Ministero dell’istruzione, dell’università e della ricerca
L.G.S. C. Beccaria
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ESTOTE PARATI Ripasso estivo di matematica per le future prime – a.s. 2015/2016 –
Al rientro delle (meritate) vacanze estive inizierai la tanto attesa “prima superiore”. I primi giorni di scuola dovrai affrontare alcuni test di ingresso tra cui il test di matematica. E’ meglio perciò arrivare già un po’ allenati, avendo fatto un buon ripasso. Svolgi gli esercizi che trovi di seguito ed annota se qualcosa non ti è chiaro, sarà ripreso poi nelle prime ore di lezione. Non preoccuparti per il test, non farà media, ma è sempre meglio non fare…”brutte figure”!! Buon lavoro Gli insegnanti di matematica 1. Le proprietà delle potenze con i numeri naturali
Completa le uguaglianze applicando le proprietà delle potenze. 8
5... ⋅ 53 = 59 ;
38 ⋅ (...) = 158 ;
3... ⋅ 35 = 39 ;
(6 )
... 4
89 :8... = 86 ;
(7 )
93 ⋅ 9... = 910 ;
(...)
= 7 20. 3 ...
= 6 21 ;
4
: 24 = 94. 5
64 ⋅ (...) = 244 ;
7
24 ⋅ (...) = 362 ;
145 : (...) = 25 ;
... 3
8
(5 )
4
(10 )
:125 = 53 ;
104 ⋅10 :10... = 100. 157 : (...) = 37 ;
... 3
1 :1000 = 106 ;
123 ⋅12 :12... = 144. Calcola il valore dell’espressione applicando le proprietà delle potenze. 1
[49] ⎡( 72 )3 ⋅ 75 : ( 7 4 )2 ⎤ ⋅ 7 : 7 2
⎢⎣
⎥⎦
2
3
{
}
{12 ⋅12 : ⎡⎢⎣(4 ⋅ 3 ) : 3 ⎤⎥⎦}
{( ) ( ) ( )}
3
65 ⋅ 62 : ⎡⎢(33 ⋅ 22 ) : 32 ⎤⎥
⎣
⎦
3
3
4
2
2
4 2
[8] 2
3
2
⎡ 2 + 3 3 ⋅ 1 + 1 3 ⎤ : 2 2 ⋅ 52
⎣
⎦
3
[16] [2] + 110
2
5
⎡(32 )3 : 32 ⎤ : ⎡(33 )3 : 34 ⎤ − ( 2 + 3)2
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
[2] ed anche queste 2
"
%
2
a) $4 2 × 4 × 4 3
: 46 ' : 43 × 4 2 =
$#
'&
(
)
(
" 3%
$#4 '&
)
2
3,
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b) $(3 4 × 3 5 ) 2 : 310 ' : )310 : $ 3 8 : 3 5 : 3 ' - =
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*
+
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: 5 2 × 53 ' =
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5
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×3 ' : 3 ×3
: 35 ' =
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[1]
" 7%
7
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3
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2
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g) 100 3 : )$2 2 + 5 5 : 5 2 + 5 : 26 ' : 3 + 18 3 : 6 3 − 2 2 - =
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*
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h) )$ 53 2 − 45 2 : 7 + 3 × 2 4 ' : $ 212 − 7 × 8 : 7 −17 × 3 ' + 2 × 5 2 #
& #
&
*
*
+
.
(
)
(
)
[8 ]
2
: 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = [60 ]
(
)
2. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. 1 150; 200; 330; 5000 2 72; 420; 189; 1232. Scrivi i seguenti prodotti come prodotti di potenze di numeri primi. 1 20 ⋅15 ⋅ 30. 12 ⋅ 4 ⋅ 7; 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 9; 11⋅ 66 ⋅ 2; 2 2 25 ⋅ 40 ⋅ 35. 4 ⋅15 ⋅14; 16 ⋅18 ⋅ 3 ⋅ 6; 54 ⋅ 8 ⋅ 6; Calcola il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti gruppi di numeri. 1 a) 9, 12; b) 15, 25, 30; c) 6, 15, 24, 40. 2 a) 18, 27; b) 7, 10, 14; c) 6, 20, 22, 44. Problemini 1.Tre funivie partono contemporaneamente da una stessa stazione sciistica. La prima compie il tragitto di andata e ritorno in 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la terza in 20. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme? [3h] 2. Disponendo di 56 penne, 70 matite e 63 gomme. Quante confezioni uguali si possono fare? Come sarà composta ciascuna confezione? (31) 3. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi
Completa le seguenti tabelle. 1 2 Calcola il valore delle seguenti espressioni con i numeri interi {
}
a) +7 − −6 + ⎡⎣ −5 + ( −3 + 6 − 4 )⎤⎦ − 3 + ⎡⎣ − ( +2 − 7 ) − 5⎤⎦ {
}
b) 3 ⋅ 15 − ⎡⎣3 ⋅ ( 2 − 6 + 3)⎤⎦ − 10 + 4 ⋅ ⎡⎣( −2 ⋅ 3 + 6 ) − 5 ⎤⎦ 3 [+22] [+4] c) ⎡⎣15 + ( −3 + 2 − 6) : ( −7 )⎤⎦ : ⎡⎣4 ⋅ ( −2 )⎤⎦ + 6 : ( −3) − ( 4 + 2 ⋅ 6 − 4 ) [ −16] Per ciascuno dei seguenti numeri relativi scrivi il valore assoluto 1. a) |+3| = ……. b) |-­‐5| = ……. c) |-­‐1| = …… d) |+10| = ……. e) |-­‐11| = …… f) |+7| = ... 2. Scrivi tra le seguenti coppie di numeri relativi il simbolo corretto tra > e < a) -­‐5 …… -­‐2 b) -­‐3 ……. +5 c) -­‐2 ……. +2 d) -­‐5 ..… 0 e) -­‐3 ..… -­‐5 f)-­‐1 ….. +1 g) +3 ….. -­‐3 Problemini 1. Un termometro segna all'inizio -5°, poi scende di 3°, quindi sale di 2°, infine discende di 6°. Quale
temperatura segna alla fine? [-6°]
2. Il prodotto di due numeri interi relativi è +80, aumentando di 1 il primo numero il prodotto è +72.
Quali sono i due numeri? [-10; -8]
3. Il prodotto di due numeri interi relativi è +6, la loro somma è -5. Quali sono i due numeri?
4. Determina due numeri relativi aventi come prodotto +12 e come somma -7.
5. Determina due numeri relativi aventi come prodotto - 2 e come somma +1.
4. Le frazioni 1) Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima assegnata; fra quelle rimaste, evidenzia la frazione ridotta ai minimi termini. 4
8
8
5
8 1 2 6 10
;
,
,
,
, , ,
,
. 18 10 26 19 36 4 9 27 45
2) Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni: 16 36 18 160 1260 ;
;
;
;
.
14 12 24 112 1500
3) Semplifica le frazioni e riducile al minimo comune denominatore: 6 ; 12 ; 10 .
9 27 35
4) Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni e rappresentale su una retta orientata. 1
13
7
9
7
8
− ; + ; − ; − ; + ; + .
5
4
2
3
3
5 5) Metti in ordine crescente i seguenti gruppi di frazioni: 1.
13 , 11 , 10 , 1 2. 31 40 5 3 3. 9 ,2, 11 , 7 , , ,
20 12 21 2
2 6 3
22 33 6 2
6) Stabilisci tra quali numeri è compresa la frazione 1/6: a) tra 0 e 1; b) tra 1 e 6; c) tra 5 e 6 7) Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1? a) 0,10 b) 0,99 c) 0,01 d) 0,90 8) Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione 1/10 ? a) 0,01 b) 0,90 c)1,01 d) 0,19 224 9) Scrivi due numeri compresi tra a) 2,3 e 3,4 b) 3,4 e 3,6 c) 2,3 e 2, 4 10) Quale frazione dell’anno è il mese?………………. 4 11) Quale frazione della settimana è il giorno?..................................... 12) Quale frazione dell’ora è il minuto?.................. 13) Quale frazione dell’ora è il secondo?.............. 14) Ad una festa partecipano quattro coppie di genitori e dieci bambini, una torta è divisa in parti uguali in modo che ciascun partecipante abbia la sua fetta. Quale parte di torta spetta a ciascun partecipante? Quale parte spetta complessivamente agli adulti?......……....e quale ai figli?...................... 5 Semplifica 17
7 ⎤
1
⎡
⎢⎣ 0, 2 + 0, 2 − 0,138 : 12 + 0,127 + 11 ⎥⎦ : 4,81 + 1 − 2
⎡ 7 ⎤
⎢⎣10 ⎥⎦ 2
⎡⎛
1
3 ⎞ ⎛
13
⎞ ⎤
+ 0,8 : ⎢⎜ 0,136 + 0,5 − ⎟ : ⎜ 0,05 + − 0,045 ⎟ ⎥
2
11 ⎠ ⎝
18
⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝
⎡ 49 ⎤
⎢⎣ 10 ⎥⎦ (
)
6 2
4
4
1
per il risultato della sottrazione di al prodotto di per la differenza tra 7 e , 5
3
5
3
2
⎡ 4 ⎤
sottrai poi al risultato . −
⎢⎣ 15 ⎥⎦ 3
e) Dividi per 4 il prodotto di 5
3
1
3
il risultato della sottrazione di al prodotto di per la differenza di 2 e . 2
5
5
2
⎡ 25 ⎤
−
⎢⎣ 8 ⎥⎦ 7
3
47
g) Sottrai di a ai di b, dividi poi il risultato per i del cubo di c sapendo che: 5
2
2
1
1
1
⎡ 4 ⎤
a = − , b = , c = − . −
⎢⎣ 15 ⎥⎦ 2
18
2
f) Moltiplica per il quadrato di 7 Semplifica 2
2
!1 1 $ !
3 $ 5 ! 3 1$
a) # + & + #−2+ & : − #−1+ − & =
4% 4 " 4 2%
" 4 16 % "
,
)
,)
4
2
2 1 ! 1$
5 . +! 1 $ 1
+
b) +(−2) + ⋅ #− & ⋅ (−2) . : +#− & − ⋅ (−2).. =
3 " 2%
2 2
+*
.- +*" %
.-
3
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5
4 ,
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c) +#− & : #− & − .
2
2 2.
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-
[+1]
)8,
+ .
*3-
2
)! 1 $ ! 1 $,
: +#1+ & ⋅ #1− &. =
*" 2 % " 2 %-
) 16 ,
+− .
* 9-
2
2
! 3 1 $ ! 5 $2 ! 5 $2 ! 1 $ ! 1 $ !
4$
d) #− + & : #+ −2& + # −1& ⋅ # +5& − #− & ⋅ #−2+ & −1=
3%
" 4 2% " 4 % " 4 % "3 % " 2% "
)
3
3
2
2,
! 9 $ +! 4 3 $ ! 27 1 $ !
4$ . !
8$ 1
e) # 2− & + +# − & ⋅ # : −5& + #−1+ & . : #−2+ & + =
5% . "
5% 3
" 5 % +" 5 10 % " 20 4 % "
*
2
2
!
1$ ! 2 $ ! 1 $ ! 2 $ ! 1$
f) #−1+ & − # −1& + # −1& ⋅ #−1+ & −2⋅ #+ & =
2% "3 % " 2 % " 3% " 3%
"
2)
5
4,
! 2 $ + ! 1$ ! 1$ . ! 7 $
g) #1− & : +1− #− & : #− & . ⋅ #1+ & =
" 5% + " 2% " 2% . " 8%
*
-
)5,
+ .
* 6) 13 ,
+− .
* 36 )9,
+ .
* 20 -
5. Le proporzioni e le percentuali
) −1,
+ . *3-
8 1.
a)
b)
c)
d)
2.
a)
b)
c)
3.
a)
b)
c)
Risolvere le seguenti proporzioni: 14 : x = 7 : 5 42 : 30 = x : 20 x : 20 = 24 : 30 10 : 15 = x : 9 risolvere le seguenti proporzioni: 20 : x = x : 45 63 : x = x : 28 x : 0,2 = 2,45 : x Calcolare il medio proporzionale tra i numeri di ciascuna delle seguenti coppie: 12 e 75 28 e 63 32 e 200 9 Risolvi i problemi con le percentuali: Esempi: Problemi con gli sconti 1. Esempio Un pantalone costava 70€ e viene venduto con il 20% di sconto, a quanto viene venduto? Si tratta di calcolare prima lo sconto e poi il prezzo scontato. Lo sconto è dato da 20 %Ŋ70 €= 20 100 Ŋ70 €=14 € . Il prezzo scontato è 70€ -­‐ 14€ = 56€. In alternativa si può tenere conto che, se 20% esprime lo sconto, la parte rimanente, quella da pagare, è 100%-­‐20%=80%. Quindi per calcolare quanto costano i pantaloni scontati si può calcolare 80%Ŋ70 €= 80 100 Ŋ70 €=56 € . 2. Esempio Un paio di scarpe da 120€ viene venduto scontato a 75€ Qual è stata la percentuale di sconto praticato? Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto = 120€ -­‐ 75€ = 45€. Calcolo la percentuale che 45€ rappresentano di 120€, 45 120 Ŋ100%=0,375Ŋ100%=37,5% . 3. Esempio Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era scontato del 15%, ha risparmiato così 120 euro. Quanto costa il computer di listino? 120€ corrisponde al 15% del prezzo di listino. Per calcolare il prezzo di listino occorre dividere 120 per la frazione che corrisponde a 15%. 120:15%=120: 15 100 =120Ŋ 100 15 =800 € . Ora prova tu: A In un gruppo di 30 ragazzi il 30% ha 14 anni, il 40% ha 15 anni e i rimanenti hanno 16 anni. Calcola quanti ragazzi hanno 14 anni, quanti ne hanno 15 e quanti 16 [9; 12; 9] B In un vassoio ci sono 60 pasticcini di tre tipi diversi: il 20% sono cannoli, il 35% sono bignè e i rimanenti sono alla frutta. Calcola il numero di pasticcini di ciascun tipo. [12;21;27] C Una scuola ha 12 classi, il 25% di queste è formato da 20 alunni, il 50% è formato da 25 alunni e le restanti da 30 alunni. Calcola quanti alunni frequentano la scuola. Sapendo che di essi il 40% frequenta il biennio, calcola quanti sono gli alunni del triennio. [300] D In una comitiva ci sono 12 italiani, 20 tedeschi, 35 americani e 8 francesi. Qual è la percentuale degli italiani sull’intera comitiva? E quale, tra gli europei [16%; 30%] E Lungo una strada sono parcheggiate 27 automobili di colore blu, 9 di colore rosso e 39 grigie. Qual è la percentuale di auto rosse? E quale, se si escludono le auto grigie? [12%; 25%] F Una casa editrice applica uno sconto del 30% su un libro. All’acquisto in libreria, l’esercente applica un ulteriore sconto del 20% più un bonus di € 5. Se il libro viene pagato € 23, qual era il suo prezzo originario? (50] G Un negoziante aumenta il prezzo di un elettrodomestico del 20%. Sul nuovo prezzo applica però uno sconto natalizio del 15%. Dopo tali operazioni, l’elettrodomestico costerà più o meno di prima? Se la differenza tra i due prezzi è di € 3, qual era il prezzo originario? [di più; € 150] . 10 ALGEBRA LEGATA ALLA GEOMETRIA
SOSTITUZIONI E TRADUZIONI
ESERCIZI
A) Esprimere mediante un’espressione letterale il perimetro delle seguenti figure.
1)
a
perimetro = ………………..
b
c
2)
perimetro = ………………..
l
60°
60°
3)
a
c
a
4)
b
b
b
b
2b
perimetro = ………………..
a
c
perimetro = ………………………………………………….
5)
3a
perimetro = ………………..
4a
11
11
16
B) Facendo riferimento alle figure dell’esercizio precedente esprimerne l’area mediante
un’espressione letterale.
Area figura 1 =………………….
Area figura 3 =………………….
Area figura 4 =………………….
Area figura 5 =………………….
C) Tradurre le frasi seguenti in un’espressione letterale.
1) Al triplo di a aggiungere il doppio di b e poi dividere tutto per 2
2) Sottrarre al quadrato di a la metà di b. Dividere poi il risultato per la somma di b e c.
3) La radice quadrata del doppio del cubo di a sommato al quadrato di b.
4) Moltiplicare la somma di a e b per la differenza di b e c.
D) Facendo riferimento alle formule indicate sostituire le lettere con i valori indicati e calcolare
il risultato.
Formula n. 1
1 2
gt
2
Formula n. 2
a 2 + 2b
c
Formula n. 3
2a 2 + 3b 3
−b
g = 4, t = –2
risultato= ………………….
a = –6, b = 12, c = –2
a = 2, b = –3
risultato= ………………….
risultato= ………………….
12
17
GEOMETRIA
RICORDA
La bisettrice di un angolo è la semiretta che lo divide in due parti di uguale ampiezza
L’asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare che lo interseca nel suo punto medio
La distanza di un punto da una retta è il segmento passante per quel punto e perpendicolare
alla retta
In un triangolo il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto si dice
altezza relativa a quel lato
ESERCIZI
1. Osserva la figura ed elenca
a. Due coppie di segmenti perpendicolari
b. Due coppie di segmenti paralleli
A
G
H
L
B
C
E
F
N
D
2. Osserva la figura e traccia :
a. La distanza del punto P dalla retta s
b. Una retta t parallela alla retta s, passante per P
c. Una retta z perpendicolare alla retta s, non passante per P
P.
s
3. Nel primo triangolo scrivi quali segmenti rappresentano le altezze, e nel secondo
quali rappresentano le mediane
G'
G
C
D
C'
A
H
E
B
D'
E'
F
M'
A'
B'
H'
18
13
RICORDA:
In un triangolo la somma degli angoli interni è 180°
In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due
4. Le terne dei seguenti esercizi rappresentano, in centimetri, la misura di tre segmenti. Indica quali
possono essere lati di un triangolo, spiegandone il motivo.
a. 20, 28, 51
b.19,14 ,31
5. Un triangolo ha il perimetro di 70 cm. Può avere un lato lungo 40 cm? Perché?
C
6. CH è la bisettrice dell' angolo al vertice
del triangolo isoscele ABC (vedi figura).
Completa i dati mancanti.
BÂC=80°
BH = ……
ABC = ……
AHC = ……
AB = ……
BHC = …….
AH = …….
'"
A
8. Per ciascuno dei seguenti triangoli tracciate le tre
altezze.
7. Qual è l’asse di AB nei due casi?
n
B
m
l
B
A
B
p
r
q
A
19
14
9. Rispondi vero o falso al seguente test di verifica.
a) Tutti i quadrati sono rombi.
b) Tutti i parallelogrammi sono rombi.
c) Un rettangolo è un quadrato particolare.
d) Ogni rombo è un parallelogramma.
e) Qualche parallelogramma è un quadrato.
f) Qualche parallelogramma è un rettangolo.
g) Non tutti i quadrati sono rettangoli.
10. Può un triangolo essere contemporaneamente ottusangolo e isoscele? E ottusangolo e
equilatero? Illustra la risposta con un disegno.
11. Un triangolo rettangolo può essere isoscele? Ed equilatero? Esegui un disegno per ogni
caso possibile.
12. Rispondi vero o falso al seguente test di verifica.
a) Tutti i triangoli equilateri sono isosceli.
b) Se un triangolo è rettangolo non può
essere scaleno.
c) Tutti i triangoli isosceli sono acutangoli.
d) Qualche triangolo equilatero può essere
rettangolo.
e) Qualche triangolo acutangolo può essere
equilatero.
13. Rispondi vero o falso al seguente test di verifica.
Il triangolo equilatero ha tre lati uguali.
Il triangolo scaleno ha due lati uguali.
Il triangolo acutangolo ha due angoli acuti.
Il triangolo isoscele ha due lati uguali.
Il triangolo rettangolo isoscele ha un angolo retto e due lati
uguali.
f) Il triangolo ottusangolo ha due angoli ottusi.
g) Il triangolo equilatero ha tre angoli acuti uguali.
a)
b)
c)
d)
e)
14. Rispondi alle domande:
a) quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali uguali?
b) quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali perpendicolari?
c) conosci qualche quadrilatero che abbia contemporaneamente le diagonali
uguali e perpendicolari?
15
20
15. L'insegnante dà alla c1asse le seguenti istruzioni: " disegnate un parallelogramma con i lati di
4cm e 6 cm" . Credi che tutti i ragazzi disegneranno la stessa figura? Perché?
16. Anna ha disegnato un triangolo ABC, ha preso il punto medio M del lato BC, ha unito A con M e
poi ha prolungato il segmento AM in modo che AM=MD. Esegui le istruzioni di Anna e disegna il
quadrilatero di vertici A, B, C, D.
a. Qual è il nome della figura ottenuta?
b. Sei sicuro di aver ottenuto lo stesso disegno ottenuto da Anna? Motiva la risposta.
c. Quale triangolo ABC dovresti disegnare per essere sicuro di ottenere un rombo?
17. I segmenti assegnati sono i lati di vari quadrati. Completa i disegni.
18. Le coppie di segmenti assegnate sono i lati consecutivi di un parallelogramma. Completa i
disegni.
19. Le coppie di segmenti assegnati sono i lati di un rettangolo. Completa i disegni.
16
21
20. Tracciate l’altezza dei seguenti parallelogrammi relativamente alla base indicata.
17
22
