Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 26 – 1.3.2016
Teoremi di Norton e Thevenin
Carica e scarica del condensatore
Anno Accademico 2015/2016
Teoremi di Thevenin e di Norton
• Nella teoria dei circuiti lineari risultano molto utili due teoremi
• Il teorema di Thevenin e il teorema di Norton
• Ne diamo gli enunciati senza dimostrarli
Teorema di Thevenin
Un qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad
un generatore di tensione ideale Eeq e una resistenza req in serie
• Il valore della forza elettromotrice Eeq si determina come il valore della
tensione misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito aperto)
• Il valore della resistenza req si calcola determinando prima la corrente iCC
che circola in RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di
corto circuito)
• La resistenza req è
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Teoremi di Thevenin e di Norton
Teorema di Norton
Un qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad
un generatore di corrente ideale Ieq e una resistenza req in parallelo
• Il valore della corrente Ieq si determina come la corrente iCC che circola in
RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di corto circuito)
• Il valore della resistenza req si calcola determinando prima il valore della
tensione VCA misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito
aperto)
• La resistenza req è
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Teoremi di Thevenin e di Norton
• Abbiamo visto che le relazioni v−i dei generatori di
tensione e di corrente reali sono rette
• La distinzione fra i due è in qualche modo arbitraria
• Dipende dai circuiti nei quali sono impiegati
• Sono generatori di tensione se ri ≪ RL
• Sono generatori di corrente se ri ≫ RL
• Interpretiamo l'arbitrarietà con i teoremi di Thevenin e di Norton
• In particolare un generatore di corrente reale può essere
rappresentato come un generatore di tensione reale con opportune
forza elettromotrice Eeq = riI e resistenza interna ri
• La tensione di circuito aperto (RL → ∞): Eeq = riI
• La corrente di corto circuito (RL → 0): iCC = I
• La resistenza equivalente
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Teoremi di Thevenin e di Norton
• Verifichiamo che il circuito trovato utilizzando il teorema di Thevenin è
equivalente a quello originale
• Con questo intendiamo che facendo misure ai morsetti a e b
non vediamo differenze
• Nella diapositiva 685
363 abbiamo calcolato la relazione v−i per il generatore di
corrente reale
• La tensione v ai capi di RL è
• La corrente iL che scorre in RL è
• Una retta nel piano v−i
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Teorema di Thevenin
• Verifichiamo che il circuito equivalente secondo
il teorema di Thevenin conduce alla stessa
relazione v−i
• La corrente è ovviamente
• Inoltre la tensione ai capi di RL
• Elaboriamo la relazione per iL
Relazione identica a quella trovata
per il generatore di corrente
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Circuiti elettrici
• Applichiamo il teorema di Thevenin anche al circuito che abbiamo risolto nella
diapositiva 678
356
• Vogliamo trovare il circuito equivalente visto dai morsetti A B
• Consideriamo il circuito senza la resistenza R3
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Circuiti elettrici
• Calcoliamo la tensione fra i morsetti A B
• Chiamiamo i la corrente della maglia
• La tensione fra A e B risulta
• La corrente di corto circuito iCC è la differenza
fra le correnti che attraversano le due resistenze
quando A è in contatto con B
• La resistenza equivalente è
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Circuiti elettrici
• Utilizzando il circuito equivalente il circuito iniziale
diventa (semplicemente)
• Calcoliamo i3
356
• Da confrontare con il calcolo della diapositiva 678
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Resistenza equivalente
• Per concludere l'argomento dei teoremi di Norton e Thevenin osserviamo che
esiste un modo molto semplice per calcolare la resistenza equivalente vista ai
due morsetti A e B
• Lo enunciamo senza dimostrarlo
• La resistenza equivalente si calcola eliminando tutti i generatori
e calcolando la resistenza equivalente della rete così ottenuta
• I generatori di tensione sono sostituiti da un corto circuito
• I generatori di corrente sono sostituiti da un circuito aperto
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Carica e scarica del condensatore
• Consideriamo un condensatore di capacità C
caricato ad una tensione V
• Sulle armature ci sarà una carica Q = CV
• Scarichiamo adesso il condensatore collegandolo ad una
resistenza R tramite un interruttore che viene chiuso a t = 0
• Appena collegata al condensatore chiudendo l'interruttore
la resistenza ha ai suoi capi una tensione V = Q/C
• Inizia a scorrere una corrente I = V/R
• Notiamo innanzitutto che la corrente ha un valore finito
• Occorre pertanto un tempo finito per scaricare il condensatore
• In un tempo dt la carica sul condensatore diminuisce di dQ = −Idt
• La diminuzione della carica implica la diminuzione della differenza di
potenziale fra le armature del condensatore
• Diminuisce anche la corrente che circola nella resistenza
• In un successivo intervallo di tempo dt la carica dQ' = −I'dt
che viene rimossa dalle armature del condensatore è minore
di quanto fosse all'inizio
• La velocità con cui si scarica il condensatore diminuisce
• Notiamo che la tensione V, la corrente I e la carica Q sono diventate funzioni
del tempo: V(t) I(t) Q(t)
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Carica e scarica del condensatore
• Sottolineiamo il fatto che le correnti non sono più stazionarie
• In linea di principio il problema diventa elettrodinamico
• Tuttavia finché le velocità di variazione delle correnti e delle tensioni non
sono grandi non compaiono fenomeni nuovi che abbiano effetti apprezzabili
• Definiremo in seguito cosa intendiamo per velocità di variazione non grandi
• Un'altra precisazione
• Quando abbiamo discusso la legge di Kirchhoff per i nodi abbiamo utilizzato
l'equazione di continuità assumendo una condizione stazionaria
• Avevamo detto che non si accumulava carica sul nodo
• Le leggi di Kirchhoff continuano a valere con una precisazione
• I nodi (e tutti i conduttori di un circuito) hanno capacità trascurabili
• Non si accumulano cariche anche se non siamo più in una situazione
stazionaria
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Carica e scarica del condensatore
• Ritorniamo al condensatore che si scarica
• Analizziamo in modo quantitativo il circuito
• In ogni istante le tensioni ai capi del condensatore
e ai capi della resistenza devono essere uguali
• Per semplicità non indichiamo più esplicitamente la dipendenza dal tempo
• Inoltre la corrente che attraversa la resistenza è legata alla diminuzione
della carica sul condensatore
• Il segno meno indica che la carica Q diminuisce
• Osserviamo che [R] = [V] [A]−1 = [V](Coul T−1)−1
[C] = Coul [V]−1
• Pertanto [RC] = [V](Coul T−1)−1×Coul [V]−1 = T
• Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo: RC = τ
• È la costanza di tempo caratteristica della carica/scarica del condensatore
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Carica e scarica del condensatore
• Ritorniamo all'equazione
• Indichiamo con Q0 la carica presente sul condensatore al tempo t = 0
• Abbiamo
• Uguagliando l'esponenziale di entrambi i membri dell'equazione
• Passando alle tensioni (Q0/C ≡ V0)
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Il condensatore elemento di circuito
• Interpretiamo le equazioni viste in modo leggermente differente
• Vogliamo trovare la legge che lega tensione e corrente
nel condensatore
• In analogia con legge di Ohm per le resistenze
• Una relazione Volt-Ampere
• Il condensatore ha una carica sulle armature Q(t)
• La sua tensione è V(t) = Q(t)/C
• Se il condensatore è collegato ad un circuito esterno comincia
a fluire una corrente
• Con la convenzione indicata la corrente positiva aumenta la carica sulle
armature del condensatore
• La tensione aumenta
• Analizziamo nuovamente il circuito
• La corrente che fluisce nella resistenza è uguale alla
corrente del condensatore cambiata di segno
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Scarica del condensatore
• Notiamo che inizialmente nel condensatore era immagazzinata energia
elettrostatica
• Al termine del processo il condensatore è scarico
• Dove è finita l'energia?
• È stata dissipata per effetto Joule nella resistenza
• Nella resistenza viene dissipata una potenza P(t)
• L'energia totale dissipata è
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Carica del condensatore
• Consideriamo adesso un problema leggermente differente
• Carichiamo un condensatore ad una tensione V0
utilizzando un generatore di tensione
• La resistenza R può essere introdotta di
proposito oppure può essere la
resistenza interna del generatore
• In quest'ultimo caso indesiderata ma
inevitabile in un circuito reale
• L'interruttore viene chiuso al tempo t = 0
• È equivalente ad un generatore che fornisce
una tensione come nel grafico
• Notiamo che la stessa corrente I circola sia nella
resistenza sia nel condensatore
• L'equazione della maglia è
• Otteniamo l'equazione differenziale
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Carica del condensatore
• La condizione iniziale è VC(0) = 0
• Il condensatore inizialmente è scarico
• Si verifica immediatamente che l'equazione
è soddisfatta dalla funzione
• Confrontiamo la tensione del condensatore con
la tensione applicata alla resistenza ("ingresso")
• Possiamo dire che il condensatore non riesce
a raggiungere V0 con la stessa velocità della
tensione applicata per caricarlo
• Il prodotto τ = RC determina la velocità con
cui il sistema resistenza - condensatore raggiunge
la tensione di carica voluta
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Carica del condensatore
• Osservazioni
• La velocità con cui si riesce a caricare un condensatore dipende dalla
resistenza del conduttore che trasporta la corrente per caricarlo
• Resistenza interna del generatore
• Resistenza dei conduttori (lunghezza)
• Naturalmente a parità delle altre condizioni capacità più elevate richiedono
tempi più lunghi per raggiungere la tensione voluta
• Dispositivi elettronici molto veloci richiedono capacità parassite piccole
• La tensione fra le armature di un condensatore non può cambiare
istantaneamente di un valore finito
• Ci vorrebbe una corrente infinita tale che Q = Idt (I → ∞, dt → 0)
• Circuiti RC possono essere usati per generare ritardi
• Un circuito elettronico può generare un
segnale ritardato quando il suo ingresso
supera un valore di riferimento
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