PROGETTO SIRIO
PRECORSO di MATEMATICA
Prof. Michele Osti
Teoria
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE “AUGUSTO RIGHI”
Via Aldo Moro, 1097 - 30015 Chioggia (VE)
t e l . 0 4 1 4 9 6 5 8 1 1 - f a x 0 4 1 4 9 6 5 4 3 2 - w w w. i t i s a r i g h i . c o m
POTENZA in N ...........................................................................................2
DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI ..................................................................3
MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO ......................3
FRAZIONI .................................................................................................4
ADDIZIONE TRA FRAZIONI .....................................................................5
SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI .................................................................5
MOLTIPLICAZIONE FRA FRAZIONI ...........................................................5
DIVISIONE TRA FRAZIONI.......................................................................5
POTENZA DI UNA FRAZIONE ...................................................................5
NOTE PER IL CALCOLO DI ESPRESSIONI ARITMETICHE CON FRAZIONI ......6
PRODOTTI NOTEVOLI ...............................................................................6
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POTENZA in N
-
-
Def.: si chiama potenza di un dato numero ogni prodotto di fattori tutti uguali a quel numero;
terminologia:
• il fattore che si deve ripetere si chiama base della potenza;
• il numero che indica quanti sono i fattori da ripetere si chiama esponente della potenza;
• l’operazione con la quale si ottiene la potenza di un numero si chiama elevamento a
potenza;
• la potenza con esponente 2 di un numero si dice anche quadrato del numero;
• la potenza con esponente 3 di un numero si dice anche cubo del numero;
in base alla terminologia appena vista possiamo allora ripetere la definizione nel seguente modo: se
a e n sono due numeri naturali, con n>1, si chiama potenza di base a ed esponente n il numero:
a n = a1⋅ 4
a ⋅4
a2
⋅ a4
......
⋅a
43
n volte
-
per coerenza si devono introdurre anche le seguenti definizioni:
• si chiama potenza di un numero con esponente 1 il numero stesso, cioè:
a1 = a
•
si chiama potenza di un numero, diverso da zero, con esponente 0, il numero uno, cioè:
a 0 = 1 ∀a ≠ 0 ∗
-
sempre per coerenza: non si definisce la potenza di base 0 ed esponente 0, cioè:
il simbolo
-
0 0 non ha significato.
proprietà delle potenze:
• prodotto di due (o più) potenze di ugual base: il prodotto di due (o più) potenze con la
stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli
esponenti
a m ⋅ a n = a m+ n
•
quoziente di due potenze di ugual base: il quoziente di due potenze con la stessa base
(diversa da zero) e con esponente del dividendo maggiore o uguale a quello del divisore, è
una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti
a m : a n = a m − n con : a ≠ 0 e m ≥ n
•
potenza di una potenza: la potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti
(a )
m n
•
= a n ⋅m
prodotto di due (o più) potenze di ugual esponente: il prodotto di due (o più) potenze
con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per
base il prodotto delle basi
a n ⋅ b n = (a ⋅ b )
•
n
quoziente di due potenze di ugual esponente: il quoziente di due potenze con lo
stesso esponente (e base del divisore diversa da zero) è una potenza che ha per esponente
lo stesso esponente e per base il quoziente fra le basi
a n : b n = (a : b ) con : b ≠ 0
n
∗
il simbolo
∀ si legge: “per ogni”
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DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI
-
Def.: un numero a si dice divisibile per b , con b diverso da zero, se e solo se la divisione tra a e b è
esatta, cioè se esiste un numero c tale che: b ⋅ c = a ;
def.: se a è divisibile per b, si dice che a è multiplo di b;
def.: un numero si dice primo se e solo se è divisibile solo per se stesso e per l’unità;
def.: un numero si dice composto se e solo se non è primo;
def.: due numeri si dicono primi fra loro se hanno come divisore comune solo l’unità.
criteri di divisibilità:
• un numero è divisibile per 2 quando termina con una cifra pari1;
• un numero è divisibile per 3 quando lo è la somma delle sue cifre;
• un numero è divisibile per 5 quando termina per 0 o per 5;
• un numero è divisibile per 11 quando la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari
(a partire dalle unità) e quella delle cifre di posto pari è zero, oppure è divisibile per 11
MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO
-
-
1
Def.: dati due o più numeri naturali (diversi da zero) si chiama massimo comune divisore (M.C.D.) il
numero più grande che divide esattamente tutti i numeri dati;
regola per calcolare il M.C.D.:
• scomporre i numeri in fattori primi;
• moltiplicare fra di loro tutti i fattori comuni presi una sola volta con l’esponente minore;
def.: dati due o più numeri naturali diversi da zero, si chiama minimo comune multiplo (m.c.m.) il
più piccolo fra i loro multipli comuni;
regola per calcolare il m.c.m.:
• scomporre i numeri in fattori primi;
• moltiplicare fra loro tutti i fatto comuni e non comuni presi una sola volta con l’esponente
maggiore;
def.: un numero si dice pari se e solo se è multiplo del numero 2
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FRAZIONI
-
Def.: si chiama frazione un simbolo costituito da una coppia ordinata di numeri naturali a e b, con
b ≠ 0.
Terminologia:
a
, si legge “a fratto b”, oppure “a bi-esimi”, oppure “a su b”;
b
o
il simbolo
o
o
il numero a si chiama numeratore;
il numero b si chiama denominatore.
a
si dice:
b
-
Def.: la frazione
-
o propria se a < b;
o impropria se a > b e a non è multiplo di b;
o apparente se a > b e a è multiplo di b.
Convenzione: se b = 1 si scrivono le frazioni senza il denominatore;
-
Def.: due frazioni
o
-
a
c
e
si dicono equivalenti se, e solo se risulta: ad = cb ;
b
d
a c
in tal caso si scriverà:
= .
b d
Proprietà invariantiva: data una frazione, se ne ottiene un’altra equivalente moltiplicando o
dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero naturale (diverso da zero)
a a⋅m
a a:m
oppure
=
=
con m ≠ 0
b b⋅m
b b:m
-
Conseguenze:
o semplificazione di una frazione (o riduzione ai minimi termini se dopo la semplificazione
il numeratore ed il denominatore sono primi fra loro2);
o trasformazione di più frazioni al minimo comune denominatore (m.c.d.), tale
operazione si effettua mediante la seguente procedura:
ridurre le frazioni ai minimi termini;
determinare il m.c.m. fra i denominatori (cioè il m.c.d.);
dividere il m.c.d. per ciascun denominatore e moltiplicare il quoziente ottenuto per il
rispettivo denominatore;
le frazioni trasformate hanno per denominatore il m.c.d. e per numeratore i numeri
trovati al punto precedente;
o confronto tra frazioni, riducendole allo stesso denominatore e confrontando i nuovi
denominatori (da ciò segue la seguente regola più veloce per confrontare due frazioni:
a c
>
se, e solo se : ad > cb
b d
2
cioè hanno come unico divisore comune il numero uno
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ADDIZIONE TRA FRAZIONI
-
-
Def.: date due frazioni. si chiama somma la frazione che ha:
1) per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori, se le
frazioni hanno lo stesso denominatore;
2) per denominatore il m.c.d. dei denominatori e per numeratore la somma dei numeratori
ottenuti mediante la trasformazione al m.c.d. se le frazioni hanno denominatori diversi.
Si estendono all’addizione fra frazioni tutta la terminologia e le proprietà dell’addizione tra numeri
naturali.
SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI
-
-
Def.: date due frazioni. si chiama differenza la frazione che ha:
3) per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori, se
le frazioni hanno lo stesso denominatore;
4) per denominatore il m.c.d. dei denominatori e per numeratore la differenza dei numeratori
ottenuti mediante la trasformazione al m.c.d. se le frazioni hanno denominatori diversi.
Si estendono alla sottrazione fra frazioni tutta la terminologia e le proprietà della sottrazione tra
numeri naturali.
MOLTIPLICAZIONE FRA FRAZIONI
-
Def.: si chiama prodotto di due frazioni la frazione che ha per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Si estendono alla moltiplicazione fra frazioni tutta la terminologia e le proprietà della moltiplicazione
tra numeri naturali.
Nota: la semplificazione “in diagonale” si basa sulla proprietà commutativa della moltiplicazione fra
numeri naturali.
DIVISIONE TRA FRAZIONI
-
Def.: si chiama reciproco di un numero razionale p quel numero razionale q che moltiplicato per p
dà per risultato l’elemento neutro della moltiplicazione;
5) in pratica il reciproco di
-
-
a b
è
.
b a
Def.: si chiama quoziente fra due numeri razionali, il secondo dei quali sia diverso da zero, quel
numero che moltiplicato per il secondo dà per risultato il primo;
6) in pratica basta moltiplicare il primo per il reciproco del secondo;
dato che esiste sempre il reciproco di un numero razionale (diverso da zero),
possiamo dire che: l’operazione di divisione fra n.r. è sempre possibile (purchè il
divisore sia diverso da zero).
Tenendo presente quest’ultima importante proprietà, si estendono alla divisione fra frazioni tutta la
terminologia e le altre proprietà della divisione tra numeri naturali.
POTENZA DI UNA FRAZIONE
-
Si estendono alle potenze delle frazioni la definizione, tutta la terminologia e le proprietà delle
potenze dei numeri naturali.
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NOTE PER IL CALCOLO DI ESPRESSIONI ARITMETICHE CON
FRAZIONI
-
Ovviamente valgono tutte le regole generali (relative alla precedenza fra le operazioni)
normalmente usate per le espressioni senza frazioni;
-
se ci sono frazioni a termini frazionari:
o
o
-
si risolvono parallelamente le operazioni al numeratore e al denominatore in modo completo
(cioè in modo tale che rimanga una sola frazione ridotta ai minimi termini a numeratore e
una sola frazione ridotta ai minimi termini a denominatore);
si trasforma poi la frazione a termini frazionari in una frazione “normale” dividendo il
numeratore per il rispettivo denominatore;
se ci sono numeri decimali:
o
o
o
scrivere sotto forma di frazione tutti i numeri decimali;
eseguire i calcoli con le frazioni ottenute;
(eventualmente) trasformare il risultato finale in numero decimale.
PRODOTTI NOTEVOLI
•
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
•
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
•
(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
•
(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
•
(a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
•
(a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
6
