elettromagnetismo 1
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 26 – 1.3.2016 Teoremi di Norton e Thevenin Carica e scarica del condensatore Anno Accademico 2015/2016 Teoremi di Thevenin e di Norton • Nella teoria dei circuiti lineari risultano molto utili due teoremi • Il teorema di Thevenin e il teorema di Norton • Ne diamo gli enunciati senza dimostrarli Teorema di Thevenin Un qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad un generatore di tensione ideale Eeq e una resistenza req in serie • Il valore della forza elettromotrice Eeq si determina come il valore della tensione misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito aperto) • Il valore della resistenza req si calcola determinando prima la corrente iCC che circola in RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di corto circuito) • La resistenza req è Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 366 Teoremi di Thevenin e di Norton Teorema di Norton Un qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad un generatore di corrente ideale Ieq e una resistenza req in parallelo • Il valore della corrente Ieq si determina come la corrente iCC che circola in RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di corto circuito) • Il valore della resistenza req si calcola determinando prima il valore della tensione VCA misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito aperto) • La resistenza req è Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 367 Teoremi di Thevenin e di Norton • Abbiamo visto che le relazioni v−i dei generatori di tensione e di corrente reali sono rette • La distinzione fra i due è in qualche modo arbitraria • Dipende dai circuiti nei quali sono impiegati • Sono generatori di tensione se ri ≪ RL • Sono generatori di corrente se ri ≫ RL • Interpretiamo l'arbitrarietà con i teoremi di Thevenin e di Norton • In particolare un generatore di corrente reale può essere rappresentato come un generatore di tensione reale con opportune forza elettromotrice Eeq = riI e resistenza interna ri • La tensione di circuito aperto (RL → ∞): Eeq = riI • La corrente di corto circuito (RL → 0): iCC = I • La resistenza equivalente Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 368 Teoremi di Thevenin e di Norton • Verifichiamo che il circuito trovato utilizzando il teorema di Thevenin è equivalente a quello originale • Con questo intendiamo che facendo misure ai morsetti a e b non vediamo differenze • Nella diapositiva 685 363 abbiamo calcolato la relazione v−i per il generatore di corrente reale • La tensione v ai capi di RL è • La corrente iL che scorre in RL è • Una retta nel piano v−i Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 369 Teorema di Thevenin • Verifichiamo che il circuito equivalente secondo il teorema di Thevenin conduce alla stessa relazione v−i • La corrente è ovviamente • Inoltre la tensione ai capi di RL • Elaboriamo la relazione per iL Relazione identica a quella trovata per il generatore di corrente Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 370 Circuiti elettrici • Applichiamo il teorema di Thevenin anche al circuito che abbiamo risolto nella diapositiva 678 356 • Vogliamo trovare il circuito equivalente visto dai morsetti A B • Consideriamo il circuito senza la resistenza R3 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 371 Circuiti elettrici • Calcoliamo la tensione fra i morsetti A B • Chiamiamo i la corrente della maglia • La tensione fra A e B risulta • La corrente di corto circuito iCC è la differenza fra le correnti che attraversano le due resistenze quando A è in contatto con B • La resistenza equivalente è Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 372 Circuiti elettrici • Utilizzando il circuito equivalente il circuito iniziale diventa (semplicemente) • Calcoliamo i3 356 • Da confrontare con il calcolo della diapositiva 678 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 373 Resistenza equivalente • Per concludere l'argomento dei teoremi di Norton e Thevenin osserviamo che esiste un modo molto semplice per calcolare la resistenza equivalente vista ai due morsetti A e B • Lo enunciamo senza dimostrarlo • La resistenza equivalente si calcola eliminando tutti i generatori e calcolando la resistenza equivalente della rete così ottenuta • I generatori di tensione sono sostituiti da un corto circuito • I generatori di corrente sono sostituiti da un circuito aperto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 374 Carica e scarica del condensatore • Consideriamo un condensatore di capacità C caricato ad una tensione V • Sulle armature ci sarà una carica Q = CV • Scarichiamo adesso il condensatore collegandolo ad una resistenza R tramite un interruttore che viene chiuso a t = 0 • Appena collegata al condensatore chiudendo l'interruttore la resistenza ha ai suoi capi una tensione V = Q/C • Inizia a scorrere una corrente I = V/R • Notiamo innanzitutto che la corrente ha un valore finito • Occorre pertanto un tempo finito per scaricare il condensatore • In un tempo dt la carica sul condensatore diminuisce di dQ = −Idt • La diminuzione della carica implica la diminuzione della differenza di potenziale fra le armature del condensatore • Diminuisce anche la corrente che circola nella resistenza • In un successivo intervallo di tempo dt la carica dQ' = −I'dt che viene rimossa dalle armature del condensatore è minore di quanto fosse all'inizio • La velocità con cui si scarica il condensatore diminuisce • Notiamo che la tensione V, la corrente I e la carica Q sono diventate funzioni del tempo: V(t) I(t) Q(t) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 375 Carica e scarica del condensatore • Sottolineiamo il fatto che le correnti non sono più stazionarie • In linea di principio il problema diventa elettrodinamico • Tuttavia finché le velocità di variazione delle correnti e delle tensioni non sono grandi non compaiono fenomeni nuovi che abbiano effetti apprezzabili • Definiremo in seguito cosa intendiamo per velocità di variazione non grandi • Un'altra precisazione • Quando abbiamo discusso la legge di Kirchhoff per i nodi abbiamo utilizzato l'equazione di continuità assumendo una condizione stazionaria • Avevamo detto che non si accumulava carica sul nodo • Le leggi di Kirchhoff continuano a valere con una precisazione • I nodi (e tutti i conduttori di un circuito) hanno capacità trascurabili • Non si accumulano cariche anche se non siamo più in una situazione stazionaria Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 376 Carica e scarica del condensatore • Ritorniamo al condensatore che si scarica • Analizziamo in modo quantitativo il circuito • In ogni istante le tensioni ai capi del condensatore e ai capi della resistenza devono essere uguali • Per semplicità non indichiamo più esplicitamente la dipendenza dal tempo • Inoltre la corrente che attraversa la resistenza è legata alla diminuzione della carica sul condensatore • Il segno meno indica che la carica Q diminuisce • Osserviamo che [R] = [V] [A]−1 = [V](Coul T−1)−1 [C] = Coul [V]−1 • Pertanto [RC] = [V](Coul T−1)−1×Coul [V]−1 = T • Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo: RC = τ • È la costanza di tempo caratteristica della carica/scarica del condensatore Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 377 Carica e scarica del condensatore • Ritorniamo all'equazione • Indichiamo con Q0 la carica presente sul condensatore al tempo t = 0 • Abbiamo • Uguagliando l'esponenziale di entrambi i membri dell'equazione • Passando alle tensioni (Q0/C ≡ V0) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 378 Il condensatore elemento di circuito • Interpretiamo le equazioni viste in modo leggermente differente • Vogliamo trovare la legge che lega tensione e corrente nel condensatore • In analogia con legge di Ohm per le resistenze • Una relazione Volt-Ampere • Il condensatore ha una carica sulle armature Q(t) • La sua tensione è V(t) = Q(t)/C • Se il condensatore è collegato ad un circuito esterno comincia a fluire una corrente • Con la convenzione indicata la corrente positiva aumenta la carica sulle armature del condensatore • La tensione aumenta • Analizziamo nuovamente il circuito • La corrente che fluisce nella resistenza è uguale alla corrente del condensatore cambiata di segno Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 379 Scarica del condensatore • Notiamo che inizialmente nel condensatore era immagazzinata energia elettrostatica • Al termine del processo il condensatore è scarico • Dove è finita l'energia? • È stata dissipata per effetto Joule nella resistenza • Nella resistenza viene dissipata una potenza P(t) • L'energia totale dissipata è Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 380 Carica del condensatore • Consideriamo adesso un problema leggermente differente • Carichiamo un condensatore ad una tensione V0 utilizzando un generatore di tensione • La resistenza R può essere introdotta di proposito oppure può essere la resistenza interna del generatore • In quest'ultimo caso indesiderata ma inevitabile in un circuito reale • L'interruttore viene chiuso al tempo t = 0 • È equivalente ad un generatore che fornisce una tensione come nel grafico • Notiamo che la stessa corrente I circola sia nella resistenza sia nel condensatore • L'equazione della maglia è • Otteniamo l'equazione differenziale Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 381 Carica del condensatore • La condizione iniziale è VC(0) = 0 • Il condensatore inizialmente è scarico • Si verifica immediatamente che l'equazione è soddisfatta dalla funzione • Confrontiamo la tensione del condensatore con la tensione applicata alla resistenza ("ingresso") • Possiamo dire che il condensatore non riesce a raggiungere V0 con la stessa velocità della tensione applicata per caricarlo • Il prodotto τ = RC determina la velocità con cui il sistema resistenza - condensatore raggiunge la tensione di carica voluta Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 382 Carica del condensatore • Osservazioni • La velocità con cui si riesce a caricare un condensatore dipende dalla resistenza del conduttore che trasporta la corrente per caricarlo • Resistenza interna del generatore • Resistenza dei conduttori (lunghezza) • Naturalmente a parità delle altre condizioni capacità più elevate richiedono tempi più lunghi per raggiungere la tensione voluta • Dispositivi elettronici molto veloci richiedono capacità parassite piccole • La tensione fra le armature di un condensatore non può cambiare istantaneamente di un valore finito • Ci vorrebbe una corrente infinita tale che Q = Idt (I → ∞, dt → 0) • Circuiti RC possono essere usati per generare ritardi • Un circuito elettronico può generare un segnale ritardato quando il suo ingresso supera un valore di riferimento Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 383
