Teoria dei giochi Esercizi per casa (n.1)

Teoria dei giochi
Esercizi per casa (n.1)
2007/2008
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Le risposte vanno consegnate mercoledi 7 maggio.
1. Ciascuno di due giocatori ha due azioni possibili: confessare (C) o stare zitto (Z). Se
entrambi scelgono C (risp. Z), entrambi ricevono 1 $ (risp. 2); se il primo sceglie C ed
il secondo Z, il primo riceve 3$ ed il secondo 0$ (viceversa se il primo giocatore sceglie
Z ed il secondo C).
Supponete che i due giocatori non sono ’egoisti’: le preferenze del giocatore 1 sono date
da m1 (a) + m2 ( ); ove m1 (a) (m2 (a)) e’la somma di moneta ricevuta dal giocatore
1 (2) quando il pro…lo delle azioni dei due giocatori e’a (a e’quindi una delle quattro
possibili combinazioni C,C; Z,Z; C,Z, Z,C), ove > 0: Analogamente, le preferenze del
giocatore 2 sono m2 (a) + m1 ( ):
(a) Rappresentate la forma normale del gioco nel caso in cui = 1: Il gioco ha in
questo caso gli stessi equilibri del ’Dilemma del Prigioniero’?
(b) Trovate l’insieme dei valori di per cui il gioco descritto ha gli stessi equilibri del
”Dilemma del Prigioniero’. Per gli altri valori di descrivete gli equilibri di Nash
del gioco.
2. Esercizio n. 27.2 Osborne (2004) (p. 27).
3. Considerate un’asta di un singolo oggetto con due partecipanti. Le regole dell’asta
sono le seguenti: (i) i due partecipanti fanno simultaneamente la loro o¤erta (in busta
chiusa); (ii) ciascun’o¤erta deve essere un numero intero non-negativo (iii) l’oggetto
andra’ a chi ha fatto l’o¤erta piu’ elevata (in caso di o¤erte eguali l’oggetto verra’
diviso a meta’ tra i due partecipanti) e ciascun partecipante dovra’ pagare in ogni
caso l’ammontare della sua o¤erta [All Pay Auction]. Supponete che il partecipante
1 ha valutazione pari a 3 per l’oggetto e il partecipante 2 ha invece valutazione pari
a 2. Rappresentate questa situazione come un gioco in forma normale individuando
i payo¤ associati alle possibili strategie dei partecipanti. Trovate poi gli equilibri di
Nash dell’asta.
4. There are three possible positions fx; y; zg in the political spectrum and a three voters. For any pair x; y, each voter either prefers x to y or prefers y to x (no voter is
indi¤erent), the same for any other pair y; z and x; z. We say that a position x is a
Condorcet winner if for every other position (z or y) a majority of voters prefer x to y
and x to z.
(a) Give an example of preference pro…les for the three voters in which no Condorcet
winner exists. (Traccia: Suppose voter 1 prefers x to y to z. Construct preferences
for the other two voters such that one voter prefers x to y and the other prefers
y to x, one prefers x to z and the other prefers z to x, one prefers y to z and the
other prefers z to y. The preferences you construct must, of course, satisfy the
transitivity condition: a voter who prefers a to b and b to c also prefers a to c,
where a, b, and c are any positions.)
(b) Consider the strategic game in which two candidates simultaneously choose positions (i.e., one among the three possible positions), as in Hotelling’s model
(obiettivo di ogni candidato è quindi vincere le elezioni, ed un pareggio è meglio
di una scon…tta). If the candidates choose di¤erent positions, each voter endorses
the candidate whose position she prefers, and the candidate who receives the most
votes wins. If the candidates choose the same position, they tie. Show that this
game has a unique Nash equilibrium if the voters’preferences are such that there
is a Condorcet winner, and has no Nash equilibrium if the voters’preferences are
such that there is no Condorcet winner.
5. Considerate la seguente variante del modello di Hotelling che cattura alcune caratteristiche dell’elezione presidenziale americana. I votanti sono divisi in 2 distretti. Il
distretto 2 ha un numero di voti nel collegio elettorale (che elegge poi il presidente) pari
a 15 mentre il distretto 1 ne ha 12; vince il candidato che ottiene il maggior numero
di voti nel collegio elettorale. Le preferenze dei cittadini presenti in ciascun distretto
sull’insieme delle possibili ’posizioni’(l’intervallo [0; 1]) sono distribuite in modo tale
che la mediana nel distretto 2, m2 (la posizione cioe’tale che per meta’dei cittadini
la posizione preferita e’minore o eguale a m2 e per l’altra meta’e’maggiore di m2 ) e’
maggiore della mediana nel distretto 1, m1 . Ciascuno dei due candidati puo’scegliere
una sola posizione in [0; 1] - la stessa cioe’in entrambi i distretti. Ogni cittadino vota
poi (in modo non strategico) per il candidato la cui posizione e’la piu’vicina alla sua
posizione preferita. Il candidato che ottiene la maggioranza dei voti dai cittadini in un
distretto ottiene tutti i collegi elettorali di quel distretto. Se i due candidati ottengono
lo stesso numero di voti in un distretto, ciascuno ottiene la meta’dei collegi elettorali
del distretto.
Trovate l’equilibrio (equilibri ?) di Nash del gioco che modella la situazione sopra
descritta.
6. Trovate l’equilibrio (equilibri ?) di Nash di una variante del gioco del duopolio di
Cournot che di¤erisce dal caso considerato in classe (ove la domanda - inversa - di
mercato e’ P (Q) = 24 Q; i costi unitari sono costanti ed eguali C1 (q1 ) = 2q1 ;
C2 (q2 ) = 2q2 ) soltanto per il fatto che obiettivo dell’impresa 2 e’(anziche’massimizzare
il proprio pro…tto) massimizzare la propria quota di mercato, subordinatamente alla
condizione di non fare pro…tti negativi.
Quali sono poi gli equilibri di Nash se entrambe le imprese massimizzano la propria
quota di mercato (anziche’i pro…tti)?
7. Trovate tutti gli equilibri di Nash (in strategie pure e strategie miste) dei due giochi :
L
R
T 6; 0 0; 6
B 4; 2 6; 1
e
L
R
T 0; 1 1; 2
B 3; 1 0; 0
2