programma svolto di matematica – a.s. 2015 – 2016 classe 4E 1

Liceo Scientifico “F. Lussana” – Bergamo
programma svolto di matematica – a.s. 2015 – 2016
classe 4E
prof. Paolo Mora
8 giugno 2016
1
Esponenziali e logaritmi
Unità 1.1. Funzioni esponenziali e logaritmiche
1. Richiami sulle proprietà delle potenze; estensione della definizione di potenza al caso di
esponente irrazionale; descrizione del numero di Nepero (e = 2,718 281 828 4 . . . )
2. Grafici delle funzioni esponenziali (riduzione della funzione f (x) = ax alla forma g(x) = ekx ,
modelli esponenziali di crescita – decrescita: decadimento, capitalizzazione composta)
3. Definizione di logaritmo come funzione inversa delle funzioni esponenziali; proprietà dei
logaritmi; grafici delle funzioni logaritmiche
4. Grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche ottenute per traslazioni e dilatazioni
Unità 1.2. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche
1. Metodi di risoluzione di equazioni e disequazioni in cui compaiono funzioni esponenziali e
logaritmiche
2. Risoluzione di equazioni – disequazioni esponenziali e logaritmiche per via grafica
2
Goniometria, trigonometria e numeri complessi
Unità 2.1. Funzioni e relazioni goniometriche
1. Introduzione agli elementi fondamentali della goniometria: circonferenza goniometrica:
seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo; relazione fondamentale della goniometria;
grafici delle funzioni goniometriche principali; funzioni inverse di seno, coseno e tangente
(con relativi grafici); archi associati; riduzione del calcolo delle funzioni goniometriche al I
ottante
1
PROGRAMMA DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
2
2. Formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione; formule parametriche [ espressioni
razionali delle funzioni sin x e cos x in funzione di tan(x/2) e viceversa ]; formule di
prostaferesi e Werner
3. Funzioni armoniche (o lineari in seno e coseno): proprietà e rappresentazione grafica;
sovrapposizione di armoniche e funzioni periodiche
4. Funzioni omogenee di II grado in seno e coseno (e loro riduzione a funzioni armoniche)
Unità 2.2. Equazioni e disequazioni goniometriche
1. Equazioni elementari, equazioni riconducibili ad elementari, equazioni lineari (3 metodi di
soluzione), equazioni omogenee, equazioni simmetriche
2. Disequazioni elementari, disequazioni riconducibili ad elementari, disequazioni lineari (3
metodi di soluzione), disequazioni omogenee, disequazioni simmetriche
Unità 2.3. Trigonometria
1. Triangoli rettangoli; area di un triangolo; teorema della corda; teorema dei seni (Eulero);
teorema del coseno (Carnot); risoluzione di triangoli generici
2. Formule di Briggs; raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte ad un triangolo in
funzione dei lati; mediane e bisettrici di un triangolo in funzione dei lati
3. Teorema di Erone
4. Applicazioni della trigonometria per la soluzione di problemi geometrici (problemi diretti
senza incognite; problemi con un’incognita, senza discussioni)
Unità 2.4. Il campo complesso
1. Costruzione del campo complesso C: operazioni elementari tra numeri complessi (rotazioni
e numeri complessi); interpretazione di R come sottocampo ordinato di C
2. Coordinate polari nel piano; forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi;
relazione di coniugio tra numeri complessi; scrittura esponenziale dei numeri complessi
(solo utilizzo della notazione formale)
3. Potenze e radici in C (distinzione tra radici aritmetiche e radici algebriche); equazioni di I
e II grado in C
4. Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato) e relative conseguenze per le equazioni
polinomiali in R; scomposizione di polinomi a coefficienti reali in fattori di grado ≤ 2
5. Equazioni non polinomiali in C (casi semplici); equazioni e disequazioni in C risolte per
via grafica (luoghi geometrici del piano espressi come relazioni in C)
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3
3
Calcolo combinatorio e probabilità
Unità 3.1. Calcolo combinatorio
1. Permutazioni,
disposizioni, combinazioni (con e senza ripetizioni), coefficienti binomiali
n
Cn,k =
, triangolo di Tartaglia, insieme delle parti di un insieme
k
2. Anagrammi di stringhe contenenti anche caratteri ripetuti e legame con i coefficienti
binomiali
3. Conteggio delle funzioni (generiche e iniettive) definite tra insiemi di cardinalità finita
4. Conteggio delle funzioni suriettive definite tra insiemi di cardinalità finita 1
5. Esempi significativi di applicazione del calcolo combinatorio
Unità 3.2. Probabilità
1. Definizione di evento e probabilità (spazio di probabilità); definizioni classica e assiomatica
di probabilità; definizione soggettivistica di probabilità
2. Probabilità condizionata; probabilità delle cause (utilizzo del grafo ad albero); teorema di
Bayes
3. Schema di Bernoulli (prove ripetute in uguali condizioni probabilistiche)
4
Geometria
Unità 4.1. Geometria analitica nello spazio
1. Vettori in R3 : somma, prodotto scalare, versori, angolo formato da due vettori
2. Equazione di un piano; condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra due piani
(posizioni reciproche di due piani)
3. Equazione di una retta in forma cartesiana e in forma parametrica
4. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette e tra una retta ed un piano
(posizioni reciproche di due rette e di una retta ed un piano)
5. Fasci di piani; piano passante per tre punti non allineati; piano contenente una retta e
passante per un punto non appartenente alla retta
6. Distanza di un punto da una retta; distanza di un punto da un piano; distanza tra due
rette
7. Angolo tra due rette incidenti; angolo tra una retta ed un piano
8. Problemi di geometria sintetica risolti per via analitica
1
argomento di II livello
4
PROGRAMMA DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
Ulteriori informazioni
• Durante l’a.s. si è fatto riferimento al seguente testo:
– “Nuova matematica a colori – edizione BLU per la riforma – secondo biennio e quinto
anno”, vol. 4, autore Sasso L., edizione Petrini, Cod. ISBN 9 788 849 461 435, I ed.
gen 2012
• Il presente programma, i testi delle prove scritte assegnate durante l’anno e le indicazioni
per i lavori estivi saranno disponibili, a partire dal 13 giugno 2016, sulla piattaforma
Moodle, raggiungibile dal sito del liceo oppure all’indirizzo:
[ http://elearning.liceolussana.com/moodle/login/index.php ]
Bergamo, lì 8 giugno 2016
(prof. Paolo Mora)
——————————
(studente rappresentante)
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(studente rappresentante)
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Liceo Scientifico “F. Lussana” – Bergamo
lavoro estivo di matematica – a.s. 2015 – 2016
classe 4E
prof. Paolo Mora
8 giugno 2016
Esercizio 1. Risolvi la seguente disequazione con moduli:
|x − 1| ≤ |x| − 1
Esercizio 2. Rappresenta, in un riferimento cartesiano, il luogo geometrico dei punti che
soddisfano la seguente condizione:
2
x + y 2 − 5 ≤ 4 ∧ |x + y| ≤ 3
Esercizio 3. Risolvi la seguente disequazione irrazionale fratta:
√
5 − x − 2x − 7
√
≤0
x2 + 6 − x
Esercizio 4. Risolvi la seguente disequazione algebrica fratta:
x3 − 2x2 + 5x − 4
≤0
x4 + 3x2 + 1
Esercizio 5. Risolvi per via grafica la seguente disequazioni irrazionale:
√
x ≥ 2 x2 + 2x + 5 − 5
[ sono richiesti valori esatti nelle soluzioni ].
Esercizio 6. E’ assegnata la funzione f (x) = 2|x+1| − 4.
1. Rappresenta la funzione g(x) = 2x , determinandone le coordinate di almeno 5 punti ;
2. illustra la sequenza delle trasformazioni che portano il grafico di g nel grafico di f ;
1
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
2
3. rappresenta accuratamente il grafico di f ;
4. individua l’asse di simmetria del grafico di f .
Esercizio 7. Risolvi la seguente disequazione irrazionale fratta:
√
9x2 + 6x + 1 − 7
√
≥0
√
x − 3−x
Esercizio 8. Risolvi la seguente disequazione esponenziale:
5 · 31−x − 21+x ≥ 4 · 31−x + 3 · 21+x
Esercizio 9. Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
log2 (x2 + 2x + 8) < 2 + 2 log4 (x + 2)
Esercizio 10. Risolvi per via grafica la seguente disequazione irrazionale
√
−x2 + 25 ≥ x +
1
2
[ sono richiesti valori esatti ].
Esercizio 11. Calcola i valori (in termini esatti) di: sin
403
47
73
π , cos
π , tan − π .
8
5
12
Esercizio 12. A partire dal grafico di y = cos x rappresenta il grafico della funzione
π
y = 2 cos 2x −
3
[ esplicita le trasformazioni utilizzate ].
Esercizio 13. Risolvi la seguente disequazione esponenziale:
3 · 5x+1 + 5 52x − 2 · 5x + 1 < 5
Esercizio 14. Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
3
log1/2 log1/2 x +
≤1
2
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
3
Esercizio 15. Risolvi per via grafica la seguente disequazione irrazionale:
√
−2x2 + x + 1 ≤ 1 − 0,25x
[ sono richiesti valori esatti ].
Esercizio 16. A partire dal grafico di y = arcsin x, rappresenta il grafico della funzione
x
−4
y = 2 arcsin
2
[ esplicita le trasformazioni utilizzate ].
Esercizio 17. A partire dal grafico di y = ln x, rappresenta il grafico della funzione
y = ln |2x| − 1
[ esplicita le trasformazioni utilizzate ].
Esercizio 18. Risolvi la seguente disequazione esponenziale:
√
ex + e x + 2
≥0
e2x − e
Esercizio 19. Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
log4 log1/2 (x − 4) < 1
Esercizio 20. Risolvi per via algebrica la seguente disequazione irrazionale:
p
2 − |x + 1| ≥ x + 3
Esercizio 21. Risolvi la seguente disequazione goniometrica:
3 sin x + 2 cos x = −2
Esercizio 22. Risolvi la seguente disequazione esponenziale [ sono richieste esplicitamente le
C.E. ]:
9x − 5 · 4x+1 ≤ 2 · 22x − 4 · 32x
[ esprimi il risultato utilizzando solo logaritmi naturali ]
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4
Esercizio 23. Risolvi la seguente disequazione logaritmica [ sono richieste esplicitamente le
C.E. ]:
(log1/2 x) − 3
(log21/2 x) + 1
>4
Esercizio 24. Risolvi la seguente equazione goniometrica elementare:
π
π
sin 2x −
= − cos
− 3x
3
5
Esercizio 25. Risolvi per via grafica la seguente disequazioni irrazionale:
√
x ≥ 2 x2 + 2x + 5 − 5
[ sono richiesti valori esatti nelle soluzioni ].
Esercizio 26. Risolvi la seguente equazione goniometrica:
sin(2x) + cos(2x) + sin x + cos x + 1 = 0
π
+ k sin x − 3, con k ∈ R.
Esercizio 27. E’ assegnata la funzione 2 cos x +
4
π 1. determina k in modo che f
= −1 ;
4
2. per tale valore di k scrivi f (x) nella forma A sin(x + ϕ) + B, con A > 0 ∧ ϕ ∈ [0, 2π).
Esercizio 28. Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche [ cita le formule che utilizzi ]:
1. cos2
2.
x
≥ 3 cos2 x ;
2
sin x2
< 0 [ attenzione: la periodicità della soluzione vale 4π ] ;
2 sin x − 1
3. sin x ≥ 2 cos x + 1 ;
4. |2 sin x| < cos2 x ;
5.
√
π
.
1 + sin2 x ≤ 2 sin x −
4
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
5
Esercizio 29. Determina dominio, codominio e rappresenta il grafico della funzione
x
f (x) = arcsin 4 −
2
Esercizio 30. Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche [ cita le formule che utilizzi ]:
1.
√
3 sin
x
≤ sin(π − x) ;
2
cos x2
2.
< 0;
2 sin x + 1
3. sin x ≤ 5 cos x + 1 ;
x π
≤ ;
4. arcsin −
2
4
5.
√
sin2 x − 3 cos2 x > 2 sin x + 1 .
Esercizio 31. Verifica la seguente identità [ non sono richieste le C.E. ]
− logx b + logx(x+1) (bx) · logx (x2 + x) = logx (xy) − logb y · logx b
Esercizio 32. E’ assegnata la funzione f (x) = −2 log2 (2 − |x|).
1. Rappresenta la funzione g(x) = log2 x, determinandone le coordinate di almeno 4 punti ;
2. illustra la sequenza delle trasformazioni che portano il grafico di g nel grafico di f e
rappresenta accuratamente il grafico di f ;
3. individua l’asse di simmetria del grafico di f .
Esercizio 33. Risolvi le seguenti disequazioni [ per ciascuna sono richieste esplicitamente le
C.E. ]:
1.
log1/2 x − 3
log21/2 x + 1
> 4;
2. ln(log2 x) > −1 ;
3. 25x − 2log2 6−1 < 10 · 5x−1
4. 9x − 5 · 4x+1 ≤ 2 · 22x − 4 · 32x [ esprimi il risultato utilizzando solo logaritmi naturali ]
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Esercizio 34. Risolvi per via grafica la seguente disequazione:
x
1 + |2x| > e 2
[ sono richiesti valori approssimati ad una cifra decimale ].
Esercizio 35. Quanti giorni occorrono affinché un capitale, investito al tasso annuo del 3,5%
(in regime di capitalizzazione composta), raddoppi ? [ considera 1 anno = 365 giorni, arrotonda
per eccesso al giorno più vicino ]
607
143
65
π , cos
π , tan
π
Esercizio 36. Calcola i valori (in termini esatti) di: sin
8
5
3
√
1p
π
π
2
possono essere utili le seguenti informazioni: sin
=
2 − 2, sin
= cos
π =
8
2
10
5
√
5−1
4
Esercizio 37. A partire dal grafico di y = sin x rappresenta il grafico della funzione
x π
+
y = −2 sin
2 3
[ esplicita le trasformazioni utilizzate ].
Esercizio 38. Dopo aver disegnato accuratamente l’angolo ϑ = (11/12)π sulla circonferenza
goniometrica, ricava il valore esatto di cos ϑ. Spiega in dettaglio gli strumenti utilizzati.
Esercizio 39. Giustifica la seguente proposizione, utilizzando e dimostrando le formule goniometriche necessarie:
α
tan ∈ Q ⇐⇒ sin α ∈ Q ∧ cos α ∈ Q
2
Esercizio 40. Dimostra le formule di addizione – sottrazione per le funzioni seno e coseno
[ sin(α + β) = . . . etc. ]. Utilizza poi tali relazioni per dimostrare che:
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
Esercizio 41. Illustra e giustifica mediante considerazioni geometriche le relazioni tra le funzioni
goniometriche (seno, coseno, tangente) degli angoli α e β nei seguenti casi:
3
α−β = π
2
5
α+β = π
2
α − β = 3π
α + β = −1,5 π
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
7
Esercizio 42. A partire dalle formule di addizione – sottrazione ricava le formule di Werner.
Esercizio 43. In relazione alla funzione f (x) = arctan x:
1. fornisci la definizione di arctan x, mettendo in evidenza il dominio e il codominio di f ;
2. rappresenta accuratamente il grafico di f ;
3. (*) giustifica la seguente proposizione:”∀x ∈ R+ =⇒ (i due angoli arctan x e arctan 1/x
sono complementari)”.
Esercizio 44. Mostra i passaggi utili per ricondurre la funzione omogenea di II grado
y = a sin2 (3x) + b sin(3x) cos(3x) + c cos2 (3x)
alla forma armonica. Quanto vale il periodo di tale funzione ?
Esercizio 45. Una certa grandezza fisica, misurata dalla variabile y, subisce nel tempo una
decrescita esponenziale descritta dall’equazione
y = y0 e−kt
1. spiega il significato di y0 ; discuti il segno di k e la sua unità di misura ;
2. rappresenta il grafico della funzione, mettendone in evidenza le principali caratteristiche ;
3. ricava, in funzione di k, il tempo di dimezzamento.
Esercizio 46. Spiega accuratamente perché l’equazione
3x + 5x = 7x
ammette un’unica soluzione reale.
Esercizio 47. Utilizzando in modo opportuno le proprietà dei logaritmi dimostra la seguente
identità
loga c · logb c
logab c =
loga c + logb c
(riporta in dettaglio le proprietà dei logaritmi utilizzate).
Esercizio 48. Dimostra che log2 5 ∈
/ Q.
Esercizio 49. Dopo aver fornito la definizione di loga b (esplicitando le limitazioni sui parametri
a e b) dimostra la relazione del cambiamento di base che consente di esprimere tale logaritmo in
funzione di logaritmi naturali.
8
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
Esercizio 50. In un triangolo ABC si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ
le misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Determina il triangolo/i triangoli che
soddisfano le seguenti relazioni:
√
b = 6 2,
√
√
c = 3( 6 + 2),
γ=
5
π
12
Esercizio 51. In un triangolo qualunque si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ le
misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Verifica la validità della seguente relazione:
a2 cos(2β) − b2 cos(2α) = a2 − b2
Esercizio 52. Detto P un punto della semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r,
condurre la bisettrice t dell’angolo P ÂB e indicare con C e D rispettivamente i punti di
intersezione di t con la semicirconferenza e con la semiretta di origine B e parallela ad AP.
1. Dimostrare che OC k AP ;
2. posto P ÂB = 2x, tracciare il grafico della funzione f (x) = Area (P AD), indicando l’arco
che si riferisce al problema ;
3. calcolare il valore di x affinché il triangolo P AD sia equivalente al triangolo ACB.
Esercizio 53. Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AB = 2r. Costruire esternamente
il quadrato ACDE avente AC come lato. determinare
√ l’ampiezza x dell’angolo B ÂC in modo
che il perimetro del trapezio AEDB sia uguale a 3( 3 + 1)r.
√
Esercizio 54. Risolvi la seguente disequazione goniometrica: cos x + ( 2 − 1) sin x < −1.
Esercizio 55. In un triangolo ABC si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ
le misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Determina il triangolo/i triangoli che
soddisfano le seguenti relazioni:
√
a = 2 3,
b = 9,
α = arcsin
1
3
spiega quali controlli sono sufficienti per stabilire quanti triangoli risolvono il problema.
Esercizio 56. In un triangolo qualunque si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ
le misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Si sa che α è acuto e che il triangolo non
è isoscele. Verifica la validità della seguente disuguaglianza:
2 sin2
α
2
<
a2
b2 + c 2
9
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
Esercizio 57. In una circonferenza di diametro AB = 2R è condotta la corda AC, lato del
triangolo equilatero inscritto. Determinare sul minore dei due archi BC un punto P in modo
che, condotta da P la parallela ad AB fino ad incontrare in Q la corda AC ed indicate con P 0
e Q0 le proiezioni di P e Q su AB, il quadrilatero P P 0 Q0 Q risulti un quadrato. [ Indica con x
b ed esprimi il risultato in notazione sessagesimale; è richiesto un accurato disegno
l’angolo B AP
e l’analisi dei casi limite ].
Esercizio 58. Un quadrante di cerchio AOB ha centro O e raggio R. Preso un punto C
sull’arco AB, sia D il punto medio dell’arco AC; determina per quale posizione di C è massima
l’area del pentagono OADCB. [ E’ richiesto un accurato disegno e l’analisi dei casi limite ].
Esercizio 59. Considera il quadrato ABCD di lato 2r e costruisci, internamente ad esso, una
semicirconferenza di diametro AB. Considera un punto P variabile sulla semicirconferenza
b indica con K e Q le proiezioni ortogonali di P
e indica con x la misura dell’angolo P AB;
rispettivamente su DC e DA.
1. Ricava un’espressione analitica per la funzione f (x) = P K + P Q ed esegui lo studio dei
casi limite in riferimento alla variabile x ;
2. rappresenta la funzione f (x) nell’intervallo delle limitazioni ;
3. determina per quali posizioni di P la funzione f (x) assume il valore massimo e il valore
minimo.
Esercizio 60. In un triangolo ABC si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ
le misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Determina il triangolo/i triangoli che
soddisfano le seguenti relazioni:
√
b = 6 2,
√
√
c = 3( 6 + 2),
γ=
5
π
12
Esercizio 61. In un triangolo qualunque si indichino con a, b, c le misure dei lati e con α, β, γ le
misure degli angoli ad essi rispettivamente opposti. Verifica la validità della seguente uguaglianza:
γ c (cos β + cos α) = 2(a + b) sin2
2
[ Suggerimento: utilizza il teorema delle proiezioni ].
Esercizio 62. E’ data la semicirconferenza di diametro CB = 4l. Sia H il punto medio dell’arco
√
CB. Sul prolungamento di BH dalla parte di H considera il punto A tale che AH = l 2. Sia
D il punto di intersezione fra la parallela ad AB passante per C e la perpendicolare per A ad
AB.
√
1. Determina il valore di l sapendo che il perimetro del trapezio ABCD misura 3 2 + 2 ;
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
2. ricava l’espressione analitica della funzione f (x) =
b e M intersezione tra CP e HB ;
HB, x = P CB
10
CP − P B
, con P appartenente all’arco
HM
3. rappresenta graficamente f (x), considerando i limiti imposti dal problema.
[ E’ richiesto un accurato disegno e l’analisi dei casi limite ].
Esercizio 63. Il triangolo isoscele ABC ha i lati obliqui AB = AC = l e l’angolo al vertice
b = 2x. Sia f (x) = r , con r = raggio della circonferenza inscritta al triangolo e R = raggio
B AC
R
della circonferenza circoscritta al triangolo.
1. Studia limitazioni e casi limite della variabile x ;
2. ricava l’espressione di f (x) in funzione di sin x e determina per quale valore di x assume il
valore massimo.
Esercizio 64. Sulla semicirconferenza di diametro AB = 2R considera il punto C tale che
b = 30° e sull’arco CB un punto D, ponendo x = DBC.
b
ABC
Sia T il punto di intersezione tra
DA e BC.
DT
1. Ricava un’espressione analitica per la funzione f (x) =
ed esegui lo studio dei casi
TC
limite in riferimento alla variabile x ;
2. rappresenta la funzione f (x) nell’intervallo delle limitazioni.
Esercizio 65. Assegnato il numero complesso w = 8 i − 15, indica con z1 e z2 le sue radici
quadrate in senso algebrico.
1. Scrivi w in forma esponenziale, esprimendo il suo argomento prima in termini esatti e poi
in notazione sessagesimale, approssimando al primo più vicino ;
2. calcola z1 e z2 in forma algebrica ;
3. rappresenta (in scala !) sul piano di Argand – Gauss i numeri w, z1 e z2 .
Esercizio 66. E’ assegnato il polinomio P (z) = z 4 − 2z 3 + 3z 2 − 2z + 2.
1. Scomponilo in R ;
2. risolvi in C l’equazione P (z) = 0 e rappresenta (in scala !) le soluzioni sul piano di
Argand – Gauss ;
3. indica la molteplicità di ciascuna delle radici di P (z).
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
11
√
√
3 3 − 3i
3
√
ew=
+ b i, con
Esercizio 67. Sono assegnati di due numeri complessi: z =
3
2 3i
b ∈ R.
1. Scrivi z in forma goniometrica e calcola z −2 ;
2. determina per quali valori di b ∈ R si ha che |z ·w| =
√
7.
di Gauss la circonferenza
γ di centro 0 e raggio r = 2 e la
Esercizio 68. Considera nel piano
√
√
sua corda AB di estremi z1 = 3 + i e z2 = −1 + i 3.
1. Considerato AB come lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza γ, determina
il numero di lati e i rimanenti vertici (esprimendoli come numeri complessi in forma
algebrica) ;
2. scrivi un’equazione polinomiale, a coefficienti complessi, che abbia come soluzione esattamente i vertici del poligono, ciascuno con molteplicità uno.
Esercizio 69. Calcola le seguenti radici, da intendersi in senso algebrico, esprimendo i risultati
sia in forma esponenziale sia in forma algebrica:
s
5
q
√
1−i
4
3
8 − 8i 3
,
1+i
Esercizio 70. Sapendo che (4 − 5 i)3 = −236 − 115 i, determina in forma algebrica (motiva
accuratamente i passaggi !) le tre radici cubiche di −236 − 115 i.
Esercizio 71. Una password è costituita da 6 caratteri, ciascuno dei quali può essere una delle
21 lettere dell’alfabeto italiano.
1. Quante password diverse si possono costruire, formate da lettere tutte distinte tra loro ?
2. Quante password diverse si possono costruire, ammettendo di poter ripetere le lettere ?
3. Quante password diverse si possono costruire, che iniziano con una consonante, terminano
con una vocale e sono formate da lettere tutte distinte fra loro ?
Esercizio 72. Sette persone hanno a disposizione 5 sedie numerate da 1 a 5: cinque persone si
siedono e due restano in piedi. In quanti modi diversi possono occupare le 5 sedie ?
Esercizio 73. Una pedina occupa la casella in basso a sinistra di una scacchiera 8x8. Mediante
mosse successive la pedina viene spostata nella casella in alto a destra (cioè quella più lontana
dalla casella di partenza). Calcola il numero dei possibili percorsi diversi nei seguenti casi:
1. ad ogni mossa la pedina viene spostata o di una casella verso destra o di una casella verso
l’alto ;
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12
2. le mosse possibili sono:
• di una casella verso destra ;
• di una casella verso l’alto ;
• di una casella in diagonale in alto a destra.
n−2
n−1
Esercizio 74. Risolvi l’equazione: 3
=
.
n−4
n−3
Esercizio 75. Una vettura ferroviaria ha sei posti nel senso di marcia e sei nel senso opposto.
In quanti modi si possono disporre sei viaggiatori di cui 4 vogliono sedersi nel senso di marcia e
2 nel senso opposto ?
Esercizio 76. Da un mazzo di 32 carte (8 per ciascuno dei 4 semi) se ne estraggono 5 (estrazione
senza reinserimento, non importa l’ordine). Calcola la probabilità (= rapporto tra i casi favorevoli
e i casi possibili) dei seguenti eventi:
1. A = tra le 5 carte ci sono 2 assi e 3 re,
2. B = tra le 5 carte ce ne sono 4 uguali (poker “generico” servito in mano !)
3. C = le 5 carte sono dello stesso seme (“colore” servito in mano !)
Esercizio 77. Una piccola lotteria comprende 10 biglietti; ogni biglietto costa 25 e. Vengono
estratti 4 biglietti, rispettivamente associati ai seguenti premi: uno di 100 e, uno di 50 e, due
di 10 e. Un giocatore acquista 2 biglietti. Si consideri la variabile aleatoria X = guadagno del
giocatore = ricavo − spesa. Quali sono i possibili valori di X e le corrispondenti probabilità ?
[Un possibile approccio è il seguente: immagina che i numeri vincenti siano 1, 2, 3, 4 associati
nell’ordine ai premi 100, 50, 10, 10 e; l’esperimento consiste quindi nella scelta di 2 biglietti sui
10 disponibili (non importa evidentemente l’ordine), quindi. . . ].
Esercizio 78. Quattro amici discutono delle loro date di nascita.
1. Qual è la probabilità che almeno due di essi siano nati lo stesso mese ? [ assumi che i mesi
siano equiprobabili rispetto alle nascite ]
2. Sapendo che nessuno dei 4 amici è nato il 29 febbraio, qual è la probabilità che almeno
due di essi siano nati nello stesso giorno dell’anno ?
4
3
Esercizio 79. Siano A e B due eventi indipendenti, tali che p(A ∪ B) = e p(B) = . Calcola
5
5
la probabilità dell’evento A.
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
13
Esercizio 80. In riferimento ad una data popolazione di persone, la malattia M ha un’incidenza
del 10% (cioè la probabilità che un individuo scelto a caso sia malato vale 0,1). A livello
diagnostico è possibile sottoporsi ad un test, la cui affidabilità è descritta dalle seguenti
caratteristiche:
• se un individuo è malato, la probabilità che il test risulti positivo vale p ;
• se un individuo è sano, la probabilità che il test risulti negativo è ancora uguale a p.
1. Il test relativo ad una persona scelta a caso nella popolazione risulta positivo. Qual è, in
funzione di p, la probabilità che la persona sia effettivamente malata ?
2. Affinché la probabilità di cui al punto precedente sia superiore al 90%, quali valori deve
assumere p ?
Esercizio 81. In un sacchetto ci sono 15 palline rosse e 25 nere. Vengono estratte in successione
8 palline (le palline estratte non vengono reinserite nel sacchetto). Calcolare la probabilità dei
seguenti eventi:
1. A = le prime 3 palline siano rosse e le rimanenti nere;
2. B = 5 palline estratte (non necessariamente le prime 5) siano rosse e le altre 3 siano nere;
3. C = D|B, con D = la prima pallina estratta sia rossa.
Esercizio 82. Due tiratori tirano 2 colpi allo stesso bersaglio. Il primo ha una probabilità di
0,75 di fare centro, il secondo di 0,25. Determina la probabilità dei seguenti eventi:
1. A = entrambi i tiratori centrano il bersaglio esattamente una volta;
2. B = 2 colpi complessivamente centrano il bersaglio;
3. sapendo che 2 colpi hanno centrato il bersaglio calcola la probabilità che i due tiratori
abbiano centrato il bersaglio una volta per ciascuno.
[ Suggerimento: rappresenta la situazione con un opportuno grafo ad albero ].
Esercizio 83. Una lotteria comprende 90 biglietti, venduti al prezzo di 10 e ciascuno. Vengono
estratti 4 biglietti, rispettivamente associati ai seguenti premi: uno di 400 e, uno di 40 e, due
di 20 e. Un giocatore acquista 2 biglietti. Si consideri la variabile aleatoria X = guadagno del
giocatore. Quali sono i possibili valori di X ? Qual è la probabilità che X = 20 e ? [ Esprimi il
risultato in percentuale, approssimando alla seconda cifra decimale ].
Esercizio 84. Da un gruppo di 8 donne (Anna, Barbara, Carla, Donata, Enrica, etc.) e 6
uomini (Alberto, Bruno, Cristoforo, Dino, Ernesto, Franco) deve essere scelta una commissione
formata da 3 donne e 3 uomini.
1. Quante diverse commissioni si possono formare ?
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2. E se Alberto e Bruno rifiutano di lavorare insieme ?
3. E se Anna e Barbara rifiutano di lavorare insieme ?
4. E se Alberto e Anna rifiutano di lavorare insieme ?
Esercizio 85. A) In quanti modi 8 professori possono essere assegnati a 4 distinte scuole ?
B) E se ad ogni scuola viene assegnato almeno 1 professore ? C) E se ad ogni scuola vengono
assegnati 2 professori ?
Esercizio 86. Alberto e Bruno giocano con un dado regolare a sei facce, seguendo le seguenti
regole:
• lanciano il dado alternativamente; incomincia Alberto ;
• Alberto vince se, al suo turno, il dado segna 1, 2 o 3 ;
• Bruno vince se, al suo turno, il dado non segna il valore 6 ;
• il gioco si interrompe quando uno dei due giocatori vince.
1. Su quale dei due giocatori saresti disposto a scommettere ? (giustifica accuratamente la
tua scelta) ;
2. Calcola la probabilità di vincita di Bruno ;
3. calcola la probabilità che il gioco non si concluda prima dell’ottavo lancio del dado.
Esercizio 87. Il paradosso della scimmia, noto come teorema di Borel (altrimenti detto teorema
della scimmia instancabile), nella sua versione italiana può essere enunciato come segue: una
scimmia che digiti a caso su una tastiera riuscirà prima o poi a scrivere la Divina Commedia:
Nel mezzo del cammin di nostra vita. . .
Immaginando di digitare a caso tre lettere su una tastiera composta dalle sole 26 lettere
dell’alfabeto italiano, calcola:
1. la probabilità di comporre la parola «NEL» ;
2. la probabilità di comporre «NEL» per la prima volta al quinto tentativo ;
3. quante volte occorre ripetere l’esperimento affinché la probabilità di scrivere «NEL» almeno
una volta sia superiore al 90%.
Esercizio 88. In un sacchetto ci sono 20 palline rosse e 20 nere. Vengono estratte in successione
10 palline (le palline estratte non vengono reinserite nel sacchetto). Calcolare la probabilità dei
seguenti eventi:
1. A = le prime 3 palline siano rosse e le rimanenti nere;
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2. B = 5 palline estratte (non necessariamente le prime 5) siano rosse e le altre 5 siano nere;
3. C = D|B, con D = la prima pallina estratta sia rossa.
Esercizio 89. Calcola la probabilità, giocando al lotto tre numeri su una singola ruota per un
importo di 1e, di ottenere un terno. Calcola quanto dovrebbe pagare lo Stato tale vincita se il
gioco fosse equo.
Esercizio 90. Un dispositivo è composto da 5 unità distinte, ciascuna delle quali può subire
un’avaria nel corso di un anno con probabilità 0,4. Perché il dispositivo funzioni sono necessarie
almeno 3 unità funzionanti. Se una o due unità subiscono un’avaria il dispositivo opera con
efficienza ridotta. Determina la probabilità dei seguenti eventi:
1. nessuna unità subisce un’avaria;
2. il dispositivo non funziona;
3. il dispositivo opera con efficienza ridotta.
Esercizio 91. Nel gioco del lotto l’ambo (secco) su una singola ruota viene pagato 242,50 volte
la giocata (i.e.: per una puntata di 1 e si vincono 242,50 e). Calcola quanto dovrebbe pagare
lo Stato tale vincita se il gioco fosse equo.
Esercizio 92. Due tiratori tirano 2 colpi allo stesso bersaglio. Il primo ha una probabilità di
0,8 di fare centro, il secondo di 0,4. Determina la probabilità dei seguenti eventi:
1. A = entrambi i tiratori centrano il bersaglio esattamente una volta;
2. B = 2 colpi complessivamente centrano il bersaglio;
3. sapendo che 2 colpi hanno centrato il bersaglio calcola la probabilità che i due tiratori
abbiano centrato il bersaglio una volta per ciascuno.
[ Suggerimento: rappresenta la situazione con un opportuno grafo ad albero ].
Esercizio 93. Le 4 facce di un dado a forma di tetraedro sono numerate da 1 a 4. Il dado è
truccato in modo che la probabilità p(i) che la faccia i sia nascosta è proporzionale al quadrato
di i; esiste cioè una costante k > 0 per cui p(i) = ki2 . Determina k. Si lancia il dado una volta
e si chiama con X la variabile aleatoria: “somma dei numeri visibili”. Scrivi la distribuzione di
probabilità di X. Calcola infine la probabilità che nel corso di 5 lanci X risulti pari esattamente
2 volte.
Esercizio 94. In un sacchetto ci sono 12 palline rosse e 8 nere. Vengono estratte due palline, la
seconda senza aver rimesso la prima nel sacchetto. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
1. A = la prima pallina sia rossa e la seconda nera;
2. B = una pallina sia rossa e l’altra nera.
Esercizio 95. Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati ? (motiva accuratamente la tua risposta).
Esercizio 96. In un piano quanti triangoli individuano 12 punti, a tre a tre non allineati ?
Esercizio 97. Si consideri un dado truccato in modo che:
p(1) = 2/9,
p(6) = 1/9,
p(2) = p(3) = p(4) = p(5)
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16
1. calcola quanti numeri si possono scrivere “anagrammando” il numero 446663;
2. calcola la probabilità di ottenere due ‘4’, tre ‘6’ e un ‘3’ (non importa l’ordine) lanciando
sei volte il dado truccato.
Esercizio 98. In un circolo scacchistico vi sono 12 uomini su un totale di 28 membri. In quanti
modi diversi si possono eleggere un presidente, un vicepresidente e un segretario, nell’ipotesi in
cui il presidente debba essere una donna ?
Esercizio 99. L’insegnante di matematica dichiara che la verifica scritta conterrà 5 esercizi tra
i 50 riportati nel libro di testo (ad es. dal n. 1 al n. 50). Ariel decide di tentare la fortuna e
invece di studiare seriamente prepara, a caso, solo 10 esercizi. Sapendo che il sei corrisponde a 3
esercizi risolti correttamente sui 5 proposti, calcola la probabilità che Ariel raggiunga (o superi)
il livello della sufficienza. [sugg.: immagina che Ariel abbia preparato gli esercizi dal n. 1 al n.
10; considera ora come esperimento l’estrazione di 5 esercizi tra i 50 possibili, calcola poi i casi
possibili e i casi favorevoli. . . . . . (è simile ad un’estrazione del lotto su 50 numeri anziché 90)].
Esercizio 100. Si hanno due urne. La prima contiene 5 palline bianche e 10 nere. Nella seconda
ci sono 3 palline bianche e 7 nere. Si mette nella prima urna una pallina presa (a caso) dalla
seconda e si estrae (a caso) una pallina dalla prima urna.
1. Determina la probabilità che la pallina estratta (dalla prima urna) sia bianca;
2. sapendo che dalla prima urna è stata estratta una pallina nera, calcola la probabilità che
dalla seconda urna sia stata estratta una pallina bianca.
Esercizio 101. Un dado non truccato possiede le sei facce numerate: 2,3,4,4,5,6 (è un comune
dado in cui la faccia 1 è stata cambiata in 4). Si lancia il dado 10 volte di seguito. Calcola
la probabilità di ottenere 4 volte il valore 4, 3 volte il valore 2 ed una sola volta i valori 3,5,6.
[esprimi il risultato lasciando indicati eventuali fattoriali e/o potenze].
Esercizio 102. In una classe vi sono 20 studenti. Calcola la probabilità che estraendone a sorte
3 si abbiano 2 maschi. Si sa che le femmine sono 12.
Esercizio 103. Una lotteria è costituita da 1000 biglietti, dei quali 100 vincenti e 900 perdenti.
Si acquistano 2 biglietti. Calcola la probabilità che entrambi i biglietti siano vincenti.
Esercizio 104. In un’urna ci sono 20 palline, numerate dall’1 al 20. Cinque di queste sono
bianche, mentre le altre sono di altri colori. Quante quaterne distinte si possono pescare (non
conta l’ordine) in modo che in ognuna di esse ci sia almeno una pallina bianca ?
Esercizio 105. Tre urne sono assolutamente identiche quanto al loro aspetto esteriore. La
prima contiene 13 palline bianche e 7 nere; la seconda ne contiene 10 bianche e 10 nere; la terza
8 bianche e 12 nere. Si sceglie un’urna a caso e da essa se ne estrae una pallina. Sapendo che la
pallina estratta è bianca calcola la probabilità che sia stata estratta dalla prima urna.
Esercizio 106. Una macchina produce pezzi meccanici. Ogni pezzo prodotto ha una probabilita
p di essere funzionante e q = 1 − p di essere difettoso. A) Presi a caso k pezzi prodotti si
esprima la probabilità dei seguenti eventi: E1 = tutti i k pezzi sono funzionanti; E2 = uno solo
dei k pezzi è difettoso; E3 = almeno uno dei k pezzi è difettoso; B) per p = 5/6 si calcoli la
probabilità dell’evento E4 = il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la
macchina entra in funzione; C) per p = 9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5 = si ha al
massimo un pezzo difettoso nei primi 10 prodotti.
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Esercizio 107. Su una ruota del gioco del lotto si giocano nove numeri combinati come “terni”.
Qual è la probabilità di realizzare con tali numeri esattamente 1 terno ? Qual è la probabilità
di realizzare con tali numeri esattamente 4 terni ? Giustifica poi la seguente proposizione: “la
probabilità di realizzare esattamente 2 o 3 terni è nulla”.
Esercizio 108. Dopo aver definito cosa si intende per disposizioni semplici di n oggetti di classe
k (Dn,k ) e combinazioni semplici di n oggetti di classe k (Cn,k ), tratta le seguenti questioni:
1. dimostra che Dn,k =
n!
;
(n − k) !
2. giustifica la relazione che lega Dn,k e Cn,k e da essa dimostra che
Cn,k =
n·(n − 1)·(n − 2)· . . . . . . ·(n − k + 1)
k!
3. spiega perchè Cn,k coincide col numero di anagrammi di una stringa formata da n caratteri,
di cui k uguali fra loro e i rimanenti (n − k) uguali fra loro e distinti dai precedenti.
Esercizio 109. La teoria assiomatica della probabilità si basa sui seguenti assiomi:
• indicato con S lo spazio degli eventi, la probabilità è una funzione (p) che associa ad ogni
evento A di S un numero reale compreso tra 0 e 1 ;
• p(S) = 1
• A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
• p(A|B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Utilizzando esclusivamente tali assiomi dimostra che
1. p(A) = 1 − p(A) ;
2. p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)
3. p(A|B) = p(A) ⇐⇒ p(A ∩ B) = p(A)·p(B)
Esercizio 110. Assegnate le due rette r ed s di equazioni:


x = −1 + 3t
x+1
z−3
=y−1=
,
s : y = 1 + 2t
r:

2
2

z = 3 + 2t
Provare che sono incidenti e determinare l’equazione del piano che le contiene
Esercizio 111. Spiega in che modo è possibile scrivere l’equazione cartesiana di un piano π
passante per un punto di coordinate (x0 , y0 , z0 ) e perpendicolare ad un vettore ~v di componenti
(a, b, c). Giustifica con cura tutti i passaggi.
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
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Esercizio 112. Data la retta r di equazioni −3x + y + 2z = x + y − 4z + 5 = 0 determina
la retta s parallela ad r e passante per P0 = (1, 0, 2). Calcola inoltre l’equazione del piano π
contenente r e il punto P1 = (4, 5, 0).
Esercizio 113. Calcola la distanza del punto P = (−2, 2, 1) dalla retta di equazioni


x = 5 + 3t
y = −7 − 2t


z =4+t
Esercizio 114. Siano date le due rette r ed s di equazioni parametriche:


0


x = t
x = 1 + 2t
s : y = −t ,
r : y = 3t0




z = 3t
z = 2 − t0
1. Determina i punti S ∈ s ∧ R ∈ r in modo che il segmento SR sia perpendicolare ad
entrambe le rette r ed s ;
2. determina le equazioni dei due piani α e β contenenti rispettivamente le rette r ed s e tra
loro paralleli.
Esercizio 115. Scrivi in forma cartesiana e in forma parametrica le equazioni della retta r
ottenuta mediante proiezione ortogonale della retta
(
3x − 5y + z = 0
s:
x − 3y + 11 = 0
sul piano π di equazione x − 2y + z − 6 = 0.
Esercizio 116. Assegnate le due rette r ed s di equazioni:


x = −1 + 3t
x+1
z−3
r:
=y−1=
,
s : y = 1 + 2t

2
2

z = 3 + 2t
Prova che sono incidenti, determina l’equazione del piano che le contiene e la misura dell’angolo
acuto da esse formato espresso in notazione sessagesimale.
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
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Esercizio 117. Il trapezio rettangolo ABCD riportato in figura 1 è la base di una piramide di
vertice V e altezza V H = 1 cm.
Figura 1: esercizio 117
−→
1. Utilizzando un sistema cartesiano con centro A, asse x orientato come il vettore AB, asse
−→
y orientato come il vettore AD, asse z uscente dal foglio, scrivi le coordinate dei punti
A, B, C, D, H, V ;
2. scrivi l’equazione del piano BCV e calcola l’angolo ( in gradi, in notazione sessagesimale )
che tale piano forma con la base della piramide ;
3. calcola la superficie laterale della piramide.
Esercizio 118. Considera il parallelepipedo rettangolo ABCDEF GH, i cui lati misurano
AB = 2 cm, AE = 1 cm, AD = 1 cm, come rappresentato in figura 2.
−→
1. Utilizzando un sistema cartesiano con centro D e asse x orientato come il vettore DA,
verifica che il triangolo ACH è isoscele e calcolane gli angoli ( in gradi, in notazione
sessagesimale ) ;
2. scrivi l’equazione del piano ACH e dimostra che il punto di intersezione della diagonale
F D con tale piano coincide col baricentro del triangolo ACH.
Figura 2: esercizio 118
20
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA – CLASSE 4 E – A.S. 2015 – 2016
Ulteriori informazioni
• Il presente materiale contenente le indicazioni per il lavoro estivo sarà disponibile, a partire
dal 13 giugno 2016, sulla piattaforma Moodle, raggiungibile dal sito del liceo oppure
all’indirizzo:
[ http://elearning.liceolussana.com/moodle/login/index.php ]
• Istruzioni per l’uso: gli studenti che hanno giudizio sospeso in matematica o che hanno
ricevuto la segnalazione “aiuto in matematica” sono tenuti a svolgere tutti gli esercizi
pari più 30 esercizi dispari (tale lavoro sarà controllato a settembre 2016, per i primi
contestualmente alla prova orale); tutti gli studenti sono tenuti a svolgerne almeno la
metà, scegliendo i pari oppure i dispari.
Auguro a voi e alle vostre famiglie di trascorrere una serena estate !!
Bergamo, lì 8 giugno 2016
(prof. Paolo Mora)
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