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Determinazione del momento d’inerzia di una massa puntiforme
Materiale utilizzato
Set di accessori per i moti rotatori
Sensore di rotazione
Portamasse e masse aggiuntive
Stativo con base
Bilancia elettronica
Calibro
Interfaccia GLX Pasco
Software Data Studio
Computer
Scopo dell’esperimento è quello di determinare sperimentalmente il momento d’inerzia di una
massa puntiforme per poi confrontare il valore trovato con quello calcolato per via teorica.
L’attività è particolarmente interessante al fine di riconoscere sperimentalmente le analogie tra
cinematica e dinamica del moto traslatorio con la cinematica e la dinamica del moto rotatorio .
figura1
Teoria
Sappiamo che il momento d’inerzia di una massa puntiforme è dato dall’espressione : I = MR 2 ,
con M massa ed R distanza della massa M dall’asse di rotazione. In questo esperimento ci si serve
di due masse uguali fissate agli estremi di una leggera asta rigida e quindi il momento d’inerzia
totale per le due masse è : I TOT = M TOT R 2 , con M TOT = M 1 + M 2 = 2 M ed R distanza di ciascuna
massa dall’asse di rotazione, ovvero la metà della distanza fra i loro centri di massa.
Per trovare il momento d’inerzia sperimentale , montato l’apparato come in figura , agganciamo un
filo alla puleggia media e poniamo all’estremità del filo , che passa attraverso una carrucola fissata
al sensore, un portamasse con una massa totale di 30 g.
La caduta della massa determina , attraverso la tensione del filo che agisce tangenzialmente sulla
puleggia del sensore ( come si vede dalla figura 2) , un momento torcente τ che pone in rotazione il
sistema .
Dalla nota relazione τ = Iα si può ricavare il momento d’inerzia I =
angolare e τ = T ⋅ r il momento torcente che causa la rotazione.
τ
, ove α è l’accelerazione
α
Dalla seconda legge della dinamica applicata alla massa traente risulta :
da cui ricaviamo ,risolvendo rispetto alla tensione : T = m( g − a ) .
∑ F = mg − T = ma
Poiché attraverso il software possiamo conoscere il valore della accelerazione angolare α , il
calcolo della accelerazione lineare si otterrà dalla relazione : a = rα , essendo r il raggio della
puleggia del sensore di rotazione.
Nota la tensione , si potrà calcolare il momento torcente e quindi il momento d’inerzia del sistema.
Per misurare il momento d’inerzia delle sole due masse dobbiamo ripetere la procedura
sperimentale dopo aver tolto le due masse . In tal modo andremo a determinare il momento
d’inerzia dell’apparato e quindi , sottraendo dal momento d’inerzia del solo apparato quella del
sistema apparato + masse , ricaveremo il momento d’inerzia delle due masse .
Ai fini di valutare l’errore nella misura , calcoleremo infine la differenza percentuale tra il valore
sperimentale e quello teorico del momento d’inerzia delle due masse .
figura 2
Calcolo del momento d’inerzia teorico delle due masse
Utilizziamo il calibro e la bilancia elettronica per le misure che ci occorrono :
Masse M 1 = M 2 = 75,6 g
Distanza fra le due masse d = 2R = 36 cm
Raggio puleggia media del sensore di rotazione r = 14,5 mm
Massa traente m = 30 g
I (teorico) = 2 ⋅ 75,6 ⋅ 10 −3 ⋅ (0,18) 2 = 4,9 ⋅ 10 −3 Kgm²
Predisposto il software Data studio per la raccolta dei dati relativi alle grandezze posizione angolare
e velocità angolare , lasciamo cadere la massa traente e visualizziamo l’andamento del grafico
posizione angolare ( ramo di parabola ) e velocità angolare ( retta) .
L’interpolazione quadratica ci consente di conoscere il valore dell’accelerazione angolare del
sistema α = 2 A , l’interpolazione lineare nel diagramma della velocità angolare conferma questo
valore nella pendenza della retta interpolante i punti sperimentali.
essendo α = 0,79 rad/s² calcoliamo l’accelerazione lineare a = r α = 0,0145 ⋅ 0,79 = 0,0114m / s 2
La tensione è allora T = 30 ⋅ 10 −3 ⋅ (9,81 − 0,0114 ) = 0,294 ⋅ 10 −3 N e il momento torcente :
τ = T ⋅ r = 0,294 ⋅ 0,0145 = 4,26 ⋅ 10 −3 Nm
Calcoliamo perciò il momento d’inerzia complessivo del sistema masse + apparato :
4,26 ⋅ 10 −3
I complessivo ( sperimentale) = ατ =
= 5,4 ⋅ 10 −3 Kgm 2 .
0,79
Ripetiamo quindi la procedura dopo aver tolto le due masse e calcoliamo il momento d’inerzia del
solo apparato.
Dal grafico relativo alla posizione angolare ricaviamo l’accelerazione angolare α = 10,2 rad/s² .
L’accelerazione lineare della massa traente è adesso
a= r α = 0,0145 ⋅ 10,2 = 0,148m / s 2 e la tensione nel filo è T = 30 ⋅ 10 −3 (9,81 − 0,148) = 0,289 N
Il momento torcente è τ = T ⋅ r = 0,289 ⋅ 0,0145 = 4,19 ⋅ 10 −3 Nm perciò il momento d’inerzia del
solo apparato risulta : I apparato =
τ 4,19 ⋅ 10 −3
=
= 4,12 ⋅ 10 −4 Kgm 2 .
α
10,2
Il momento d’inerzia delle due masse si ricava dalla differenza :
I TOT ( sperimentale) = I complessivo − I apparato = (5,4 − 0,412) ⋅ 10 −3 = 4,98 ⋅ 10 −3 Kgm² .
La differenza percentuale tra i valori sperimentale e teorico del momento d’inerzia delle masse è :
I TOT (teorico) − I TOT ( sperimentale)
(4,98 − 4,9) ⋅ 10 −3
⋅ 100 =
⋅ 100 = 1,63% .
I TOT (teorico)
4,9 ⋅ 10 −3
Determinazione del momento d’inerzia di un disco e di un anello
Materiale utilizzato
Set di accessori per i moti rotatori
Sensore di rotazione
Portamasse e masse aggiuntive
Stativo con base
Bilancia elettronica
Calibro
Interfaccia GLX Pasco
Software Data Studio
Computer
Scopo dell’esperimento è quello di determinare sperimentalmente il momento d’inerzia di un disco
e di un anello per poi confrontare i valori trovati con quelli calcolati per via teorica.
L’attività è particolarmente interessante al fine di riconoscere sperimentalmente le analogie tra
cinematica e dinamica del moto traslatorio con la cinematica e la dinamica del moto rotatorio .
Teoria
Sappiamo che il momento d’inerzia di un anello di massa M d e raggio R rispetto al suo centro di
1
2
massa è dato da : I disco = M d Rd e quello di un anello , avente massa M a e raggi interno ed
2
1
esterno R1 ed R2 è dato da : I anello = M a (R12 + R22 ).
2
Per trovare il momento d’inerzia sperimentale , fissato il disco al sensore di rotazione , agganciamo
un filo alla puleggia media e poniamo all’estremità del filo , che passa attraverso una carrucola
fissata al sensore, un portamasse con una massa totale di 30 g.
La caduta della massa determina , attraverso la tensione del filo che agisce tangenzialmente sulla
puleggia del sensore, un momento torcente τ che pone in rotazione il sistema e quindi il disco .
Dalla nota relazione τ = Iα si può ricavare il momento d’inerzia I =
angolare e τ = T ⋅ r il momento torcente che causa la rotazione.
Dalla seconda legge della dinamica applicata alla massa traente :
τ
, ove α è l’accelerazione
α
∑ F = mg − T = ma
otteniamo , risolvendo rispetto alla tensione : T = m( g − a ) .
Poiché attraverso il software possiamo conoscere il valore della accelerazione angolare α , il
calcolo della accelerazione lineare si otterrà dalla relazione : a = rα , essendo r il raggio della
puleggia del sensore di rotazione. Nota la tensione , si potrà calcolare il momento torcente e quindi
il momento d’inerzia del disco.
Per valutare il momento d’inerzia dell’anello , porremo quest’ultimo sopra il disco e ripeteremo la
procedura sperimentale che ci porterà a calcolare il momento d’inerzia complessivo del sistema
disco + anello. Sottraendo quindi da questo momento d’inerzia totale il momento d’inerzia del solo
disco precedentemente calcolato, otterremo il momento d’inerzia dell’anello.
Calcoleremo infine le differenze percentuali tra i valori sperimentali e quelli teorici dei momenti
d’inerzia del disco e dell’anello.
Calcolo dei momenti di inerzia teorici del disco e dell’anello
Utilizziamo il calibro e la bilancia elettronica per le misure che ci occorrono :
Massa disco M d =118,3 g
Raggio disco Rd = 4,73 cm
Massa anello M a = 471 g
Raggio interno anello R1 = 26,9 mm
Raggio esterno anello R2 = 38,3 mm
Raggio puleggia media del sensore di rotazione r = 14,5 mm
Massa traente m = 30 g
I disco (teorico) = ½ 0,118 (0,0473)²= 1,32 ⋅ 10 −4 Kgm²
I anello (teorico)= ½ 0,471 (26,9²+38,3²) ⋅ 10 −6 =5,16 ⋅ 10 −4 Kgm²
Predisposto il software Data studio per la raccolta dei dati relativi alle grandezze posizione angolare
e velocità angolare , lasciamo cadere la massa traente e visualizziamo l’andamento del grafico
posizione angolare ( ramo di parabola ) e velocità angolare ( retta) .
L’interpolazione quadratica ci consente di conoscere il valore dell’accelerazione angolare del
sistema α = 2 A , l’interpolazione lineare nel diagramma della velocità angolare conferma questo
valore nella pendenza della retta interpolante i punti sperimentali.
essendo α = 29,4 rad/s² calcoliamo l’accelerazione lineare a = r α = 0,0145 ⋅ 29,4 = 0,426m / s 2
La tensione è allora T = 30 ⋅ 10 −3 ⋅ (9,81 − 0,426 ) = 0,294 ⋅ 10 −3 N e il momento torcente :
τ = T ⋅ r = 0,294 ⋅ 0,0145 = 4,26 ⋅ 10 −3 Nm
Calcoliamo
perciò
I disco ( sperimentale) = ατ
il
momento
−3
4,26 ⋅ 10
=
= 1,39 ⋅10 −4 Kgm 2 .
29,4
d’inerzia
del
disco
:
Valutiamo quindi l’errore sperimentale attraverso la differenza percentuale tra i valori sperimentale
e teorico del momento d’inerzia del disco:
I disco ( sperimentale) − I disco (teorico)
(1,39 − 1,32) ⋅ 10 −4
⋅ 100 =
⋅ 100 = 5%
I disco (teorico)
1,32 ⋅ 10 −4
Per la determinazione del momento d’inerzia dell’anello , posiamo l’anello sopra il disco e
ripetiamo la procedura sperimentale. Dal grafico relativo alla posizione angolare ricaviamo
l’accelerazione angolare α = 6,49 rad/s² . L’accelerazione lineare della massa traente è adesso
a= r α = 6,49 ⋅ 0,0145 = 0,094m / s 2 e la tensione nel filo è T = 30 ⋅ 10 −3 (9,81 − 0,094 ) = 0,291N
Il momento torcente è τ = T ⋅ r = 0,291 ⋅ 0,0145 = 4,22 ⋅ 10 −3 Nm perciò il momento d’inerzia del
sistema disco+anello risulta : I disco + anello =
τ 4,22 ⋅ 10 −3
=
= 6,51 ⋅ 10 −4 Kgm 2 .
α
6,49
Il momento d’inerzia dell’anello si ricava dalla differenza :
I anello = I disco + anello − I disco = (6,51 − 1,39) ⋅ 10 −4 = 5,12 ⋅ 10 −4 Kgm² .
La differenza percentuale tra i valori sperimentale e teorico del momento d’inerzia dell’anello è :
I anello (teorico) − I anello ( sperimentale)
(5,16 − 5,12) ⋅ 10 −4
⋅ 100 =
⋅ 100 = 0,77% .
I anello (teorico)
5,16 ⋅ 10 − 4
Verifica del principio di conservazione del momento angolare
Materiale utilizzato
Set di accessori per i moti rotatori
Sensore di rotazione
Stativo con base
Bilancia elettronica
Calibro
Interfaccia GLX Pasco
Software Data Studio
Computer
Scopo dell’esperimento è quello di verificare che per un sistema nel quale il momento torcente
risultante è nullo , il momento angolare si conserva. Essendo infatti ∑τ ext = ∆L , nel caso in cui
∑τ
= 0 si ha ∆L = 0 e quindi L = costante .
Dopo aver fissato il disco al sensore di rotazione , imprimiamo manualmente una rotazione al disco
e poi lasciamo cadere delicatamente l’anello sul disco . Quando l’anello è sul disco ruotante , il
momento torcente sul sistema è nullo in quanto il momento torcente sull’anello è opposto a quello
sul disco ; per questo si conserva il momento angolare e sarà : Li = L f ovvero I iω i = I f ω f .
ext
Il momento d’inerzia iniziale I i è quello del solo disco che sta ruotando e ω i la sua velocità angolare
iniziale mentre il momento d’inerzia finale I f è quello del sistema disco + anello e ω f la velocità
angolare del sistema. Si nota in questa situazione l’analogia con l’urto totalmente anelastico e
quella fra conservazione del momento angolare nel moto rotatorio e conservazione della quantità di
moto nel moto traslatorio.
Sono stati calcolati i momenti d’inerzia del disco e del sistema disco + anello nell’esperimento
precedente :
I disco = 1,39 ⋅ 10 −4 Kgm 2
I disco + anello = 6,51 ⋅ 10 −4 Kgm 2
Predisposto il software Data Studio alla raccolta delle misure per la velocità angolare analizziamo il
relativo grafico e traiamo da questo i valori delle velocità angolari prima e dopo la caduta
dell’anello sul disco . Confrontiamo i due prodotti
I iω i = 1,39 ⋅ 10 −4 ⋅ 31,59 = 4,4 ⋅ 10 −5 kgm / s
I f ω f = 6,51 ⋅ 10 −4 ⋅ 6,63 = 4,32 ⋅ 10 −5 Kgm / s
Tenendo conto che una parte dell’energia del sistema è perduta attraverso l’urto dell’anello che cade
sul disco, la verifica sperimentale è di esito soddisfacente.