Triangoli Rettangoli

CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE
DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
PER L’ISTITUTO TECNICO
SETTORE TECNOLOGICO
Agraria, Agroalimentare e Agroindustria
classe seconda
PARTE PRIMA Disegno del rilievo
Unità Didattica: Trigonometria parte 02
(Triangoli Rettangoli )
aggiornamento a.s. 2014-15
a cura di
LABTOPOMOREA
ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA
Molti problemi che si incontrano nelle discipline scientifiche e tecniche portano spesso a
considerare triangoli dei quali si conoscono alcuni elementi e si vogliono determinarne gli altri.
I problemi possono essere risolti se si riescono a stabilire e applicare relazioni che legano tra
loro i lati e gli angoli di un triangolo.
La trigonometria è la parte della matematica che studia queste relazioni.
Risolvere un triangolo significa quindi determinare le misure degli elementi incogniti (lati e
angoli) quando sono note le misure di altri tre elementi.
Tra gli elementi noti deve necessariamente esserci la misura di almeno un lato.
E’evidente che se si conoscono solamente le misure dei tre angoli il triangolo e
indeterminato. Esistono infatti infiniti triangoli simili tra loro che hanno gli angoli
corrispondentemente uguali.
SOLUZIONE DI TRIANGOLI RETTANGOLI.
Si consideri un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C i cui elementi sono indicati in figura.
Indicando con α e β gli angoli acuti e ricordando che in un triangolo qualsiasi la somma degli
angoli interni e pari ad un angolo piatto, possiamo scrivere un’utile relazione:
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In un triangolo rettangolo, la somma degli angoli adiacenti all’ipotenusa è un angolo retto.
Si può pensare di introdurre il triangolo considerato in un sistema di riferimento cartesiano in
modo tale da far coincidere il vertice A con l’origine e di sovrapporre il lato AC al semiasse
positivo delle ordinate.
Consideriamo la circonferenza goniometrica con centro A e raggio pari all’ipotenusa AB. Per la
definizione delle funzioni goniometriche dell’angolo α si ha:
Generalizzando le relazioni possiamo affermare che in un triangolo rettangolo:
•
il seno di un angolo è pari al rapporto tra il cateto opposto l’angolo e l’ipotenusa;
•
il coseno di un angolo è pari al rapporto tra il cateto adiacente l’angolo e
l’ipotenusa;
•
la tangente di un angolo è pari al rapporto tra il cateto opposto l’angolo e il
cateto adiacente;
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Risolvere un triangolo rettangolo vuol dire determinare tutti i lati e tutti gli
angoli di un triangolo rettangolo, a partire da alcuni elementi dati.
Quali elementi debbo conoscere per avere un solo triangolo?
I. Sono dati due lati
Con il teorema di Pitagora posso calcolare il terzo lato.
E posso costruire un solo triangolo che ha tre dati lati.
II. Sono dati un lato e un angolo acuto
Un angolo è retto, perciò posso calcolare l’altro angolo acuto. E posso
costruire un solo triangolo di cui conosco un lato e due angoli adiacenti.
Invece, se conosco solo un angolo acuto posso costruire tanti triangoli
rettangoli tutti simili.
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Triangoli qualsiasi risolti come triangoli rettangoli
Si e visto in precedenza come sfruttando le relazioni (**) sia possibile risolvere
triangoli rettangoli. È spesso possibile risolvere anche triangoli qualsiasi
utilizzando le stesse relazioni.
Se consideriamo ad esempio un triangolo ABC di cui ipotizziamo di conoscere le
misure del lato AB e degli angoli CAB e ABC possiamo scomporre il triangolo in
due triangoli rettangoli CAH e CHB tracciando l’altezza CH relativa alla base AB.
Utilizzando le ormai note relazioni possiamo scrivere:
Superficie del triangolo rettangolo
La superficie di un triangolo è data dalla BASE b moltiplicata per l’ALTEZZA h
diviso 2.
1
S = b⋅h
2
1
S = AC ⋅ AB
2
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1
S = b⋅h
2
1
S = AB ⋅ CH
2
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Altezza di un lato del triangolo
Disegniamo il TRIANGOLO ABC, disegniamo il segmento AH che parte dal vertice
A e interseca, perpendicolarmente, il lato opposto BC:
Il segmento AH si dice ALTEZZA del triangolo relativa al lato BC. Il punto H si
chiama PIEDE dell'ALTEZZA. Mentre il lato BC è la BASE del triangolo.
Quindi possiamo dire che l'ALTEZZA di un triangolo rispetto ad un suo lato, che in
questo caso prende il nome di BASE, è la DISTANZA di questo LATO dal VERTICE
OPPOSTO.
Poiché il triangolo ha TRE LATI, ognuno di essi può essere considerato come BASE
del triangolo. Di conseguenza, per ogni triangolo, possiamo disegnare TRE
ALTEZZE, ognuna delle quali unisce perpendicolarmente un lato con il suo vertice
opposto:
Se tracciamo la perpendicolare al lato AB uscente dal vertice C, in segmento CH
viene chiamato altezza del lato AB.
Ogni lato ha la sua altezza che esce dal vertice opposto, le tre altezze si
incontrano in un punto chiamato: ortocentro.
L’altezza CH divide il triangolo generico in due triangoli rettangoli.
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Mediana di un lato del triangolo
Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC, disegniamo il PUNTO MEDIO del lato BC
e lo chiamiamo P. Congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato
opposto:
Quella che abbiamo disegnato prende il nome di MEDIANA e più esattamente
essa è la MEDIANA del triangolo ABC relativa al lato BC.
Possiamo allora dire che una MEDIANA di un triangolo è il SEGMENTO che UNISCE
un VERTICE al PUNTO MEDIO DEL LATO OPPOSTO.
Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, noi possiamo costruire tre mediane per
ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato
opposto. Tornando al nostro esempio avremo:
Notiamo che le tre mediane passano tutte per uno stesso punto detto
BARICENTRO che nell'immagine sopra abbiamo indicato con la lettera O.
Osserviamo che le MEDIANE disegnate sono tutte INTERNE al triangolo. Questa
regola vale qualunque sia il tipo di triangolo disegnato.
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Bisettrice di un lato del triangolo
Dallo studio degli ANGOLI abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE DI UN
ANGOLO la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide
l'angolo in DUE PARTI UGUALI e abbiamo anche visto come è possibile
disegnarla.
Ora disegniamo il triangolo ABC, disegniamo un segmento che partendo
dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo l'angolo A in due parti aventi
la stessa ampiezza:
Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome di BISETTRICE di VERTICE
A del triangolo.
Quindi possiamo dire che la BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE
è il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META'
l'angolo.
Ora disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al vertice B e la bisettrice
del triangolo relativa al vertice C:
Come possiamo osservare le TRE BISETTRICI si INCONTRANO in un punto detto
INCENTRO che nel nostro disegno abbiamo evidenziato con la lettera O:
Qualsiasi triangolo noi disegniamo l'INCENTRO è sempre INTERNO al triangolo
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Stabilire se un triangolo è rettangolo
Come si
può capire se un triangolo è rettangolo avendo la misura dei lati?
Esempio: si deve stabilire se:
•
•
il triangolo avente come lunghezze dei lati, tutte espresse in m, i numeri 24,00, 26,00, 10,00, è rettangolo o no.
il triangolo con i lati di 23,00 m, 35,00 m , e 16,00 m. è rettangolo o no.
Ci viene in soccorso il teorema di Pitagora.
Se la radice quadrata dei quadrati delle misure dei lati più piccolo (Cateti) coincide con la misura del lato più grande
(Ipotenusa) allora il triangolo è rettangolo.
Veniamo a noi. Abbiamo tre misure:
24,00 m.
26,00 m.
10,00 m
Dobbiamo capire quali sono le misure dei cateti e quale la misura dell'ipotenusa.
Il numero più grande è la misura dell'ipotenusa (26,00 m), i rimanenti numeri rappresentano invece le misure dei cateti
(24,00 m, 10,00 m):
A questo punto ti chiedi: "E' vero che" :
(24,00 2 + 10,00 2 ) = 26,00
m
Se la risposta a questa domanda è sì allora il triangolo è rettangolo, se la risposta è no allora non è un triangolo rettangolo
Facendo i conti:
(24,00 2 + 10,00 2 ) = 676 = 26,00
m
……..SI
è un triangolo rettangolo!
Vediamo la seconda tripla: 35,00 m è la misura dell'ipotenusa, 23,00 m e 16,00 m sono la misura dei cateti.
(23,00 2 + 16,00 2 ) = 785 = 28,01785 ≅ 28,02 ≠ 35,00
poiché non coincide con la misura del lato più grande, allora non abbiamo un triangolo rettangolo.
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A titolo di esempio risolviamo alcuni esercizi.
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QUESITO 01
SOLUZIONE 01
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SOLUZIONE 2
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ESERCIZI PROPOSTI
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ALTRI ESERCIZI PROPOSTI
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