Parte 2 Sistemi dinamici a tempo continuo - LAR
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Parte 2, 1 Parte 2 Aggiornamento: Settembre 2010 Controlli Automatici T Sistemi Dinamici a Tempo Continuo Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 2 Sistema dinamico Modello Matematico di un oggetto fisico che interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo t Variabili di uscita Variabili di ingresso Sistema Dinamico Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento Variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse Rapporto causa-effetto tra le variabili Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 3 Normalmente il valore dell’ingresso (causa) ad un certo istante temporale non e’ sufficiente per determinare il valore assunto dall’uscita (effetto) allo stesso istante Variabili di stato: variabili che descrivono la “situazione interna” del sistema (determinata dalla storia passata) necessarie per determinare l’uscita Ingressi stato uscita Descritti dal modello matematico Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 4 Esempi Circuito RC Ingresso: tensione del generatore Uscita: Tensione della resistenza Stato: Tensione del condensatore Prof. L. Marconi Sistema meccanico ai morsetti Ingresso: forza motrice ai capi ai capi Uscita: posizione del carrello Stato: posizione e velocita’ del carrello Controlli Automatici T Parte 2, 5 Modello Matematico: rappresentazione di stato • Dipendenza dell’uscita dall’ingresso e dallo stato: Vettore uscita Vettore stato Vettore ingresso • Evoluzione dello stato in funzione dell’ingresso e dello stato: Equazione di stato Derivata dello stato all’instante t Dato (valore dello stato all’istante iniziale) e dato , sotto certe proprietà di regolarità di , allora l’equazione di stato definisce l’andamento di Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 6 …… Modello Matematico: rappresentazione di stato n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 7 Esempio Circuito RC Dalla legge delle tensioni e sapendo che si ottiene Avendo posto Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Esempio sistema meccanico Parte 2, 8 Dalla legge di Newton si ha che Quindi definendo Si ottiene il modello matematico dove Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 9 Classificazione sistemi dinamici • Un sistema dinamico si dice “SISO” (Single Input-Single Output) se r=m=1 “MIMO” (Multi Input-Multi Output) altrimenti • Un sistema dinamico si dice “strettamente proprio” o “puramente dinamico” nel caso N.B. L’uscita dipende dall’ingresso solo attraverso lo stato “proprio” in caso contrario • Un sistema dinamico si dice “Stazionario” se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo, ovvero “Tempo variante” in caso contrario Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 10 ….. Classificazione sistemi dinamici • Un sistema dinamico si dice “lineare” se le funzioni f e h dipendono linearmente dalle variabili di stato e di ingresso, ovvero dove “non lineare” in caso contrario Nota: Se il sistema e’ lineare e stazionario allora Se il sistema e’ strettamente proprio, Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 11 Principi di modellistica Problema: Determinare un modello matematico che approssimi il comportamento di un sistema dinamico Diversi approcci al problema (da seguire a seconda della complessità del problema, del livello di dettaglio richiesto al modello, ecc.): • Indagine diretta: Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari il cui modello matematico e’ facilmente identificabile e il modello complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi semplici in cui, sotto certe ipotesi, l’introspezione fisica del sistema permette la modellazione. • Black box: il sistema si considera come una “scatola nera” di cui occorre identificarne il comportamento mediante l’analisi dei segnali di ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema e’ cosi’ complessa da non permettere una introspezione • Gray box: Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante introspezione fisica e altri mediante l’analisi ingresso/uscita Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 12 Derivazione del modello mediante indagine diretta L’analisi energetica del sistema risulta uno strumento utile per la derivazione del modello matematico Incremento/decremento infinitesimale di energia interna Potenza istantanea La potenza (istantanea) fornita al sistema può: • essere dissipata nel sistema • variare il livello di energia accumulata nel sistema • essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico Prof. L. Marconi Controlli Automatici T ….. Derivazione del modello mediante indagine diretta Parte 2, 13 • Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche) • In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell’energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico • In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell’energia in quel dominio Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 14 Considerazioni energetiche Definizione delle variabili energetiche nei diversi domini fisici Dominio Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico Termico Prof. L. Marconi Potenza Variabili Energetiche tensione ai capi di un conduttore corrente attraverso un conduttore velocità traslazionale di un corpo forza applicata ad un corpo velocità rotazionale di un corpo coppia applicata ad un corpo pressione ai capi di una condotta portata di una condotta flusso di calore Controlli Automatici T Parte 2, 15 …..Considerazioni energetiche Dominio Elettrico Tensione ai capi di conduttore (il quadrato e’ proporzionale alla energia elettrica accumulata) (accumulo capacitivo) capacità Corrente attraverso un conduttore (il quadrato e’ proporzionale alla energia magnetica accumulata) (accumulo induttivo) induttanza Parametro di dissipazione: Resistenza elettrica Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 16 …..Considerazioni energetiche Dominio Meccanico Velocità (translazionale-rotazionale) di un corpo (il quadrato e’ proporzionale alla energia cinetica accumulata) (accumulo capacitivo) massa momento di inerzia Forza-Coppia applicata ad un corpo (il quadrato e’ proporzionale alla energia potenziale accumulata) (accumulo induttivo) Rigidità longitudinale Rigidità torsionale Parametro di dissipazione: Coeff. attrito viscoso Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 17 …..Considerazioni energetiche Dominio fluidico (Idraulico-Pneumatico) Differenza di pressione ai capi di una condotta (il quadrato e’ proporzionale alla energia cinetica accumulata) (accumulo capacitivo) Capacità fluidica Portata di una condotta (il quadrato e’ proporzionale alla energia potenziale accumulata) (accumulo induttivo) Induttanza fluidica Parametro di dissipazione: Resistenza fluidica Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 18 …..Considerazioni energetiche Dominio Termico Differenza di temperatura ai capi di un mezzo (accumulo capacitivo) Capacità termica Parametro di dissipazione: Resistenza termica Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 19 Tabella riassuntiva Dominio Accumulo capacitivo Accumulo induttivo Dissipazione Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico Termico L’energia accumulata dipende da: Prof. L. Marconi assente variabili ai morsetti Variabili passanti Controlli Automatici T Parte 2, 20 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – scelta variabili di stato La potenza (istantanea) fornita al sistema può: • essere dissipata nel sistema • variare il livello di energia accumulata nel sistema secondo le due modalità viste • essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche) Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 21 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – calcolo equazioni differenziali 1) Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi) Sistema elementare Elementi di accumulo dell’energia Problema: ricavare il modello di un sistema elementare (vedi dopo) Prof. L. Marconi Controlli Automatici T ….calcolo equazioni differenziali Parte 2, 22 2) Composizione dei modelli matematici elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell’energia) per derivare il modello complessivo: Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensioni e per le correnti Sistemi meccanici: Bilanciamento di Forze/Coppie Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli La complessità dinamica di un sistema (numero di variabili di stato) è legata al numero di elementi di accumulo presenti Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 23 Calcolo equazioni differenziali: Derivazione modelli elementari Definendo un generico parametro di accumulo (capacitivo o induttivo) e con due generiche variabili energetiche del medesimo dominio energetico si ha che Energia accumulata all’istante Potenza fornita all’istante Dalla relazione si ottiene ovvero da cui Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 24 ….. Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – calcolo equazioni differenziali La relazione rappresenta il modello generalizzato del meccanismo di accumulo di energia per un accumulatore elementare non dissipativo Considerazioni: • equazione differenziale che lega le variabili energetiche • relazione generale indipendente dal dominio energetico Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 25 Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Condensatore Ipotesi: assenza di resistenza e induttanza Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 26 ….. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Massa/inerzia Ipotesi: assenza di attrito ed elasticità Variabili energetiche: forza/coppia Velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 27 ….. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Condotta Idraulica Ipotesi: assenza di attrito ed inerzia nulla del fluido Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 28 ….. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parete Ipotesi: assenza di dissipazione variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 29 Accumulatori capacitivi: tabella riassuntiva Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 30 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Induttore Ipotesi: assenza di resistenza e capacità Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 31 ……Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Molla lineare/torsionale Ipotesi: assenza di massa e attrito Variabili energetiche: forza/coppia velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 32 ……Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Condotta idraulica Ipotesi: assenza di attrito e capacità Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 33 Accumulatori induttivi: tabella riassuntiva Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 34 Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Ammortizzatore Ipotesi: massa nulla, corpi rigidi Variabili energetiche: forza velocità Modello matematico: Potenza istantanea dissipata: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 35 ….Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Resistore Ipotesi: capacità e induttanze nulle Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 36 ….Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Condotta idraulica Ipotesi: condotta piena e inerzia del fluido nulla Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 37 ….Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parete Ipotesi: assenza di accumulo di calore interno variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Potenza istantanea dissipata: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 38 Dissipatori di potenza: tabella riassuntiva Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 39 Alcune considerazioni – analogie tra modelli di sistemi fisici diversi e modelli di sistemi elettrici • utilizzate per trasferire esperienze tra settori disciplinari • per studiare e simulare sistemi qualunque mediante circuiti elettrici – molto usato nel passato – oggi sostituito da simulazione numerica – allo stesso sistema fisico sono associabili diversi modelli matematici • importanza delle specifiche e degli obiettivi di modellazione – equazioni algebriche • modelli statici – equazioni differenziali • modelli dinamici Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Costruzione di modelli per sistemi complessi Parte 2, 40 – sistemi elettrici • leggi di Kirchoff in corrente (ai nodi) • leggi di Kirchoff in tensione (alle maglie) – sistemi meccanici • diagramma di corpo libero – si tengono solo le masse – gli elementi di collegamento sono sostituiti dalle relative azioni – un modo per risolvere problemi complessi è quello che sfrutta le analogie tra domini fisici • si riporta per analogia il sistema in esame ad uno equivalente nel dominio nel quale l'analisi risulta più semplice o più vicina alla cultura del progettista – es. dominio elettrico per gli ingegneri della informazione Prof. L. Marconi Controlli Automatici T ….. Costruzione di modelli per sistemi complessi Parte 2, 41 – la complessità dinamica di un sistema è legata al numero di elementi di accumulo presenti • la complessità dinamica si traduce nell'ordine di derivazione massimo della variabile di uscita – Attenzione • due elementi di accumulo dello stesso tipo (capacitivo o induttivo) non separati da elemento dissipativi o di accumulo di tipo diverso vanno considerati come un unico elemento di accumulo – due condensatori in parallelo fanno un unico condensatore di capacità somma delle due – due masse collegate direttamente in modo rigido sono da considerarsi equivalenti ad una sola massa di valore pari alla somma delle due Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 42 Esempi di modellistica di sistemi complessi Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 43 Esempio VTOL Momento d’inerzia rispetto al centro di gravita’ Massa dell’aereo Lunghezza ali Dalla legge di Newton per le forze: Dalla legge di Newton per i momenti: con Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 44 Esempio pendolo Massa del pendolo Momento d’inerzia rispetto al centro di rotazione Coefficiente attrito viscoso Dalla legge di Newton per i momenti: ovvero avendo posto Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 45 Modelli di sistemi elettromeccanici Derivabili mediante le leggi base dell’elettromagnetismo. Queste sono riconducibili a tre leggi fondamentali: 1. Una carica elettrica che fluisce entro un conduttore, ovvero una corrente, genera un campo magnetico proporzionale alla corrente stessa. raggio numero di spire permeabilità magnetica del materiale Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 46 ….modelli di sistemi elettromeccanici 2. Un campo magnetico esercita una forza su qualunque carica elettrica che si muove relativamente al campo magnetico stesso Forza entrante Forza entrante 3. Ogni volta che un conduttore e’ in moto relativo rispetto ad un campo magnetico si stabilisce una differenza di potenziale agli estremi del conduttore stesso Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 47 Esempio motore elettrico in cc (sistema elettro-meccanico) Inerzia albero motore Coeff. attrito viscoso Coppia generata Velocità angolare albero Forza contro elettromotrice Coppia di carico Dinamica meccanica Dinamica elettrica Armatura Accoppiamento elettromeccanico motore Accoppiamentom eccanoelettrico Prof. L. Marconi Controlli Automatici T …. Esempio motore elettrico in cc Parte 2, 48 Definendo ovvero Prof. L. Marconi con Controlli Automatici T Parte 2, 49 Esempio altoparlante magnetico N Bobina S Accoppiamento elettromeccanico cono Accoppiamentom eccanoelettrico N Accoppiamento EM: Cono: Accoppiamento ME: Bobina: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 50 ……Altoparlante magnetico con Definendo quindi Prof. L. Marconi si ottiene Controlli Automatici T Parte 2, 51 Movimento ed equilibrio Dato e e’ possibile determinare l’andamento dello stato (integrazione dell’equazione differenziale) e di conseguenza l’andamento dell’uscita e’ detta evoluzione (traiettoria) dello stato Per sistemi stazionari pilotati da ingressi costanti e’ di interesse calcolare le eventuali traiettorie dello stato e dell’uscita che risultano costanti tale che e e’ detto stato di equilibrio del sistema Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 52 Linearizzazione di un sistema non lineare Il comportamento dinamico di un sistema non lineare nell’intorno di un punto di equilibrio e’ ben descritto dal comportamento dinamico del sistema ottenuto calcolando l’approssimazione lineare nell’intorno del punto stesso Trascurabili se sono piccoli Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 53 Esempio: linearizzazione VTOL Punto di equilibrio Sistema linearizzato Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 54 Esempio: linearizzazione pendolo inverso Punto di equilibrio: con Sistema linearizzato: Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 2, 55 Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti Consideriamo un primo moto E un secondo moto Prof. L. Marconi dato da dato da Controlli Automatici T Parte 2, 56 ….. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti E’ allora immediato verificare che il moto corrispondente a e’ dato da (principio di sovrapposizione degli effetti) Come conseguenza di questo risultato si ha che il moto complessivo di un sistema dinamico può essere ottenuto sommando il movimento libero ( ) e quello forzato ( ) Prof. L. Marconi Controlli Automatici T ….. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti Parte 2, 57 Alcune considerazioni: • Il principio di sovrapposizione degli effetti e’ un fenomeno tipicamente lineare che viene a decadere nel momento in cui le dinamiche presentano non linearità • Essendo numeri arbitrari il principio di sovrapposizioni degli effetti evidenzia come per i sistemi lineari il comportamento ottenuto “per piccole perturbazioni” differisca da quello ottenuto “per grandi perturbazioni” solo per un fattore di scala. • Il contributo dello stato iniziale e dell’ingresso per sistemi lineari può essere studiato separatamente. Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
