Fisica quantistica: fondamenti - Dalla fisica classica

Fisica quantistica: fondamenti
Dalla fisica classica allo spin 1/2
Christian Ferrari e Matteo Nota
Corso di aggiornamento
Locarno, 1◦ febbraio 2008
Principi e struttura delle teorie classiche Esperienza di Stern-Gerlach Struttura delle teorie quantistiche e spin 1/2 Filosofia SB
Svolgimento del pomeriggio: sommario
Principi e struttura delle teorie classiche
Breve riflessione sui fondamenti della fisica classica
Proprietà formali delle teorie classiche
PAUSA
L’esperienza di Stern-Gerlach: necessità di un nuovo approccio
Struttura delle teorie quantistiche e spin 1/2
(con una PAUSA)
Costruzione della teoria quantistica (in dimensione finita)
Applicazione allo spin 1/2
Aspetti filosofici
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I fondamenti: René Descartes (1596–1650)
Descartes: “Fondare la certezza”
Su quali principi costruire una conoscenza sicura?
Considerare valide solo “le idee chiare e distinte”
⇒ Geometria
“Et partant il faut confesser
qu’il y a des choses corporelles
qui existent. Toutefois elles ne
sont peut-être pas entièrement
telles que nous les apercevons
avec nos sens, car cette
perception des sens est fort
obscure et confuse en plusieurs
choses; mais au moins faut-il
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avouer que toutes les choses
que j’y conçois clairement et
distinctement, c’est-à-dire
toutes les choses, généralement
parlant, qui sont comprises dans
l’objet des mathématiques
pures, s’y retrouvent
véritablement.” (Méditations)
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Corpi e geometria: Forma, posizione e movimento
Esistono dei corpi (sostanza)
Esistono come entità separate in quanto occupano porzioni
separate dello spazio: individuazione (“idee distinte”).
Posizione e estensione spaziale
Il corpo è un’estensione spaziale localizzata (e viceversa):
riduzione all’identità geometrica.
“Je conçois son étendue ou la propriété qu’elle a d’occuper de
l’espace non point comme un accident, mais comme sa vraie
forme ou essence”. (Le Monde)
Movimento
È l’unico attributo fondamentale che concepisco chiaramente:
separazione della sostanza in parti indipendenti.
Tutte le proprietà dei corpi derivano dal movimento.
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Principio di causalità: “Regola” le leggi della natura
Formulazione
La stessa causa produce sempre lo stesso effetto.
Due effetti identici derivano dalla stessa causa.
Non si può dimostrare
Problema classico dell’induzione.
In cosa consiste la “filosofia meccanica”?
Ricerca della causa dei fenomeni in termini di movimento.
Causa ed effetto hanno la stessa collocazione nello spazio
(non ci sono azioni a distanza).
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Principio di causalità: la “filosofia meccanica”
Ch. Huyghens:
“L’on ne saurait douter que la lumière ne consiste dans le
mouvement de certaine matière. Car soit que l’on regarde sa
production (. . . ), soit que l’on regarde ses effets, on voit que
quand la lumière est ramassée, comme par des miroirs concaves,
elle a la vertu de brûler comme le feu, c’est-à-dire qu’elle désunit
les parties des corps; ce qui marque assurément du mouvement, au
moins dans la vraie Philosophie dans laquelle on conçoit la cause
de tous les effets naturels par des raisons méchaniques. Ce qu’il
faut faire à mon avis, ou bien renoncer à toute espérance de jamais
rien comprendre dans la Physique”. (Traité d’Optique, p.3)
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Una realtà indipendente
Lo stato di un sistema non dipende dall’osservatore
Esiste una realtà indipendentemente da qualsiasi osservatore. Lo
stato fisico (x) di un sistema è caratterizzato da un insieme di valori
predeterminati delle grandezze fisiche A, B, C, . . . che lo descrivono.
L’elenco dei valori presi da queste grandezze definisce la realtà
indipendentemente dall’osservatore:
A(x) = a,
B(x) = b,
C(x) = c,
...
Lo strumento non fa altro che svelare questi valori
preesistenti
Il fatto di presupporre una realtà indipendente, che preesiste quindi
alla misura, ci permette:
(a) di rilevare con delle misure sul sistema tutti i valori presi da
queste grandezze: a, b, c, . . .;
(b) in principio, di misurare assieme tutte le grandezze aventi un
valore ben definito. C’è sempre compatibilità tra le misure (i
valori non dipendono dall’ordine).
=⇒ Realismo fisico.
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Il determinismo causale
È una realizzazione completa del principio di causalità
L’evoluzione temporale di un sistema si esprime con equazioni
differenziali di primo ordine (o un principio di conservazione). La
conoscenza dello stato (tramite i valori presi dalle varie grandezze)
in un istante t0 permette di conoscere il suo stato in ogni momento
precedente e successivo.
Il determinismo statistico
La nostra ignoranza del valore preso da tutte le grandezze che
descrivono lo stato di ogni entità fondamentale è puramente
contingente e non un principio naturale. Non entra in
contraddizione con l’ipotesi che questi valori preesistano e seguono
un evoluzione causale. Questa è un’ipotesi fondamentale della fisica
statistica classica. Il determinismo causale è applicato al valore
medio di queste grandezze.
È una forma estremamente forte di determinismo
Permette in principio la conoscenza dell’Universo nel suo insieme, in
ogni istante, sia del passato che nel futuro.
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Il determinismo causale
Paul Henri Thiry d’Holbach (1723–1789):
“Dans un tourbillon de poussière qu’élève un vent impétueux ; quel
qu’il paraisse à nos yeux, dans la plus affreuse tempête excitée par
des vents opposés qui soulèvent les flots, il n’y a pas une seule
molécule de poussière ou d’eau qui soit placée au hasard, qui n’ait
sa cause suffisante pour occuper le lieu où elle se trouve, et qui
n’agisse rigoureusement de la manière dont elle doit agir. Un
géomètre qui connaı̂trait exactement les différentes forces qui
agissent dans les deux cas, et les propriétés des molécules qui sont
mues, démontrerait que, d’après les causes données, chaque
molécule agit précisément comme elle doit agir, et ne peut agir
autrement qu’elle ne fait.” (Système de la nature, 1770)
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Il determinismo causale
Pierre-Simon Laplace (1749–1827):
“ Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état
antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour
un instant donné, connaı̂trait toutes les forces dont la nature est animée et la
situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez
vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même
formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger
atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait
présent à ses yeux. L’esprit humain offre, dans la perfection qu’il a su donner à
l’astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en
mécanique et en géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle, l’ont
mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états
passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à
quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois
générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que les circonstances
données doivent faire éclore.” (Essai philosophique sur les probabilités, 1814)
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Sistemi e grandezze fisiche
Separabilità
È possibile “isolare” (individuare) e conoscere completamente
lo stato (x1 ) di un sottosistema Σ1 di un sistema più grande:
Σ = Σ1 ∪ Σ2 . Le grandezze A, B, C, . . . hanno valori
determinati
A(x1 ) = a1 ,
B(x1 ) = b1 ,
C(x1 ) = c1 ,
... .
Non è per questo necessario conoscere il resto del sistema.
Einstein: “La separabilità è una condizione di possibilità della
fisica, perché esiste sempre un sistema più grande che includa
il sistema che c’interessa”.
In particolare:
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Σ ⊂ Σ ∪ { strumenti di misura }
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Sistemi e grandezze fisiche
Località
Se Σ1 interagisce con il resto del sistema, ossia Σ2 , i valori
A(x1 ) = a1 ,B(x1 ) = b1 , . . . dipendono necessariamente dallo
stato di Σ2 . Questa dipendenza è descritta dalla dinamica e
implica la presenza di una forza di contatto oppure di un
potenziale localizzato attorno a Σ1 . In ogni caso:
(a) una variazione dello stato di Σ2 non si ripercuote
istantaneamente su Σ1 (potenziali ritardati in elettrodinamica);
(b) lo stato di Σ1 è determinato da condizioni locali.
Diremo che le grandezze fisiche A, B, C, . . . sono grandezze
locali.
Questo discorso vale in particolare se Σ2 rappresenta gli
strumenti di misura.
Separabilità e località sono in stretto legame.
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Sistemi e grandezze fisiche
Teoria locale (e separabile)
Il moto della Luna risulta dalla forza gravitazionale: F = mL g
con:
GMT
g=
(g variabile locale) .
r2
Teoria non-locale (e non-separabile): non-classica!
(vista in un lavoro scritto)
Il moto della Luna risulta dalla forza gravitazionale: F = mL g
con:
g=
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GMT
RT2
(g variabile non-locale) .
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Conclusione
La fisica classica è una costruzione compiuta e
strutturalmente complessa.
Tutte le teorie classiche possiedono le caratteristiche descritte
in precedenza. Queste sono in relazioni logiche reciproche, a
volte difficili da esplicitare completamente. Permettono
perlomeno di mettere a fuoco alcune caratteristiche (di solito
scontate) della fisica classica alle quali si è dovuto rinunciare
con la fisica quantistica.
Nello studio della fisica quantistica, il termine “fisica classica”
si riferisce a tutte le teorie che l’hanno preceduta e che
possiedono le caratteristiche discusse in ciò che precede.
In questo senso, la Teoria della Relatività è inclusa nella fisica
classica.
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Struttura delle teorie classiche: osservabili
Scelto il sistema (Σ) è necessario specificare:
(1) L’insieme delle grandezze A relative al sistema che si è deciso
di studiare ed è possibile definire e misurare:
Osservabile Apparecchio di misura
è l’insieme delle osservabili A = {A}.
Ammetteremo che l’insieme delle osservabili relativi al sistema
studiato possiede una struttura di algebra: ossia che è possibile
definire le operazioni
A+B
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AB
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λA
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Struttura delle teorie classiche: stati
(2) L’informazione che l’osservatore possiede sul sistema, di
conseguenza sui risultati delle misure che potrebbe effettuare
ad un istante dato
Stato Informazione
è lo stato ρ ∈ E (E è l’insieme degli stati).
Si differenziano stati puri e stati misti.
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Struttura delle teorie classiche: stati
Stati di informazione massimale (stati puri) per i quali i
risultati di tutte le misure che potrebbe effettuare
l’osservatore sono esattamente conosciuti.
Essi sono parametrizzati da un punto nello spazio delle fasi
x ∈ Γ e il valore dell’osservabile A è dato da
A −→ A(x) = a ∈ R
Stati di informazione solo parziale (stati misti) per i quali il
risultato delle eventuali misure non è esattamente definito,
ripetendo la misura dell’osservabile A su un numero molto
grande di sistemi identici e nello stesso stato ρ è possibile
definire il valore medio
A −→ hAiρ = α ∈ R
OSS: se ρ = x allora hAix = A(x).
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Struttura delle teorie classiche: evoluzione temporale
(3) L’evoluzione temporale è data da un insieme di equazioni
differenziali di primo ordine per lo stato.
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Struttura delle teorie classiche: la compatibilità
Siano A e B due osservabili. Sia x ∈ Epuri , allora
A −→ A(x) = a ∈ R
B −→ B(x) = b ∈ R
Definiamo C = AB, allora la definizione di stato puro implica
C −→ C(x) = A(x)B(x) = ab = ba = B(x)A(x) = C(x) ←− C
da cui C = BA e per ogni copia di osservabili in A
AB = BA
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A è un’algebra commutativa.
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Struttura delle teorie classiche: la compatibilità
La definizione di stato puro si basa sul realismo fisico:
lo stato puro contiene l’informazione su tutte le osservabili;
la misura non modifica lo stato, ma “rivela solo” i valori
delle osservabili che preesistono ad essa;
l’ordine delle misure non è importante.
Quindi nella fisica classica è implicito che
tutte le osservabili possono essere misurate assieme e
possiedono CON CERTEZZA un valore ben definito, che
preesiste alla misura.
In particolare la misura in sequenza A 7→ B 7→ A è caratterizzata
da
A = a 7−→ B = b 7−→ A = a
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Esempio: un punto materiale newtoniano
Osservabili (rappresentate da funzioni reali su Γ)
~ O , E cin , . . .}
A = {~x, p~, ~v , L
Stato puro
ρ = x = (~x, p~)
Evoluzione temporale
d~x
= p~/m
dt
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d~
p
= F~
dt
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L’esperienza di Stern–Gerlach: scopo
1922: Stern e Gerlach
Misura del momento magnetico di atomi di argento con un
campo magnetico fortemente disomogeneo.
Quantificazione dell’orientazione del piano dell’orbita
prevista dalla “vecchia” teoria quantistica (?)
F
G
z
SG
P
N
1000 K
x
S
Gli atomi di argento possiedono un momento magnetico
orientato in modo aleatorio, ma isotropo.
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L’esperienza di Stern–Gerlach: l’apparecchio di misura
L’apparecchio di Stern e Gerlach
placca
asse del fascio
N
z
d
N
~
B
~v0
~µ
z
S
~
B
S
y
x
il campo magnetico è fortemente disomogeneo nella direzione z.
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La “vecchia” teoria quantistica
Teoria di Bohr–Sommerfeld (“vecchia” teoria quantistica)
Lz = m~
con m ∈ {−`, . . . , ` − 1, `}
3~z
2~
~
0
x
y
−~
−2~
−3~
Relazione momento magnetico – momento angolare
e ~
e~
µ
~ =−
L
µz = mµB
con µB =
2me
2me
e m ∈ {−`, . . . , ` − 1, `}.
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Previsioni della “vecchia” teoria quantistica e risultati sperimentali
2` + 1 possibili risultati: un
numero dispari. Nel caso
più semplice non triviale
(` = 1)
Solo due punti di impatto
simmetrici sull’asse z
z
+µB
µz ∈ {−µB , 0, + µB }
0
z
−µB
+µB
0
−µB
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Tutto accade come se ci
fossero solo due valori
possibili ±µB per µz .
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L’ipotesi dello spin
1925: Uehlenbeck e Goudsmit
La deviazione del fascio è dovuta a un momento magnetico
intrinseco µ
~ s , che deve essere associato a un momento
~ chiamato spin
angolare intrinseco S,
~
µ
~ s = γS
γ=g
e
e
≈
.
2me
me
Lo spin è una proprietà intrinseca delle particelle (qui
dell’elettrone) che caratterizza la sua interazione con il campo
magnetico.
I valori possibili per la componente z sono
ms = ± 12 ~
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µs,z = ±µB
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Ulteriori esperimenti
L’apparecchio di Stern–Gerlach misura effettivamente una
grandezza fisica.
µz conosciuto
z
µz conosciuto
z
Ripetendo la stessa esperienza si osserva sempre lo stesso
valore: dopo aver attraversato l’apparecchio di SG
l’atomo di argento si trova in uno stato ben definito
caratterizzato dalla conoscenza CERTA di µz .
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Ulteriori esperimenti
SG ruotato di 90◦ attorno all’asse x (si misura µy ): si
osservano di nuovo due punti d’impatto ben definiti
corrispondenti a
µy = ±µB .
Misura delle componenti µz e µy .
z
µz sconosciuto
µy conosciuto
µz conosciuto
y
z
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Conseguenze dell’esperienza di Stern–Gerlach
La misura in sequenza µz 7→ µx 7→ µz mostra che
µz = +µB 7−→ µx = +µB 7−→ µz = +µB oppure − µB
da cui:
esistono delle grandezze che non possono essere
misurare in modo compatibile (il risultato di una misura
modifica i valori precedentemente conosciuti);
la misura modifica lo stato in modo non controllato;
l’ordine delle misure è importante;
=⇒ lo stato NON permette di ottenere tutti i valori di tutte le
osservabili CON CERTEZZA e il risultato della misura di
un’osservabile generalmente NON preesiste alla misura.
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Conseguenze dell’esperienza di Stern–Gerlach
Esistono delle osservabili che NON possono essere misurate
assieme e NON possiedono CON CERTEZZA un valore ben
definito.
In generale A = ai 7−→ B = bk 7−→ A ∈ {aα } da cui
(
stato x
A = ai −
7 → B = bk
B = b` −
7 → A = aj
NON è CERTO che i = j, k = ` .
è l’incompatibilità tra A e B, visto che il risultato delle misure
dipende dall’ordine nel quale sono effettuate
(AB)(x) 6= (BA)(x)
Inoltre (AB)(x) 6= A(x)B(x).
=⇒ Necessità di una struttura matematica non commutativa.
È la Natura che “sceglie” tra
struttura commutativa/non commutativa!
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Struttura delle teorie quantistiche
MA . . . un sistema quantistico sarà ancora caratterizzato da:
(1) un insieme di osservabili con la struttura di algebra non
commutativa;
(2) un insieme di stati che caratterizzano l’informazione che
l’osservatore possiede sul sistema;
(3) un’evoluzione temporale.
Cambiano gli “oggetti” matematici che traducono i concetti fisici,
poiché cambiano i principi fondamentali della teoria, ma la
struttura “di base” rimane la stessa!!!
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Postulato 1: le osservabili
La teoria quantistica è definita da:
Un’algebra non commutativa complessa Bq munita di
un’involuzione
∗
: Bq −→ Bq
A 7−→ A∗
tale che per ogni A,B ∈ Bq e ogni λ ∈ C
(A∗ )∗ = A
(AB)∗ = B ∗ A∗
(λA + B)∗ = λ̄A∗ + B ∗ .
Uno spazio di Hilbert H sul quale agiscono gli elementi di
Bq , ossia A : H −→ H.
Le osservabili sono gli elementi autoaggiunti di Bq
A = {A ∈ Bq : A = A∗ } .
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Le osservabili
Casi concreti semplici:
Bq = Mn (C) con
∗
: Bq −→ Bq
A 7−→ A∗
con A∗ l’aggiunta della matrice A.
H = Cn
La dimensione n dipende dal sistema e dall’approssimazione
effettuata per la sua modellizzazione.
Le osservabili sono rappresentate dalle matrici autoaggiunte di
Mn (C)
A = {A ∈ Mn (C) : A = A∗ }
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Postulato 2: gli stati
Per un’informazione data, il valore di una misura di un’osservabile
A in generale non è definito, ripetendo la misura su un’insieme di
sistemi identici nello stesso stato, possiamo definire il valore
medio di A in relazione all’informazione conosciuta sul sistema.
Nella teoria quantistica lo stato è rappresentato da un
operatore ρ (operatore densità) tale che:
ρ≥0
e
Tr ρ = 1
Abbiamo la corrispondenza
{Stati} {Operatori densità}
Lo stato definisce un’applicazione lineare, positiva, normata
che assegna il valore medio di A nello stato ρ
ρ : Bq −→ C
A 7−→ hAiρ = Tr(ρA)
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Gli stati
Casi concreti semplici:
Se H = Cn allora ρ è dato da una matrice di Mn (C) (matrice
densità) tale che:
ρ = ρ∗
ρ ≥ 0 (positività)
Tr ρ = 1 (normalizzazione)
OSS: una matrice X positiva può essere scritta come X = B ∗ B e
X positiva implica X = X ∗ .
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Gli stati
Decomposizione degli stati: ogni ρ ∈ E può essere scritto come
ρ=
n
X
p i Pi
i=1
dove
Pi = Pi∗ è un proiettore unidimensionale;
pi ≥ 0 (positività) e
{pi }ni=1
l’insieme
probabilità.
Pn
i=1 pi
= 1 (normalizzazione);
ha quindi le proprietà di una distribuzione di
Interpretazione: il sistema è nello stato Pi con probabilità pi .
Struttura: l’insieme degli stati E è un insieme convesso.
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Stati puri
Gli stati puri sono rappresentati da proiettori ortogonali
unidimensionali, ossia operatori tale che
P = P2
P = P∗
Tr P = 1
Abbiamo la corrispondenza
{Stati Puri} {Proiettori unidimensionali} ,
Per ψ ∈ H il proiettore si scrive
ρ ≡ Pψ =
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(ψ,·)ψ
kψk2
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Stati puri
Poiché Pψ = Pλψ per ogni λ ∈ C∗ abbiamo
{Stati puri ∈ E} {Raggi ∈ H} .
Rappresenteremo uno stato puro con un vettore normalizzato di H
ψ∈H
tale che
kψk = 1 .
ψ e eiθ ψ rappresentano lo stesso stato!!!
poiché differiscono di un fattore di fase!
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Il “retroscena”
von Neumann’s postulates.
1
2
A physical system is characterized by a triple {E, A,h·; ·i}
where: E is the set of its possible states (or “mode of
preparation”); A is the set of its observables (or measurable
attributes); and h·; ·i is a prediction rule which associates to
every pair (φ, A) ∈ E × A a real number hφ; Ai to be
interpreted as the expectation value of the observable A when
the system is in the state φ.
A quantum system is a physical system characterized by a
separable Hilbert space H which allows to make the following
identifications: E is identified with the set of all positive,
trace-class operators ρ on H such that Tr ρ = 1; A is
identified with the set Bsa (H) of all bounded self-adjoint
operators acting on H; and hφ; Ai is given by Tr(ρA).
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Valore medio e fluttuazioni
Per A ∈ A si ha
il valore medio dell’osservabile A nello stato ρ è il numero
reale
hAiρ = Tr(ρA)
lo scarto quadratico medio è
(∆A)ρ =
È
hA2 iρ − hAi2ρ =
q
h(A − hAiρ )2 iρ
e misura le fluttuazioni attorno al valore medio.
Se (∆A)ρ = 0 il valore di A è esattamente conosciuto e vale
hAiρ .
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Stati puri, stati misti e stati di conoscenza assoluta
Gli stati misti sono stati di conoscenza parziale in cui
intervengono delle probabilità, essi sono rappresentati dagli
operatori densità in cui almeno due pi sono non nulli.
Abbiamo
hAiρ = Tr(ρA) .
Gli stati puri sono stati di conoscenza massimale in cui la
descrizione non è probabilistica, essi sono rappresentati dagli
operatori densità che sono dei proiettori 1D. Abbiamo
hAiψ = (ψ,Aψ) .
Quando un’osservabile A non ha fluttuazioni nella misura
del suo valore per uno stato dato, ovvero quando ∆A = 0, lo
stato che ne descrive il sistema è detto di conoscenza
assoluta per l’osservabile A.
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Stati di conoscenza assoluta vs stati puri
Lo stato puro dà una conoscenza massimale sul sistema. In
fisica quantistica per alcune osservabili A nello stato puro si
ha ∆A > 0. A differenza di uno stato misto, questa
apparente mancanza di conoscenza del sistema è
indipendente dall’osservatore, poiché è la situazione
fisica stessa che non permette una conoscenza assoluta.
In una teoria classica tutti gli stati puri sono anche stati di
conoscenza assoluta.
In una teoria quantistica:
Informazione (conoscenza) massimale 6= conoscenza assoluta
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Classificazione degli stati
Stato puro ψ
Stato misto ρ
⇔ Stato di conoscenza massimale ⇔ Stato di conoscenza parziale
(∆A)ψ > 0
(∆A)ρ > 0
Informazione non probabilistica
Informazione probabilistica
Stato di conoscenza assoluta
⇐⇒ Per certe osservabili A, se ∆A = 0
Un vettore ψ rappresenta uno stato di conoscenza assoluta per
A se e solo se ψ è un’autovettore di A, ossia se soddisfa
l’equazione agli autovalori
Aψ = λψ
e i valori che si possono osservare nella misura di A sono i suoi
autovalori.
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Modellizzazione del sistema spin 1/2
Ipotesi: è possibile disaccoppiare i gradi di libertà di spin con
quelli spaziali.
Approssimazione: invece di considerare la particella
quantistica di argento caratterizzata sia da variabili spaziali,
sia da variabili inerenti il momento magnetico intrinseco/spin,
prendiamo in considerazione unicamente quest’ultime.
Chiameremo questo sistema semplificato sistema spin 12 .
Evidenze sperimentali:
l’esistenza di grandezze incompatibili;
la necessità di introdurre delle probabilità a livello della misura
di un’osservabile.
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Osservabili dello spin 1/2
Osservabili
apparecchi di misura
Gli apparecchi di Stern-Gerlach si distinguono tra loro per il diverso
orientamento nello spazio R3 : ~n ∈ R3 S~n .
~ez ∈ R3 Sz
~ex ∈ R3 Sx
~ey ∈ R3 Sy
L’esperienza mostra che:
per qualsiasi misura e qualsiasi ~n due soli risultati possibili;
non vi sono osservabili compatibili (salvo S~n e S−~n ≡ S~n ).
Quindi
H = C2
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e
A ⊂ Bq = M2 (C) .
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Osservabile Sz
Siano ψ± gli stati che corrispondono ai risultati ± ~2 nella misura di
Sz , cosı̀ da avere
Sz ψ± = ± ~2 ψ± .
Per costruzione poniamo gli autovettori di Sz
ψ+ =
‚ Œ
1
0
e
ψ− =
‚ Œ
0
1
allora la matrice autoaggiunta che rappresenta l’osservabile Sz è
Sz =
‚
0
0 − ~2
~
2
Œ
=
‚
~
2
1 0
0 −1
Œ
B = {ψ+ , ψ− } è una base dello spazio di Hilbert C2 ,
rappresenteremo tutte le osservabili ed i vettori rispetto a questa
base ortonormata.
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Preparazione e misura
La preparazione di un sistema quantistico è un’operazione
fondamentale. Dopo la preparazione segue la misura.
Per preparare il sistema nello stato ψ± facciamo passare lo spin 12
nell’apparecchio di SG orientato nella direzione ~ez : se è deviato
verso l’alto/basso sappiamo che lo stato che descrive il sistema è
ψ± . Dopo la preparazione segue una misura di Sx .
x
z
Preparazione
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Misura
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Costruzione di Sx e Sy
Matrice autoaggiunta di Sx rispetto a B
Sx =
‚
αx βx
β̄x δx
Œ
(
Tr Sx = αx + δx = 0
2
Det Sx = αx δx − |βx |2 = − ~4
L’esperienza mostra che: facendo delle esperienze su un grande
numero di sistemi identici preparati nello stato ψ+ (o ψ− ) si ha
hSx iψ± = (ψ± , Sx ψ± ) = 0 =⇒ αx = δx = 0 =⇒ |βx | =
~
2
Procedendo in modo analogo per Sy otteniamo
Sx = ~2
‚
0
eiφx
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e−iφx
0
Œ
Sy = ~2
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‚
0
eiφy
e−iφy
0
Œ
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Costruzione di Sx e Sy
L’autovettore di Sx di autovalore + ~2 è dato da
ϕ+ =
√1
2
‚
1
Œ
eiφx
L’esperienza mostra che: facendo delle esperienze su un grande
numero di sistemi identici preparati nello stato ϕ+ si ha
0 = hSy iϕ+ = (ϕ+ , Sy ϕ+ ) =
~
2
cos(φx − φy ) =⇒ φx − φy = π/2
sceglieremo φx = 0 e φy = π/2. Quindi e
Sx = ~2
‚
0 1
1 0
Œ
Sy = ~2
‚
0 −i
i 0
Œ
Qui vediamo la necessità di descrivere le osservabili con matrici a
coefficienti complessi; quindi costruire la fisica quantistica non
su uno spazio vettoriale reale, bensı̀ complesso.
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Osservabili Sx e Sy
Sx ϕ± = ± ~2 ϕ±
con
Sx =
‚
~
2
Autovettori
ϕ+ =
√1
2
ϕ− =
√1
2
Christian Ferrari e Matteo Nota
0 1
1 0
Sy χ± = ± ~2 χ±
Œ
Sy =
‚
1
−1
‚
~
2
0 −i
i 0
Autovettori
‚ Œ
1
1
con
Œ
χ+ =
√1
2
χ− =
√1
2
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Œ
‚ Œ
‚
1
i
1
−i
Œ
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Probabilità oggettive
I valori che si possono ottenere nella misura di un’osservabile
A sono gli autovalori dell’operatore corrispondente.
La probabilità di ottenere l’autovalore λ di A nella misura di
questa osservabile, se lo stato del sistema è rappresentato
dallo stato misto ρ, ρ ∈ E è
Probρ {A = λ} = Tr(ρPλ )
dallo stato puro Pψ , ψ ∈ H normalizzato, è
Probψ {A = λ} = Tr(Pψ Pλ ) = kPλ ψk2
dove Pλ è il proiettore associato all’autovalore λ.
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Stati di superposizione
Ogni vettore dello spazio di Hilbert rappresenta uno stato
puro del sistema. Se ψ1 ,ψ2 ∈ H allora
ψ = αψ1 + βψ2 ∈ H
α,β ∈ C∗
e quindi ψ rappresenta uno stato puro.
Lo stato ψ è detto stato di superposizione degli stati ψ1 e ψ2 .
Data un’osservabile A di autovettori {ψi }ni=1 (b.o.n.) possiamo
scrivere
n
ψ=
X
ai ψi
ai ∈ C
i=1
e abbiamo
Probψ {A = λk } = kPλk ψk2 = |(ψk ,ψ)|2 = |ak |2 .
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Stati di superposizione
Sapendo che ad ogni autovettore (quindi autoproiettore) è
associata una proprietà del sistema possiamo dire che le
proprietà associate a ciascun autovettore ψi è una proprietà
potenziale per il sistema nello stato ψ. Dove per potenziale
si intende che queste proprietà sono potenzialmente possedute
dal sistema ma non con probabilità 1.
Se il sistema possiede con probabilità 1 la proprietà associata
all’autovettore ψi allora la probabilità di possedere anche le
proprietà associate agli altri autovettori ψk (k 6= i) è nulla.
Questa è una conseguenza dell’ortogonalità degli
autovettori, associati ad autovalori diversi, delle matrici
autoaggiunte ed è la motivazione per cui le osservabili sono
rappresentate da matrici autoaggiunte.
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Postulato della riduzione dello stato
Postulato della riduzione dello stato: Immediatamente dopo la
misura dell’osservabile A, in cui è stato osservato il valore λ, lo
stato del sistema è uno stato di conoscenza assoluta per A, ossia
uno stato tale che
Probψ {A = λ} = kPλ ψk2 = 1 .
quindi lo stato (subito dopo aver osservato il valore λ) è
rappresentato dall’autovettore ψλ associato a λ. Esso è dato da
ψ −→ ψλ =
Pλ ψ
.
kPλ ψk
Questa evoluzione è irreversibile e non deterministica.
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Incompatibilità
Due osservabili A e B sono dette incompatibili se esistono
degli stati per i quali il risultato della misura di A è
perturbato dalla successiva misura di B. Nel caso contrario
sono dette compatibili.
Matematicamente l’incompatibilità corrisponde al fatto che
[A,B] 6= 0.
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Disuguaglianze di Heisenberg
Date due osservabili incompatibili A e B, si hanno le seguenti
disuguaglianze di Heisenberg
(∆A)ψ (∆B)ψ ≥
1
|hCiψ |
2
dove [A,B] = iC, C = C ∗ .
Se si effettua un grande numero di misure dell’osservabile A,
un grande numero di misure dell’osservabile B e un grande
numero di misure dell’osservabile C = −i[A,B], su dei sistemi
identici tutti preparati nello stato ψ, si potranno dedurre i
valori delle fluttuazioni (∆A)ψ e (∆B)ψ e il valore medio
hCiψ , essi dovranno verificare le disuguaglianze di Heisenberg.
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Classificazione degli stati dello spin 1/2
Gli stati puri ψ+ e ψ− , che sono di conoscenza assoluta per
l’osservabile Sz , ma non per Sx e Sy .
Gli stati (puri) di superposizione degli stati propri ψ+ e ψ−
ϕ± =
√1
2
(ψ+ ± ψ− )
e
χ± =
√1
2
(ψ+ ± iψ− ) .
In generale uno stato puro è rappresentato da un vettore
combinazione lineare in H = C2 .
Gli stati puri sono i raggi in H, e sono in corrispondenza con i
proiettori 1D nello spazio convesso degli stati E.
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Classificazione degli stati dello spin 1/2
Gli stati misti sono rappresentati da combinazioni lineari
convesse di proiettori associati agli stati puri.
Per esempio la matrice densità, α ∈]0, 1[
ρ = αPψ+ + (1 − α)Pψ− =
‚
α
0
0 1−α
Œ
rappresenta uno stato misto del sistema, l’informazione sul
sistema è la seguente: esso si trova nello stato puro ψ+ con
probabilità α oppure si trova nello stato puro ψ− con
probabilità (1 − α), indipendentemente da qualsiasi misura!
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Classificazione degli stati dello spin 1/2
È importante notare la differenza tra lo stato misto ρ ed il
proiettore associato a uno stato puro di superposizione ψ del
sistema
‚ √
Œ
√
√
α
ψ = αψ+ + 1 − αeiθ ψ− =⇒ ψ = √
1 − α eiθ
Pψ =
È α −iθ
α(1 − α)e
È
α(1 − α)eiθ
1−α
! ‚
6=
α
0
0 1−α
Œ
=ρ.
Per lo stato puro ψ è possibile trovare un’osservabile per
la quale esso è uno stato di conoscenza assoluta, al
contrario per lo stato misto questo è impossibile.
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Spin e direzioni in R3
È possibile caratterizzare lo spin 12 dal punto di vista geometrico, si
dimostra la seguente corrispondenza biunivoca:
ψ ∈ C2
⇐⇒
~n ∈ S2
dove ψ è un vettore normalizzato, che rappresenta uno stato puro
in H = C2 , e ~n un vettore normalizzato di R3 che si trova quindi
sulla sfera unitaria (sfera di Bloch)
¦
©
S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1
In particolare
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.
S~n ψ~n = ~2 ψ~n
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Spin e direzioni in R3
Il vettore ~n è definito in funzione di ψ da
~
n
2~
~ .
= (ψ, Sψ)
Il vettore ψ è definito in funzione di ~n da
ψ=
‚
cos 2θ e−iϕ/2
sin 2θ eiϕ/2
Œ
dove (θ, φ) sono le coordinate sferiche del vettore
~n = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) .
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Spin 1/2: esperienza 1
ψ+
ψ+
z
z
Preparazione
Misura
Abbiamo le seguente probabilità oggettive
Probψ+ {Sz = +~/2} = kPψ+ ψ+ k2 = |(ψ+ , ψ+ )|2 = 1
Probψ+ {Sz = −~/2} = kPψ− ψ+ k2 = |(ψ− , ψ+ )|2 = 0 .
Lo stato ψ+ è uno stato di conoscenza assoluta per Sz .
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Spin 1/2: esperienza 2
ψ+
z
ϕ+
x
ϕ−
Preparazione
Misura
Abbiamo le seguenti probabilità oggettive
Probψ+ {Sx = +~/2} = kPϕ+ ψ+ k2 = |(ϕ+ , ψ+ )|2 =
Probψ+ {Sx = −~/2} = kPϕ− ψ+ k2 = |(ϕ− , ψ+ )|2 =
1
2
1
2 .
Lo stato ψ+ non è di conoscenza assoluta per Sx :
(∆Sx )ψ+ =
~
2
esso è uno stato di superposizione degli autovettori di Sx .
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Spin 1/2: esperienza 3
z
ψ+
y
ψ+
z
χ+
ψ−
χ−
Preparazione
Misura Sy
Misura Sz
Abbiamo le seguenti probabilità oggettive
Probψ+ {Sy = +~/2} = kPχ+ ψ+ k2 = |(χ+ , ψ+ )|2 =
Probψ+ {Sy = −~/2} = kPχ− ψ+ k2 = |(χ− , ψ+ )|2 =
1
2
1
2 .
Lo stato ψ+ non è di conoscenza assoluta per Sy
(∆Sy )ψ+ =
~
2
esso è uno stato di superposizione degli autovettori di Sy .
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Spin 1/2: esperienza 3
Consideriamo ora il caso in cui nella misura è stato osservato il
valore + ~2 .
Immediatamente dopo la misura, per il postulato della riduzione
dello stato, lo stato è l’autovettore di Sy con questo autovalore,
ossia χ+ .
Nella successiva misura dell’osservabile Sz abbiamo le
seguenti probabilità oggettive
Probχ+ {Sz = +~/2} = kPψ+ χ+ k2 = |(ψ+ , χ+ )|2 =
1
2
Probχ+ {Sz = −~/2} = kPψ− χ+ k2 = |(ψ− , χ+ )|2 =
1
2
Lo stato χ+ non è di conoscenza assoluta per Sz
(∆Sz )χ+ =
~
2
esso è uno stato di superposizione degli autovettori di Sz .
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Spin 1/2: esperienza 3
Nella seconda misura di Sz , benché lo stato del sistema
sia stato inizialmente preparato nel suo autovettore ψ+ ,
si ottengono dei risultati probabilistici: la misura di Sy
ha modificato lo stato iniziale ψ+ .
La misura di Sy ha influenzato il risultato precedente
della misura di Sz (ossia + ~2 poiché abbiamo preparato lo
stato come ψ+ ), ciò è caratteristico del fatto che le
osservabili Sy e Sz non sono compatibili.
Matematicamente l’incompatibilità si manifesta con il fatto
che le matrici Sy e Sz non commutano, infatti abbiamo
Sy Sz − Sz Sy = [Sy , Sz ] = i~Sx .
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Spin 1/2: esperienza 4
Stato iniziale: stato misto (p ∈]0, 1[)
ρ = pPψ+ + (1 − p)Pψ− .
Una possibilità per ottenere questo stato, nel caso p = 21 , è di
prendere un fascio uscente dall’apparecchio di Stern-Gerlach senza
sapere se è stato deviato verso l’alto o verso il basso.
Abbiamo le seguenti probabilità oggettive
Probρ {Sz = +~/2} = Tr(ρPψ+ ) = p
Probρ {Sz = −~/2} = Tr(ρPψ− ) = 1 − p .
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Evoluzione temporale dello stato
L’evoluzione di uno stato in un sistema quantistico è un
processo deterministico.
Stati puri
ψt = Ut ψ0
dove ψt è lo stato puro al tempo t e ψ0 lo stato puro iniziale.
Matrici densità (stati misti e proiettori)
ρt = Ut ρ0 Ut∗
dove ρt è lo stato misto al tempo t e ρ0 lo stato misto iniziale.
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Evoluzione temporale dello stato
{Ut }t∈R è un gruppo ad un parametro (il tempo t) di
operatori unitari
i
Ut = e− ~ Ht
dove H = H ∗ e ~ è la costante di Planck. H rappresenta
l’osservabile energia del sistema ed è chiamato operatore
hamiltoniano.
Equazione di Schrödinger
i~
dψt
= Hψt
dt
da l’evoluzione temporale dello stato puro ψt .
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~
Energia di uno spin 1/2 in un campo magnetico B
L’energia d’interazione spin - campo magnetico vale
~ .
E inter = −~
µ·B
Utilizzando il principio di corrispondenza, e la relazione
~ otteniamo
spin-momento magnetico µ
~ s = γ S,
H = −γBSz =
‚
−γB ~2
0
0
γB ~2
Œ
.
Livelli di energia (Hψ = Eψ)
E± = ∓γB ~2 = ∓ ~ω
2
dove
ω = γB
associati agli autovettori ψ± di H
E
E+
0
E−
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~
Evoluzione temporale dello spin 1/2 in B
Per ottenere l’evoluzione temporale dobbiamo determinare
i
l’operatore unitario Ut = e− ~ Ht .
0
eiγ 2 t
−iγ B
t
2
0
e
B
Ut =
!
.
L’evoluzione temporale dello stato puro all’istante t = 0 dato da
ψ0 =
è
ψt = Ut ψ0 =
Christian Ferrari e Matteo Nota
‚
‚
cos 2θ e−iϕ/2
sin 2θ eiϕ/2
Œ
cos 2θ e−i(−γBt+ϕ)/2
sin 2θ ei(−γBt+ϕ)/2
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Œ
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~
Evoluzione temporale dello spin 1/2 in B
Lo spin “gira” attorno all’asse del campo magnetico. Abbiamo
~ ψ = ~ ~n(t)
hSi
t
2
il valore medio si comporta come il suo corrispondente classico.
z
nz
θ
~n
y
x
Se ωt = 2π: ~n(t) = ~n(0), MA ψt = e±iπ ψ0 .
Se ωt = 4π: ~n(t) = ~n(0), E ψt = ψ0 .
Chiaramente ψ e −ψ rappresentano lo stesso stato:
=⇒ è la simmetria 4π dello spin 1/2.
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Considerazioni filosofiche: realismo fisico
Il realismo fisico
Le tre osservabili Sx , Sy e Sz non sono compatibilmente misurabili
e quindi la compatibilità di tutte le osservabili nella teoria
quantistica viene meno.
Per ogni stato le proprietà fisiche associate allo spin 1/2 non
possiedono un valore che preesite alla misura, la teoria
quantistica non soddisfa i presupposti del realismo fisico.
Quindi, contrariamente alla fisica classica, in cui esiste una
“realtà” indipendente dall’osservatore che preesiste alla misura, in
fisica quantistica ciò non è più vero.
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Considerazioni filosofiche: determinismo
Il determinismo causale
La conoscenza esatta dello stato (stato puro) prima della misura
non permette di determinare esattamente lo stato dopo la misura:
a livello della misura la fisica quantistica è intrinsecamente non
deterministica e il determinismo causale va quindi abbandonato
(resta comunque il determinismo nell’evoluzione temporale).
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Sintesi
Gli stati puri sono rappresentati da vettori normalizzati in
uno spazio di Hilbert H.
Gli stati misti sono rappresentati da operatori densità su H.
Il valore medio dell’osservabile A nello stato puro
rappresentato dal vettore ψ normalizzato è
hAiψ = (ψ,Aψ).
Il valore medio dell’osservabile A nello stato misto
rappresentato da ρ è
hAiρ = Tr(ρA).
Le osservabili sono rappresentate da operatori autoaggiunti
su H e i soli valori che possiamo osservare quando misuriamo
un’osservabile A sono gli autovalori dell’operatore associato.
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Sintesi
Se il sistema è nello stato puro rappresentato dal vettore ψ
normalizzato, la probabilità di osservare il valore λ in una
misura dell’osservabile A è
Probψ {A = λ} = kPλ ψk2
dove Pλ è il proiettore sugli autovettori il cui autovalore è λ.
Se il sistema è nello stato misto ρ, la probabilità di osservare
il valore λ in una misura dell’osservabile A è
Probρ {A = λ} = Tr(ρPλ )
dove Pλ è il proiettore sul sottospazio vettoriale generato dagli
autovettori il cui autovalore è λ.
Gli stati puri che sono stati di conoscenza assoluta per A
sono i suoi autovettori.
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Sintesi
Postulato della riduzione dello stato puro (misura): il
processo di misura di un’osservabile A che da l’autovalore λ è
un’evoluzione irreversibile
ψ −→ ψλ =
Pλ ψ
.
kPλ ψk
L’evoluzione temporale è data da un operatore unitario U .
i
Esso si può scrivere come Ut = e− ~ Ht e se abbiamo uno
stato puro vale l’equazione di Schrödinger
dψt
= Hψt .
dt
Principio di corrispondenza:
H = Ecl (osservabili quantistici) .
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Bibliografia
M. Bitbol, Mécanique quantique, Flammarion (1996)
J.L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique, Polytechnique (2001)
M. Le Bellac, Physique quantique, CNRS Editions (2003)
G. Emch, Mathematical and conceptual foundations of 20th century
physics, North-Holland (1984)
C. Ferrari, Hilbertian structure of quantum physics and Schrödinger
operators, estratto da PhD Thesis EPFL 2769 (2003)
D. Garber, La physique métaphysique de Descartes, PUF (1999), Chap.
III : Le corps : son existence et sa nature
C. Gruber, Physique quantique, Cours EPFL (2003)
C. Gruber, W. Benoı̂t, Mécanique générale, PPUR (1998)
J.B. Hartle, Quantum mechanics of individual systems, Am. J. Phys. 36
(1968), 704-712
A. Kojève, L’idée du déterminisme [1932], Le Livre de Poche (1990)
C. Piron, Mécanique quantique, PPUR (1998)
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