I condensatori
Un condensatore è un dispositivo in grado di
immagazzinare energia, sottoforma di energia
potenziale, in un campo elettrico
Ogni volta che abbiamo a che fare con due
conduttori di forma arbitraria detti piatti o
armature, possiamo parlare di condensatore
Quando le armatura hanno cariche uguali e di segno opposto, +q e –q, il
condensatore si dice carico, mentre con carica del condensatore si
intende il valore assoluto della carica q presente su ciascun piatto
(infatti globalmente il condensatore è neutro). Fra le due armature cariche
c’è una differenza di potenziale ΔV (o più semplicemente V)
Si definisce capacità di un condensatore C la quantità
C=
q
ΔV
C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad
un dato condensatore per portarlo ad una ΔV fissata. Se C ↑ allora q ↑
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1
Nel SI l’unità di misura della capacità è il farad (F)
farad = F = CV −1 = m −2 kg −1s 2C 2
Nella pratica si verifica che il farad è un’unità troppo grande e quindi si
usano i sottomultipli come il μF e il pF
Il processo di carica di un condensatore consiste
essenzialmente nel costruire un circuito che
sia in grado di portare la carica +q e –q sulle
armature. Il metodo più semplice è quello di
collegare ciascuna armatura ai capi di una
batteria (B) che fornisce una d.d.p. ΔV.
Quando l’interruttore S viene chiuso, gli elettroni
sulla piastra h fluiscono verso il polo positivo
della batteria sotto l’azione del campo elettrico
mantenuto dalla batteria.
Analogamente c’è un flusso di elettroni dal polo negativo alla piastra l.
Quando la d.d.p. tra le armature del condensatore eguaglia quella tra i
poli della batteria, le correnti cessano e il condensatore risulta carico
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2
2
1
dl
2
E
Consideriamo ora un condensatore le cui
armature siano due lastre conduttrici piane
e parallele di area A e a distanza d l’una
dall’altra, la carica del condensatore sia q
e lo spazio tra le armature sia inizialmente
riempito d’aria.
Il campo elettrico tra le armature sarà
uniforme fintanto che ci manteniamo distanti
dai bordi delle armature e varrà
σ
E=
ε0
1
Per la d.d.p. avremo
r
r
σd
2
2
Δ V = V2 − V1 = − ∫1 E • d l = − ∫1 Edl cos 180 ° = Ed =
ε0
Ricordando che q = σA, abbiamo che la capacità vale
σ Sε 0
q
S
C0 =
=
= ε0
dipende solo dalla geometria
ΔV
σd
d
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Dielettrici
Dielettrici polari: le molecole hanno un
momento di dipolo permanente
i dipoli si allineano con il campo elettrico
esterno, anche se l’allineamento non è mai
completo a causa dell’agitazione termica.
L’allineamento cresce al crescere di E
esterno e al diminuire della temperatura
Si crea così un campo elettrico opposto a
quello esterno e sempre inferiore ad esso
Dielettrici non polari: non hanno un
momento permanenente di dipolo, ma
esso viene creato dal campo esterno. Per il
resto vale quanto detto per i dielettrici polari.
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Nel dielettrico (non polare) non sottoposto a campo esterno E (a) le
molecole possono essere pensate prive di momento di dipolo
Quando si applica il campo elettrico esterno (b) i centri delle
distribuzioni di carica all’interno di ciascuna molecola si separano
sufficientemente da creare i dipoli e quindi la polarizzazione del
dielettrico. Il tutto può essere visto (c) come l’accumularsi di una
carica negativa sulla faccia della lastra vicina all’elettrodo positivo, ed
una carica uguale in modulo, ma positiva sulla faccia opposta del
dielettrico. Globalmente la lastra resta neutra, ma al suo interno si crea
un campo E’ minore del campo esterno E0 ed in verso opposto ad esso,
pertanto, l’effetto finale campo E minore di quello di partenza E0
a
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b
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c
5
Un pezzo di dielettrico posto in un campo elettrico esterno si polarizza
Polarizzazione ⇒ dipolo macroscopico che tende a muoversi nella
direzione in cui cresce il campo elettrico
Vettore polarizzazione P: momento elettrico di dipolo del mezzo per
unità di volume (n è il numero di atomi per
unità di volume)
r
r
P = np
In generale è
r r
P ∝E
[P ] = C ⋅ m −2
carica per unità di superficie
r
r
q
−2
ε0 E =
⇒
ε
E
=
C
⋅
m
0
4πr 2
[ ]
Abbiamo così
r
r
P = χ e ε 0E
χe è la suscettività elettrica del materiale, è un numero puro positivo
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Spostamento elettrico
Dielettrico
Conduttore
cariche di polarizzazione
cariche libere
E
+
-
+
-
+q -P +P -q
+σlib -σpol +σpol -σlib
Poniamo una piastra di dielettrico tra due piastre
conduttrici uniformememnte cariche con carica
uguale ed opposta
Le cariche libere sui conduttori producono un
campo elettrico E che polarizza la piastra di
dielettrico ⇒ si creano cariche di polarizzazione
sulle superfici del dielettrico ⇒ σpol
Le σpol creano un campo opposto ad E nel
dielettrico
σ −pol = −P
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non sono libere di muoversi
libere di muoversi
σ +pol = +P
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Globalmente le cariche si elidono in parte lasciando una carica effettiva
su ciascuna faccia
σ = σ lib − P
Il campo elettrico finale risulta
σ
1
E = = (σ lib − P )
ε0 ε0
σ lib = ε 0 E + P
Definiamo una nuova quantità chiamata spostamento elettrico
r r
r
D = ε0 E + P
Nel nostro caso
[D ] = C ⋅ m −2
σ lib = D
La componente di D lungo la normale alla superficie di un conduttore
immerso in un dielettrico, dà la densità di carica superficiale sul
conduttore stesso
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σ lib
r r
= D ⋅un
r r
σ = ε 0 E ⋅ un
e
σ rappresenta la carica effettiva
r r
qlib = ∫ σ lib dS = ∫ D ⋅ u n dS = Φ Dr
S
S
Si può dimostrare che il flusso di D attraverso una superficie chiusa
qualsiasi è uguale alla carica libera totale entro la superficie, escluse le
cariche di polarizzazione del mezzo
r
r
r
r
r
D = ε 0 E + ε 0 χ e E = (1 + χ e )ε 0 E = εE
ε = (1 + χ e )ε 0
permeattività del mezzo
[ε ] = m −3kg −1s 2C 2
εr =
ε
= 1+ χe
ε0
permeattività relativa
La permeattività relativa o costante dielettrica è un numero puro di
solito > 1
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Se abbiamo che D = εE, allora
r r
qlib = ∫ εE ⋅ un dS
se ε = costante (mezzo omogeneo)
S
r r
q
Φ = ∫ E ⋅ un dS = lib
S
ε
Per una carica puntiforme in un dielettrico abbiamo
r
q 1 r
q 1
E=
u
V
=
ε0 → ε
2 r
4πε r
4πε r
q1q2
F=
ε > ε 0 ⇒ F < Fvuoto
2
4πεr
In conclusione possiamo affermare che le molecole del dielettrico
schermano l’interazione
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Se ora riempiamo lo spazio tra le armature con un dielettrico di costante
dielettrica ε = ε0εr, abbiamo
E=
σ
ε
ΔV = V1 − V2 =
C=
dσ
ε
q
σA
A
=
ε = ε = ε r C0
ΔV dσ
d
Si noti che essendo ε > ε0, si ha che C > C0
Confrontando C e C0 per uno stesso condensatore si ottiene il valore di
εr del dielettrico utilizzato
L’unico modo per aumentare la capacità di un condensatore, una volta
fissata la sua geometria è di riempirlo con una lastra di dielettrico
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Condensatore cilindrico
Condensatore cilindrico di lunghezza L,
costituito da due cilindri coassiali di raggi
a e b, con L >> b, e carica q sulle armature.
Consideriamo una superficie cilindrica
coassiale con le armature di raggio r e di
lunghezza L, con a < r < b, e applichiamo
il teorema di Gauss
q
q = ε EA = ε E 2π rL ⇒ E =
2πε rL
Ricordiamo ora che
r r
ΔV = Va − Vb = − ∫b E ⋅ dr
E = − gradV
a
e così otteniamo
q
L
b
dr
q
= 2πε
e quindi Δ V =
⇒C =
=
ln
∫a
ΔV
ln b a
2πε L r
2πε L a
q
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b
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Condensatore sferico
Condensatore sferico costituito da due sfere
di raggi a e b e carica q sulle armature.
Consideriamo una superficie sferica
concentrica con le armature di raggio r, con
a < r < b, e applichiamo il teorema di Gauss
q
2
q = ε EA = ε E 4π r ⇒ E =
4πε r 2
Per la d.d.p. abbiamo
q b dr
q ⎛1 1⎞
q b−a
V=
⎜ − ⎟=
∫a 2 =
4πε r
4πε ⎝ a b ⎠ 4πε ab
da cui
q
ab
C = = 4πε
V
b−a
Se b va all’infinito, abbiamo sempre un condensatore con
C = 4πεa
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Condensatori in parallelo
I condensatori in parallelo sono tutti alla stessa d.d.p. e la carica totale
q immagazzinata in essi è la somma delle cariche su ciascun
condensatore. Il sistema equivale ad un condensatore alla stessa
d.d.p e con carica q
≡
Abbiamo
q1 = C1V , q2 = C2V , ..., qn = CnV
q = q1 + q2 + ... + qn
q = C1V + C2V + ... + CnV = (C1 + C2 + ... + Cn )V
infine
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n
q
Ceq = = C1 + C2 + ... + Cn = ∑ Ci
V
i =1
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Condensatori in serie
≡
I condensatori in serie sono ad una
d.d.p. tale che la carica q su
ciascuno di essi è la stessa.
Il sistema equivale ad un condensatore
con carica q e con d.d.p. pari alla
somma delle d.d.p. applicate
Abbiamo
q
q
q
, ...,Vn =
V1 = , V2 =
C1
C2
Cn
V = V1 + V2 + ... + Vn
Infine
n
1
1
1
1
1
=
+
+ ... +
=∑
Ceq C1 C2
Cn i =1 Ci
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⎛ 1
1
1 ⎞
⎟⎟q
+ ... +
V = ⎜⎜ +
Cn ⎠
⎝ C1 C2
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Energia immagazzinata in un campo elettrico
Abbiamo già visto che per costruire un sistema di cariche, dobbiamo fare
un lavoro dall’esterno, il lavoro fatto equivale ad una variazione di
energia potenziale elettrostatica
W = − ΔU = ∑
i< j
qi q j 1
4πε rij
Anche quando carichiamo un condensatore abbiamo bisogno di un
lavoro che permetta di togliere elettroni alla piastra positiva, questo
lavoro è fornito da una batteria o da un generatore.
Il lavoro infinitesimo per portare una carica infinitesima dq’ attraverso
una d.d.p. V’ vale
dW = dq ' V ' = dq '
q'
C
1 q
q2
1
= CV
W = ∫0 q ' dq ' =
C
2C 2
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2
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Si può pensare che questo lavoro venga immagazzinato nel condensatore
sottoforma di energia elettrostatica, allora
1 q2 1
U=
= CV 2
2C 2
Se consideriamo due condensatori a piatti piani e paralleli e con la stessa
carica q, notiamo che essi hanno anche lo stesso campo elettrico, hanno
però diversa capacità di immagazzinare energia elettrostatica
1 q2
U1 =
2 C1
1 q2
U2 =
2 C2
Dato che C è inversamente proporzionale alla distanza d tra le armature
si avrà che il condensatore con i piatti più distanti può immagazzinare
una maggiore quantità di energia
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Risulta utile definire la densità di energia, ovvero l’energia elettrostatica
per unità di volume
u=
2
U
CV
1 ⎛V ⎞
1
=
= ε ⎜ ⎟ = εE 2
Ad 2 Ad 2 ⎝ d ⎠
2
2
Il risultato ottenuto risulta valido per ogni tipo di condensatore, infatti
consideriamo una sfera conduttrice (C = 4πεR) e calcoliamo la seguente
quantità
2
⎛ q ⎞ 1
2
E
dV
=
∫0
∫R ⎜⎝ 4πε ⎟⎠ r 4 dV
dV = 4πr 2 dr
Vol
∞
2
2
∞ q
1
1
q
⎞
⎛
2
2
4
=
π
E
dV
r
dr
=
∫0
∫R ⎜⎝ 4πε ⎟⎠ r 4
∫R 4πε 2 r 2 dr =
q2 ∞ 1
q2 1
=
dr =
2 ∫R 2
4πε
4πε 2 R
r
Vol
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∞
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Ricordiamo che per una sfera l’energia elettrostatica U vale
1 q2
U=
2 4πεR
Quindi
1 ∞ 2
U = ε ∫ E dV
2 R
In generale
1
2
U= ε
E
dV
∫
2 tutto il volume
La densità di energia vale
1 2
u = εE
2
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Lavoro per inserire una lastra di dielettrico
in un condensatore
a) processo a V costante
Inizialmente l’energia immagazzinata nel condensatore vale
1 q02 1
U0 =
= C0V 2
2 C0 2
Dopo l’inserimento della lastra abbiamo
1 q12 1
U1 =
= C1V 2
2 C1 2
Ricordando che
C1 = ε r C0 > C0
otteniamo U1 > U 0
Il lavoro necessario viene fornito dalla batteria
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b) processo a q costante
Inizialmente l’energia immagazzinata nel condensatore vale
1 q2 1
U0 =
= C0V02
2 C0 2
Dopo l’inserimento della lastra abbiamo
1 q2 1
U1 =
= C1V12
2 C1 2
Ricordando che
C1 = ε r C0 > C0
otteniamo U1 < U 0
La variazione di energia viene utilizzata per
polarizzare la lastra ed inserirla nel condensatore
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