Vettori
Rappresentazione e operazioni elementari con i vettori.
Vettori: grandezze fisiche alle quali è associato oltre a un valore numerico,
anche una direzione e un verso.
Sono esempi di vettori lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la Forza
Fig.1
Consideriamo la cartina del NordItalia rappresentata a fianco:
immaginiamo di dire ad una
persona di uscire da Genova e di
percorrere 100 Km, senza precisare
direzione e verso: dopo un po’ di
tempo, possiamo ritrovare la
persona tanto a La Spezia, quanto
ad Alessandria o in mezzo al mare.
Vettore spostamento e distanza percorsa
Continuiamo con l’esempio precedente e immaginiamo una situazione come quella
illustrata in Fig.2: usciamo da Genova in direzione di La Spezia, da qui ci dirigiamo
verso Parma e successivamente raggiungiamo Milano.
Fig.2
Vettore spostamento - Indica di quanto la persona si è spostata: è il vettore che va
dal punto di partenza Genova al punto di arrivo Milano:
modulo = distanza Genova-Milano (145 Km) direzione e verso come in Fig.2
distanza percorsa = distanza Genova–La Spezia (102 Km) + distanza La SpeziaParma (120 Km) + distanza Parma-Milano (223 Km)= 445 Km
In particolare: se chiudo il percorso tornando da Milano a Genova (punto di partenza ≡ punto di
arrivo)
Modulo vettore spostamento = 0
distanza percorsa = (102 + 120 + 223 + 145) Km = 590 Km
Somma di vettori – Risultante – Rappresentazione grafica
Dall’esempio illustrato in Fig. 2 si può facilmente comprendere che i vettori si
sommano con regole ben definite, e, IN GENERALE NON SI SOMMANO I MODULI.
Vediamo di comprendere la regola con cui si sommano.
Dati due vettori come in Fig.3 a sinistra, seguendo il procedimento precedente per
sommare due vettori graficamente, è sufficiente traslare il secondo vettore in
modo che far coincidere il punto C, origine del secondo vettore con il punto B: a
questo punto, il vettore AD è il vettore risultante dei primi due
D
D
D
C
A
A
B
B=C
A
B=C
Del tutto equivalente è la rappresentazione con la cosiddetta “regola del
parallelogramma” (si dimostra facilmente che i due triangoli dalle due parti della
diagonale sono uguali)
D
D
C
A
R
R
B
A=C
B
A
D
B=C
r
R = R = Risultante di più vettori: si indica con una freccia sopra o in grassetto
Somma di vettori – Risultante – Valutazione analitica
Possiamo a questo punto chiederci come calcolare il valore numerico della Risultante.
Si vede dal metodo grafico che, matematicamente, si tratta di determinare un lato di
un triangolo conoscendo gli altri due lati. Questo problema ha una soluzione semplice
solo nel caso di un triangolo rettangolo: se i due vettori sono
perpendicolari fra loro Î la rappresentazione grafica mi dice
che i due vettori di partenza rappresentano i cateti del
triangolo rettangolo Î la risultante coincide con l’ipotenusa e
può essere determinata con il teorema di Pitagora.
In generale non è possibile utilizzare il teorema di Pitagora. Per risolvere questo
problema in modo semplice è opportuno introdurre la rappresentazione di un vettore
su un piano cartesiano e il concetto di componenti di un vettore, utilizzando la
trigonometria di base di un triangolo rettangolo, che è opportuno introdurre subito
sfruttando la calcolatrice per determinare senθ e cosθ.
Per determinare le
componenti di un
vettore, è necessario
conoscere l’angolo θ
che il vettore forma con
l’asse delle ascisse e la
trigonometria di base
del triangolo rettangolo.
cosθ e senθ possono
essere introdotti con il
triangolo rettangolo e
valutati utilizzando la
calcolatrice:
cateto1=ipotenusa
cos(angolo adiacente al
cateto1)
cateto1=ipotenusa
sen(angolo opposto al
cateto1)
FARE ESEMPI
Si può facilmente dimostrare che la somma di due vettori è un vettore che ha come
componenti la somma algebrica delle componenti.
