problemi risolvibili mediante equazioni

a
a
a
a
510 Esercizi
T
Problemi
Esercizirisolti
Trovaredue numei sapendochela loro sommaè 72 e che unodl essl è 2 aaf"mo.
3
Le fasi per risolvereun problemacon i metodidell'algebrapossonocosì essereschematizzate.
1 Sceltadell'incognita
uno dei due numeri:
altri dati
X;
5
gx;
72.
secondonumero:
sommadei due numeri:
2 Modello algebrico
equazioneche traduceil problema: x +
2!6 :
3 Risofuzione
dell'equazione3x + 5x :2iO + , :
Zz,
|x
: n.
. 2 2: 4 s .
d ac u i : * ' : :
I numericercatisono 27 e 45.
2
Indovinello
Un ragazzodice a un amico:
a) pensa un numero; b) moltiplicatoper B;
c) aggiungi 18;
d) dividiper 3;
f) togli il numero pensato.
e) aggiungi 14;
Comunicapoi all'amicoche il risultatoè 20. Perché?
Traduciamoil problemain equazione:
a) x;
b) 3x;
c) 3x + 18;
d)
-/
3x+18
.
L'equazione:---E-- + 14 - x :20,
0 + 60 : 60.
da cui:
3
3":18,
'
3
diventa:
ey9{19 + r+;
', ' ,
3x+18
+ 1" 4 - x .
3
3x+18-t42-3x
:20,
che è un'rdentlfà.
Trovarequalenumero bisognaaggiungere
qtnaroreaetta
deltarrelzone
frazione-3 Per
--\ a! numeratoree al denominatore
4
16
10
-ottenere
tqutvarcnteai ,)
una frazione€^..:'-^I^-'q
.
1g,
I
Se indichiamocon x il numeroda aggiungere,
abbiamoche:
16
. 3+x
+ 5 4 + 1 8 x : 6 4 + 1 6 x+ 2 x : 1 0 = + x : 5 .
q
+
r
:
1
g
")
b^ ,)
3+x
4+x:j
10
^1 ,1..
1+ 7 x : 4 0 + 1 0 x= +3
+. 2
x:-19 * *:-à.
1q
:
7
A
'?
Equazionilineari 511 :
Trovareil numero che, diviso per a o diminuito di a, dia /o stesso risuttato.
Deveessere,cona#0:
x
=:x-a:+
a
. Sea *1
6
r'
+ ,:4.
X:e)(-a2 + (a-1)x:a2.
o Sea:1,l'equazioneèimpossrbl/e.
Qualenumeroocconesommare
ai dueterminidetlafrazion"I po, b I O)per ottenere
it doppiodi
b
essa?
Deveessere
x + -b. Inoltre:
a+x
= T2-a + a b + b x : 2 a b * 2 a s +
< (b-2a)x:ab,
6+x
Discusslone
r Seó t' 2a,I'equazione
è deferminata+ * =
Peròx deveesserediversoda -b. cioè
f#
"!^.
-b + ab t2ab- b2 + abI b2
<:Í:
o Se b : 2a oppureb : a, l'equazione,
e quindiil problema,è impossibite.
t\
O
Un padre ha 42 annie un suofigtio 16.Fra quantianni t'etàdetpadre saràtriptadi quettadet figtio?
Indichiamo
conx il numerodeglianniche devonotrascorrere
perchél'etàdel padrediventitripladi
quelladel figlio.ll numerocercatox deveessereintero e positivo.
questo,si osseruiche,fra x anni,I'etàdel padresarà42 + x e quelladel figlio 16 + x e,
Preme-sso
se l'età del padredovràesseretripladi quelladel figlio,sarà
4 1+ x : 3 ( 1 6 + x ) .
Ne segue:
42+x:48+3x,
ossia: x:-3,
Poichéla soluzionetrovataè negativa,nonè unasoluzionedel problemaproposto,che pertantoè
impossibile,owero: l'età del padre non potràmai diventaretriptadi queitadetfigiio.
Osservazioni
o Da questoesempiosi vedeche un problemapuò essereimpossibileanchequandoI'equazione
che lo traduceha soluzione.Questoawiene quandola soluzionedell'equazione
non si trova
nell'insieme
dei numeriassegnatidal problema.
r La soluzionedell'equazioneconsideratasi può interpretarecosì:
"/'età detpadre,tre anni la, era
tripla di quelladelfiglio,,.
Infatti,tre annifa il padreaveva39 annie il figlio 13, e si vedeappuntoche 3g è il triplodi 13.
:
: SIZ
Esercizi
rt
I
Trovare
la misura
deltabasee del|altezadi un rettangolo
sapendochelaloro somma
è, in m, 17,5
e chet'altezza
è i l aettaOase.
4
Si procedecome nel problemaprecedenteponendo: base : x
l l m o d e l l o a l g e b r i c o è d u n q,u*e] r: : 1 7 , 5 ,
4
dacui:
allezza:
x:10
con x > 0.
+x
9*:7.5.
4-'
"
La base el'altezzadel rettangolosono,rispettivamente,
10 m e 7,5 m.
6
O
Cabotarela misura dei catetidi un triangotorettangotosapendocheuno n ,
+
l'ipotenusaè m 52.
Indicandocon x la misura,in metri,di un cateto,quelladell'altrocatetoè
+x
dell,altro,e che
e, per il teoremadi
PlrRGoRR,
si ha l'equazione:
: s22, da cui: ,,
* * (*r\
'
" * ??, ì : 2704.
144
\12 /
Moltiplicandoambo i membridi questaequazioneper 144,si ottiene:
144x2+25x2 :gBggZO, ossia: 169x2:3g9976,
da cui: ,, :
ttì'#U
=2304.
Estraendola radicequadrata,abbiamo:x : t/2304:4g.
Ne segueche la misuradi un catetoè m 48, e la misuradelt'attroe ^ ( +A
: n1zo.
$)
tz/
\