dell’indagine e delle unità statistiche
che la compongono
3) determinazione dei caratteri, cioè dei dati statistici da rilevare, in corrispondenza di
ogni unità della popolazione statistica. Indicazione delle modalità di ogni carattere
4) Rilevazione dei dati statistici con delimitazione della stessa nel tempo e nello
spazio;
5) Spoglio e rappresentazioni grafiche dei dati rilevati;
6) Elaborazione dei dati statistici che consente di
- Formulare leggi empiriche
- Ricavare previsioni
- Operare scelte e prendere decisioni applicative relative al problema oggetto
dell’indagine.
Caratteri
