Nanoelettronica - Corso di laurea Ingegneria Elettrica ed Elettronica

Nanoelettronica
Nanoelettronica
Corso di laurea Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Claudio Melis
[email protected]
Dipartimento di Fisica
Università degli studi di Cagliari
30 maggio 2013
Nanoelettronica
Introduzione al corso
Introduzione al corso
Numero crediti (6):
Ingegneria: 60 ore
(12 ore di richiami di
meccanica quantistica)
Fisica: 48 ore
Lezioni
(6 ore la settimana):
mercoledi’ 18:00-20:00
giovedi’ 16:00-18:00
venerdi’ 11:00-13:00
Orario di ricevimento
(2 ore la settimana):
giovedi’ 10:00-12:00
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Introduzione al corso
Libro di testo
Quantum Nanoelectronics, E. L. Wolf
Nanoelettronica
Introduzione al corso
Programma del corso
Richiami di meccanica quantistica (12 ore, cap. 2-3 libro)
Nuovi elementi costitutivi dei nano-dispositivi elettronici (∼
12 ore, cap 5 libro)
Nano-dispositivi elettronici ad effetto tunnel (∼ 12 ore, cap 8
libro)
Transistor a singolo elettrone, elettronica molecolare e
ibrida(∼ 12 ore, cap. 9 libro)
Quantum computing: differenze tra bit e qbit (∼ 6 ore, cap.
11 libro)
Spintronica (∼ 6 ore, cap. 10 libro)
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Introduzione al corso
Nanoelettronica
Definizione: la parte dell’elettronica relativa alla
progettazione, costruzione e applicazione di circuiti
miniaturizzati
(http://www.wordreference.com/definizione/nanoelettronica).
QUESTA DEFINIZIONE NON E’ PRECISA!
MINIATURIZZATI= dimensioni dell’ordine dei 30-40 nm
Importanza della meccanica quantistica
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Introduzione alla meccanica quantistica
Fotoni
Pacchetto elementare di energia che costituisce la radiazione
elettromagnetica
Energia di un fotone E=hν con h costante di
Planck=6.6x10−34 J s (ricavata da Planck misurando lo
spettro di emissione di un corpo nero a temperatura T)
In termini di lunghezza d’onda E=hν= hc
λ (per calcolare E in
eV dato λ in nm ricordarsi che hc=1240 eV nm)
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Introduzione alla meccanica quantistica
Fotoni
Effetto fotoelettrico: la massima energia cinetica degli
elettroni emessi dalla superficie di un metallo investita da una
radiazione luminosa di lunghezza d’onda λ
K= hc
λ − φ con φ=funzione lavoro del metallo
IMPORTANTE!, il valore di h misurato in questo
esperimento lo stesso di quello ricavato da Planck
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Introduzione alla meccanica quantistica
Elettroni
Granularita’ della radiazione elettromagnetica–> Granularita’
della carica elettrica
Pacchetto elementare di carica elettrica -e con e = 1.6x 10−19
C.
Misurazione di e? Robert Millikan 1909(misura della caduta di
gocce d’olio cariche elettricamente sotto l’influenza del campo
gravitazionale e di un campo elettrico di verso opposto.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Atomo di bohr (1913)
La meccanica classica ed elettromagnetismo non sono capaci
di descrivere la dinamica di un atomo di idrogeno (1 protone
ed 1 elettrone)
Il principale problema che la radiazione elettr. emessa da una
atomo composta da righe di aventi lunghezza d’onda ben
definita. I modelli classici prevedono invece una distribuzione
continua di lunghezze d’onda emesse (simile al corpo nero)
Modello classico di atomo: elettrone orbitante attorno ad un
protone –> emissione continua di onde elettromagnetiche –>
collasso nel protone!!
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Introduzione alla meccanica quantistica
Atomo di bohr (1912)
Singolo elettrone orbitante attorno al nucleo di carica +Ze.
La forza attrattiva Coulombiana e’:
2
F = KZe
dove
r2
K = (4π0 )−1 = 9x 109 Nm2 C −2
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Introduzione alla meccanica quantistica
Atomo di bohr (1912)
la forza Coulombiana e’ bilanciata dalla forza centripeta
me v 2 /r dove me = 9.1x 10−31 Kg
2
2
2
KZe
Energia totale E= mv2 - KZe
r =- 2r , in un potenziale centrale
l’energia cinetica e’ sempre uguale a -0.5 volte l’energia
potenziale.
Questa relazione classica predice che l’elettrone venga attirato
verso il punto r=0 attraverso un moto a spirale rilasciando
energia elettromagnetica.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Atomo di bohr (1912)
Soluzione postulata da Bohr:
ASSUNZIONE: il momento angolare dell’ elettrone puo’
assumere solo valori discreti.
nh
L = me vr = 2π
= n~
L =momento angolare di un elettrone di massa me orbitante
attorno ad un nucleo di carica Ze in un orbita di raggio r con
velocita’ v
n=numero quantico arbitrario; n=1,2,...(le unita’ della
costante di Planck Js sono le stesse del momento angolare)
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Introduzione alla meccanica quantistica
Atomo di bohr (1912)
Energia relativa allo stato quantico ennesimo:
2
En = − KZe
2rn , con rn =
a0 =
~2
me ke 2
n 2 a0
Z
= 0.053nm
per cui l’energia di un elettrone orbitante nella ennesima
2
orbita En = −En02Z n = 1, 2...
2 4
E0 = me2~k 2e = 13.6eV
Se il momento angolare di un elettrone fosse ~, la velocita’ e’:
v = ~/me r
Il periodo di rotazione attorno all’orbita e’
τ = 2πr /v = (2π)2 me r 2 /h
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Introduzione alla meccanica quantistica
Righe di assorbimento e di emissione
Tramite il modello di bohr e’ possibile predirre facilmente la
frequenza delle righe di emissione/assorbimento di un atomo:
hν =
hc
λ
= E0 ( n12 −
1
1
)
n22
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Introduzione alla meccanica quantistica
Momento magnetico degli elettroni orbitanti
Il semplice modello di Bohr e’ sufficiente per capire come il
magnetismo di un atomo derivi dal moto dei suoi elettroni.
Un elettrone orbitante non e’ altro che una corrente circolante
in un anello che genera un momento magnetico:
~ con i = dq/dt e A
~ vettore normale alla superficie di
µ
~ = iA
area A chiusa dall’orbita
Tali momenti magnetici sono all’origine di tutti gli effetti
magnetici che avvengono nei metalli (ferro).
~ puo’ essere riscritta in funzione di L:
La formula µ = i A
e ~
µ=
L
2me
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Introduzione alla meccanica quantistica
Momento magnetico degli elettroni orbitanti
Considerando la componente z di L:Lz = m~ notiamo come il
moto elettronico orbitale porta a:
µz = (e~/2me )m, dove m e’ un intero detto numero quantico
magnetico.
Il magnetone di Bohr e’ definito come:
e~
µB = 2m
= 5.79x 10−5 eVT −1
e
L’energia di orientazione di un momento magnetico µ in un
~ e:
campo magnetico B
~
U = −µ · B
La differenza di energia tra due stati m=1 e m=-1 di un
momento orbitale di un elettrone in un campo magnetico e’:
∆E = 2µB
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Introduzione alla meccanica quantistica
Esperimento di Stern-Gerlach (1922): spin elettronico
~
Un momento magnetico µ
~ immerso in un campo magnetico B
si allinea al verso del campo. Dopodiche’ non ci sara’ nessuna
~
forza agente su µ
~ . Si avra’ invece una forza magnetica se B
varia spazialmente (c’e’ un gradiente del campo magnetico).
~ sia diretto lungo z e che dBz sia positivo.
Supponiamo che B
dz
z
Sara’ presente una forza Fz = µz dB
dz il cui effetto e’ quello di
separare un fascio di atomi aventi ciascuno un momento
magnetico a seconda della direzione del loro momento
magnetico (diversi valori del numero quantico m).
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Introduzione alla meccanica quantistica
Esperimento di Stern-Gerlach (1922): spin elettronico
Nell’esperimento di Stern-Gerlach un fascio di atomi di
idrogeno attraversava un campo magnetico spazialmente
variabile. Soprendentemente si osservo’ che il fascio veniva
separato in due sole componenti.
Classicamente ci si aspettava una distribuzione regolare sullo
schermo di un rivelatore dato che gli atomi possedevano una
orientazione casuale del momento magnetico.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Esperimento di Stern-Gerlach (1922): spin elettronico
Secondo il modello di Bohr ci si sarebbero aspettate 3
componenti del fascio corrsipondenti ai valori m=0 m=1
m=-1.
L’unico modo di spiegare l’esperimento fu quello di considerare
il momento angolare totale dell’atomo l=1/2.Questo effetto
venne considerato distinto dal momento angolare orbitale.
Il momento magnetico che deriva dallo spin elettronico fu
descritto come:
e~
ms
µz = g 2m
e
Il fattore g e detto il rapporto giromagnetico: g=2.002 dello
spin elettronico e ms = ±1/2
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Introduzione alla meccanica quantistica
Duplice natura onda/particella della luce e della
materia:formula di Dr Broglie
Una dimostrazione diretta della natura ondulatoria della luce
e’ il tracciato sinusoidale di interferenza di luce coerente
diffusa da due fenditure separate da una distanza d.
La posizione angolare θ dei massimi nel tracciato di
interferenza e’ data dalla legge:nλ = dsinθ
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Introduzione alla meccanica quantistica
Duplice natura onda/particella della luce e della
materia:formula di Dr Broglie
La prima predizione sulla natura ondulatoria della materia fu
fatta da De Broglie.Secondo De Broglie la lunghezza d’onda
della materia era: λ = ph , dove p=mv e’ il momento della
particella.
Per la luce p = E /c per cui λ =
h
p
=
hc
E
=
c
ν
Tale postulato di De Broglie fu confermato successivamente
dall’esperimento di Davisson e Germer che osservarono un
pattern di diffrazione per gli elettroni che corrispondeva ad
una lunghezza d’onda λ = ph .
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Introduzione alla meccanica quantistica
Funzione d’onda ψ, densita’ di probabilita’ ψψ ∗ , onde
progressive e stazionarie.
E’ possibile descrivere il comportamento di una particella
attraverso una funzione d’onda complessa:ψ(r , t).
La probabilita’ di trovare la particella e’ data da
ψ(r , t)∗ ψ(r , t)=P(r,t)
Numero complesso x + iy denota un punto nel piano xy.
i rappresenta un versore orientato lungo y:i 2 = −1
il complesso coniugato di un numero complesso x+iy e’ x-iy
il valore assoluto di un numero complesso e’ la distanza r
dall’origine del punto x,y:
r = (x 2 + y 2 )1/2 = [(x + iy )(x − iy )]1/2
Una rappresentazione alternativa di un numero complesso e’:
r exp(iφ)=r(cosφ + sinφ), dove φ = tan−1 (y /x )
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Introduzione alla meccanica quantistica
Funzione d’onda ψ, densita’ di probabilita’ ψψ ∗ , onde
progressive e stazionarie.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Funzione d’onda ψ, densita’ di probabilita’ ψψ ∗ , onde
progressive e stazionarie.
La funzione d’onda ψ deve essere scelta in modo che P sia
normalizzata:
RRR
P(x , y , z)dxdydz = 1
Allo stesso modo si puo’ definire una funzione d’onda a n
particelle:ψ(r1 , r2 ...., r2 , t) con probabilita’ P(r1 , r2 ..., rn , t)
La funzione d’onda per un fascio di particelle aventi identico
momento p in una dimensione e’ rappresentata da un onda
progressiva:
ψ(x , t) = L−1/2 exp(ikx − iωt) =
L−1/2 [cos(kx − ωt) + isincos(kx − ωt)],
dove k = 2π
λ e ω = 2πν
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Introduzione alla meccanica quantistica
Funzione d’onda ψ, densita’ di probabilita’ ψψ ∗ , onde
progressive e stazionarie.
Considerando la relazione di DeBroglie:p= λh = ~k e
ω = 2πν = E~
Un punto di fase fissata (es. picco) si muove secondo
l’equazione x = (ω/k)t, per cui (ω/k)t e’ detta la velocita’ di
fase.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Il principio di indeterminazione di Heisenberg e’ una
conseguenza della descrizione ondulatoria della posizione di
una particella.
L’assunzione e’ che la posizione x ed il momento p di una
particella possano essere conosciuti simultaneamente con un
livello minimo di incertezza:
∆x e ∆p, ∆x ∆p ≥ ~2
La particella libera con momento definito p = ~k, descritta da
ψ(x , t) = L−1/2 exp(ikx − iωt) rappresenta un caso in cui
∆x = ∞ e ∆p = 0
Per costruire una funzione d’onda che descriva una particella
localizzata bisogna sommare onde aventi una distribuzione di
keω
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Introduzione alla meccanica quantistica
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Un esempio di questa combinazione lineare e’:
ψ = A[cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x − ω2 t)]=
2Acos( 12 ∆kx − 12 ∆ωt]cos(kav x − ωav t)
dove ∆k = k2 − k1 ,∆ω = ω2 − ω1 ,kav = (k1 + k2 )/2,ωav =
(ω1 + ω2 )/2
Assumendo che k1 e k2 abbiano valori simili abbiamo che:
∆k < kav e ∆ω < ωav per cui il fattore cos( 12 ∆kx − 12 ∆ωt)
agira’ come una funzione inviluppo avente maggiore lunghezza
d’onda e minore frequenza che modula la funzione d’onda
originale.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Fissando t, lo spazio tra due nodi adiacenti di cos(∆kx /2) e’:
2π
∆x = ∆k
Questa grandezza puo’ essere considerata come la lunghezza
di localizzazione della particella rappresentata dalla
sovrapposizione di due onde.
La relazione equivalente ∆k∆x = 2π e’ una forma di principio
di indeterminazione che deriva dalle proprieta’ delle onde.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Equazione di Schröedinger
L’equazione parte dalla ψ(x , t) e descrive la posizione di una
particella in una data condizione fisica.
L’origine di questa equazione puo’ sembrare misteriosa ma in
realta’ si basa sulla relazione onda/particella di DeBroglie.
Una appropriata equazione deve avere come soluzione per una
particella libera un onda progressiva del tipo
ψ(x , t) = L−1/2 exp(ikx − iωt) che consenta di spiegare
l’esperimento di Davisson e Germer.
Una ulteriore guida per arrivare alla equazione di Schröedinger
furone le equazioni d’onda di Maxwell per le onde
elettromagnetiche.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Equazione di Schröedinger dipendente dal tempo
L’equazione di Schröedinger unidimensionale considerando un
potenziale dipendente dal tempo U(x , t) e’:
,t)
−~2 ∂ 2 ψ(x ,t)
= Hψ
+ U(x , t)ψ(x , t) = i~∂ψ(x
2m
∂t
∂x 2
L’operatore hamiltoniano H (somma della energia cinetica e
della energia potenziale rappresenta la derivata parziale della
funzione d’onda rispetto al tempo.
Questa informazione sara’ utilizzata quando studieremo i
computer quantistici nei quali la funzione d’onda rappresenta
un array che viene modificato dall’operatore H.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Equazione di Schröedinger indipendente dal tempo
Nei casi frequenti in cui il potenziale U e’ indipendente dal
tempo la funzione d’onda si puo’ scrivere come:
ψ(x , t) = ψ(x )χ(t)
sostituendo questa equazione nella equazione di Schröedinger
dipendente dal tempo abbiamo:
χ(t) = exp(−iEt/~)
l’equazione equazione di Schröedinger indipendente dal tempo
sara’:2
−~2 d ψ(x )
2m dx 2 + U(x )ψ(x , t)=Eψ(x , t)
le soluzioni sono gli autovettori ψ(x , t) e gli autovalori E.
Le soluzioni devono soddisfare l’equazione + le condizioni al
contorno oltre ad alcune condizioni fisiche.
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Equazione di Schröedinger indipendente dal tempo
La prima condizione e’ che ψ(x ) sia continua ed abbia derivate
continue (a parte il caso in cui U e’ infinito per cui ψ e’ zero)
La seconda condizione e’ che l’integrale di ψ(x )ψ(x )∗ eseguito
su tutto il range di x sia finito. In questo modo e’ possibile
trovare un fattore di normalizzazione.
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Particella intrappolata in una dimensione
Il problema piu’ semplice da risolvere e’ quello di una
particella intrappolata in una dimensione. Supponiamo che
U=0 (0<x>L);U = ∞ in tutte le altre parti dove ψ(x ) = 0
nella regione(0<x>L) l’equazione di Schröedinger
indipendente dal tempo e’:
d 2 ψ(x )
+ 2mE
ψ(x ) = 0
dx 2
~2
Questa equazione dell’equazione di un oscillatore armonico,
possiamo percio’ adattare la soluzione:
F=ma, con F=-Kx corrisponde alla equazione
d 2x
+ (K /m)x = 0 con soluzione x = sin[(K /m)1/2 t]
dt 2
Nel nostro caso scriviamo ψ(x ) = Asin(kx ) + Bcos(kx ) dove:
k = [ 2mE
]1/2 = 2π
λ
~2
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Introduzione alla meccanica quantistica
Particella intrappolata in una dimensione
Il valore del potenziale impone che a x=0 e x=L ψ(x ) = 0 cio’
significa che B=0
Inoltre: ψ(L) = 0 = Asin(KL) implica che kL = nπ n=1,2,3...
2
n2 h2
En = ~2 (nπ/L)
= 8mL
2 n = 1, 2...
2m
Le energie permesse crescono come il quadrato di n e che le
energie crescono quadraticamente quando L decresce.
La costante di normalizzazione A si calcola imponendo la
normalizzazione
della probabilita’:
RL
nπx
2
A 0 sin( L )dx = 1
che implica che A = (2/L)1/2
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Introduzione alla meccanica quantistica
Valori di aspettazione
La P(x) puo’ essere utilizzata per ottenere i valori di
aspettazione.Assumiamo che la funzione d’onda sia
normalizzata e che l’integrazione sia eseguita su tutti i valori
permessi: R
< f (x ) >= ψ ∗ f (x )ψdx
Per esempio, nel caso della particella intrappolata in una
dimensione,
R
< xn2 >= (2/L) 0L x 2 sin2 (nπx /L)dx = (L2 /3)(1 − n23π2 ) Per n
che tende ad infinito si approccia il valore classico (L2 /3)
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Introduzione alla meccanica quantistica
Valori di aspettazione
Il valore di aspettazione
della coordinata x tra gli stati m e n
R
e’: < xm,n >= L2 0L xsin( mπx
L
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Sitema: una particella che si muove verso un gradino di
potenziale finito U0 a x=0 e’ un esempio paradigmatico per
spiegare gli effetti di riflessione e tunnel.
Supponiamo che U = 0 per x<0 e U = U0 per x ≥ 0
Possiamo distinguere due casi:
Caso 1: E>U0 , la particella incidente e’ parzialmente
trasmessa e parzialmente riflessa. Per x negativo:
)1/2
ψ(x ) = A · exp(ikx ) + B · exp(−ikx ), dove k = ( 2mE
~2
Per x positivo:
ψ(x ) = C · exp(ik 0 x ) + D · exp(−ik 0 x ), dove
k 0 = ( 2m(E~2−U0 ) )1/2
A,B,C,D sono numeri complessi arbitrari. I vincoli fisici sono
essenziali per risolvere il problema.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Prima considerazione: D=0 dato che non ci sono particelle
incidenti da destra
Seconda considerazione: in x=0 la continuita’ della ψ(x )
implica che A+B=C
Terza considerazione: in x=0 le derivate a sinistra devono
essere uguali a quelle di destra:
dψ(x )/dx = A · ik · exp(ikx ) − B · ik · exp(−ikx ) =
C · ik 0 · exp(ik 0 x ), percio’
A+B=C e k’C=K(A-B)
queste equazioni si possono scrivere come:
2k
k−k 0
B = k+k
0 A e C = k+k 0 A
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Le probabilita’ di riflessione e trasmissione R e T sono:
2
0
k 0 |C |2
4kk 0 2
2
R = |B|
= ( k−k
k+k 0 ) T = k|A|2 = ( k+k 0 )
|A|2
e’ facile notare che R+T=1
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Caso 2 E<0
L’unica variazione in questo caso e’ che E − U0 e’ negativo
rendendo k’ un numero immaginario.
Per questo motivo scriviamo k 0 = iκ dove
1/2 e’ un numero reale.
κ = [2m U0~−E
2 ]
La soluzione per x positive e’:
ψ(x ) = C · exp(−κx ) + D · exp(κx ), dove κ = [2m U0−E
]1/2
~2
In questo caso D=0 per evitare che la f.o. assuma valoro
estremamente elevati per x grandi.
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Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Le equazioni:
A+B=C e k’C=K(A-B)
2k
k−k 0
B = k+k
0 A e C = k+k 0 A
e
2
k 0 |C |2
k−k 0 2
4kk 0 2
=
(
= ( k+k
R = |B|
)
T
=
0
0)
2
k+k
|A|
k|A|2
rimangono valide ponendo k’=iκ
In questo caso R=1 poiche’ nella equazione:
2
2
R = |B|
= ( k−iκ
k+iκ ) il numeratore ed il denominatore sono il
|A|2
complesso coniugato dell’altro per cui hanno lo stesso valore
assoluto.
La soluzione per x positivo e’ un esponenziale decrescente ed
non e’ automaticamente zero nella regione e non e’
automaticamente zero nella regione con energia negativa.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
E’ possibile ricavare |C 2 | considerando k’=iκ nella equazione:
2k
C = k+k
0 A per cui:
2
4E
4k
2
2
2 4E
|C |2 = k+κ
2 |A| = |A| E +(U −E ) = |A| U dove
0
0
E = ~2 k 2 /2m < U0
Notiamo che |C |2 = 0 per un potenziale infinito (particella
intrappolata)
Percio’ la probabilita’ di trovare una particella nella regione
proibita per x>0 e’: R
E
P(x > 0) = |2A|2 UE0 0∞ exp(−2κx )dx =2|A|2 κU
0
dove A e’ l’ampiezza dell’onda incidente e E<U0
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Introduzione alla meccanica quantistica
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Questo e’ un esempio di effetto tunnel, ossia il fatto che una
particella possa essere trovata dove la sua energia classica e’
negativa.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Particella intrappolata in 2 e 3 dimensioni:quantum dot
La generalizzazione dell’equazione di Schröedinger a tre dimensioni
e’:
−~2 2
r ) + U(~r )ψ(~r )=Eψ(~r )
2m ∇ ψ(~
∂2
∂2
∂2
2
dove ∇ = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2
Non e’ difficile dimostrare che le soluzioni per una particella
intrappolata in una buca tridimensionale avente volume L3 e’:
n πy
ψn (x , y , z) = ( L2 )3/2 sin( nxLπx )sin( yL )sin( nzLπz ) dove nx , ny , nz
sono numeri interi positivi.
2
h
2
2
2
En = 8mL
2 (nx + ny + nz ) Questo risultato puo’ essere facilmente
adattato ad una buca bidimensionale o a buche con dimensioni
differenti Lx Ly Lz
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Introduzione alla meccanica quantistica
Particella intrappolata in 2 e 3 dimensioni:quantum dot
Se modifichiamo leggermente l’equazione precedente permettendo
ad uno dei termini energetici di rappresentare una particella libera:
~kx2
h2
2
2
En = 8md
2 (ny + nz ) + 2m abbiamo un filo quantico ossia una
particella vincolata in due dimensioni e libera di muoversi nella
terza direzione.
La corrispondente funzione d’onda e’:
n πy
ψnn (x , y , z) = ( d2 )sin( yd )sin( nzdπz )exp(ikx x )
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Oscillatore armonico semplice
L’oscillatore armonico semplice e’ costituito da una massa
attaccata ad una molla o il moto relativo dei due nuclei in una
molecola diatomica. In questi casi la massa e’ m la costante
elastica della molla e’ K e la frequenza di vibrazione (rad/s) e’
ω = (K /m)1/2 .
2
Nell’equazione di Schröedinger il potenziale sara’ :U(x ) = Kx2 Le
soluzioni di questa equazione sono molto complicate:
2
ψn = An exp( −mωx
2~ )Hn (x ) dove Hn (x ) sono funzioni polinomiali
ben note
En =(n+1/2)~ωn = 0, 1, 2..
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Introduzione alla meccanica quantistica
Oscillatore armonico semplice
Queste funzioni d’onda corrispondono ad una distribuzione di
probabilita’ oscillatoria: Pn (x ) = ψn∗ ψn avente n+1 picchi il
1/2
maggiore in corrispondenza di x = ±( 2E
k )
Per n grande Pn (x ) tende la distribuzione di probabilita’ classica
dx
√
P(x )dx = dx
v =
2 2
(2/m)(E −mω x /2)
dove v e’ la velocita’ classica. Quando v va a zero nei punti di
inversione del moto P(x) diventa grande.
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Introduzione alla meccanica quantistica
Oscillatore armonico semplice
En =(n+1/2)~ωn = 0, 1, 2..
Una caratteristica importante dell’oscillatore armonico e’ che per
n=0 c’e’ un energia ~ω/2 detta energia di punto zero. Cio’ vuol
dire che la massa oscillante per n=0 non si trova solamente nel
punto x=0
Per n=0 la posizione di tale massa fluttua secondo una funzione
gaussiana exp(−mωx 2 /2~) in accordo con il principio di
indeterminazione di Hiesenberg ∆x e ∆p, ∆x ∆p ≥ ~2 . in questo
caso ∆x =(~/2mω)1/2 ∆p = (~mω/2)1/2
Nanoelettronica
Introduzione alla meccanica quantistica
Oscillatore armonico semplice
Un esempio di oscillatore armonico e’ quello di una carica che
oscilla che rappresenta una sorgente di radiazione elettromagnetica
(antenna a dipolo).Possiamo pensare ad una carica q che oscilla
lungo un cavo di rame.
Una quantita’ rilevante in questo caso e’ il dipolo elettrico
< Pm,n >= q < Xm,n >.
Nanoelettronica
Introduzione alla meccanica quantistica
Fermioni, Bosoni e regole di occupazione
L’equazione di Schröedinger ci dice che per i sistemi fisici soggetti
ad un potenziale U ci sono stati di energia quantizzati che possono
essere occupati dalle particelle.
In base a questo principio possiamo dividere le particelle in due
categorie:
Fermioni: ogni fermione puo’ occupare un determinato stato
quantico (es. atomo di idrogeno descritto dai numeri quantici
n, l, ml , ms ) Questa regola non e’ altro che il principio di
essclusione di Pauli. In un sistema con molti stati e molti fermioni
l’occupazione parte dagli stati piu’ bassi fino a che non si arriva al
livello piu’ alto detta energia di Fermi.
Bosoni: possono occupare tutti uno stesso stato quantico. Una
condensazione di fotoni di questo tipo e’ cio’ che succede in un
laser.
Nanoelettronica
Introduzione alla meccanica quantistica
Fermioni, Bosoni e regole di occupazione
Se un sistema fisico si trova all’equilibrio termico a temperatura T
e’ possibile calcolare la probabilita’ di occupazione media degli
stati elettronici. Nel caso dei fermione la funzione di occupazione
e’ la distribuzione di Fermi-Dirac:
ffd = exp(E −Ef1/KB T )+1
Per E grande ffd tende a exp[−(E − Ef /KB T )]. Per i sistemi
classici Ef = 0 per cui la distribuzione tende a quella di
Maxwell-Boltzmann exp(−E /KB T )
Per i bosoni (es . fotoni) si utilizza la distribuzione di
1
Bose-Einstein: fBE = exp( hc
)−1
λKb T
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Equazione di Schröedinger in coordinate polari sferiche
In un atomo l’energia potenziale U dipende solo dal raggio r. Per
questo motivo possiamo studiare il sistema in coordinate polari
sferiche.
Consideriamo x = rsin(θ)cos(φ), y = rsin(θ)sin(φ), z = rcos(θ)
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Equazione di Schröedinger in coordinate polari sferiche
L’equazione di Schröedinger sara’:
∂ψ
∂2ψ
1
−~2 1 ∂ r 2 ∂ψ
~2
∂
1
2m r 2 ∂r ( ∂r )− 2mr 2 [ sin(θ) ∂θ (sin(θ) ∂θ )+ sin2 (θ) ∂φ2 ]+U(r )ψ = E ψ
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
Equazione di Schröedinger applicata all’atomo di idrogeno o in
generale ad una atomo idrogenoide (avente una carica nucleare
Z).Il potenziale e’ del tipo U = −kZe 2 /r .
Come conseguenza della simmetria sferica e’ possibile separare
l’equazione in 3 diverse equazioni a singola variabile r , θ e φ. La
funzione d’onda sara’:ψ = R(r )f (θ)g(φ). Le soluzione sono
descritte dagli stati quantici ψn,l,m specificati dai numeri quantici
n,l,m.
Il numero quantico principale n e’ associato con le soluzioni della
equazione radiale:
−r
Rn,l = ( ar0 )l exp( na
)Ln,l ( ar0 )
0
r
Ln,l ( a0 ) e’ un polinomio di Laguerre e la funzione radiale ha n-l-1
nodi. Il parametro a0 ha lo stesso valore del raggio di Bohr tuttavia
non ha lo stesso significato di raggio esatto dell’orbita elettronica.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
Le energie degli stati elettronici sono invariate rispetto al modello
di Bohr:En = −kZe 2 /2rn dove rn = n2 a0 /Z e a0 = 0.0529nm e’ il
raggio di Bohr.
La funzione d’onda di stato fondamentale dell’atomo di idrogeno e’:
Ψ100 = √1π ( aZ0 )3/2 exp( −Zr
a0 )
La probabilita’ di trovare un’elettrone in un certo radio r e’ data da:
2
P(r ) = 4πr 2 ψ100
che ha un massimo un corrispondenza di
r = a0 /Z
Questa quantita’ non rappresenta un orbita di raggio a0 ma una
densita’ di probabilita’ sferica nella quale il raggio piu’ probabile
dell’elettrone e’ a0 . Questa nuova soluzione rappresenta una
variazione concettuale rispetto al modello di Bohr. Ψ100 e’ reale
(invece che complessa), percio’ l’elettrone in questo stato non c’e’
momento angolare orbitale.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
La funzione d’onda corrispondente a n=2 inizia con Ψ200 che ha
un nodo in r ma e’ a simmetria sferica come Ψ100 . Le prime
funzioni d’onda anisotrope sono:
Ψ21±1 = R(r )f (θ)g(φ) = C2 ρsin(θ)exp(−ρ/2)exp(±iφ) dove
ρ = Zr /a0
Queste sono le prime due funzioni d’onda aventi momento angolare
(in questo caso ±~ lungo l’asse z). In generale g(φ) = exp(±imφ)
dove m, detto il numero quantico magnetico, rappresenta la
proiezione del momento angolare orbitale lungo l’asse z.
Il momento angolare orbitale dell’elettrone ~L e’ descritto dai
numeri quantici l e m.
Il numero quantico l possiede un range ristretto di valori interi
permessi: l=0,1,2...(n-1).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
Questa regola conferma che nello stato n=1 il momento angolare
orbitale e’ zero. Le lettere s,p,d,f,g sono spesso usate per indicare
rispettivamente l=1,2,3,4,.Per esempio una funzione d’onda di tipo
2s possiede n=2 e l=0.
I valori permessi del numero quantico magnetico m dipendono sia
da n che da l:
m=-l,-l+1,...(l-1),l in tutto ci sono 2l+1 valori.
m rappresenta la proiezione di l lungo un asse z. Per esempio per
l=1 ci sono tre valori di m=-1,0,+1 e questo e’ riferito come uno
stato di tripletto. In questo caso il momento angolare possiede tre
diverse orientazioni rispetto al’asse z:θ = 45◦ , 90◦ and135◦ .In
questa notazione lo stato n=2 si separa in stati di sngoletto (2s) o
tripletto (2p).
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
Per ogni elettrone c’e’ anche un vettore momento angolare di spin
~S avente lunghezza [s(s + 1)1/2 ]~ dove s=1/2. La sua proiezione
e’:ms = ±( 1s )~
Seguendo queste regole matematiche e’ possibile valutare che il
numero di stati elettronici distinti per una dato n e’ 2n2 . Dato che
il principio di esclusione di Pauli permette un solo elettrone per
stato cio’ significa che ci saranno ci saranno 2n2 elettroni nello
stato n.
Un’altrapparticolarita’ del momento angolare ~L e’ che il suo modulo
e’ L = (l(l + 1)~ con Lz = m~. p
Allo stesso modo abbiamo che S = (s(s + 1)~ con Sz = ms ~.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di idrogeno
Nel caso in cui un elettrone abbia sia momento angolare orbitale
che momento angolare di p
spin, questo due formano un momento
~
~
~
angolare J = L + 1S J = (j(j + 1)~
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di stati elettronici
Le somme o differenze degli stat elettronici descritti in precedenza
sono anch’essi soluzioni ell’equazione di Schröedinger. Ad esempio:
Ψ211 + Ψ21−1 = C2 ρsin(θ)e −ρ/2 [exp(iφ) + exp(−iφ)] =
C2 ρsin(θ)e −ρ/2 cos(φ)
Questa non e’ altro che 2 volte la funzione 2px . Questa
combinazione lineare di funzioni d’onda e’ un tipico esempio di
funzione d’onda reale in cui la combinazione lineare cancella i
momenti angolari fornendo alla f.o. una direzione preferenziale.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione di dipolo elettrico e regole di selezione per gli
atomo
Le interazioni radiazione/materia sono molto importanti dal punto
di vista tecnologico (es. laser, dischi ottici)
La base per l’emissione di un’onda elettromagnetica e’ una carica
accelerata. Un elettrone in un antenna accelerato da un campo
sinusoidale produce un dipolo elettrico oscillante.
Un altro esempio e’ una carica a velocita’ v in un orbita di raggio r,
che subisce una accelerazione centripeta del tipo a = v 2 /R. Si
genera cosi’ una radiazione di sincrotrone che fornisce un intenso
fascio di fotoni ad alta energia.
La potenza totale irradiata da una carica accelerata e avente
velocita’ v in un orbita circolare di raggio R e’:
2 4 /R 2 )
P = [6π0ec 3(v(1−v
2 /c 2 )2 ]
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione di dipolo elettrico e regole di selezione per gli
atomo
Il fascio di radiazione e’ diretto lungo la tangente dell’orbita. Tale
radiazione e’ la base dei cosidetti synchrotron light sources. Le
beam lines di questi laboratori sono tangenti alle orbite circolari
(circular vacuum pipe) in cui orbitano gli elettroni.
Gli elettroni che orbitano attorno al nucleo non emettono in questo
modo! La perdita di energia farebbe collassare l’elettrone.Bohr
risolse questo problema imponendo che il momento angolare fosse
quantizzato.Un orbita elettronica e’ uno stato stabile e la
radiazione classica descritta in precedenza e’ proibita dalla natura
non-classica dell’universo alla scala atomica.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione di dipolo elettrico e regole di selezione per gli
atomo
Una transizione di un elettrone da uno stato ad energia piu’ alta a
uno stato a energia piu’ bassa e’ necessario per conservare
l’energia. Un esempio e’ stato fornito in precedenza dove veniva
calcolato il valore di aspettazione della coordinata x tra gli stati m
ed n di una particella intrappolata in una dimensione. Il risultato
era una carica oscillante con frequenza ωm,n = (Em − En )/~.
Se moltiplichiamo la posizione x (misurata rispetto al centro della
scatola L/2) per la carica e, otteniamo un dipolo elettrico
oscillante simile ad un antenna:
p = e < xm,n >=
R
+iEm t
−iEn t
nπx
( L2 ) 0L (x − L2 )sin( mπx
L )exp( ~ )sin( L )exp( ~ )dx
pm,n = exm,n exp(−iωm,n t)
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione di dipolo elettrico e regole di selezione per gli
atomo
La funzione d’onda sin( nπx
L ) sono simmetriche rispetto al punto di
centro L/2 se n e dispari e antisimmetriche se n e’ pari. L’integrale
sara’ finito solo se tutto l’integrando e’ simmetrico (pari), per cui
solo una delle due funzioni d’onda deve essere antisimmetrica. Cio’
vuol dire che uno (ma non entrambi) tra n e m devono essere
dispari. Per esempio se n=m=1 l’integrale e’ zero.Se n=1 e m=2
l’integrale non e’ zero.
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Regole di selezione per la radiazione di dipolo elettrico
L’esempio precedente chiarisce la regola di selezione per emissione
di dipolo elettrico. Nel caso delle funzioni d’onda dell’atomo di
idrogeno, lo stesso tipo di ragionamento porta alle regole di
selezione:
∆l = ±1 e ∆m = 0, ±1
Come conseguenza l’idrogeno nello stato 2s non emettera’ luce in
seguito a processi di oscillazione di dipolo tramite una transizione
allo stato 1s. Invece uno stato 2p emettera’ in seguito ad’una
transizione all’1s.
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
La discussione precedente suggerisce l’idea che un elettrone possa
spontaneamente con tempo di vita τ emettere un fotone
collassando in uno stato quantico ad energia inferiore.Questo
processo e’ piu’ rapido se le regole di selezione del dipolo
permettono tale transizione.
In termini di momento di dipolo elettrico oscillante pm,n , il
coefficiente di Einsten e’:
ω 3 (pm,n )2
8πhν3 2π
1
2
τ = Am,n = ( c 3 ) 3~2 (pm,n ) = |3π0 ~c 3 |
La condizione deve essere tale che un fotone emesso possa essere
accomodato (vero nel caso in cui l’atomo e’ isolato). La densita’
degli stati nello spazio libero dei fotoni e’ data dal primo fattore
3
) che si applica ad una transizione permessa
della equazione ( 8πhν
c3
∆l = ±1.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
Come applicazione di questa formula consideriamo una transizione
da n=2 a n=1 nell’idrogeno.Tale transizione e’ detta Lyman alpha
corrispondente alla prima riga della serie di Lyman. La f.o. di
questa linea ha lunghezza d’onda di 121.56 nm, che corrisponde
all’ultravioletto. L’energia della transizione e’ circa 10.20 eV come
si puo’ ricavare dalla relazione E = hc/λ con hc=1240 eV nm.
Tale energia e’ in accordo con la formula ∆E = E0 (1/12 − 1/22 )
con E0 = 13.6eV .
Se forziamo la formula di Einstein tale che 1/τ sia uguale a 1/1.65
ns e risolviamo l’equazione per p = e < x2,1 > otteniamo
<x2,1 >= 9.85x 10−11 m = 1.86a0 .Questo e’ un valore plausibile
dell’ordine del raggio di Bohr corrispondente a n=2 (4a0 ).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
Come secondo esempio consideriamo la transizione n=3–>n=2
nell’idrogeno detta H-alfa (prima linea nella serie di
Balmer).Questa riga rossa viene utilizzata dagli astronomi per
mappare la densita’ di atomi di idrogeno ionizzato nelle galassie
distanti. Infatti quando l’idrogeno ionizzato si ricombina viene
emessa questa line nella meta’ delle ricombinazioni.
La lunghezza d’onda di questa riga e’ 656.281 nm. L’energia della
transizione e’ circa 1.889 eV (vedi formule sopra).Quanto e’ spessa
questa linea?
Una possibile soluzione deriva dal fatto che la larghezza della riga
sia data dall’ultima cifra del valore di λ che sarebbe 0.001 nm.
Tale assunzione da una valore ∆λ/λ = 1.56x 10−6 .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
Seguendo la relazione E=hc/ possiamo stimare il valore di
∆E /E = −∆λ/λ = 2.9x 10−6 eV .Considerando il principio di
indeterminazione ∆E ∆t > ~ possiamo stimare il tempo di vita
dell’elettrone 3p per il decadimento nello stato 2s 1.4 ns.
Dalla formula di einsten risulta che < x3,2 >= 5.3x 10−10 m = 10a0 .
Usando la formula di Bohr per n=3 risulta r = 9a 0.
In realta’ la riga di emissione Hα e’ splittata in un doppietto
(esempio di quella che si chiama struttura fine). Le due righe di
emissione separate hanno rispettivamente λ=656.272 e 656.285
nm . La differenza di λ e’ 0.0132 nm e la lunghezza d’onda media
e’ 656.2786 nm.E’ possibile misurare sperimentalmente la
larghezza di ciascuna riga che pari a 0.00042 nm che corrisponde
ad un tempo di vita di 5.4 ns per il livello 3p.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
Ritorniamo alle formula di Einstein, con τ = 5.4ns, ricaviamo che
< x3,2 >= 2.60x 10−10 m = 5.1a0 che e’ abbastanza vicino al valore
previsto da Bohr 9a0 .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Emissione della luce spontanea e stimolata
Nel caso in cui gli elettroni siano sottoposti ad un campo
elettromagnetico si parla di processi di emissione ed assorbimento
stimolati. Questi due processi seguono la legge di Einstein nel caso
un cui la radiazione incidente a frequenza ωm,n = (Em − En )/~.
Per esempio la stessa radiazione emessa da un atomo di idrogeno
che che va da n=2 a n=1 puo’ essere assorbita da un altro atomo
che passa da n=1 a n=2. Questi due processi hanno la stessa
probabilita’.
Dato che l’emissione spontanea e l’emissione e l’assorbimento
stimolato hanno la stessa probabilita’, se il numero di atomi nello
stato di energia maggiore e’ piu’ grande di quello ad energia
minore, la luce che entra nel sistema sara’ amplificata. La regola
per l’emissione stimolata e’ che il fotone emesso e’ un duplicato del
fotone stimolante.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Particelle indistinguibili ed energia di scambio
In un sistema con 2 o piu’ elettroni, la loro natura di
indistinguibilita’ gioca un importante ruolo. Se due elettroni sono
presenti in un sistema le distribuzioni di probabilita’ P(x1 , x2 ) e
P(x2 , x1 ) devono essere identiche.
Nessuna variazione di osservabili puo’ avvenire in seguito ad uno
scambio di due elettroni:
P(x1 , x2 ) = P(x2 , x1 ) = |ψn,m (x1 , x2 )2 | cio e’ valido se:
ψn,m (x1 , x2 ) = ψn,m (x2 , x1 ) caso simmetrico, o
ψn,m (x1 , x2 ) = −ψn,m (x2 , x1 ) caso antisimmetrico.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Particelle indistinguibili ed energia di scambio
Applicando questo concetto al caso di elettroni non-interagenti,
per esempio una scatola 1D in cui:
mπx2
1
ψn,m (x1 , x2 ) = A2 sin( nπx
L )sin( L ) = ψn (x1 )ψm (x2 ).
Troviamo che questa funzione d’onda non e’ ne simmetrica ne
antisimmetrica.
Tuttavia combinazioni del tipo:
√ n (x2 )ψm (x1 )| e
ψS (1, 2) = |ψn (x1 )ψm (x2 )+ψ
2
√ n (x2 )ψm (x1 )|
ψA (1, 2) = |ψn (x1 )ψm (x2 )−ψ
2
sono rispettivamente simmetrica e antisimmetrica.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Particelle indistinguibili ed energia di scambio
Fermioni: La combinazione antisimmetrica ψA si applica nel caso
degli elettroni e altre particelle con spin=1/2 (protoni e neutroni)
che vengono detti fermioni. Osserviamo che ψA nel caso di m=n e’
uguale a zero.La f.o. per due fermioni nello stesso stato e’
zero!Questo non e’ altro che il principio di esclusione di Pauli.
Bosoni: Per altre particelle, es. fotoni vale la combinazione
simmetrica ψS (1, 2).Tali particelle sono caratterizzate da spin
intero. Macroscopicamente un gran numero di fotoni possono
occupare lo stesso stato quantico.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Componenti orbitali e di spin della funzione d’onda
Per descrivere completamente uno stato elettronico bisogna
aggiungere la proiezione dello spin ms = ±1/2. E’ utile separare la
parte spaziale φ(x ) e la parte di spin χ::
ψ = φ(x )χ
Per un elettrone singolo χ =↑(ms = 1/2) o χ =↓(ms = −1/2)
Per due elettroni ci sono due categorie, S=1 (spin paralleli) o S=0
(spin antiparalleli). Mentre S=0 permette solo ms = 0, S=1 ha tre
possibilita’: ms = 0, 1, −1 che sono riferite come costituenti uno
stato di tripletto.
Una buona notazione per uno stato di spin e’ χs,m di tripletto:
χ1,1 =↑1 ↑2 ,χ1,−1 =↓1 ↓2 e χ1,0 =↑1 ↓2 + ↓1 ↑2
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Componenti orbitali e di spin della funzione d’onda
Per lo stato di singoletto S=0:
χ0,0 =↑1 ↓2 − ↓1 ↑2
Da questa rappresentazione si capisce che il tripletto e’ simmetrico
per lo scambio mentre il singoletto e’ antisimmetrico per lo
scambio.
Dal momento che la funzione d’onda completa per un elettrone
deve essere antisimmetrica per lo scambio di due elettroni, cio’
puo’ essere ottenuto in due diversi modi:
ψA (1, 2) = φsim (1, 2)χanti (1, 2) = φsim (1, 2) (S=0, singoletto) o
ψA (1, 2) = φanti (1, 2)χsim (1, 2) = φanti (1, 2) (S=1, tripletto)
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Principio di esclusione di Pauli e tavola degli elementi
La materia e’ costutita da atomi, che sono costruiti secondo le
regole della meccanica quantistica. Le regole che governano le
funzioni d’onda ad un elettrone ed il principio di esclusione di Pauli
sono le basi per la costruzione della tavola periodica.
Shell atomiche piene.
Abbiamo visto che le regole permettono 2n2 stati distinti per ogni
valore del numero quantico principale n.
La shell K di un atomo comprende i due elettroni dello stato n=1.
La shell L con n=2 (2s 2 2p 6 )(Ne)
La shell M con n=3 (3s 2 3p 6 3d 10 )(Ar).
Queste schell chiuse contengono rispettivamente 2,8,18
elettroni.Elettroni con schell totalmente piene sono:
Z=2 (He),Z=10(Ne),Z=18(Ar),Z=36(Cr),Z=54(Xe) e Z=86(Rn).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Aspetti qualitativi degli atomo He e Li
E’ possibile avere delle informazioni sulla struttura elettronica di
semplici atomi a partire dal modello di Bohr e il principio di
esclusione di Pauli.L’elio possiede 2 elettroni attratti da un nucleo
avente carica Z=2 (2 protoni e 2 neutroni). Il modelo di Bohr
predice il raggio dell’orbita rn = (n2 /Z )a0 .Dobbiamo considerare
per ogni elettrone l’interazione con in nucleo e con l’altro
elettrone. Considerando che l’interazione con in nucleo e’ piu’
importante (carica Z=2) potremmo stimare l’energia di legame
dell’elettrone come 4E 0 = 54.4 eV.
Una ulteriore correzione puo’ essere fatta considerando
l’interazione repulsiva col secondo elettrone.Assumiamo che il
secondo elettrone sia il piu’ lontano possibile dal primo, ossia che il
secondo sia diametralmente opposto rispetto al primo ad una
distanza 2rn = a0.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Tavola periodica degli elementi
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Aspetti qualitativi degli atomi He e Li
L’energia Coulombiana repulsiva e’ 27.2 eV, per cui l’energia di
legame dell’elettrone sara pari a 27.2 eV.Questa stima e’ vicina al
valore sperimentale di 24.46 eV.
Consideriamo il Li che possiede tre elettroni. Il principo di
esclusione di Pauli necessita che il terzo elettrone sia nello stato
n=2, con raggio di dell’orbita 4 volte maggiore rispetto a quello
degli elettroni con n=1.
In prima approssimazione possiamo considerare il terzo elettrone
all’estero del core atomico (nucleo di carica Z=+3e e due elttroni
di carica -e)- Per cui il terzo elettrone sara’ soggetto ad un
potenziale attrattivo con carica e. L’energia di legame sara’
pertanto E0 /4 = −3.4eV . Sperimentalmente risulta che il
potenziale di ionizzazione e’ 5.39 eV.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Aspetti qualitativi degli atomi di He and Li
Tale discrepanza deriva dal fatto che l’elettrone esterno riesce in
qualche modo a penetrare all’interno della nuvola elettronica 1s 2 ,
per cui l’elettrone sentira’ una carica efficace maggiore di e (1.26).
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Metalli alcalini (core pieno+un elettrone)
I metalli alcalini sono hanno tutti il core pieno ed un elettrone
esterno s.
Per il Li: 2s, Na:3s,K:4s,Rb:5s,Cs:6s.
La stima piu’ semplice per il calcolo dell’energia di legame di questi
elettroni esterni 2e:
Ealcalini = (k/2)e
(stiamo anche in questo caso considerando la
rn
carica efficacie sentita dall’elettrone esterno uguale a e).
Questa rozza stima fornisce dei potenziali di ionizzazione pari a
3.4,1.51,0.85,0.54 e 0.38 eV per Li,Na,K,Rb e Cs rispettivamente.
I valori sperimentali sono maggiori: 5.4,5.1,4.3,4.2 e 3.9 eV .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Metalli alcalini (core pieno+un elettrone)
Questa grande discrepanza (che aumenta con Z) suggerisce che il
modello che abbiamo adottato deve necessariamente essere rifinito.
Possiamo definire
una carica effettiva del core Z’, tale che
(k/2)Z 0 e 2
dove rn0 = rn /Z 0
Ealcalini =
r0
n
I valori ricavati di Z’ sono:1.26,1.84,2.26,2.79 e 3.21 per
Li,Na,K,Rb e Cs rispetticamente. Per cui notiamo che il valore
della carica efficace aumenta all’aumentare di Z: cio’ vuol dire che i
cores esterni sono meno efficienti nello schermare la carica nucleare.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di Carbonio: 1s 2 2s 2 2p 2
Il carbonio e’ l’atomo base della chimica organica. Tutte le
molecole biologiche (proteine, DNA) sono costituite per la maggior
parte dal Carbonio. Il carbonio puo’ cristallizare in diamante (sp3)
o graphite (sp2), puo’ anche formare i nanotubi o molecole di
fullerene.
Tutta questa varieta’ di strutture riflette i vari modi in cui i 4
atomi esterni (n=2) del Carbonio so possono disporre.
Il fatto che l’energia degli elettroni dipenda solo dal numero
quantico principale (nel modello di Bohr e nella trattazione di
Schröedinger) significa che i 4 elettroni esterni 2s e 2p hanno la
stessa energia (stiamo trascurando gli effetti di interazione tra il
momento magnetico orbitale e di spin che danno vita alle
cosiddette strutture fini).
Ragionando in questo modo possiamo stabilire che la
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Atomo di Carbonio: 1s 2 2s 2 2p 2
Percio’ ogni combinazione lineare di questi stati sara’ equivalente
in termini energetici.
Questo ragionamento vale nel caso di atomi isolati. Tuttavia, se
l’ambiente non ha simmetria sferica, alcune combinazioni lineari
saranno energeticamente favorite a seconda dell’ambiente chimico
circostante.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di funzioni d’onda
Le piu’ importanti ibridizzazioni del carbonio sono: sp 3 , sp 2 edsp.
L’ibridizzazione sp 3 descrive legami tetraedrici con angoli di 109.5◦
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di funzioni d’onda
L’ibridizzazione sp 2 descrive legami planari che puntano in tre
direzioni separati da 120◦ (benzene, grafene, grafite)
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di funzioni d’onda
L’ibridizzazione sp descrive legami lineari (tripli legami) ed esempio
nell’acetilene (C2 H2 ).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di funzioni d’onda
Per capire meglio il fenomeno della ibridizzazione riprendiamo le
funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno:
Ψ21±1 = R(r )f (θ)g(φ) = C2 ρsin(θ)exp(−ρ/2)exp(±iφ) dove
ρ = Zr /a0
Questi sono i primi due stati che possiedono momento
angolare.Vedi rappresentazione nel libro degli orbitali.
La particolarita’ di queste funzioni d’onda e’ che possono essere
opportunamente combinate in modo da creare funzioni d’onda
equivalentei dal punto di vista energetico ma orientate in specifiche
direzioni.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Combinazioni lineari di funzioni d’onda
In questo caso particolare abbiamo:
Ψ211 + Ψ21−1 = C2 ρsin(θ)e −ρ/2 [exp(iφ) + exp(−iφ)] =
C2 ρsin(θ)e −ρ/2 2cos(θ) = 2px
allo stesso modo
Ψ211 − Ψ21−1 = C2 ρsin(θ)e −ρ/2 [exp(iφ) − exp(−iφ)] =
C2 ρsin(θ)e −ρ/2 2sin(θ) = 2py
e
Ψ210 = C2 ρcos(θ)e −ρ/2 = 2pz
Queste combinazioni lineari 2px , 2py , 2pz sono del tutto equivalenti
alle soluzioni originali.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Connessione con i legami covalenti
Possiamo usare queste funzioni per formare altri stati ibridi. Per
esempio il set di funzioni d’onda di tipo sp 3 che puntano agli
spigoli di un tetraedro (es, Silicio,Germanio, Diamante).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Molecole
Gli atomi si possono legare per formare le molecole in due modi: In
una molecola ionica (KCl), l’atomo metallico K dona il suo
elettrone di valenza al Cl (che possiede una lacuna nella sua shell
quasi piena). Questo fenomeno genera una attrazione
Coulombiana tra lo ione K + e quello Cl − .
L’altro modo in cui gli atomi si possono legare e’ attraverso il
legame covalente. Tale tipo di legame e’ centrale nella chimica
organica oltre che nei semiconduttori.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Molecole ioniche
Le molecole ioniche A+ B − si formano tra un metallo A il cui
potenziale di ionizzazione e’ inferiore rispetto all’affinita’ elettronica
dell’atomo B. L’affinita’ elettronica e’ l’energia di legame
disponibile per un elettrone tale da creare uno ione negativo.
Per esempio la molecola NaF ha una energia di dissociazione di
4.99 eV, che puo’ essere calcolata dall’energia di ionizzazione del
Na (5.14 ev) meno l’affinita’ elettronica del F (3.4 eV). L’energia
Coulombiana attrattiva NaF ad una distanza di equilibrio di 0.193
nm e’ 7.45 eV.L’energia repulsiva Coulombiana tra i nuclei e’ 0.72
eV.Risulta quindi 4.99 eV=7.45 eV+3.40 eV-5.14 eV-0.72 eV.
Una ulteriore conferma del fatto che NaF e’ fortemente legata e’ la
sua frequenza di vibrazione f = 1.6x 1013 Hz. Trattando questa
molecola come un semplice oscillatore armonico classico si ottiene
K = mcm x (2πf )2 = 176.6Nm− 1 con mcm = m1 m2 /(m1 + m2 )
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
L’origine fisica dello ione molecolare di idrogeno e’ puramente
quanto-meccanica.Per un sistema di un elettrone e due protoni a
grande distanza co sono due ovvie funzioni d’onda ψa (x1 ) e ψb (x2 )
che rappresentano rispettivamente l’elettrone sul protone di sinistra
o sul protone di destra.Per grandi distanza tra i protoni questi due
stati avranno tempi di vita grandi tuttavia diminuendo la distanza
questi stati saranno instabili. Per cui in elettrone ψa (x1 ) passera’
per effetto tunnel a ψb (x2 ) ad una frequenza f.
Per trovare lo stato fondamentale consideriamo che una
combinazione lineare di soluzioni e’ anch’essa una soluzione. Per
cui una soluzione generale e’:
ψ =Aψa (x1 ) + Bψb (x2 ) dove A2 + B 2 = 1
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Le combinazioni lineari che sono stabili nel tempo sono quelle
simmetriche ed antisimmetriche:
ψS =2−1/2 [ψa (x1 ) + ψb (x2 )], ψA =2−1/2 [ψa (x1 ) − ψb (x2 )] Questi
stati sono stabili nel tempo perche’ l’elettrone e’ presente sia a
destra che a sinistra e le instabilita’ legate all’effetto tunnel non
sono piu’ presenti.
E’ facile comprendere che la combinazione simmetrica ψS ha una
energia inferiore di ψA , perche’ la probabilita’ di trovare l’elettrone
nel punto medio e’ diversa da zero mentre e’ zero in ψA . Il punto
medio e’ energeticamente favorevole per l’elettrone dato che in
quel caso c’e’ una doppia attrazione con entrambi i nuclei.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
La differenza di energia tra ψS e ψA e’
∆E = hf dove f e’ la frequenza di tunnel dell’elettrone da una
parte verso l’altra. Il valore ∆E e’ circa due volte l’energia di
legame, che e’ 2.65 eV per H2+ .Per cui la frequenza di tunnel e’
1.28x 1015 s − 1, che corrisponde ad un tempo di residenza di 0.778
fs.
Consideriamo due protoni a distanza R. Se R e’ grande possiamo
trascurare l’interazione dell’elettrone col secondo protone, si ha
quindi:
~2
)∇2 + U(r )]ψ = E ψ dove r e’ la posizione dell’elettrone.
[−( 2m
Questa equazione ha come soluzioni ψ = ψa (x1 ) e ψb (x2 ) con
energia E = E0 .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Le interazioni dell’elettrone e del primo protone con il secondo
protone sono :−ke 2 (1/ra,2 + 1/R).L’interazione attrattiva avviene
principalmente quando l’elettrone si trova tra i due protoni ed e’
attratto da entrambi i nuclei.
Possiamo scrivere le interazioni come:
Hint = ke 2 [ R1 − 1ra,2 ] in cui il primo termine e’ l’interazione
repulsiva tra i due protoni.
Seguendo il trattamento di Pauling si trova:
(J+K )
ke 2
E − E0 = ( Da
0 ) + (1+D) per ψS
2
(J−K )
(1−D) per ψA , dove
1
ψb∗ (x2 )[−ke 2 ( ra,2
)ψa (x1 )d 3 x1 d 3 x2 ]
ke
E − E0 = ( Da
0) +
K=
RR
2
−D (1 + D)
= −( ke
a0 )e
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
J=
RR
1
ψa∗ (x2 )[−ke 2 ( ra,2
)ψa (x1 )d 3 x1 d 3 x2 ] =
ke 2
−( a0 )[−D −1 + e −2D (1 + D −1 )]
∆=
ψb∗ (x2 )ψa (x1 )d 3 x1 d 3 x2 ] = e −D (1 + D +
D = R/a0
RR
D2
3 ,
dove
K e’ conosciuto come l’integrale di scambio,risonanza o hopping e
misura la frequenza alla quale l’elettrone che si trova in un sito so
muove al sito piu’ vicino.K vale all’incirca 2-3 ev nei sistemi a base
carbonio.
La differenza di energia tra il caso simmetrico ed antisimmetrico e’
circa 2K =5.3 eV per H2+ .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Consideriamo due protoni (a,b) a distanza R fissa e due elettroni.
Se R e’ grande possiamo trascurare l’interazione tra i due atomi:
~2
)(∇21 + ∇22 ) + U(r1 ) + U(r2 )]ψ = (H1 + H2 )ψ = E ψ dove le
[−( 2m
r rappresentano le coordinate dell’elettrone 1 e 2.
Le soluzioni a questo problema in cui non ci sono le interazioni
possono essere del tipo ψ = ψa (x1 )ψb (x2 ) oppure ψa (x2 )ψb (x1 )
dove ψa,b sono le funzioni d’onda centrate nel protone a o b.
L’energia in entrambi i casi e’ E = Ea + Eb
Le interazioni tra gli atomi sono di due tipi. Primo, l’interazione
repulsiva ke 2 /r1,2 con r1,2 la distanza tra gli elettroni. Secondo,
l’interazione attrattiva di ciascun elettrone con il secondo protone:
−ke 2 (1/ra,2 + 1/rb,1 )
Possiamo riscrivere queste interazioni tutte assieme come:
1
1
1
Hint = ke 2 [ R1 + r1,2
− ra,2
− rb,1
]
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Per avere il valore di aspettazione della energia di interazione
dobbiamo risolvere
l’integrale:
R
< Eint >= ψ ∗ Hint ψdq
La funzione d’onda appropriata deve essere antisimmetrica. Percio’
la parte spaziale simmetrica φsim (1, 2) per il singoletto S=0 e la
parte spaziale antisimmetrica φanti (1, 2) per lo stato di tripletto
S=1.
Percio’ le energie di interazione sono:
< Eint >= A2 (K1,2 + J1,2 ) per S=0
< Eint >= B 2 (K1,2 − J1,2 ) per S=1
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
dove
RR
K1,2 (R) = R R ψa∗ (x1 )ψb∗ (x2 )Hint ψa (x1 )ψb (x2 )d 3 x1 d 3 x2
J1,2 (R) =
ψa∗ (x1 )ψb∗ (x2 )Hint ψa (x2 )ψb (x1 )d 3 x1 d 3 x2
Il sistema scegliera’ per ogni valore di R lo stato che avra’ l’energia
di interazione piu’ negativa. Nel caso della molecola di idrogeno
l’integrale di scambio J1,2 e’ negativo, in modo che il legame
covalente avvenga quando gli spin sono antiparalleli (S=0).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Bonding e antibonding
La comprensione qualitativa del risultato e’ che la funzione d’onda
e’ simmetrica nel caso del singoletto permettendo a piu’ elettroni
di localizzarsi tra i protoni.
Una variazione significativa nella energia elettrostatica e’ collegata
alla orientazione relativa dei momenti magnetici dei due elettroni.
Questo effetto puo’ essere sommarizzato nella energia di scambio:
He = −2Je ~S1 · ~S2 J e’ negativo nel caso della molecola di idrogeno
dando una valore negativo bonding per gli spin antiparalleli. La
configurazione con gli spin paralleli e’ repulsiva ed e’ detta
antibonding
La differenza di energia tra bonding e antibonding e’ di circa 9 eV.
In altre circostanze J e’ negativo cosi’ da favorire arrangiamenti
degli spin paralleli.es. ferromagnetismo.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Metano, etano e ottano
Il legame covalente non esiste solamente tra stati s come nel caso
dell’idrogeno, ma anche tra opportune combinazioni di stati p.I
legami nel diamante e nel silicio cristallino sono di tipo sp3 . Inoltre
i legami covalenti possono esistere anche tra stati p e stati s.In
tutti questi casi esiste un a simmetria attorno all’asse che unisce gli
atomi. In questo caso si parla di legami di tipo sigma.
I legami sigma basati su una ibridizzazione sp3 sono presenti nel
metano (CH4 ), nell’etano che puo’ essere pensato come due
molecole di metano che condividono un legame sigma tra due
carboni.
Il metano e’ una molecola tetraedrica che coinvolge gli elettroni
2s 2 sp 3 del carbonio.Nel formare i legami che puntano agli spigoli di
un tetraedro, vengono selezionate opportune combinazioni lineari
di funzioni d’onda 2s e 2p.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Metano, etano e ottano
L’etano coinvolge gli stessi elettroni del carbonio.I carboni si legano
tra loro oltre che a tre idrogeni, sempre con una simmetria
tetraedrica.
L’ottano (C8 H1 8) possiede una struttura lineare e 17 diversi
isomeri, uno dei quali e’ un importante componente della benzina.
I legami nella forma lineare vengono rappresentati come
CH3 (CH2 )6 CH3 e possono essere pensati come una molecola di
etano con sei gruppi addizionali CH2 inseriti tra i carboni
originali.Questa struttura lineare non e’ rigida, simulazioni fatte a
400 K mostrano come le distorsioni rispetto alla molecola lineare
avvengano dopo appena 10 ps.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Etilene, acetilene e benzene
Le molecole a base carbonio considerate fino ad ora coinvolgevano
solo legami singoli. Tuttavia il Carbonio ed altri atomi possono
formare legami doppi e tripli.
I legami doppi, basati su ibridizzazioni sp2 sono planari con angoli
di legame di 120 gradi. Un esempio e’ l’etilene (C2 H4 ). In questo
caso ogni carbonio contribuisce a legami sigma con 3 dei suoi 4
elettroni di valenza. I rimanente elettrone di valenza di tipo 2pz ,
orientato perpendicolarmente all’asse C-C , forma un legame pi
localizzato tra i due carboni.I legami sigma e pi costituiscono
assieme un doppio legame.
I legami pi, che si formano solo quando gli orbitali 2pz sono
paralleli, rendono la struttura planare. Inoltre non mostrano
nessuna simmetria rotazionale attorno all’asse di legame. I legami
di questo tipo sono caratteristici degli alcheni :Cn H2n .
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Etilene, acetilene e benzene
Un legame carbonio-carbonio triplo si trova nell’acetilene
(C2 H2 ).Tale legame e’ basato sulle ibridizzazioni sp che sono lineari
con angoli di legame di 180 gradi.Ogni carbonio fornisce on
elettrone 2s per il legame con l’idrogeno e tutti i rimanenti 2s2p 2
elettroni vengono utilizzati per il legame col carbonio vicino.
6 elettroni si trovano quindi tra i due carboni, 4 coinvolti in legami
pi e due in legami sigma.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Benzene
Nel benzene e’ costituito da un ring esagonale di sei carboni
separati da una distanza di 139.9 pm. Gli angoli di legame sono di
120 grado, che indica una ibridizzazione di tipo sp 2 .In questo caso
ogni carbonio contribuisce con 3 dei 4 elettroni di valenza a elgami
sigma con un idrogeno e due carboni vicini.
Il rimanente elettrone 2pz (sei in tutto), orientato
perpendicolarmente al piano della molecola,forma un legame pi con
uno dei vicini. Creando cosi’ un doppio legame sigma, pi.
Le posizioni nell’anello in cui ci sono i doppi legami possono essere
cambiate senza cambiare la struttura. C’e’ percio’ una risonanza
tra i due possibili stati dell’anello.
Sperimentalmente tutti i legami sono equivalenti ad una distanza di
139.9 pm intermedia tra il singolo ed il doppio legame del carbonio.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Benzene
Il motivo di questa struttura e’ stato dibattuto da piu’ di 100
anni.Anelli simili, con 5 e 7 membri,sono frequenti nei composti
organici, per cui l’importanza non e’ solo quella del benzene.
Alcuni aspetti di questo modello di estendono alla grafite ed ai
nanotubi.
Questo modello suggerisce che i sei elettroni 2pz coinvolti nei
legami pi carbonio-carbonio siano delocalizzati e si possano
muovere attorno al ring.
Il supporto a questa idea proviene dalla maggiore suscettivita’
diamagnetica del benzene.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Benzenoquinone
C6H 4 O2 : due distinte lunghezze di legame sono state misurate.Per
i legami C-C le lunghezze sono: 134.4 pm e 148.1 pm che
rappresentato legami doppi e singoli distinti.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
L’anello benzenico e’ importante perche’ mostra la presenza di una
corrente elettrica condotta attraverso legami covalenti.Usando i
legami covalenti come fili conduttori oltre che altri elementi di un
circuito e’ l’idea centrale della elettronica molecolare.
Dato che siamo interessati alla corrente condotta nel ring di
benzene useremo un modello semplificato di elettroni liberi in una
anello. Modelli piu’ rigorosi si basano su opportune combinazioni
lineari delle funzioni d’onda degli atomi di carbonio. In ogni caso il
nostro modello semplificato permette di descrivere la corrente ed il
diamagnetismo.
Il diamagnetismo e’ un effetto che avviene per gli elettroni che
~ La
circolano in orbite chiuse sottoposti ad un campo magnetico B
suscettivita’ dimagnetica e’ una misura di questo effetto e nel caso
del benzene risulta una alto valore di suscettivita’.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
~ un sistema diamagnetico
In risposta ad un campo magnetico B,
0
~
produce un campo B avente stessa direzione e verso opposto. Cio’
~ suscita una
Cio’ e’ dovuto al fatto che il campo magnetico B
corrente nel sistema diamagnetico che a sua volta genera un
~ 0.
campo B
Seguiamo l’analisi fatta da Feynman:
Supponiamo che una carica q orbiti ad una raggio r racchiudendo
quindi un’area πr 2 (Questo e’ un loop di corrente in cui I=dq/dt).
Immaginiamo che un campo magnetico perpendicolare B(t) cresca
lentamente a partire da zero.
La legge di Faraday dice che comparira’ un campo elettrico il cui
voltaggio risultante e’ uguale a −dΦm /dt ossia la variazione del
flusso magnetico attraverso il loop.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
r dB
V = 2πrE = −πr 2 dB
dt per cui E = −( 2 ) dt Il campo elettrico
agisce sulla carica orbitante variando il suo momento angolare
esercitando un momento:τ = qrE
La variazione del momento angolare varia come:
qr 2 dB
dL
dt = τ = qrE = −( 2 ) dt
Dopo un certo tempo t, quando il campo magnetico raggiunge il
valore B, il momento magnetico accumulato sara’:
2
∆L = −( qr2 )B
Abbiamo visto in precedenza che il rapporto giromagnetico che lega
il momento magnetico con il momento angolare :∆µ = (q/2m)∆L
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
Per cui la variazione di momento magnetico imposta dal campo e’:
2 2
∆µ = (q/2m)∆L = −( q4mr )B
La formula di base ∆µ = ∆IA dove A e’ l’area dell’orbita e ∆I e’
la variazione di corrente dovuta al campo magnetico:
∆µ
e2
∆I = πr
2 = −Z ( 4πm )B
Tale corrente e’ persistente dell’ordine del nAT −1 che e’ presente
solo nel caso in cui e’ presente il campo magnetico. Da notare che
r 2 e’ il raggio che parte dall’asse parallelo al campo magnetico per
cui se il campo magnetico e’ diretto lungo z :
r 2 = x 2 + y 2 Se consideriamo un atomo sferico abbiamo che
2 = x 2 + y 2 + z 2 c’e’ un fattore di correzione 3/2.
rav
La formula diventa percio’:
2
2
µ = −( Ze
6m )rav B dove Z e’ il numero di elettroni orbitanti e la
2
media r include orbite orientate in modo casuale rispetto al
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
Infine, la suscettivita’ diamagnetica χm = Mµ0 /B per un mezzo
che contiene N momenti magnetici indotti per metro cubico:
2
2
χm = −µ0 N( Ze
6m )rav
Adesso consideriamo il caso di una molecola planare, come il ring
di benzene in un liquido o un gas in modo che il loop di corrente la
assuma rapidamente una orientazione casuale.
Il campo magnetico B e’ nella direzione z e l’angolo θ tra l’asse z
ed il versore ~n normale al piano del benzene assumera’ valori tra 0
e 180 gradi.
L’area A e’ fissata ma il flusso intercettato e’ BAcosθ.
Il momento indotto e’ sempre diretto lungo ~n, tuttavia la quantita’
che ci interessa e’ la proiezione del momento magnetico indotto
lungo z.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
2 2
Si ha quindi che ∆µz = −( Ze4mr )Bcos 2 θ ed il valor medio del cosθ
e’ uguale ad 1/2. Per cui il contributo medio medio lungo l’asse z
dell’anello di raggio r e’ dato da:
2 2
∆µz = −( Ze8mr )B
Considerando un numero N di benzeni per unita’ di volume, la
2 2
magnetizzazione M sara’ −N( Ze8mr )B e la suscettivita’:
2 2
χm = µ0BM =-Nµ0 ( Ze8mr ) molecola planare in un liquido SI.
Queste formule descrivono il contributo di orbite estese, per questo
motivo bisognerebbe aggiungere anche il contributo dovuto ai
singoli atomi dell molecole che abbiamo descritto in precedenza.
Vogliamo utilizzare le informazioni tabulate per calcolare questi
contributi.Il problema e che tutti i dati tabulati sulle proprieta’
magnetiche sono espresse nelle unita’ cgs (centimetri,grammi
secondi).
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Orbitali delocalizzati del benzene, diamagnetismo
La formula base (nel caso sferico) e’ differente:
Ze 2
2
χm = M
B = −N( 6mc 2 )rav Nel cgs la carica dell’elettrone e’
e=4.8x10−10 esu,me = 9.1x 10−26 g e c = 3x 1010 cm/s In queste
unita’ χm per il gas di He e’ −2.02x 10−6 cc mol−1
Utilizzando la formula descritta sopra per He, sapendo il valore di
χm possiamo calcolare il valore di r av , che risulta 1.13a0 . Tale
valore e’ circa il doppio di quello calcolato con Bohr (a0 /2). Il
motivo per cui ci sono delle differenze e’ dovuto al fatto che nella
formula precedente si trascurano le interazioni tra gli elettroni delle
varie orbite.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Moto correlato degli elettroni
Il moto degli elettroni dell’He non e’ indipendente.Tali elettroni
interagiscono fortemente dato che la loro distanza r12 e’ di circa 53
pm che corrisponde ad una energia repulsiva ke 2 /r12 di 27.2 eV.Per
questo motivo il moto degli elettroni e’ fortemente correlato.
Facciamo l’assunzione estrema che gli elettroni si muovono
rigidamente in versi opposti separati da 2r. Possiamo modificare la
formula precedente.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Suscettivita’ magnetica del benzene
Possiamo applicare la formula precedente al caso del Carbonio
nella fase diamante considerando Z=4 elettroni indipendenti. Il
valore misurato di χm e’ 5.9x 10 − 6 cc mol −1 da cui otteniamo
rav = 72.2pm (ragionevole per gli elettroni 2p e 2s).
Lo scopo e’ quello di applicare il ragionamento precedente in modo
da calcolare il numero effettivo Zπ di elettroni che contribuiscono
alla corrente.
Il valore sperimentale di χm e’ −13.4x 10−6 cc mol −1 . Questo
valore tiene conto solo del contributo della corrente del ring per cui
possiamo usare la formula che abbiamo derivate in precedenza per
N molecole planari usando le unita’ cgs:
Zπ e 2 r 2
χm = M
B = −N( 8m∗ c 2 )
e
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Suscettivita’ magnetica del benzene
In questo caso utilizziamo una massa efficace me∗ per il moto degli
elettroni nell’anello e usiamo i valori sperimentali di χm e rav per
determinare il valore di Zπ /me∗ .
Risulta dalla formula precedente che
me
2
Zπ ( m
∗ ) = 1.753 = 1.14 .L’interpretazione (arbitraria) e’ che la
e
molecola di benzene possiede due elettroni orbitanti con massa
me
efficace ( m
∗ ) = 1.14.
e
Per validare questo modello con i dati sperimentali consideriamo
un singolo benzene sottoposto ad un campo magnetico
perpendicolare. La corrente indotta dal campo e’:
∆µ
e2
∆I = πr
2 = −Z ( 4 )B. Utilizzando i valori ottenuti
precedentemente otteniamo una corrente di 3.9 nA per un campo
magnetico di 1 T.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Suscettivita’ magnetica del benzene
E’ possibile a questo punto valutare il campo magnetico B’ creato
dalla corrente che risulta in accordo con i dati sperimentali.
Sperimentalmente si misura il chemical shift (NMR).
Questo modello fornisce dati in accordo con gli esperimenti
assumendo che il numero di elettroni Zπ che circolano nell’anello
me
benzenico sia 2 con massa efficace ( m
∗ ) = 1.14.
e
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Modello per gli elettroni delocalizzati nell’anello
benzenico
Il modello di partenza assume che i sei elettroni pi nell’anello siano
liberi (energia potenziale costante) lungo una pista circolare di
lunghezza L=2πr (versione circolare della particella intrappolata in
1D).
Dal punto di vista della meccanica quantistica questo e’ un
problema di scatola circolare. Consideriamo la parte angolare della
equazione di Schröedinger:
∂2ψ
~2
1
[ 1 ∂ (sin(θ) ∂ψ
∂θ ) + sin2 (θ) ∂φ2 ] + U(r )ψ = E ψ Fissiamo
2mr 2 sin(θ) ∂θ
θ=90 gradi in modo da confinare il moto nel piano x,y,
considerando quindi una sola variabile: l’angolo φ (misurato in
verso orario a partire dall’asse x).
In generale ci si aspetta una dipendenza dell’energia potenziale
dall’angolo φ ma per ora consideriamo U costante.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Modello per gli elettroni delocalizzati nell’anello
benzenico
L’equazione diventa percio’:
~2 ∂ 2 ψ
+ U(φ)ψ = E ψ
2mr 2 ∂φ2
Proviamo una soluzione del tipo ψ = Aexp(im0 φ).La condizione
fisica che deve essere rispettata e’ che ψ sia a singolo valore, per
cui aggiungendo una quantita’ m’2π al valore di ψ non deve
cambiare il valore della f.o. Cio’ implica che m0 = 0, ±1, ±2...
(multipli interi della f.o dell’elettrone attorno al loop).
Inserendo questa funzione (E>U) nella equazione troviamo:
~2
m02 = E − U, se U=0 allora le energie permesse sono:
2mr 2
~2
0
E = m02 E1 dove E1 = 2mr
2 e m = 0, ±1, ±2....
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Modello per gli elettroni delocalizzati nell’anello
benzenico
La proiezione del momento angolare lungo l’asse z e’ m0 ~. Per cui
questi stati quantici, avendo momento angolare, possono generare
un momento magnetico indotto.
Come nel caso dell’atomo di idrogeno combinazioni lineari
equivalenti delle f.o includono:
ψ = Asinφ + Bcosφ.
Le f.o. a piu’ bassa energia sono:
ψ = costante per m’=0 con energia 0 e
ψ = sin(m0 φ) con energia E1 e ψ = cos(m0 φ) con energia E1
L’energia corrispondente a m’=0 (in cui si accomodano 2 elettroni
con spin opposto) e’ nominalmente quella degli stati 2p del
carbonio mentre le energie per m0 = ± 1 sono spostate di
~2
E1 = 2mr
2 che e’ uguale a 1.05 eV per r=190 pm e L = 2πr =1194
pm.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Modello linearizzato di una molecola ciclica
Il modello precedente puo’ essere riconsiderato. Immaginiamo di
passare dalla circonferenza ad una linea di lunghezza L=6a’=1194
pm lungo l’asse x. Invece di confinare l’elettrone a x=L,
permettiamo all’elettrone di rientrare a x=0.Queste condizioni
vengono dette condizioni periodiche al contorno:
∂ψ
ψ(L) = ψ(0) e le derivate [ ∂ψ
∂x ]x =0 = [ ∂x ]x =L
Sappiamo che la soluzione generale per una particella in una
scatola e’ ψ = Aexp(ikx ). In questo caso le soluzioni saranno
diverse poiche’ cambiano le condizioni periodiche al contorno.
Dalla prima condizione abbiamo che A = Aexp(ikL) che implica
0
che kL=m’2π che implica k = 2mL π (equivalente a L = m0 λ, dato
che λ = 2π/k).
Nanoelettronica
Descrizione quantistica di atomi e molecole
Modello linearizzato di una molecola ciclica
Questa non e’ altro che la assunzione originale di Bohr, che
permette un numero intero m’ di lunghezze d’onda attorno
all’anello o in una distanza L=6a’ nel modello lineare. I valori
permessi di k saranno:
0
m0 π
k = m6a2π
0 = 3a0 dove a’ e’ il periodo del potenziale lungo il path di
corrente.
Seconda condizione:
sappiamo che ∂ψ
∂x = A ik exp(ikx) da cui abbiamo:
∂ψ
∂x =A ik=A ik exp(ikL) Questa equazione fornisce le stesse
informazioni della precedente.
In conclusione le soluzioni della equazione sono f.o. del tipo
exp(ikx) o combinazioni lineari del tipo sin(kx) cos(kx) con
k = ±m0 π/3a.Queste energie differiscono da quelle della trappola
monodimensionale poiche’ la funzione d’onda non e’ 0 agli estremi.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Effetti dovuti alla variazione del potenziale:riflessione di
Bragg
A questo punto possiamo considerare le variazione del potenziale
U(x) avente lunghezza d’onda a’ causate dalla presenza degli atomi
di Carbonio.Ci aspettiamo che gli atomi riflettano parte della f.o.
ψ = exp(ikx ).Sappiamo che k = 2π/λ per cui quando il moto
dell’elettrone e’ diventa piu’ veloce la lunghezza d’onda diminuisce.
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Descrizione quantistica di atomi e molecole
Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica
Una delle strategie della moderna nanoelettronica e’ basata su un
approccio modulare nel quale strutture particolarmente efficienti
per una data funzione sono assemblate o sono importate in
strutture convenzionali (passando per esempio da strutture da ∼ 102 a ∼ 101 atomi).
Una delle forti motivazioni alla base di questo approccio e’ quella
di mantenere la precisione nei vari parametri dei circuiti pur
riducendo fortemente la taglia dei sistemi. Infatti un singolo atomo
mancante (che sicuramente si trova in strutture generate
attraverso la deposizione in vuoto) comportera’ una variazione di
volume δV /V ∼ 10−3 nelle strutture piu’ piccole δV /V ∼ 10−6
nelle strutture piu’ grandi (1000 volte inferiore).Per cui il peso di
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica
Per esempio immaginiamo che l’isola di un transistor a singolo
elettrone per cui la capacitanza e’ una parametro
fondamentale.Paragoniamo un isola costituita da un C60 con quella
di dimensioni simili prodotta attraverso tecniche di deposizione in
vuoto.Mentre il fullerene sara’ perfettamente riproducibile ,qualsiasi
altra struttura prodotta sara’ in qualche modo casuale nella forma
e nella dimensione.Per cui ci saranno aspetti del circuito che
dipenderanno da interazioni che non possono essere sotto controllo.
Un esempio simile e’ quello di un nanotubo di carbonio la cui
funzione in un circuito puo’ essere quella di conduttore avente
un’alta mobilita’ elettronica controllabile.La regolarita’ delle
posizioni atomiche lo rende un perfetto conduttore il cui raggio e’
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica
Le strutture molecolari come i nanotubi di Carbonio o il C60
offrono la possibilita’ del controllo assoluto che implica anche la
perfetta riproducibilita’ e alta mobilita’ della cariche elettroniche.
In linea di principio un metallo estremamente puro tenuto a
temperature molto basse puo’ permettere agli elettroni di muoversi
attraverso milioni di atomi prima di essere diffusi.Questo tipo di
comportamento e’ desiderabile permettendo al dispositivo una
maggiore velocita’ e sviluppando meno calore.
Nei metalli e nei semiconduttori il requisito di perfezione delle
posizioni atomiche e’ molto difficile e costoso da
ottenere.Generalmente sono necessari grandi cristalli singoli che poi
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Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica
Anche in questo caso per evitare la diffusione elettronica bisogna
lavorare a basse temperature poiche’ il moto termico degli atomi
riduce il libero cammino medio degli elettroni da molti milioni di
passi reticolari fino a qualche decina.
Un modo di ridurre lo scattering a temperatura ambiente e’ quello
di considerare dei cristalli rigidi in cui viene aumentata l’energia e
quindi viene ridotta l’ampiezza delle vibrazioni.
A questo scopo gli atomi di massa piccola sono piu’ indicati
poiche’ la loro frequenza di vibrazione e quindi la loro energia sara’
maggiore.
I solidi a base Carbonio (diamante, grafite) sono promettenti da
questo punto di vista
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Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica:benzene
Anello esagonale formato da 6 atomi di Carbonio. La struttura e’
detta aromatica poiche’ almeno due dei sei elettroni 2pz (la cui
densita’ di probabilita’ si estende superiormente es inferiormente
rispetto all’anello benzenico 70 pm)sono delocalizzati e si muovono
facilmente attorno all’anello.
E’ stata misurata una corrente di 3.9 nA applicando un campo
magnetico di 1 T.
L’equivalenza del legame carbonio-carbonio e’ mantenuta nelle
strutture del grafene e della grafite.La lunghezza di legame nel
grafene e’ 142 pm (139.9 pm nel benzene).Nella grafite lo spazio
tra i piani di grafene e’ di 335 pm, consistente con una debole
interazione van der Waals.
Dei quattro elettroni di valenza di ogni carbonio, 3 sono impegnati
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Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica:grafene
Un singolo foglio di grafene (figura) e’ un cristallo singolo con lo
spessore di un singolo atomo.I fogli di grafene sono la base per
creare i nanotubi e i fullereni e la grafite.Tuttavia un singolo foglio
di grafene e’ difficile da isolare e solo di recente si e’ riuscito a
farlo. I piu’ perfetti fogli di grafene sono estratti da un cristallo di
grafite.L’estrazione prevede una sorta di rimozione (peeling off) in
modo da ottenere un foglio di grafene singolo. Inoltre il grafene e’
stato crescito im modo epitassiale su un substrato di SiC.
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Zona di Brillouin
In fisica dello stato solido, si chiama prima zona di Brillouin la cella
di Wigner-Seitz del reticolo reciproco. Preso un qualsiasi punto del
reticolo di Bravais come in figura, il contorno della zona di
Brillouin si ottiene tracciando la bisettrice delle linee congiungenti i
primi vicini nel reticolo reciproco. In tre dimensioni alle rette
bisettrici si sostituiscono i piani bisettori.
L’importanza della prima zona di Brillouin dipende dalla
descrizione mediante funzioni di Bloch delle onde in un mezzo
periodico, in tale rappresentazione si trova che le soluzioni possono
essere completamente caratterizzate dal loro comportamento in
una sola zona di Brillouin.
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Zona di Brillouin
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Reticolo reciproco
In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di
~ che generano un reticolo di
Bravais un insieme di vettori K
Bravais nello spazio dei momenti. L’onda piana il cui vettore
~ ha la stessa periodicit del reticolo di partenza.
d’onda sia K
Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco
in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo
reticolo reciproco e’ spesso chiamato reticolo diretto, quando
considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco e’ anche
un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d’onda. Il reticolo
reciproco del reticolo reciproco e’ il reticolo di Bravais originale.
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Nuovi building blocks per i dispositivi elettronici di scala
nanometrica:grafene
La parte scura della figura, nel piano kx ,ky e’ la prima zona di
Brillouin del grafene.I vettori d’onda k sono convenzionalmente
misurati rispetto al centro della zona (Γ).
I punti K ed M rappresentano importanti direzioni di alta
simmetria per il grafene.In particolare il punto K e’ quello in cui si
incontrano la banda di conduzione e la banda do valenza.
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Conduzione elettronica del grafene
La grafite e’ un conduttore ed e’ descritta come un semiconduttore
a gap zero la cui conduttivita’ e altamente dipendente dalla
direzione. La struttura a bande della grafite paragonata a quella
del Si puo’ essere pensata come se il gap del Si fosse ridotto a
zero. Mantenendo la forma parabolica per la banda do conduzione
e la banda di valenza che si toccano (sovrappongono leggermente)
a k=0 (Γ).
Per il grafene ci sono due importanti variazioni nella struttura a
bande.La prima e’ che ci sono tre direzioni preferenziali nel piano
del grafene definite dai tre diversi legami C-C.In ciascuna di queste
tre direzioni il minimo di energia e’ leggermente spostato rispetto a
k=0. Tali punti di minimo vengono detti K e K’.
La seconda differenza e’ che le bande di energia approcciano i
minimi a K e K’ linearmente piuttosto che come una parabola
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Conduzione elettronica del grafene
L’energia puo’ essere descritta come:
E = ±~(kx2 + ky2 )1/2 c ∗
Dal momento che E varia linearmente con il vettore k, la relazione
∗
v = ~−1 ∂E
∂k comporta una velocita’ (c ) costante molto grande
6
−1
dell’ordine di 10 ms .
Il valore√ di c ∗ e’√: √
c−c t
c ∗ = ( 32 ) at~ = 2 3a
In questo caso t e’ l’integrale di hopping
~
√
(risonanza),a e’ la costante reticolare del grafene che e’ 3ac−c
con ac−c la distanza carbonio-carbonio nel grafene (142 pm).
Considerando che t=3.1 eV, si ottiene c ∗ = 0.546x 106 ms −1 .
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Conduzione elettronica del grafene
Gli elettroni liberi del grafene giaciono in una banda formata dagli
elettroni 2pz , gli stessi che forniscono la corrente di schermo nel
benzene.La velocita’ stimata delgli elettroni nel ring del benzene
era dell’ordine di 0.364x 106 ms −1 .
Le particelle che trasportano la carica elettrica nel grafene
(elettroni e lacune) a velocita’ costante ed elevata si comportano
come un fotone:
E = pc ∗ = ~kc ∗ Questa relazione suggerisce che come per il
fotone la massa sia zero.
Una particella di massa efficace zero e’ molto rara nella fisica dello
stato solido, sebbene significhi semplicemente che l’energia vs. k
sia una retta. In accordo i dati sperimentali mostrano una massa
molto piccola.
Sperimentalmente la mobilita’ del grafene a temperatura ambiente
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Conduzione elettronica del grafene
Il libero cammino medio a temperatura ambiente e’ estremamente
elevato :fino a 0.3 µm che corrispondono a 2000 legami C-C.
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Conduzione elettronica del grafene epitassiale
Due fogli di grafene possono essere isolati allo stesso modo in cui
si isolano fogli singoli o estraendoli da cristalli di grafite e
attraverso la crescita epitassiale.
Recentemente fogli singoli e doppi di grafene sono stati cresciuti in
condizioni di ultra alto vuoto si un substrato di SiC. Questo
processo e’ noto come vacuum graphitization e consiste in un
breve riscaldamento ad alta temperatura (1400 gradi C) nel quale
gli atomi di Si diffondono dalla superficie del SiC lasciando un layer
di C che ha la stessa struttura cristallina.Questo metodo puo’
essere usato per produrre fogli singoli e doppi.
Utilizzando metodologie di analisi di tipo low-energy diffraction
(LEED) sono stati osservato grandi domini epitassiali in cui il
c’erano due fogli di grafene aventi costante reticolare 246 pm
(corrispondente si legami C-C 142 pm) ruotati di 30 gradi rispetto
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Conduzione elettronica del grafene epitassiale
In seguito a questa rotazione gli atomi di Carbonio e quelli del SiC
erano allineati sufficientemente da indurre un ordine a lungo raggio
nel grafene.
Questi layer epitassiali mostrano un’elevata mobilita’ elettronica
2.75 m2 s −1 a 300 K indicando un elevato libero cammino medio
per gli elettroni nel grafene epitassiale.
E’ stato inoltre osservato che la corrente puo’ transitare anche tra i
due fogli di grafene con un valore di ciraca 1 nA per atomo di C
nel grafene.
Applicando un opportuno voltaggio (figura) tra i fogli di grafene ,
le bande di conduzione e di valenza si separano (traslano) creando
un gap energetico di circa 200 meV.Per cui siamo passati da un
semimetallo ad un semiconduttore.
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Conduzione elettronica del grafene epitassiale
Il voltaggio e’ dovuto alla deposizione di atomi di potassio
all’interno del doppio strato di grafene.Il singolo elettrone di
valenza del potassio e strappato dal grafene creando una
concentrazione di cariche ed un campo elettrico di dipolo.VEDERE
FIGURA 5.6
In principio e’ possibile manipolare i doppi-strati di grafene con
differenti voltaggi in modo da ottenere gap energetici
variabili.VEDI FIGURA.
Il valore del gap energetico aumenta all’aumentare delle cariche
libere immesse nel grafene. Questa caratterizzazione e’ stata fatta
dal punto di vista teorico. FIGURA 5.7
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Possibili applicazioni del grafene
Le applicazioni del grafene epitassiale includono: transistor ad
effetto di campo,nuovi dispositivi basati sulla variazione del
bandgap al variare del campo elettrico applicato e dispositivi basati
sulla occupazione di non-equilibrio dei minimi K e K’.
Le potenzialita’ per i dispositivi sembrano relativamente immediate
dato che i fogli epitassiali di grafene possono essere cresciuti sul
SiC utilizzando metodi standard dell’industria dei semiconduttori.
Invece il patterning del grafene in nanoribbons (nano-nastri) e’
ancora in uno stato primordiale e’ non e’ capace di produrre
ribbons con controni zigzag o armchair. FIGURA 5.8
Altri tipi di dispositivi sono basati sulla struttura energetica del
grafene che presenta i minimi di energia in corrispondenza dei due
punti K e K’.
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Possibili applicazioni del grafene
Un tipo di dispositivo e’ basato su un foglio di grafene
opportunamente ritagliato in modo da creare un nano-nastro le cui
proprieta’ dipendono intrinsecamente dall’orientazione del nastro
rispetto al reticolo di grafene.
Nella figura si mostra il nanoribbon con i controni zig-zag e
armchair.La larghezza del nastro e’ importante. Oltre i 200 nm le
proprieta’ del ribbon sono le stesse di quelle di un foglio.
Se supponiamo che i punti K e K’ non siano equivalenti si avra’
uno splitting (gap energetico) tra la banda di valenza e la banda di
conduzione. Cio’ accade quando si ha una rottura di simmetria di
inversione nel grafene dovuta per esempio alla presenza del
substrato di SiC.
Una differente occupazione delle valli K e K’ da parte delle cariche
e’ detta polarizzazione delle valli.
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Nanotubi di Carbonio
I nanotubi di Carbonio sono dei cilindri cavi costituiti da un foglio
di grafene arrotolato (figura).Il diametri minimi sono circa 0.5 nm,
simili a quelli della molecola di fullerene. Tuttavia la loro lunghezza
puo’ essere dell’ordine del micron o centimetro.
La scelta dell’asse di arrotolamento realtivamente al foglio di
grafene assieme all’asse del cilindro determina una famiglia di
diversi tipi di SWNTs che variano da isolanti a conduttori.
A seconda del senso di arrotolamento possono essere distinti tre
tipi di nanotubi: se le maglie della rete sono disposte con due lati
degli esagoni paralleli o perpendicolari all’asse del nanotubo, si
hanno rispettivamente nanotubi a zig-zag o a armchair.
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Nanotubi di Carbonio
A seconda del profilo che disegnano gli atomi in una sezione del
nanotubo perpendicolare al suo asse; se i lati degli esagoni sono
progressivamente sfalsati e determinano l’andamento a spirale, si
hanno nanotubi chirali.
Le strutture osservate quindi possono essere visualizzate come un
reticolo grafitico bidimensionale sulla superficie di un cilindro.
~ definisce un modo diverso di arrotolare il
Ciascun vettore reticolo R
~ e
foglio per formare il tubo. Se introduciamo i vettori unitari R1
~ riportati nella Figura 2, allora R
~ pu essere espresso come R=
~
R2,
~
~
n1R1+ n2R2 e perci ciascun tubo pu essere etichettato con una
coppia di numeri interi [n1, n2].
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Nanotubi di Carbonio
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Nanotubi di Carbonio
La relazione tra gli indici n.m ed il diametro del nanotubo e’:
d = πa (n2 + m2 + nm1/2 ) dove a e’ la costante reticolare del
√
grafene ( 3ac−c = 246pm)
Un nanotubo di carbonio e’ un conduttore monodimensionale la
cui densita’ di stati e’ rappresentata in figura.
Esistono inoltre varieta’ di nanotubi di carbonio multiwalled che
possono essere sintetizzati in vario modo.
Figura 5.9 con i tre tipi di nanotubi,immagine STM (chirale, 9 wall)
La conduttivita’ elettrica dei nanotubi con particolari orientazioni
(armchair) e’ estremamente elevata. Risulta che le cariche possano
attraversare distanze dell’ordine del micron senza incombere nello
scattering .Infatti i nanotubi sono perfettamente periodici su
lunghezze dell’ordine del micron.
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Nanotubi di Carbonio
L’unica fonte di scattering sono le vibrazioni reticolari che sono
relativamente piccole dato che la struttura e’ rigida.
La mobilita’ elettrica e’ estremamente elevata in modo da rendere i
nanotubi estremamente utili nelle regioni attive dei dispositivi ad
alte frequenze.Si vedra’ successivamente che nanotubi con
diametro di 1.4 nm possono trasportare correnti del microAmpere
corrispondenti a 108 Acm−2 .
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Nanotubi di Carbonio annidati
I nanotubi di Carbonio annidati hanno il minimo di energia stabile
nella configurazione in cui i tubi sono paralleli e coassiali.Le forze
attrattive tra i due sono di tipo van der Waals e non forniscono
resistenza allo slittamento di un tubo rispetto all’altro.
In un recente esperimento (figura) si e’ trovato che partendo da
una configurazione in cui uno dei due nanotubi veniva tenuto
sfilato dall’altro il sistema ritornava spontaneamete alla
configurazione annidata. Cio’ indica una energia potenziale
attrattiva che spinge i tubi in questa configurazione.
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Proprieta’ fisiche, capacita’ di corrente
In figura viene mostrata la corrente misurata attraverso un SWCN
metallico. La corrente ragiunge i 20 microAmpere e non dipende
dalla temperatura.
I dati mostrano come la stessa corrente elevata sia disponibile a 5
V a temperature che variano da 4 a 200 K . Cio’ dimostrerebbe
che lo scattering degli elettroni con il reticolo responsabile della
generazione del calore e’ un evento raro.
Tale assenza di scattering si riferisce ad un trasporto di carica ti
tipo balistico. Nel trasporto balistico e’ possibile rappresentare il
fenomeno con una rappresentazione ondulatoria che comporta
fenomeni di interferenza. Questo tipo di effetti sono stati osservati
(figura).
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Proprieta’ fisiche, capacita’ di corrente
I nanotubi di carbonio possiedono inoltre una elevato coefficiente
di conducibilita’ termica (300 W/(m.K)).Questo valore e’
paragonabile ai migliori conduttori termici tipo diamante o grafene
(2000 W/(m.K)).
Questa caratteristica e’ importante per la nanoelettronica perche’
la rimozione del calore e’ uno dei problemi principali dei dispositivi
nanometrici.
Il modulo di Young (1 TPa) sono paragonabili con quelli dei
materiali piu’ duri.
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Effetti di interferenza nei nanotubi metallici
Gli elettroni che si muovono con moto balistico sono equivalenti a
onde che si propagano allo stesso modo delle onde
elettromagnetiche in una guida d’onda o la propagazione della luce
tra due specchi.
Anche in questi casi ci sara’ riflessione delle onde che risulteranno
in fenomeni di interferenza.Tali fenomeni sono stati osservati come
mostrato in figura in cui un nanotubo metallico e’ inserito in una
geometria simile ai transistor ad effetto di campo.
La figura mostra una nanotubo isolato SWNT che e’ stato
sintetizzato attraverso la chemical vapor deposition. Tale
nanotubo avente altezza di circa 1 nm e’ stato posizionato
attraverso un AFM in un dispositivo FET .
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Effetti di interferenza nei nanotubi metallici
Le proprieta’ elettriche del FET sono state caratterizzate in
funzione del voltaggio V bias e il gate voltage Vg . Al di sotto dei
10 K si osservano delle oscillazioni sinusoidali.
In questo caso gli elettroni possono viaggiare tranquillamente
attraverso il dispositivo essendo poi riflessi all’estremita’ del
dispositivo.
Questo fenomeno e’ piu’ evidente analizzando un altro esperimento
(fig 5.13) in cui viene misurata la conduttanza in funzione del
voltaggio (source-drain) e gate.
Le interferenze sono state interpretate come dovute a due modi di
propagazione che interferiscono solo con le due estremita’ del
dispositivo e non tra di loro.
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Effetti di interferenza nei nanotubi metallici
Lo spazio che intercorre tra le oscillazioni e’ inversamente
proporzionale alla lunghezza del tubo La pendenza del plot
voltage-spacing vs- 1/L e’ stabilito come a hvf /2 da cui si puo’
valutare la velocita’ di fermi come vf = 8.1x 105 ms −1 . Questo
valore e’ in accordo con la velocita’ misurata nel grafene.
L’interpretazione di questi fenomeni e’ quella di un interferenza di
tipo Fabry-Perot. La cavita’ risonante e’ il nanotubo delimitato
dalle due giunzioni nanotubo-elettrodo.
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Effetti di campi elettrici nei nanotubi
I nanotubi di Carbonio sono cilindri di diametro riproducibile
dell’ordine di 1 nm. Le estremita’ possono invece essere
considerate come sfere dello stesso diametro.
Il raggio di un nanotubo e’ a=0.5 nm, cio’ rende facile produrre un
campo elettrico intenso sulla sua superficie.Se la carica e’ Q
distribuita su una lunghezza L, il campo elettrico radiale e’:
E = (2πQ0 L)r
In generale il potenziale V(a) sara’ fissato con l’assunzione du un
elettrodo coassiale molto piu’ grande di raggio b tenuto a V=0. In
questo caso il campo elettricocorrispondente al raggio a e’:
V0
E = [ln(b/a)]a
dove V0 e’ il potenziale sulla superficie del nanotubo.
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Effetti di campi elettrici nei nanotubi
Il punto importante e’ che il valore del raggio den nanotubo e’ al
denominatore della espressione. Cio’ rende il valore del campo
elettrico estremamente elevato.
Per b/a=500, V=1 V e a=0.5 nm E=0.322 V/nm.Questo campo
elettrico non e’ tale da ionizzare un atomo ma e’ grande
abbastanza per creare un legame con una molecola polare.Questo
effetto e’ stato utilizzato per creare un semplice sensore elettrico
per molecole polari.
E’ possibile generare campi elettrici piu’ intensi in prossimita’ delle
estremita’ del nanotubo che possiamo considerare come sferiche
aventi lo stesso raggio del nanotubo.
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Effetti di campi elettrici nei nanotubi
Considerando un potenziale V(a)=V0 il campo elettrico E per r>a
e’:E = V0 a/r 2 .ConsiderandoV0 = 1V e a=0.5 nm il campo sulla
superficie e’ V0 /a = 2V /nm
Questo campo elettrico puo’ essere facilmente cresciuto fino a
valori che permettono di emettere elettroni per effetto di campo. Il
fatto che i nanotubi possano facilmente condurre alte correnti e’
potenzialmente utile nel generare dispositivi a effetto di campo
capaci di avere alte densita’ di corrente.
La capacitanza di un capacitore cilindrico avente raggio interno a
0 L)
ed esterno b e’: C = (2π
ln(b/a)
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Il valore della capacitanza dipende dal raggio a. Tale raggio puo’
variare in seguito all’adsorbimento sulla superficie del nanotubo di
molecole polari. Questa caratteristica puo’ essere sfruttata per
utilizzare i nanotubi come rivelatori di molecole polari.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Nanotubi ferromagnetici controllati da dal drogaggio
con elettroni o buche.
I nanotubi non sono solo costituiti da Carbonio.Eccellenti nanotubi
di BN (nitruro di boro) aventi diametro di 30-40 nm e lunghezza di
circa 10 micron presentano una alta conducibilita’ termica
paragonabile a quella dei nanotubi di carbonio.
Nanotubi multiwalled di tipo VOx (ossido di Vanadio) con x circa
2.4 sono ferromagnetici a temperatura ambiente.
La magnetizzazione in funzione della temperatura per nanotubi
drogati con Li (elettroni) e I (buche) e’ mostrata in figura.
Il magnetismo deriva dai livelli 3d del Vanadio.
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Nanofili
Ci dono molti altri esempi di conduttori uni-dimensionali che
vengono spesso detti fili quantici.La maggior parte hanno una
forma cilindica e non sono cavi. In ogni caso hanno le cariche
confinate in due dimensioni (es. z e y) e sono libere di muoversi in
una dimensione (x). La densita’ di stati e’ simile a quella dei
nanotubi.
i nanofili cilindrici crescono in genere lungo una determinata
direzione cristallografica come [100] per CdS e ZnO e [111] per Si.
La superficie cilindrica dei nanofili e’ composta da atomi
completamente saturati. L’assenza di legami non saturati permette
alle cariche di avere alte mobilita’.
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Regole per i conduttori unidimensionali
Nel caso di un filo quantico idealizzato di sezione quadrata di lato
d si ha:
ψnm (x , y , z) = ( d2 )sin(
2
ny πy
nz πz
d )sin( d )exp(ikx x )
h
2
2
En = ( 8md
2 )(ny + nz ) +
~2 kx2
nm )
= Eb +
con energia:
~2 kx2
2m
Una caratteristica interessante e’ che la densita’ di stati nella
banda unidimensionale e’ proporzionale a (E − Eb )−1 . Cio’ implica
che c’e’ una singolarita’ nella parte inferiore della banda (figura).
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Regole per i conduttori unidimensionali
Una verifica sperimentale delle equazioni precedenti e’ stata
eseguita misurando la densita’ di stati lungo una catena di atomi
d’oro il cui numero variava da 1 fino a 20.Questi atomi si allineano
efficacemente in particolari condizioni (utilizzando un microscopio
STM) che permette anche di misurare la densita’ di stati.
La banda ache appare e’ una banda di conduzione vuota in cui
l’energia vs. k segue l’equazione precedente. La massa effettiva
dell’elettrone lungo il nanofilo e’ 0.4 volte la massa dell’elettrone.
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Nanofili ferromagnetici a base Benzene-Vanadio
Gli anelli benzenici hanno la capacita’ di legarsi ad atomi metallici
che si dispongono al di sopra o al di sotto del piano dell’anello. Un
tipico esempio e’ costituito dal Ti che puo’ formare legami con
diverse molecole organiche compreso il C60 , nanotubi di C e
polimeri. Lo scopo ultimo e’ quello di immagazzinare idrogeno.
Recentemente e’ stato proposto un nanofilo ferromagnetico a base
vandio/benzene: Vn BZn+1 , dove BZn+1 e’ il benzene. Il nanofilo e’
costituito da una catasta di n+1 esagoni con un atomo di vanadio
inserito tra due benzeni.
Questi sistemi sono stati osservati in numero n=6 in reazioni di
vaporizzazione laser di V e benzene in atmosfera di He.
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Nanofili ferromagnetici a base Benzene-Vanadio
L’atomo di vanadio ha uno spin totale S=1 ed ha la partcolarita’ di
avere energia di Fermi positiva (metallo) per gli elettroni aventi
una orientazione dello spin mentre possiede un gap energetico per
gli elettroni aventi orientazione di spin opposta.
Questa’ proprieta’ rende questo sistema un ipotetico filtro per gli
spin elettronici.
Calcoli teorici mostrano come la cella unitaria di questo sistema
abbia una dimensione di circa 340 pm e l’energia di legame
vanadio/benzene e’ di 2 eV
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Quantum Dots
Letteralmente un quantum dot (QD) e’ una struttura di dimensioni
tale da poter essere efficacemente studiata solo mediante la
meccanica quantistica.
Un esempio e’ quello del C60 . Tuttavia il termine quantum dot e’
stato coniato per strutture a semiconduttore di dimensioni
maggiori spesso cresciute in soluzione che assorbono ed emettono
luce nel visibile in base alle transizioni elettroniche.
Altre tecniche di crescita di quantum dot prevedono una crescita
epitassiale basata su un fascio molecolare.
I quantum dot vengono anche detti atomi artificiali per il fatto che
possiedono transizioni ottiche ben definite nel visibile.
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Quantum Dots
I quantum dot di CdSe o semiconduttori simili sono cresciuti per
precipitazione in soluzioni. Le dimensiono sono controllate ed in
genere sono dell’ordine dei 4-5 nm.
La dimensione delle particelle e’ governata dalla concentrazione
nella soluzione degli atomi costituenti il QD nella soluzione e dal
numero di siti di nucleazione.
La forma dei QD non e’ perfettamente controllabile e’ dipende dal
tipo di legame interatomico.
Un metodo di crescita alternativo dei QD e’ la tecnica conosciuta
come molecular beam epitaxy (MBE).
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Quantum Dots
Uno degli interessi maggiori legati ai QD e’ il fatto la lunghezza
d’onda emessa dipende dalla dimensione L. Per cui il colore puo’
essere variato a seconda della taglia. Inoltre, come negli atomi, le
righe di emissioni sono ben definite per cui una distribuzione di QD
con diverse taglie corrisponde ad una distribuzione di righe ben
definite.
L’emissione dei QD e’ prodotta sottoponendo il QD a luce
ultravioletta. In questo modo si formano coppie elettrone-lacuna
che ricombinandosi emettono un fotone la cui energia dipende
dalla forma e dalla dimensione del QD.
Le dimensioni del QD sono abbastanza grandi da poterli studiare
applicando concetti di fisica dello stato solido
(bande,bandgap,masse efficaci, lacune...)
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Quantum Dots
Le immagini TEM di questi nanocristalli (50000 atomi) mostrano
una struttura perfettamente cristallina simile a quella di un
cristallo macroscopico e con la stessa costante reticolare.
Una analisi quantitativa del processo di emissione di luce mostra
come le masse efficaci degli elettroni e delle lacune assieme ad
altre proprieta’ microscopiche siano molto simili al corrispondente
valore nei cristalli macroscopici.
L’emissione in tutti casi e’ dovuta ad un processo di
ricombinazione elettrone-buca che vengono inizialmente creati
attraverso l’illuminazione a lunghezze d’onda inferiori.
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Quantum Dots
L’energia ER rilasciata nella ricombinazione e’ interamente fornita
al fotone: ER = hν = hc/λ.
Il colore della luce emessa e’ controllato dalla dimensione L dato
che ER = EG + Ee + Eh , dove EG e’ il gap del semiconduttore ed
Ee ed Eh sono rispettivamente le energie di confinamento
dell’elettrone e della lacuna che aumentano al diminuire di L.
Le energie di confinamento sono proporzionali a 1/L2 .Dal
momento che questi termini aumentano l’energia del fotone
emesso, la corrsipondente lunghezza d’onda diminuisce per cui si
parla di blueshift.
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Quantum Dots
Una possibile applicazione dei nanocristalli e’ nel campo della
ricerca biologica.Inatti i QD sono dei markers per particolari tipi di
cellule quando vengono osservati al microscopio ottico sotto
illuminazione di luce ultravioletta.
In queste applicazioni il QD e’ ricoperto da un layer sottile (ZnS) e
solubile che lo rende impermeabile alle molecole d’acqua.
Un ulteriore ricoprimento puo’ essere applicato in modo da
permettere al QD di legarsi in modo preferenziale a specifiche
cellule.
La ricerca biologica puo’ per esempio osservare la superficie esterna
di una cellula illuminata in verde. Mentre il nucleo della cellula
puo’ essere visto in rosso.
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Elettroni e lacune in un QD 3D
Possiamo applicare le equazione per una particella intrappolata in
una scatola 3D al caso degli elettroni e buche in un QD.
Una lacuna in una banda energetica piena si comporta come un
elettrone avente carica positiva che tende a salire verso il top della
banda. Per cui l’energia della buca cresce in modo opposto
rispetto all’energia dell’elettrone.
Le regole della meccanica quantistica che sono state sviluppate in
precedenza sono valide anche per le lacune in un semiconduttore.
Per creare una coppia elettrone-lacuna in un semiconduttore
abbiamo bisogno di una energia minima uguale al gap energetico
Eg del semiconduttore.
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Elettroni e lacune in un QD 3D
Abbiamo visto in precedenza che la funzione d’onda per una
particella intrappolata un una scatola 3D di volume L3 e’:
ψn (x , y , z) = ( L2 )3/2 sin( nxLπx )sin(
ny πy
nz πz
L )sin( L )
dove nx =1,2... e
2
h
2
2
2
En = [ 8mL
2 ](nx + ny + nz )
In questo caso invece di un elettrone libero in una scatola nel
vuoto abbiamo un elettrone di conduzione in un cubo di un
semiconduttore di lato L con una certa massa efficace.
Differenti geometrie rispetto a quella cubica corrispondono a
differenti equazioni per la f.o. e per l’energia ma qualitativamente
il comportamento sara’ lo stesso.
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Elettroni e lacune in un QD 3D
L’applicazione delle formule precedenti al caso del QD necessita
che L sia nel range dei 3-5 nm e che la massa me sia interpretata
come la massa efficace m∗ sia dell’ordine di 0.1me.
La coppia elettrone-buca e’ generata dalla radiazione di energia:
hc
λ = En,electron + En,hole + Eg In questo caso i primi due termini
dipendono come L−2 fortemente dalla dimensione del QD. Cio’
permette di di variare il colore della luce emessa variando L.
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Quantum dots cresciti con la tecnica MBE
Importanti dispositivi a semiconduttore possono essere possono
essere prodotti con la tecnica MBE che consiste nel deposito lento
di atomi in atmosfera di ultra alto vuoto su un substrato costituito
da un singolo cristallo.
Se il materiale depositato ha la stessa struttura cristallina e
costante reticolare del substrato, il deposito si cristallizzera’ con la
stessa struttura del substrato.
Questo tipo di crescita e’ altamente desiderabile poiche’
all’interfaccia variano solo le proprieta’ elettroniche e la struttura
reticolare per cui le cariche potranno passare all’interfaccia senza
fenomeni di scattering.
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Quantum dots cresciti con la tecnica MBE
Una variante di questo processo puo’ essere utilizzata per creare i
QD.Infatti se depositiamo un layer sottile avente differente
costante reticolare rispetto al substrato, invece di formare un layer
epitassiale formera’ isole nel substrato con costante reticolare
propria (figura).
In questo caso il substrato e’ GaAs ed in particolare il piano
cristallografico con indice (311). Nella figura sono mostrati i punti
che si formano depositando InAs sul substrato ad una temperatura
di 500 gradi.
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Quantum Well e gas di elettroni 2D
In un quantum well (QW) le cariche sono confinate in una
dimensione es. z di spessore d e sono libere nelle altre due
dimensioni x e y.
se supponiamo che l’energia di confinamento sia infinita possiamo
scrivere:
ψn (x , y , z) = ( d2 )1/2 sin( nzdπz )exp(ikx x )exp(iky y )
con energia:
2
h
2
En = ( 8md
2 )nz +
~2 kx2
2m
+
~2 ky2
2m
Il numero quantico nz e’ detto l’indice di sottobanda, quando
nz = 1 si dice che la carica e’ nella prima sottobanda
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Quantum Well e gas di elettroni 2D
La concentrazione di elettroni nella QW puo’ essere variata a
seconda delle applicazioni e puo’ essere talmente elevata da creare
sistemi con comportamento metallico.
In questo caso, se ci sono N elettroni per unita’ di area L2 ,
h2
2
l’energia di Fermi rispetto al bordo della banda E2 = ( 8md
2 )n e’:
2
EF − E2 = ( ~m∗π )( LN2 )
La densita’ di stati g(E) e’ costante e indipendente dall’energia:
∗ 2
g(E ) = costante = m~2 πL per E > E2
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Sensori infrarossi basati sui QW
I QW vengono utilizzati come sensori infrarossi che vengono
utilizzati per catturare le immagini sulla base della radiazione
termica. (FIGURA).
Consideriamo per esempio il GaAs, che possiede un badgap di 1.43
eV.In questo caso la luce infrarossa non sara’ assorbita da un
cristallo GaAs poiche’ l’energia del fotone infrarosso e’ molto
inferiore rispetto a quella del bandgap.
Il picco λm nello spettro di radiazione termica e’ tale che:
2.9x 106 nmK = λm T per T=300 K λm = 96667nm circa 10µm.
per cui dato che E = hc/λ abbiamo E=1240eV nm/96667
nm=0.124 eV
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Sensori infrarossi basati sui QW
Se consideriamo una quantum well drogato n, le transizioni ottiche
all’interno della sottobanda possiedono energie molto inferiori
rispetto al bandgap del cristallo corrispondente.
Per cui queste sistemi possono essere usati come sensori nel range
dell’infrarosso.(figura)
La differenza di energia tra la prima e la seconda sottobanda
possono essere regolate in modo tale da assorbire determinate
lunghezze d’onda.
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Gas di elettroni metallico bi-dimensionale (2DEG)
Un esempio rappresentativo di gas di elettroni 2D (fabbricato
partendo da un cristallo di GaAs attraerso la tecnica MBE) e’ un
layer di conduttore metallico avente una profondita’ di 57 nm.
La caratteristica peculiare di questi campioni e’ che gli elettroni si
comportano come onde nello spazio in cui si estende il campione.
Cio’ e’ dimostrato dalla presenza di marcati effetti di interferenza.
Il trasporto delle cariche e’ di tipo balistico ossia senza scattering
con il reticolo e le particelle sono descritte esclusivamente dalla
funzione d’onda quantistica.
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Misure di diffrazione elettronica
L’esperimento e’ simile agli esperimenti di diffrazione a singola
fenditura che vengono eseguiti in ottica.
Una fenditura a larghezza variabile e’ ottenuta inserendo dei point
contact gates.
A seconda della larghezza della fenditura (che viene regolata dal
voltaggio dei point contact gates) possono emergere uno,due o tre
lobi di di diffrazione dell’onda elettronica.
Le variazioni nella figura di diffrazione sono correlate con le
variazioni della conduttanza quantica (multipli di G0 = e 2 /~) che
appaiono nel plot della figura.
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Misure di diffrazione elettronica
I punti importanti di questi esperimenti sono 2:
Il primo e’ che questo tipo di fenomeno appare in tutti i casi di
sistemi di taglia nanometrica.Questo tipo di comportamento che
non e’ governato da fenomeni diffusivi apparira’ anche nei
transistor a base silicio quando le dimensioni sono sufficientemente
piccole.
Cio’ significa che a queste dimensioni i transistor si comprtano in
modo diverso.
Il secondo punto e’ la mancanza di scattering per questi elettroni.Il
libero cammino medio degli elettroni in questo caso e’ 11µm che
corrisponde circa a 20000 legami atomici.
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Caratterizzazione del campione
Il campione e’ cresciuto su un substrato di GaAs con i seguenti
depositi successivi: 1µm di GaAs, 22nm Al0.3 Ga0.7 As,un deposito a
spessore nullo con are 8x1012 cm−2 di Si drogato n,30 nm di
Al0.3 Ga0.7 As ed infine 5 nm di GaAs.
Il layer di Al0.3 Ga0.7 As agisce come una barriera 0.4 eV piu’ alta
rispetto a quella del GaAs.
Gli stati donori al centro della barriera sono ad un energia piu’ alta
rispetto alla banda di conduzione del GaAs per cui si trasferiscono
al GaAs.
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Separazione della carica mobile dai donori ionizzati.
Gli elettroni liberi sono confinati all’ interfaccia GaAs/Al0.3 Ga0.7 As
in seguito all’attrazione residua con le cariche scoperte del Silicio
drogato.
Siccome la distanza con queste cariche e’ elevata (22 nm) lo
scattering degli elettroni 2D con queste cariche e’ ridotto e percio’
si ha un elevato valore di mobilita’ (106 cm2 V −1 s −1 ).
Il gas di elettroni 2DEG ha una energia di Fermi di 16 meV ed una
densita’ di elettroni di 4.5x 1011 cm−2 . Tali numeri sono consistenti
con le equazioni precedenti in cui la massa efficace e’
m∗ /m = 0.068
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Parametri del metallo 2D a temperatura T=0.
Se consideriamo una energia di fermi di 16 meV con
EF = pF /2m∗ ,m∗ /m = 0.068 abbiamo che:
pF = 1.781x 10−26 Kgms −1 , per cui λF = h/pF = 37nm.
Allo stesso modo possiamo calcolare la velocita’ di Fermi
vF = pF /m∗ = 0.287x 106 ms −1 .Il tempo di vita medio e’ uguale al
libero cammino medio diviso per la velocita’ di Fermi ed e’ uguale
a 38.2 ps.
E’ possibile anche stimare la larghezza del gas 2D λF /2=18.5 nm,
che corrisponde ad una buca di larghezza 18.5 nmIl libero cammino medio estremamente elevato ed il
comportamento quantistico sono principalemte dovuti alla massa
efficace piccola degli elettroni ed al fatto che si lavora a basse
temperature.
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Parametri del metallo 2D a temperatura T=0.
Il gas di elettroni e’ messo in contatto ohmico con un source ed un
drain che tipicamente lavorano a basso voltaggio (0.2 mV)
Vengono quindi misurate sia la corrente elettronica che la
conduttanza dI/dV dal source al drain.
La corrente e’ controllata da due elettrodi punti di contatto che
forniscono una costrizione spaziale alla corrente.
Qundo il valore do Vg e’ -1.3 eV la conduttanza diventa zero. Una
caratteristica peculiare della conduttanza in questi casi e’ la sua
quantizzazione in unita’ di G0 .
Il primo plateau (2G0 ) corrisponde a Vg = -1.2 eV, il secondo ed il
terzo sono (4G0 ) e (6G0 ) e corrispondono a Vg = -1.1 eV e Vg =
-0.95 eV
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Parametri del metallo 2D a temperatura T=0.
I differenti numeri quantici corrispondono a modi distinti di
propagazione degli elettroni attraverso la fenditura che diventa piu’
ampia al diminuire del potenziale negativo.
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Cristalli fotonici
Un cristallo fotonico (PC) e’ una struttura periodica dielettrica che
non permette la propagazione della radiazione luminosa in certi
intervalli di lunghezza d’onda.
Una recente applicazione e’ come emettitore laser nel range
blue-viola (figura).
La figura rappresenta un laser ad iniezione nel quale la corrente
fluisce verticalmente in una giunzione pn tra due semiconduttori a
gap diretto.
La ricombinazione in questo caso e’ aumentata da una serie di
buche quantiche (InGaN MQW) e la radiazione risultante e’
confinata da due cristalli fotonici bidimensionali. (2D GaN/air PC).
La fabbricazione dei cristalli fotonici GaN 2D e’ mostrata in figura.
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Cristalli fotonici
L’intrappolamento della luce da parte dei cristalli fotonici e’ basato
sull’effetto band-edge nei cristalli 2D.
In questo effetto la velocita’ di gruppo della luce diventa zero in
modo da formare i modi nella cavita’.
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Molecole organiche e polimeri conduttori
Le molecole organiche sono dei potenziali costituenti per i circuiti
di scala nanometrica ed hanno avuto un forte impatto nel campo
dei light-emitting diodes, dei transistor a film sottile e dei display.
Tali molecole sono state proposte come elementi attivi nei
dispositivi ibridi ma per ora non sono stati ancora commercializzati.
Abbiamo visto in precedenza come la corrente elettrica circoli in un
anello di benzene(quando sottoposto ad un campo magnetico) in
seguito alla presenza dei legami π del benzene.
I corrispondenti stati antibonding π ∗ che si trovano ad energia
maggiore sono vuoti, sono separati dai π da una sorta di energy
gap.
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Molecole organiche e polimeri conduttori
Tuttavia il benzene come molecola singola non e’ un conduttore e
non c’e’ modo di contattare la molecola per sfruttarne la corrente.
Infatti una molecola singola ha un numero limitato di stati
energetici separati da gap energetici.Cio’ significa che la molecola
non puo’ comportarsi come un metallo.
Un polimero, che e’ costituito d un numero elevato di singole
molecole, avra’ stati energetici che sono separati da gap
inferiori.Per cui un polimero puo’ comportarsi come un metallo.
Il grafene o i nanotubi (che possono essere considerati come
polimeri o molecole mosto estese) sono eccellenti conduttori in
seguito alla presenza di bande π.
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Molecole organiche e polimeri conduttori
Il grafene ed i nanotubi possono comportarsi come metalli, cio’
significa che la resistenza del materiale e’ costante o diminuisce
con il diminuire della temperatura.
Invece la maggior parte delle molecole organiche si comportano
invece come semiconduttori, nel senso che la resistenza aumenta a
basse temperature. Cio’ e’ dovuto al fatto che gli elettroni devono
superare un gap energetico per poter condurre.
Solo poche molecole organiche si comportano da metalli con
conducibilita’ elettriche inferiori di quasi 100 volte rispetto a quella
del Rame.
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Polimeri metallici
Il Poliacetilene e’ un polimero che nel suo stato non distorto
dovrebbe avere una banda π mezzo piena, e per questo motivo
dovrebbe essere un metallo (FIGURA).
In figura viene mostrato la stessa disposizione di atomi del
benzene. Ogni carbonio possiede un elettrone pz . La struttura
puo’ essere pensata come una alternaza di legami π come nella
rappresentazione del benzene.
La posizione dei legami π puo’ essere traslata di un atomo
ottenendo una struttura equivalente.
Il risultato nel polimero e’ una banda mezzo piena di orbitali pz
che si sovrappongono per cui il polimero dovrebbe condurre allo
stesso modo di un nanotubo.
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Polimeri metallici
Sperimentalmente questo fenomeno non e’ osservato, il motivo e’
che in questo caso la struttura lineare della catena ha un minimo
corrispondente ad una struttura in cui la posizione dei legami e’
fissata.
In questo caso i legami doppi diventano fissati per cui appaiono
due diverse distanza di legame C-C.
Questa struttura comporta il fatto che la banda mezzo piena
formata da elettroni pz si divida in due bande una vuota ed una
piena separate da un gap.
In questo caso il guadagno energetico dovuto allo split delle bande
elettroniche e’ maggiore del costo energetico dovuto allo
stiramento dei legami per questo motivo avviene la distorsione.
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Polimeri metallici
Il polimero si comporta percio’ come un semicondutore che e’
certamente utile per altre applicazioni.
Il Poliacetilene, la polialanilina e altri polimeri semiconduttori
vengono utilizzati nei transistor, nei light-emitting diodes e nei
diodi fotovoltaici.
La sintesi in soluzione e’ meno cara della deposizione in vuoto ed
inoltre questi polimeri possono essere disposti in substrati flessibili.
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Poliacetilene drogato
E’ stato scoperto che l’aggiunta di cariche nel poliacetilene distorto
puo’ renderlo quasi metallico.
E’ stato osservato che drogando il poliacetilene puro con il Br, che
sottrae cariche dalla banda piena, e’ possibile creare un metallo che
conduce lacune.
Sperimentalmente il poliacetilene viene esposto al vapore di Br e
corrispondentemente si osserva una crescita della conducibilita’ di
un fattore 107 .
E’ stato stabilito che il migliore poliacetilene ha una conducibilita’
simile a quella del Rame.
Tuttavia la mobilita’ delle cariche e’ limitata dal campo elettrico
casuale generato dagli ioni Br per cui la resistenza di questi
campioni cresce a basse temperature.
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Polianilina metallica
L’anilina e’ costituita C6 H7 N e’ costituita da una anello benzenico
in cui un idrogeno e’ sostituito da un gruppo aminico NH2 . Questa
molecola e’ anche conosciuta come amino benzene.
Questa molecola puo’ essere polimerizzata in modo da formare
catene di polianilina (PANI) di vario tipo alcune delle quale sono
nello stato puro dei semiconduttori.
Recentemente e’ stato scoperto che il PANI in una particolare
forma, dopato con il camphor polysulfonic acid (CSA), costituisce
il primo polimero mai sintetizzato avente una resistivita’ che
decresce quando T tende a zero.
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Polianilina metallica
Questo comportamento e’ mostrato in figura.In tutti gli altri
polimeri conduttori la resistivita’ aumenta al diminuire della
temperatura.
In questo studio viene dimostrato come un vero metallo possa
essere ottenuto partendo da un polimero conduttore. Il lavoro
mostra anche che il metallo risultante ha proprieta’ scarse rispetto
ai metalli tradizionali come il Rame, con poche possibilita’ di
miglioramento.
Questo polimero e’ anche molto’ inferiore come proprieta’ di
conduzione rispetto al grafene o ai nanotubi di carbonio ed inoltre
e’ difficile da ottenere in forma riproducibile.
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Polianilina metallica
In realta’ solo i campioni di polianilina drogati col CSA e
polimerizzati in modo particolare mostrano comportamento
metallico.
La chimica della polianilina e’ estremamente complessa. I campioni
metallici sono cristallini, e la diffrazione a raggi X mostra una
distanza intercatena di 0.35 nm tra le facce parallele dei ring
benzenici
Le proprieta’ di questi materiali sono sempre dipendenti dal
campione. L’effettiva concentrazione di elettroni liberi in questi
metalli organici e’ stimata circa come un elettrone per anilina.
Tale concentrazione e’ molto inferiore rispetto a quella di un tipico
metallo.
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Metalli organici cristallini
Se distinguiamo tra polimeri metallici e cristalli, veri metalli e
perfino alcuni superconduttori sono stati sintetizzati a partire
molecole organiche che si comportano come donori o accettori.
Il primo metallo organico e’ il TTF-TCNQ (detto sale a
trasferimento di carica) nel quale la molecola donore TTF cede in
elettrone al TCNQ. Il cristallo risultante e’ un metallo sebbene
fosse stato inizialmente considerato un superconduttore.
Sintesi di altre tipi di cristalli organici hanno creato materiali
superconduttori.
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Polimeri semiconduttori negli OLED
Nella figura viene mostrato uno schema di funzionamento di un
Organic Light Emitting Diode (OLED). il catodo e’ formato da un
elettrodo di Alluminio (Magnesio o Calcio) e l’anodo e’ formato da
Ossido di Indio Stagno (ITO) trasparente.
Dal catodo vengono iniettati elettroni mentre dall’anodo vengono
iniettate lacune in un layer che emette radiazione luminosa
costituito dal polimero poli(p-fenilvinilene) PPV.
PPV ha un bad gap energetico di 2.5 eV tra gli stati π e gli stati
π ∗ e produce uno spettro di luminescenza giallo-verde
Nanoelettronica
Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Ruolo degli eccitoni nel trasporto di energia
Gli elettroni e le buche in un materiale come il PPV interagiscono
creando una particella detta eccitone.
Gli eccitoni sono localizzati nelle catene polimeriche e possono
avere spin opposti (eccitone di singolettto S=0) o spin paralleli
(tripletto S=1).
La ricombinazione avviene solo per gli eccitoni di singoletto dato
che lo spin non puo’ variare durante la transizione ed un fotone
non puo’ assumere momento angolare.Gli eccitoni di tripletto non
producono luce.
Il rapporto tra gli eccitoni di tripletto e singoletto e’ di circa 3:1
per cui solo il 25 % degli eccitoni si ricombinano generando fotoni.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Ruolo degli eccitoni nel trasporto di energia
Un modo di ricavare fotoni partendo dagli eccitoni di tripletto e’
quello di farli interagire con una molecola che contiene elementi
con Z elevato avente percio’ un forte accoppiamento spin-orbita.
Il Platino puo’ per esempio assorbire il momento angolare di Spin
di un eccitone di tripletto permettendo all’eccitone di ricombinarsi
emettendo radiazione luminosa.Tale processo di emissione e’ detto
fosforescenza.
L’aggiunta di materiali fosforescenti aventi eccitoni che si
ricombinano aumentano le prestazioni degli OLED.
Un altra caratteristica che deve essere migliorata negli OLED e’ il
trasferimento di eccitoni (che vengono prodotti alle interfacce tra il
catodo e l’anodo) nelle zone in cui ci sono i materiali fosforescenti.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Ruolo degli eccitoni nel trasporto di energia
in generale c’e’ stato un grosso miglioramento nelle proprieta’ degli
OLED che ha fatto si che il mercato legato all’illuminazione si stia
muovendo nella direzione degli OLED.
Questa are di mercato e’ particolarmente attiva dal punto di vista
commerciale per questo motivo c’e’ stata una parallela esplosione
della sintesi di polimeri conduttori.
Esempi di polimeri conduttori sono Alq3 che e’ stato usato sia
come layer di trasporto di elettroni che come emettitore di luce.
La formula chimica dell’ Alq3 e’ (C9 H6 NO)3 . Il materiale e’ solido
con punto di fusione a 300 gradi C.
Alq3 ha diverse forme cristalline ed emette nel blu.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Ruolo degli eccitoni nel trasporto di energia
Questo tipo di polimeri semiconduttori sono stati caratterizzati in
tutte le loro proprieta’, sono oggi sul mercato e possono essere
incorporati in diversi dispositivi nanoelettronici.
Un ulteriore caratteristica importante degli OLED e’ il fatto che
una banda molto stretta di emissione e’ selezionata utilizzando una
cavita’ ottica costituita da uno specchio metallico ed un layer ed
un riflettore di Bragg.
L’emissione ad ampio spettro che e’ caratteristica dei polimeri
organici e’ dovuta sia ai diversi stati elettronici presenti in diverse
parti della struttura che ai moti vibrazionali della molecola.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
OLED di nuova generazione che emettono luce bianca
Sono state recentemente prodotte delle strutture capaci di emettere
uno spettro di luce bianca e di raggiungere alte efficienze in termini
di potenza di radiazione emessa per unita di potenza consumata.
Questo dipositivo e’ particolarmente complicato ed e’ capace di
emettere 38 lm/W paragonati ai 15 lm/W nel caso di una normale
lampadina.
Questo dipositivo differisce dai normali dispositivi descritti in
precedenza poiche’ il singolo layer di PPV e’ stato sostituito con
un un layer emissivo esteso EML costituito da una catasta di 6
diversi layers.
in questo dispositivo ci sono 3 tipi di layer attivi (r,g,b). I due layer
b generano direttamente luce blu (fluorescenza).
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
OLED di nuova generazione che emettono luce bianca
Gli eccitoni di tripletto generati nei layer b1 e b2 sono tali da poter
diffondere negli altri 2 layer r e g generando luce rossa e verde.
I layer r e g contegono atomi pesanti di iridio che permettono di
sfruttare gli eccitoni di tripletto.
Una cosa importante e’ che gli eccitoni di tripletto diffondono
meglio di quelli di songoletto. in questo modo possono migrare,
partendo dal layer b, verso i layer r e g prima di ricombinarsi.
Il dispositivo e’ stato costruito attraverso successive fasi di
evaporazione di layer organici in camere da vuoto su un substrato
di vetro ricoperto dall’ITO.
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Nuovi costituenti per i dispositivi elettronici di scala nanometrica
Stampe a getto di inchiostro di transistor organici
E’ stato recentemente brevettato un processo si stampa a getto di
inchiostro ad alta risoluzione per la fabbricazione di circuiti
contenti polimeri organici. Tali dispositivi sono preparati attraverso
step successivi di deposizione in soluzione e stampa.
I substrati sono costituiti da vetro che viene trattato con processi di
fotolitografia in modo da creare alcuni pattern sulla sua superficie.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad
effetto tunnel risonante
Il modello fisico di una particella che si muove verso un gradino di
potenziale in una dimensione permette di comprendere gli aspetti
fondamentali dei dispositivi sulle giunzioni tunnel e sulla doppia
barriera di potenziale.
Il diodo ad effetto tunnel risonante e’ basato proprio sull’effetto
tunnel in una doppia barriera di potenziale. Questo modello e’
anche fondamentale per descrivere il decadimento di una particella
α.
Le giunzioni tunnel tra materiali magnetici sono la base dei sensori
basati sulle magnetoresistenze (TMR) presenti nei dischi rigidi dei
computer.TMR sono anche presenti nell memorie MRAM
(Magnetoresistive Random Access Memory) dei computer.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad
effetto tunnel risonante
Le giunzioni tunnel tra due superconduttori (nel caso di alta
trasmissione) si chiamano giunzioni Josephson che costituiscono la
base di sensori di corrente estremamente sensibili.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Sitema: una particella che si muove verso un gradino di potenziale
finito U0 a x=0 e’ un esempio paradigmatico per spiegare gli effetti
di riflessione e tunnel.
Supponiamo che U = 0 per x<0 e U = U0 per x ≥ 0 Possiamo
distinguere due casi:
Caso 1: E>U0 , la particella incidente e’ parzialmente trasmessa e
parzialmente riflessa. Per x negativo:
ψ(x ) = A · exp(ikx ) + B · exp(−ikx ), dove k = ( 2mE
)1/2
~2
Per x positivo:
ψ(x ) = C · exp(ik 0 x ) + D · exp(−ik 0 x ), dove k 0 = ( 2m(E~2−U0 ) )1/2
A,B,C,D sono numeri complessi arbitrari. I vincoli fisici sono
essenziali per risolvere il problema.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Prima considerazione: D=0 dato che non ci sono particelle
incidenti da destra
Seconda considerazione: in x=0 la continuita’ della ψ(x ) implica
che A+B=C
Terza considerazione: in x=0 le derivate a sinistra devono essere
uguali a quelle di destra:
dψ(x )/dx = A · ik · exp(ikx ) − B · ik · exp(−ikx ) = C · ik 0 · exp(ik 0 x ),
percio’
A+B=C e k’C=K(A-B)
queste equazioni si possono scrivere come:
k−k 0
2k
B = k+k
0 A e C = k+k 0 A
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Le probabilita’ di riflessione e trasmissione R e T sono:
2
k 0 |C |2
k−k 0 2
4kk 0 2
R = |B|
= ( k+k
0 ) T = k|A|2 = ( k+k 0 )
|A|2
e’ facile notare che R+T=1
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Caso 2 E<0
L’unica variazione in questo caso e’ che E − U0 e’ negativo
rendendo k’ un numero immaginario.
Per questo motivo scriviamo k 0 = iκ dove
1/2 e’ un numero reale.
κ = [2m U0~−E
2 ]
La soluzione per x positive e’: ψ(x ) = C · exp(−κx ) + D · exp(κx ),
dove κ = [2m U0−E
]1/2
~2
In questo caso D=0 per evitare che la f.o. assuma valoro
estremamente elevati per x grandi.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Le equazioni:
A+B=C e k’C=K(A-B)
0
2k
B = k−k
k+k 0 A e C = k+k 0 A
e
2
k 0 |C |2
k−k 0 2
4kk 0 2
R = |B|
= ( k+k
0 ) T = k|A|2 = ( k+k 0 )
|A|2
rimangono valide ponendo k’=iκ
2
2
In questo caso R=1 poiche’ nella equazione: R = |B|
= ( k−iκ
k+iκ ) il
|A|2
numeratore ed il denominatore sono il complesso coniugato
dell’altro per cui hanno lo stesso valore assoluto.
La soluzione per x positivo e’ un esponenziale decrescente ed non
e’ automaticamente zero nella regione e non e’ automaticamente
zero nella regione con energia negativa.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
E’ possibile ricavare |C 2 | considerando k’=iκ nella equazione:
2k
C = k+k
0 A per cui:
2
4E
4k
2
2
2 4E
|C |2 = k+κ
2 |A| = |A| E +(U −E ) = |A| U dove
0
0
E = ~2 k 2 /2m < U0
Notiamo che |C |2 = 0 per un potenziale infinito (particella
intrappolata)
Percio’ la probabilita’ di trovare una particella nella regione
proibita per x>0 e’: R
E
P(x > 0) = |2A|2 UE0 0∞ exp(−2κx )dx =2|A|2 κU
0
dove A e’ l’ampiezza dell’onda incidente e E<U0
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Riflessione e tunnel in un gradino di potenziale
Questo e’ un esempio di effetto tunnel, ossia il fatto che una
particella possa essere trovata dove la sua energia classica e’
negativa.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Doppia barriera rigida
Il problema piu’ semplice da risolvere e’ quello di una particella
intrappolata in una dimensione. Supponiamo che U=0
(0<x>L);U = ∞ in tutte le altre parti dove ψ(x ) = 0
nella regione(0<x>L) l’equazione di Schröedinger indipendente dal
tempo e’:
d 2 ψ(x )
+ 2mE
ψ(x ) = 0
dx 2
~2
Questa equazione dell’equazione di un oscillatore armonico,
possiamo percio’ adattare la soluzione:
2
F=ma, con F=-Kx corrisponde alla equazione ddt x2 + (K /m)x = 0
con soluzione x = sin[(K /m)1/2 t]
Nel nostro caso scriviamo ψ(x ) = Asin(kx ) + Bcos(kx ) dove:
k = [ 2mE
]1/2 = 2π
λ
~2
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Doppia barriera rigida
Il valore del potenziale impone che a x=0 e x=L ψ(x ) = 0 cio’
significa che B=0
Inoltre: ψ(L) = 0 = Asin(KL) implica che kL = nπ n=1,2,3...
2
n2 h2
En = ~2 (nπ/L)
= 8mL
2 n = 1, 2...
2m
Le energie permesse crescono come il quadrato di n e che le
energie crescono quadraticamente quando L decresce.
La costante di normalizzazione A si calcola imponendo la
normalizzazione
della probabilita’:
R
A2 0L sin( nπx
)dx
=1
L
che implica che A = (2/L)1/2
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Doppia barriera rigida
La condizione relativa ai valori permessi di k = nπ/L implica che:
L = nλ
2 un numero intero di mezze lunghezze d’onda deve essere
compreso in L
Il valore di aspettazione del momento di una particella nella
direzione xR e’:
< px >= ψ ∗ [( ~i ) ∂ψ
∂x ]dx
Se consideriamo un fascio di elettroni con vettore d’onda
k = 2π/λ rappresentati dalla funzione d’onda:
ψ = L−1/2Rexp(ikx ) si ha:
< px >= xL=0 e −ikx ike ikx dx = ~k
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Doppia barriera rigida
Questo risultato indica che la f.o. deve sempre contenere una parte
immaginaria affinche si rappresenti il momento (che deve essere
una quantita’ reale).Una f.o. reale produce risultati non fisici
corrispondenti a momento nullo.
Nel caso di una particella intrappolata in una scatola avremo due
possibili valori di momento ±~k con k = nπ/L dove n e’ il numero
di mezze lunghezze d’onda contenute nella scatola.
La particella intrappolata esercitera’ una pressione sulle pareti della
buca. La frequenza di impatti su una singola parete sara’:
nh
fcoll = 4mL
2
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tunnel su una barriera di spessore finito
Consideriamo il problema del tunnel su una barriera di potenziale
U0 avente spessore finito t: 0 < x < t.
In questo caso avremo che il coefficiente che la probabilita’ di
trasmissione |T |2 dipende da exp(−2κt).
In questo caso avremo una onda viaggiante di ampiezza F.Per x
molto grandi avremo che ψ(x ) = Fexp(ikx ). Il coefficiente di
trasmissione
sara definito come:
|2
|T |2 = |F
dove
A e’ l’ampiezza dell’onda incidente che arriva
2
|A|
dalle x negative.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tunnel su una barriera di spessore finito
Questo problema viene risolto considerando la f.o. in tre regioni
separate :x < 0;0 < x < t e x > t. Questa f.o deve essere
continua, (anche la derivata prima) per cui il valori della f.o e della
derivata devono essere uguali in x=0 e x=t.
Nel caso in cui κt >> 1 si ha:
2 2
|T |2 ∼ 16k κk 2exp(−2κt)
la formula e’ approssimata perche’ trascura
+κ2
la riflessione multipla della f.o all’interno della barriera. In questo
caso la dipendenza dominante e’ data dall’esponenziale.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tunnel su una barriera di spessore finito
In molte applicazioni e’ possibile porre il prefattore
dell’esponenziale uguale a uno, per cui si ha:
|T |2 = exp(−2κt).
Esempi fondamentali nell’elettronica e nel caso di decadimenti
radioattivi coinvolgono una particella intrappolata un una buca di
potenziale di lunghezza L, limitata da due barriere di spessore
finito t avente un tempo di vita τ .
Come esempio consideriamo due barriere di altezza V, larghezza t
e separate da L.Nel caso in cui V e t sono grandi e’ possibile
approssimare gli stati a piu’ bassa energia nella regione con
potenziale nullo con le soluzioni della particella intrappolata in una
buca infinita.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tunnel su una barriera di spessore finito
Per questi stati fortemente legati e’ possibile approssimare la
probabilita’ di uscita come il prodotto della frequenza di collisione
della particella con le pareti moltiplicata per la probabilita’ di
trasmissione |T |2 .
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Analisi dei livelli energetici nei dispositivi QWIP
Consdideriamo un QWIP. Tale dispositivo puo’ essere studiato con
buona approssimazione considerando le formule per una buca di
potenziale unidimensionale.
Conoscendo l’energia del fotone di 0.124 eV dobbiamo trovare lo
spessore della QW d tale da generare stati legati (nz = 1ednz = 2)
separati da quella energia.
2
E2 − E1 = ( 8mh∗ d 2 )(22 − 12 ) = 0.124x 1.6x 10−19 J sapendo che
m∗ /m = 0.068 per il GaAs si ha:
d = h( 8m3 ∗ )1/2 )(E2 − E1 )−1/2 =
6.6X 10−34 [ 8x 0.068x 39.1x 10−31 ]1/2 x [0.124x 1.6x 10−19 ]−1/2 = 11.5nm
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Analisi dei livelli energetici nei dispositivi QWIP
Questo risultato e’ in accordo qualitativo con il valore sperimentale
che prevede per il GaAs d=7.1 nm con un picco di assorbimento
corrispondente a λ = 9.3µm
Il motivo per cui non c’e’ un accordo quantitativo e’ che noi
abbiamo approssimato la barriera come infinita, mentre il vero
valore della barriera e’ 0.4 eV.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tempo di fuga da una barriera finita
La buca di potenziale infinita che abbiamo appena modellizato ha
una larghezza di 11.5 nm e stati legati separati da 0.124 eV.
Consideriamo una barriera piu’ realistica U0 = 0.4eV e assumo che
la barriere su entrambi i lati siano parzialmente trasparenti con
larghezza t.
E’ possibile ricavare il tempo di fuga dalla barriera (per effetto
tunnel) relativo allo stato n=1 che in questo caso e’ 1 ns.
Dallo stato n=1 l’altezza della barriera e’ 0.4 eV meno E1 (circa
0.041 eV) per cui:
E1 = U0 − E = 0.359eV .
La frequenza di collisione su ciascuna parete fcoll = nh/4mL2
(usando gli stessi parametri) e’ 2x 1013 s−1 su ciascuna delle pareti.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tempo di fuga da una barriera finita
Per avere una frequenza di fuga di 1/1ns, ffuga = 1GHz, abbiamo
che la probabilita’ di penetrazione della barriera
|T |2 = 109 /(4X 1013 ) = 2.5X 10−5
Utilizzando la forma analitica piu’ semplice per T 2 = exp(−2κt)
con κ = [2m∗ (U0 − E )/~2 ]1/2 , troviamo che −2κt = −10.8.
Considerando che U0 − E =0.359 eV e m/m∗ =0.068 troviamo che
t = 10.8/(2κ)=5.4/[2m∗ (U0 − E )/~2 ]1/2 =6.75 nm. Tale valore e’
piu’ simile a quello sperimentale di 7.1 nm.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodo ad effetto tunnel risonante
Partendo dal caso della doppia barriera di potenziale ed applicando
una tensione ai capi del sistema si ottiene una traslazione delle
bande. Se l’energia dell’elettrone a sinistra della barriera e’ uguale
all’energia di uno stato legato interno alla buca, il coefficiente di
trasmissione diventa uguale a 1 per cui la barriera diventa
trasparente.A quel punto l’elettrone puo’ facilmente penetrare
all’interno della buca.
Quando l’elettrone si trova all’interno della buca puo’ fuoriuscire
per effetto tunnel dalla barriera di destra dato che in questo caso il
potenziale U0 e’ inferiore.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodo ad effetto tunnel risonante
A seconda del voltaggio applicato questi dispositivi avranno
correnti di picco dell’ordine di 109 elettroni/s.
Nella condizione corrispondente alla corrente di picco il potenziale
e’ tale da allineare l’elettrodo di sinistra a potenziale zero
all’energia della dello stato legato n=2.Si ha percio’ che
∆V = Estato−legato /e = V /2. Questa sara’ la caduta di potenziale
attraverso la parte sinistra della barriera.
Il processo di tunnel avviene ad energia costante, cio’ significa che
l’elettrone che saltera’ verso destra avra’ un energia pari a
2Estato−legato rispetto allo zero della parte destra.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodo ad effetto tunnel risonante
Questo modello assume che l’energia iniziale degli elettroni sia
zero, in realta’ in tutti i sistemi realistici le energie sono distribuite
in un intervallo.
Nel caso di un elettrodo metallico le energie iniziali variano da da
zero fino ad EF (piu’ qualche multiplo di KT).Per ogni energie
degli elettroni la direzione del moto degli elettroni dovra’ essere
considerata dato che le componenti della velocita’ dirette verso la
barriera avranno maggiore probabilita’ di tunnel.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Tempo di tunneling e relativa velocita’ del dispositivo
Nei calcoli precedenti non abbiamo trascurato di considerare i
ritardi temporali dovuti all’effetto tunnel. Infatti l’effetto tunnel
puo’ essere considerato come un evento istantaneo se paragonato
al trasporto diffusivo.
In generale per una barriera spessa 1 nm considerando una
velocita’ di c/10, il tempo di transito sarebbe dell’ordine di
33x 10−18 s, un tempo che nell’ambito della nanoelettronica puo’
essere considerato nullo.
I diodi ad effetti tunnel hanno frequenze di funzionamento che
corrispondono a tempi nell’ordine del ps. Cosi’ come i dispositivi
che coinvolgono l’effetto tunnel tra superconduttori hanno tempi
dell’ordine del 1.3 ps. In nessuno di questi dispositivi il fattore
limitante e’ il tempo necessario per il tunnel delle singole barriere.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzione p-n
Una giunzione p-n indica l’interfaccia che separa le parti di un
semiconduttore sottoposte a drogaggio di tipo differente.
Le due zone che costituiscono la giunzione sono: una con un
eccesso di elettroni (strato n) e una ad eccedenza di lacune (strato
p). Tali zone si ottengono mediante drogaggio, con varie tecniche.
Il termine giunzione fa riferimento alla regione in cui si incontrano i
due tipi di drogaggio (P e N).
L’interfaccia tra i blocchi di tipo P e di tipo N e priva di portatori
liberi (zona di svuotamento). Ai due lati della giunzione vi una
differenza di potenziale costante, chiamata tensione di built-in.
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Giunzione p-n
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzione p-n
Le giunzioni p-n sono usate come diodi: dispositivi che permettono
un flusso di corrente in una direzione ma non in quella opposta.
Per ottenere questo effetto bisogna incrementare o ridurre
l’estensione della zona di svuotamento applicando unan opportuna
tensione alla giunzione p-n (polarizzazione inversa o polarizzazione
diretta).
Quando c’e’ polarizzazione diretta le cariche elettriche possono
scorrere liberamente grazie alla bassa resistenza incontrata nella
giunzione. Quando la giunzione p-n polarizzata inversamente,
invece, la barriera di potenziale alla giunzione (e quindi anche la
resistenza) aumenta e il flusso di cariche minimo.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzione p-n
Polarizzazione diretta: la parte di tipo P connessa al terminale
positivo del generatore di tensione e mentre la parte di tipo N
connessa al terminale negativo.
In questo modo, le lacune nella regione di tipo P e gli elettroni
nella regione di tipo N sono spinti verso la giunzione riducendo
l’ampiezza della zona di svuotamento.
Questo abbassa la barriera di potenziale all’interfaccia. Se si
aumenta la tensione di polarizzazione, si arriva al punto in cui la
zona svuotata diventa cos sottile che i portatori di carica possono
superare la barriera per effetto tunnel, e la resistenza elettrica si
riduce a un valore molto basso. Gli elettroni che superano la
barriera alla giunzione entrano nella regione di tipo P.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzione p-n
Si avra’ percio’ la presenza di una corrente elettrica. Un elettrone
passera’ dalla regione di tipo N alla regione di tipo P. La barriera
alla giunzione non pu trattenere l’elettrone nella regione di tipo N
a causa dell’effetto della polarizzazione diretta (in altre parole, una
zona svuotata sottile offre una piccola resistenza elettrica contro il
flusso di elettroni).
L’elettrone quindi attraversera’ la giunzione e proseguir nella
regione di tipo P. Una volta all’interno della regione di tipo P,
l’elettrone salter da una lacuna disponibile all’altra, facendosi
strada verso il terminale positivo dell’alimentazione.
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Diodo Esaki
Il diodo Esaki e’ differente rispetto al diodo ad effetto tunnel
risonante costituito dalla doppia barriera.
Tale dispositivo e’ costituito da una giunzione pn con alte
percentuali di drogaggio.
Anche in questo caso la caratteristica tensione-corrente del diodo
non e’ lineare ed e’ coinvolto il tunnel di una singola barriera.
In questo caso applicando piccole tensioni gli elettroni e le buche
possono attraversare la barriera presente all’interfaccia. In questo
modo si ha una debole corrente di picco. Gli elettroni possono fare
tunnel poiche’ vedono livelli vuoti dall’altra parte.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodo Esaki
Alzando ancora il livello di fermi succedera’ che gli stati elettronici
andranno a finire in corrispondenza degli stati elettroni vuoti (gap)
della parte p.A questo punto si avra’ una forte decrescita della
corrente.
Aumentanto ancora il potenziale arriveremo ad un punto in cui gli
stati elettronici vedono gli stati di conduzione della regione p. A
questo punto si tornera’ al comportamento diffusivo.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodo ad effetto tunnel risonante hot electron transistor
Abbiamo visto che le due barriere nel diodo a tunnel risonante sono
separate da una distanza L.Uno o piu’ stati legati sono contenuti
all’interno della buca di potenziale tra le barriere.La larghezza delle
barriere e’ sufficientemente piccola da permettere il tunnel.
Se ipotizziamo di irraggiare la struttura con f.o. elettroniche di
varie energie (vari k) ci si puo’ chiedere quale sia la probabilita’ di
trasmissione dell’intera struttura in funzione dell’energia
dell’elettrone.
Gli stati elettronici legati costituiscono un filtro energetico per la
trasmissione degli elettroni.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Three-Terminal Resonant Tunneling Device
Questo dispositivo e’ costituito da una buca di potenziale con una
doppia barriera che agisce come filtro per elettroni aventi
determinate energie.
La caratteristica principale della risposta tensione-corrente di
questo dispositivo e’ la presenza di uno o piu’ picchi di corrente
che compaiono quando il voltaggio bias e’ uguale all’energia di uno
stato legato.
La I(V) conterra’ percio’ diversi picchi di corrente ciascuno seguito
da una regione a resistenza negativa.
in un transistor ad effetto tunnel risonante, il filtro costituito dalla
doppia barriera e’ utilizzato per iniettare cariche in una regione che
corrisponde alla base nei transistor convenzionali npn.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Three-Terminal Resonant Tunneling Device
La fabbricazione di questi dispositivi e’ fatta utlizzando la tecnica
MBE, in modo da depositare strati successivi di materiali con
diversi bandgap senza variare la struttura reticolare.
Quests tecnica permette di fabbricare dispositivi quasi ideali che
possono essere facilmente modellizzati in una dimensione V(x).
L’esempio piu’ comune di dispositivi di questo tipo e’ uno strato di
GaAs con alle estremita’ due strati sottili di AlGaAs come barriere.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi a tunnel risonante con tripla barriera e doppia
buca
Un esempio di approccio di questo tipo e’ costituito dal dispositivo
TBRTD (Triple-Barrier, Double Well Resonant Tunneling Diode).
Quando il voltaggio di gate e nullo la I(V) ha due
picchi.L’applicazione dei voltaggi di gate G1 e o G2 comporta tre
diversi stati del dipositivo.
Il dispositivo (a seconda del voltaggio di gate) mostra percio’
funzioni di logica binaria e ternaria.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi a tunnel risonante con tripla barriera e doppia
buca
L’interesse in questo tipo di dispositivi e’ recentemente esploso.
L’obbiettivo e’ aumentare il numero di stati del dispositivo in
funzione del potenziale di gate.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi interbanda ad effetto tunnel risonante (RITD)
Questo tipo di dispositivi sono simili ai diodi Esaki.
Il tunnel avviene tra le bande di conduzione e di valenza attraverso
la zona di svuotamento presente all’interfaccia tra due
semiconduttori drogati p ed n.
Questo fenomeno comporta la presenza di un picco di corrente
corrispondente a bassi voltaggi.
Una struttura a bande simile e’ ottenuta nei RITD creando una
struttura in cui il drogaggio (delta doping) con donori ed accettori
e’ fortemente localizzato in un piano.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi interbanda ad effetto tunnel risonante (RITD)
E’ inoltre presente uno strato separatore (costituito in genere da
una lega SiGe) tra le due zone drogate.
il drogaggio fortemente localizzato e’ poi seguito da una procedura
di annealing-termico per permettere una limitata diffusione degli
atomi droganti.
Il layer spaziatore ha in genere uno spessore dell’ordine dei 4-8 nm
e’ il bandgap locale del layer e’ ridotto rispetto a quell del Si (1.1
eV) in seguito alla presenza del Ge.
In questo dispositivo la parte che si trova a sinistra della regione di
svuotamento e’ fortemente drogata n mentre la parte a destra e’
fortemente drogata p.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi interbanda ad effetto tunnel risonante (RITD)
Questo dispositivo differisce per la presenza del layer separatore
Si0.6 Ge0.4 che serve ad incapsulare il deposito di atomi di oro
limitandone la diffusione.
Lo schema a bande del dispositivo mostra sulla sinistra (regione
drogata n) la banda di conduzione che si trova al di sotto della
banda di valenza della zona drogata p.
Per V>0 gli elettroni possono passare per effetto tunnel negli stati
di buca generando cosi’ una corrente .
Questi dispositivi hanno un diagramma a bande e delle curve I-V
simili a quelle del diodo Esaki. Tuttavia sono piu’ facili da fabricare
essendo compatibili con la tecnologia di fabbricazione del Si.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi interbanda ad effetto tunnel risonante (RITD)
Recentemente questo tipo di dispositivi Si/SiGe RITD ha avuto un
forte interesse dovuto alla possibilita’ di integrarli in transistor
(CMOS) sfruttando la possibilita’ di ottenere diversi stati del
dispositivo.
Cio’ viene ottenuto sfruttando le regioni in cui la resistenza del
dispositivo e’ negativa.
Tali dispositivi hanno infatti una singola regione in cui la resistenza
differenziale e’ negativa.
Tuttavia combinando opportunamente queste strutture e’ possibile
raggiungere differenti stati del nostro circuito con resistenza
negativa.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Diodi interbanda ad effetto tunnel risonante (RITD)
In questi dipositivi le regioni di Si dograte p ed n sono orientate
lungo il piano (100). Nel caso di drogaggio elevato questi materiali
si comportano come metalli per cui la struttura a bande risulta
simile a quella del diodo esaki.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Porte logiche basate su giunzioni a superconduttore
Le giunzioni tunnel sono gli elementi basilari nella tecnologia delle
porte logiche a superconduttore. Questa tecnologia viene anche
detta rapid single flux quantum (RSFQ).
Un importante aspetto di questa tecnologia e’ il fatto che il tunnel
e’ un processo estremamente veloce.
I superconduttori sono dei metalli in cui i portatori di carica sono
costituiti da coppie di elettroni.La f.o. che descrive questa coppia
possiede una fase che dipende dal campo magnetico attraverso il
~ tale che B
~ = ∇x
~
~ A
vettore potenziale vettore A
La funzione d’onda della coppia di elettroni e’:
~ r]
Ψ0 exp[iΘ] = Ψ0 exp[i − 2e A/~~
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Porte logiche basate su giunzioni a superconduttore
Questa f.o. considerando le unita’ del SI descrive correttamente la
quantizzazione del flusso: il flusso del campo magnetico racchiuso
da un anello superconduttore deve essere un multiplo
Φ0 = hc/2e = 2.07x 10−15W (W=Weber, T/m2 ).
Nel caso in cui un singolo quanto di flusso magnetico e’
intrappolato in un anello che contiene una o piu’ giunzioni
Josephson, esiste la possibilita’ che tale flusso possa fuoriuscire
attraverso una delle giunzioni.
Cio’ comporta un impulso di voltaggio compatibilmente con la
legge di Faraday dell’induzione V = −dΦM /dt
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Porte logiche basate su giunzioni a superconduttore
Questo effetto e’ alla base del funzionamento della tecnologia dei
computer RSFQ.L’impulso di voltaggio trasposta l’informazione nel
RSFQ
e puo’ essere descritto come:
R
Vdt = 2.07x 10−15 W = 2.07mvps tipicamente questo impulso e’
di alcuni millivolt in ampiezza e dura circa un picosecondo.
Le giunzioni Josephson ad effetti tunnel devono passare da
voltaggio zero a voltaggio finito molto velocemente.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzioni Josephson
Una giunzione Josephson e’ una giunzione tunnel tra due
superconduttori.
Tale giunzione possiede una barriera sufficientemente sottile che le
coppie di carica dei superconduttori appartenenti ai due lati della
giunzione si sovrappongono significativamente. Questa
sovrapposizione genera un termine energetico EJ di accoppiamento
tra i due superconduttori attraverso la giunzione.
Se questa energia e’ maggiore di KB T la differenza di fase tra le
funzioni d’onda attraverso la giunzione rimane costante.
Attraverso la giunzione fluira’ una supercorrente di Josephson che
dipende dalla differenza di fase Θ1 − Θ2 = φ:
IJ = IJ0 sinφ
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Giunzioni Josephson
L’accoppiamento di Josephson e’ legato al massimo valore della
supercorrente:
J0
EJ = −~I
2e
Nel caso in cui ci sia un campo magnetico parallelo al piano della
giunzione la differenza di fase φ e quindi la densita’ di corrente
sono funzioni della posizione lungo la giunzione. Cio’ significa che
il segno della corrente variera’ ogni volta che φ cresce di π.
Cio’ rende la corrente oscillante sotto l’effetto di un campo
magnetico.Lo zero nella corrente si ha quando la giunzione
contiene precisamente una unita’ di flusso di campo magnetico, gli
zeri successivi si hanno per i multipli interi del flusso.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Giunzioni Josephson
Questo fenomeno e’ alla base dei rilevatori di campi magnetici. In
un anello contenete due giunzioni Josephson, detto SQUID
(superconductor quantum interference device).
La caratteristica I-V delle giunzioni Josephson mostra che a V=0
c’e’ una supercorrente che attraversa la giunzione.Tale corrente
puo’ avere qualsiasi valore al di sotto di un valore critico.Al di
sopra del valore critico la giunzione salta ad un voltaggio
equivalente all’incirca al valore del gap energetico del
superconduttore 2∆/e.Per cui un dispositivo di questo tipo
possiede due stato 0 e 2∆/e.
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Giunzioni Josephson
Il processo di switching alla base del dispositivo e’ il salto dallo
stato superconduttore (V=0) allo stato con voltaggio finito.
Lo spegnimento dello stato di supercorrente avviene quando la
corrente applicata eccede la corrente critica.
Fintanto che la giunzione Josephson e’ nello stato superconduttore
tutta la corrente attraversa la giunzione e’ non c’e’ corrente che
attraversa la resistenza RL . Percio’ il voltaggio risultante e’ zero.
Quando la giunzione cambia nel suo stato voltaico il voltaggio
2∆/e verra’ misurato ai capi del dispositivo.
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Giunzioni Josephson
Le porte logiche basate su questa tecnologia sono state
estensivamente studiate ma mai applicate per la difficolta’ di
arrivare allo stato di superconduzione che richiede basse
temperature.
Un approccio di RSFQ piu’ recente e’ basato sulle giunzioni
Josephson con resistenze di tipo shunt. I resistori di tipo shunt con
baasi valori di resistenza vengono posti in parallelo con la giunzione
Josephson. In questo modo la corrente I rimane costante anche
dopo lo switch del dispositivo.Cio’ genera un impulso di corrente
come output con durata dell’ordine del ps
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Giunzioni Josephson
Un test essenziale da fare e’ quello di capire se l’impulso in uscita
da una giunzione Josephson e’ capace di cambiare lo stato di
un’altra giunzione da superconduttore a lo stato con voltaggio
diverso da zero.
Cio’ e’ stato dimostrato in un circuito RSFQ che operava con
frequenza di 750 GHz.
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Superconduttori
Il fenomeno della superconduttivita’ fu scoperto nel 1911. Si noto’
che il mercurio, raffreddato fino a 4.2 K (punto di liquefazione
dell’elio) trasportava corrente elettrica senza resistenza, la quale
risultava uguale a zero nei limiti della sensibilita’ dellpparato
sperimentale allora utilizzato.
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Superconduttori
Lo stato a resistenza zero al di sotto di una certa temperatura
critica Tc fu osservato successivamente in altri metalli.
Da quel momento inizio’ la ricerca nel campo che aveva
l’obbiettivo di trovare un modello teorico della superconduttivita’.
Inoltre si cercava di scoprire altri materiali aventi alte Tc.
Le ricerche hanno portato alla scoperta di materiali che diventano
superconduttori anche a temperature Tc maggiori della
temperatura di liquefazione dell’azoto.
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Superconduttori
I metalli ( Hg, Pb, Nb) e le leghe metalliche (quali NbN, Nb3Sn e
Nb3Ge) hanno temperature di transizione vicine a quelle dell’elio
liquido. I composti superconduttori a base rame (cuprati), quali
YBa2Cu3O7, hanno Tc superiori a quelle dell’azoto liquido.
Questi superconduttori, scoperti nel 1987 sono noti come
uperconduttori ad alta Tc hanno costituito uno dei pi significativi
avanzamenti delle ricerche sulla superconduttivit.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Effetto Meissner
Un’altra importante proprieta’ dei superconduttori si manifesta in
presenza di campi magnetici. Un superconduttore immerso in un
campo magnetico debole H si comporta come un diamagnete
perfetto, ossia come un mezzo con induzione magnetica B nulla al
suo interno.
Questa proprieta’ e’ nota come effetto Meissner: quando un
superconduttore viene posto in un campo magnetico esterno e poi
raffreddato al di sotto di Tc, il flusso magnetico presente al suo
interno viene espulso.
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Effetto Meissner
~ la magnetizzazione (cgs emu/cm3 ) si ha:
Indicando con M
~ =H
~ + 4π M
~
B
~ = 0 per cui:
in seguito all’effetto Meissner si ha che B
~
−1
χ= M
~ = 4π
H
La quantita’ χ e’ la suscettivita’ diamagntica
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Lunghezza di penetrazione di London
Quando avviene l’effetto Meissner il campo magnetico H viene
schermato da supercorrenti che circolano in orbite chiuse sulla
superficie del superconduttore.
Il campo magnetico penetra solamente in una regione superficiale
nella quale sono presenti le supercorrenti.
L’intensita’ di tali correnti decresce esponenzialmente allumentare
della distanza dalla superficie del superconduttore.
La costante di decadimento e’ detta lunghezza di penetrazione λ.
Nei superconduttori convenzionali λ varia da qualche decina fino a
qualche migliaio di nanometri.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Lunghezza di penetrazione di London
L’andamento spaziale del campo magnetico all’interno del
superconduttore e’:
x
B(x ) = B(0)e − λ
Il valore della lunghezza di penetrazione dipende dalla
temperatura.In particolare la lunghezza di penetrazione diverge
avvicinandosi alla temperatura critica Tc:
λ = λ0 [1 −
T4
Tc ]
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Superconduttori del I tipo e del II tipo
E’ possibile classificare i superconduttori a seconda del loro
comportamento in campo magnetico esterno.
I superconduttori di tipo I hanno la caratteristica di espellere H
completamente se il campo non supera un certo valore critico Hc.
I superconduttori di tipo II sono caratterizzati da due valori di
campo critico Hc1 e Hc2 e permettono una parziale penetrazione
delle linee di flusso magnetico al loro interno per H intermedio fra
Hc1 e Hc2.
In entrambi i tipi di superconduttori, al di sopra dei valori dei
campi critici , il materiale torna allo stato normale.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Superconduttori del I tipo e del II tipo
La differenza tra i superconduttori I e II e’ riassunta mostrato nei
diagrammi di fase (H,T).
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Superconduttori del I tipo e del II tipo
Un superconduttore del II tipo presenta tre stati magnetici
differenti, ossia i) uno stato Meissner completo (diamagnetismo
perfetto), ii) uno stato Meissner parziale (stato misto) e iii) lo
stato normale.
Il primo stato quello in cui il materiale espelle completamente il
flusso magnetico applicato che permane finch H resta minore del
campo critico inferiore Hc1.
Hc1 dipende dalla temperatura, assumendo il valore massimo alla
temperatura ero annullandosi a Tc.
Se H e’ maggiore del campo critico Hc1, esso pu penetrare nel
materiale, ma non completamente ne’ uniformemente. Il
superconduttore si trova nello stato misto.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
Superconduttori del I tipo e del II tipo
I superconduttori del II tipo sono utili per varie applicazioni essi
rimangono nello stato misto di superconduzione anche dopo la
penetrazione del campo magnetico, possono sopportare campi
molto forti e quindi trasportare correnti pi intense.
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Dispositivi basati sull’effetto tunnel elettronico:diodo ad effetto tunnel risonante
La teoria BCS
La teoria BCS, introdotta nel 1957 da Bardeen, Cooper e
Schrieffer e grazie alla quale i tre autori vinsero il premio Nobel per
la fisica nel 1972, allo stato attuale l’unica teoria microscopica
della superconduttivita’ in grado di spiegare il fenomeno e di fare
previsioni corrette.
Secondo la teoria BCS, nella fase superconduttiva i portatori della
corrente elettrica sono coppie di elettroni debolmente
legati.Secondo la BCS tra gli elettroni di un metallo possano
esistere, oltre che forze di repulsione elettrostatica, anche forze
attrattive.
La seconda e fondamentale assunzione della teoria BCS che
l’attrazione tra gli elettroni sia mediata dal reticolo degli ioni.
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La teoria BCS
Un elettrone che si muove in un reticolo cristallino esercita una
forza attrattiva sugli ioni positivi che costituiscono il reticolo stesso.
Nei superconduttori a basse temperature, tale forza diventa
sufficiente a produrre una distorsione reticolare attorno alllettrone
in transito, comportando un aumento della densit di carica positiva
attorno all’elettrone stesso.
Tale distribuzione di cariche positive , non essendo disturbata
dallgitazione termica, sufficientemente stabile da attirare un altro
elettrone.
I due elettroni sentono pertanto una forza attrattiva, mediata dal
reticolo. La coppia di elettroni cos formata, detta coppia di
Cooper, risulta stabile al di sotto di una temperatura critica Tc e
libera di viaggiare nel reticolo non soggetta a fenomeni di
scattering.
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La teoria BCS
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La teoria BCS
La struttura a bande del metallo viene modificata in seguito alla
creazione delle coppie di Cooper.
Gli elettroni in un metallo formano un gas di Fermi nel quale a
temperature prossime allo zero assoluto, gli elettroni occupano
progressivamente i vari stati energetici a partire da quello di
minima energia, in modo tale che in ogni autostato non si trovi pi
di un elettrone,
Il massimo livello occupato dagli elettroni si chiama livello di
Fermi. La superficie di Fermi delimita, nello spazio dei momenti k,
la regione di autostati elettronici occupati, che contigua alla
regione di autostati non occupati.Per questo motivo I metalli, non
hanno gap nello spettro E(k).
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La teoria BCS
La transizione di fase da stato normale a stato superconduttore
prevede che a Tc il gas di Fermi si possa portare ad uno stato di
energia minore.
Cio puo’ avvenire ipotizzando che le coppie di Cooper si
comportino come unnica particella bosonica. In tali condizioni le
coppie di Cooper possono pertanto raggrupparsi, in un unico stato
quantistico con energia totale minore di quella del metallo normale,
.Infatti un sistema di bosoni presenta una transizione di fase verso
uno stato condensato (il condensato di Bose-Einstein), nel quale
tutte le particelle occupano lo stesso stato quantico.
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La teoria BCS
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La lunghezza di coerenza
La teoria BCS prevede che le coppie di Cooper non sono
indipendenti, ma spazialmente legate.
Si definisce lunghezza di coerenza (o di correlazione) ξ la
dimensione tipica di una coppia di Cooper. La lunghezza di
coerenza da’ una misura della distanza entro la quale gli elettroni
del condensato superconduttore sono correlati tra loro.
La funzione dnda dello stato fondamentale degli elettroni del
superconduttore descrive lnsieme delle coppie di elettrroni.
Il moto di ciascuna coppia e’ correlato a quello delle altre e non ci
sono fenomeni di scattering col reticolo.Questa proprieta’
determina la il fatto che a bassa temperatura la resistenza sia nulla.
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La lunghezza di coerenza
E’ possibile distinguere i superconduttori di tipo I e II basandosi
solamente sulla lunghezza di coerenza e profondit di penetrazione
del campo.
Nei superconduttori di tipo I λ < ξ e questi materiali tendono ad
essere superconduttori in condizioni di bassa temperatura e debole
campo magnetico.
Nel secondo caso, invece, si ha λ > ξ e pertanto i materiali del II
tipo rimangono nello stato di superconduzione anche dopo la
penetrazione del campo magnetico.
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Parametro d’ordine dello stato superconduttore
La funzione dnda del condensato di Cooper Ψ gioca il ruolo di un
parametro drdine per la transizione di fase da metallo normale a
metallo superconduttore
Nella fase metallica tale funzione zero, quando nessun elettrone ha
formato coppie, ed diversa da zero al di sotto di Tc.
Ψ cresce al diminuire della temperatura, essendo il suo modulo
quadro proporzionale alla densit delle coppie di Cooper.
Per T > 0 K, parte delle coppie di Cooper viene dissociata
termicamente e il condensato di Cooper coesiste con una frazione
di elettroni non accoppiati.
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Il gap superconduttore
In un superconduttore, a differenza di un metallo, vi la presenza di
un piccolo gap di energia 2∆ attorno al valore dellnergia di Fermi.
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Il gap superconduttore
Il gap nei superconduttori dellrdine di 10−3 − 10−4 eV. Esso
quindi ordini di grandezza minore del gap di energia aperto nei
semiconduttori
Il fatto che il gap abbia valore piccolo e’ dovuto alla debolezza
entita’ dellnterazione attrattiva tra elettroni mediata dai fononi.
L’esistenza del gap di energia e’ dimostrata attraverso esperimenti
di assorbimento ottico nella regione delle microonde.
L’assorbimento delle microonde riesce a promuovere elettroni dallo
stato superconduttore a quello metallico.
L’energia minima per creare un singolo elettrone da una coppia
indicata con ∆. Poich devono esser eccitati due elettroni di una
coppia, lnergia minima richiesta per unccitazione a T=0 K pari a
2∆.
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Il gap superconduttore
Il numero di elettroni non legati cresce all’aumentare della
temperatura sopra lo zero assoluto.
Al crescere del numero di elettroni liberi diminuisce la probabilita’
di creare coppie di Cooper e diminuisce il gap- il quale si annulla a
Tc. Sopra la temperatura critica il valore del gap si annulla.
Secondo la teoria BCS, Tc proporzionale a ∆ secondo la relazione:
∆(0K )
kB Tc = 1.76
La previsione BCS valida per molti superconduttori con un errore
entro il 10%. Quelli che presentano deviazioni maggiori (come
piombo e mercurio con discrepanze vicine al 30%), tendono
sistematicamente a deviare dalla teoria BCS semplice anche in altri
aspetti, e vengono detti superconduttori ad accoppiamento
elettrone-fonone forte.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Field effect transistor
La prima forma di transistor e’ stata quella costituita da giunzioni
pnp o npn.
Questo prototipo ha avuto difficolta’ ad essere prodotto
industrialmente in larghe quantita’. Ad oggi la maggior parte dei
transistor sono i transistor ad effetto di campo.
E’ importante studiare gli avanzamenti nella sviluppo e nella
miniaturizzazione dei transistor ad effetto di campo. in particolare
vogliamo capire quali sono le dimensioni minime di questi
dispositivi (Legge di Moore).
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
I metal-oxide-silicon field effect transistor (MOSFET) e’ il
transistor piu’ comune presente nei circuiti integrati. Solo nel 2006
sono stati prodotti 1018 transistor.
l principio di funzionamento del transistor ad effetto di campo
stato ideato nel 1925, mentre il primo MOSFET fu realizzato nel
1959.
l MOSFET composto da un substrato di semiconduttore drogato,
solitamente il silicio, al quale sono applicati tre terminali: gate,
source e drain.
L’applicazione di una tensione al gate permette di controllare il
passaggio di cariche tra il source e il drain, e quindi la corrente
elettrica che attraversa il dispositivo.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Il drogaggio del semiconduttore puo’ essere di tipo n o di tipo p e il
transistor viene detto rispettivamente pMOSFET e nMOSFET.
Cio’ per via del canale di drogaggio complementare che si viene a
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Il MOSFET e’ composto da un’ ettrostruttura formata da tre strati
di materiali diversi, affiancata da due terminali, detti source e
drain.
Il condensatore MOS (Metallo-Ossido-Semiconduttore) composto
dal substrato ed il gate.
Il substrato costituito da materiale semiconduttore drogato,
solitamente il silicio.
Il gate realizzato con materiale conduttore: silicio policristallino ad
alto drogaggio.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Tra il GATE ed il substrato esiste uno strato isolante detto ossido
di gate, composto da biossido di silicio (dielettrici ad elevata
permittivita’ elettrica). Questo strato serve ad evitare la fuoriuscita
di cariche dal gate.
Il source e drain, infine, sono composti da semiconduttore drogato.
Il drogaggio e’ pero’ opposto: se il substrato ha un drogaggio di
tipo p i due terminali hanno drogaggio di tipo n, e viceversa.
A seconda della tensione applicata ai capi del substrato la regione
di substrato che collega drain e source puo’ essere ricca di lacune,
vuota, o ricca di elettroni.
Quando la tensione del gate e’ negativa rispetto a quella del
substrato (generalmente posto a massa) le lacune del substrato si
accumulano in un piccolo strato in prossimita’ del gate, ed
impediscono il passaggio di corrente tra D e S.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Quando la tensione del gate e’ positiva rispetto a quella del
substrato rispetto all’elettrodo di substrato ma inferiore ad una
tensione di soglia Vth anche se le lacune del substrato si
allontanano dal gate, la regione in prossimita’ di esso comunque
priva di sufficienti portatori liberi di carica.
Vth dipende dalla tensione tra source e bulk: cio’ viene
comunemente chiamato effetto body (dovuto alla capacita’ del
capacitore MOS). Se e’ presente una differenza di tensione tra
source e bulk e’ necessaria una maggiore differenza di potenziale
per ottenere la regione di inversione, il che equivale ad un aumento
della tensione di soglia.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Alcuni elettroni hanno comunque energia sufficiente per passare tra
D e S: e’ percio’ presente una piccola corrente elettrica, che varia
esponenzialmente con Vgs , ed definita approssimativamente dalla
Vgs −Vth
relazione: I ∼ I0 e (1+Cd /Cox )
dove dove I0 e’ la corrente per Vgs = Vth ,Cd e’ la capacita’ della
regione di svuotamento e C0 e’ la capacita’ dello strato di ossido.
Quando la tensione di gate positiva e compresa tra Vth e
Vth + VDS il transistor passa al funzionamento attivo. Gli elettroni
nel substrato (portatori minoritari) vengono attratti dal gate: si
forma un canale conduttore tra gate e source nel quale il silicio si
comporta come se fosse drogato n come i terminali source e drain,
consentendo inizialmente il passaggio della corrente tra source e
gate.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
All’aumentare della tensione tra drain e source, la differenza di
potenziale Vgd = Vgs − Vds fra il gate e la regione del canale vicina
al drain diminuisce, ed il canale viene progressivamente strozzato
in prossimita’ di esso. Tale fenomeno detto pinch-off.
La carica di inversione diminuisce all’avvicinarsi al terminale di
drain, e questo implica che una volta raggiunto il completo
strozzamento il valore della corrente che percorre il canale non
dipende dalla variazione di Vds .
Quando la tensione supera anche la tensione il canale raggiunge il
drain: essendo possibile la conduzione il canale si comporta come
una resistenza.
Nanoelettronica
Field effect transistor
MOSFET
Lo sviluppo delle tecnologie digitali ha portato alla supremazia del
MOSFET rispetto ad ogni altro tipo di transistor basato sul silicio.
La ragione di tale successo stato lo sviluppo della logica digitale
CMOS, che vede nel MOSFET il costituente fondamentale.
Il sostanziale vantaggio del dispositivo il fatto che, idealmente,
quando spento non permette alla corrente di scorrere, e ci si
traduce nella riduzione della potenza dissipata.
Alla base di ogni porta logica vi infatti l’invertitore CMOS, la
combinazione di un NMOSFET e di un PMOSFET in serie, in un
modo tale che quando uno conduce l’altro spento. Tale
dispositivo fornisce un considerevole risparmio energetico e
previene il surriscaldamento del circuito, una delle principali
problematiche dei circuiti integrati.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone
I transistor a singolo elettrone sono i principali candidati come
alternativa ai transistor ad effetto di campo.
Il limite estremo di un dispositivo controllato da un singolo
elettrone (lacuna) e’ rappresentato dal transistor a singolo
elettrone.
La condizione che permette il funzionamento di tali dispostivi e’
che l’isola capacitiva (che corrisponde al canale nel FET), sia
talmente piccola che l’energia elettrostatica accumulata dalle
singole cariche sull’isola capacitiva sia maggiore dell’energia
termica.
Il passaggio di carica attraverso l’isola e’ controllato attraverso
l’elettrodo di gate.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Tale dispositivo deve avere dimensioni inferiori inferiori rispetto a
quelle che la tecnologia di fabbricazione di semiconduttori ordinaria
puo’ produrre.
Cio’ non significa che la corrente in questi dispositivi sia
necessariamente poco intensa. Una corrente dell’ordine dei nA puo’
tranquillamente circolare in dispositivi a base molecolare.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Il canale di una transistor a singolo elettrone e’ costituito da due
giunzioni tunnel in serie. La resistenza di tunnel e’ Rtot = Rs + Rd .
Le giunzioni tunnel sono considerate come resistive con valori
maggiori rispetto alla resistenza quantistica h/e 2 .
In questo limite i singoli elettroni effettuano tunnel in modo
casuale. Cio’ significa che l’isola, inizialmente non carica, sara’
occupata da un numero intero di elettroni.
La differenza di potenziale attraverso tutto il dispositivo e’ data
dalla somma delle cadute di potenziale ai capi delle giunzioni.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Il tempo di residenza nell’isola della carica e’ semplicemente RC
per cui la corrente quando il dispositivo e’ acceso e’ :
I = Vsd /Rtot = ne/RC Questa e’ una funzione a gradini con
plateau di corrente separati in voltaggio da e/C .
Questo comportamento avviene quando la capacitanza totale
Ctot = Cs + Cd e’ talmente piccola che una variazione della carica
nell’isola corrisponde ad una variazione di energia maggiore di KT.
L’energia necessaria per passare da n a n+1 elettroni e’:
2 −n2 ]
2
∆U = [(n+1)
= (2n + 1)( 2Ce tot )
(e 2 /2Ctot )
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Se il valore di ∆U e’ maggiore di KT allora una fluttuazione
termica che porta ad un numero maggiore di n e’ poco probabile.
Se la carica dell’isola non puo’ cambiare allora non puo esserci
corrente. Se un singolo evento di tunnel e’ poco probabile allora un
evento di doppio tunnel ha probabilita’ molto bassa.
L’assunzione e’ che le resistenze di tunneling siano maggiori delle
resistenze quantistiche in modo che la carica attraversi la giunzione
solamente in eventi discreti di tunnel (trasportando una unita di
carica e).
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Per avere e 2 /2CTOT maggiore di 0.025 eV (che corrisponde a KT
a 300K), il valore di CTOT deve essere inferiore a 3.2
aF=3.2X10−18 F
Nella equazione precedente ponendo n=-1/2 si ha ∆U = 0.
Questa e’ la condizione che si applica quando un transistor a
singolo elettrone e’ acceso.Il ruolo dell’elettrodo di gate e quello di
cambiare n in modo da fargli assumere anche valori non interi.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Ogni giunzione tunnel e’ rappresentabile come una combinazione in
parallelo di resistenze R e capacitanze C di tunnel.
Sia Vd e Vs il voltaggio attraverso le rispettive giunzioni con
capacitanze Cd e Cs .
Assumiamo che ci siano eventi di tunnel casuali e che l’energia
cinetica che un elettrone puo’ avere in seguito al tunnel sia
immediatamente ridotta al valore di equilibrio in seguito ad effetti
di scattering sull’isola.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Partendo da un valore iniziale di elettroni nell’isola pari a n (che
corrisponde ad una carica NETTA 0), dopo ns eventi di tunnel dal
source e nd eventi fouri dal drain l’energia elettrostatica sara’:
2
2
+Cdns )
U(ns , nd ) = (Cs CdCVtot+Q ) + eV (Csnd
dove Ctot = Cs + Cd e
Ctot
Q = Qd − Qs = −(nd − ns )e = −ne
La variazione di energia nell’isola metallica corrispondente al tunnel
di una carica addizionale attraverso il drain e’:
∆Ud = U(ns , nd ) − U(ns , nd ± 1) = ( Cetot )[−( 2e ± (en − VCs )
La variazione di energia nell’isola metallica corrispondente al tunnel
di una carica addizionale attraverso il source e’:
∆Us = U(ns , nd ) − U(ns ± 1, nd ) = ( Cetot )[−( 2e ± (en − VCd )
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Per un’isola metallica inizialmente neutra (n=0) la variazione di
energia in corrispondenza dell’uscita o entrata di un elettrone e’:
2
eVCd,s
∆Us,d = ( 2CeTOT ) ∓ CTOT
E’ necessario un voltaggio V per rendere questa quantita’ zero, che
permette un flusso di carica.
Se Cs = Cd = C = CTOT /2, il potenziale di soglia sara’ dato da:
Vth = Cetot
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Al di sotto del potenziale di soglia il tunnel e’ soppresso e percio’
I=0. Tale regime di trasporto elettronico e’ detto bloccaggio
coulombiano ed e’ caratterizzato da una bassa conducibilita’
attorno all’origine della curva I-V.
Se V > e/2C un elettrone ha fatto tunnel all’interno dell’isola per
cui n=1. Il livello di Fermi cresce di una quantita’ pari a e 2 /CTOT .
Si forma percio’ un nuovo gap vicino al livello di Fermi.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Il tunnel di un altro elettrone dall’isola al drain e’ ora proibito a
meno che il Vth non sia maggiore di 3e/2C.
All’interno di questi due valori non c’e’ flusso di elettroni
attraverso la struttura fino che l’elettrone all’interno dell’isola
passa al drain per effetto tunnel.
A quel punto l’isola ritorna allo stato n=0 e l’energia di Fermi
dell’isola decresce in modo che un’altro elettrone possa fare tunnel
dal source.
Se la resistenza di tunnel nella giunzione source e’ molto maggiore
di quella drain ma le capacitanze corrispondenti sono uguali la
corrente attraverso il sistema source-island-drain e’ controllata dal
voltaggio Vd = V /2 + ne/Ctot .
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Per cui gli step di corrente sono dati da: ∆I =
e
CTOT Rt .
La caratteristica I-V del dispositivo sara’ una funzione a gradini
con periodo Vth = Cetot .
Nanoelettronica
Field effect transistor
Transistor a singolo elettrone (SET)
Nanoelettronica
Field effect transistor
Modello di transistor a singolo elettrone (SET)
Nel SET oltre al source e drain c’e’ l’elettrodo di Gate che e’
considerato un capacitore che non permette il tunnel
Se Cg e Vg descrivono l’elettrodo di gate, la capacitanza totale del
SET e’ CTOT = Cs + Cd + Cg .
Quando avviene un evento di tunnel nella giunzione source la
variazione di energia
e’:
∆Us = ( Cetot ) −( 2e ) ∓ [(en − Qp + V (Cd + Cg ) + Vg Cg )] mentre
la variazione di energia elettrostatica dovuta al tunnel attraverso il
drain e’
∆Ud = ( Cetot ) −( 2e ) ± [(en − Qp + V (Cs ) + Vg Cg )]
Nanoelettronica
Field effect transistor
Modello di transistor a singolo elettrone (SET)
In questo caso Q = −ne + Qp , Qp e’ una carica parassita dovuta
alle cariche intrappolate nei pressi delle giunzioni.
Il voltaggio di gate e’ utilizzato per regolare la carica nell’isola e
per traslare le regioni do Coulomb blockade per n6=0.
Le condizioni che regolano il tunnel dentro e’ fuori dall’isola sono:
−( 2e ) ∓ (en − Qp + V (Cd + Cg ) + Vg0 Cg ) = 0
−( 2e ) ± (en − Qp + V (Cs ) + Vg0 Cg ) = 0
dove Vg0 = Vg + Qp /Cg
Nanoelettronica
Field effect transistor
Modello di transistor a singolo elettrone (SET)
Le equazioni precedenti definiscono una famiglia di rette nel piano
(V,Vg) che si intersecano.
Queste rete formano un grafico che definisce la stabilita’ del SET.
Le regioni ombreggiate definiscono le regioni in cui e’ presente il
Coulomb blockade.
All’interno di queste regioni che si chiamano i Coulomb diamonds il
numero di elettroni e’ fissato.
D’altra parte, al di fuori di queste regioni il numero di elettroni
fluttua permettendo la corrente.
Nanoelettronica
Field effect transistor
SET basato su una molecola di C60
Un esempio di SET e’ stato recentemente ottenuto utilizzando una
molecola di C60 come isola posta tra il source ed il drain.
Approssimando il C6 0 con una sfera, la capacitanza e’ C = 4π0 a
dove a e’ il raggio (0.6 nm).Risulta che C=6.66X10−20 F.
La corrispondente Coulomb blockade energy e’ di 1.21 eV.
Questo dispositivo agisce percio’ come Coulomb blockade per una
carica e.
In realta’ la capacitanza non e’ quella della sfera isolata ma e’ la
somma della dell’isola del source e del drain e del gate. Questa
risulta essere molto piu’ grande di quella prevista cosi’ da rendere
l’energia corrispondente molto minore.
Nanoelettronica
Field effect transistor
SET basato su una molecola di C60
Per questo motivo il dispositivo funziona solo a 1.5 K. Infatti a 1.5
K KT e’ piccola.
La conducibilita’ di questo dispositivo risulta in ogni caso troppo
piccola. Cio’ e’ probabilmente dovuto al fatto che l’interazione tra
il C60 e’ gli elettrodi e’ solo di tipo van der Waals rendendo grande
la resistenza di tunnel
Nanoelettronica
Field effect transistor
SET basato su nanotubi di carbonio
La condizione di operativita’ del SET e’ stata ottenuta a
temperatura ambiente.
Il tutto era basato su un nanotubo di carbonio che veniva curvato
due volte.
Ad ogni curvatura si aveva una barriera di tunnel di 15kΩ.
La regione conduttiva e’ quella compresa tra le due curvature. Tale
regione possiede una capacitanza molto piccola tale da far operare
il dispositivo a temperatura ambiente.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
La corrente che attraversa una singola molecola deve essere
necessariamente misurabile.
Il fatto che una corrente di 1 nA potesse attraversare un singolo
atomo in contatto con la punta di un STM fu all’inizio messo in
dubbio.
In realta’ una corrente di 1 nA corrisponde a 6.25 elettroni/s che
corrispondono ad un tempo di residenza di 0.16 ns per ciascun
evento di tunnel.
Sulla scala atomica questo non e’ un tempo piccolo. I tempi alla
base della dinamica degli elettroni negli atomi sono molto inferiori,
per esempio il periodo orbitale di un elettrone 1s nell’idrogeno e’ di
8x 10−15 s.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
Abbiamo visto in precedenza che le correnti negli anelli benzenici
sono dell’ordine di diversi nA.
Le misure fatte sui nanotubi di carbonio (aventi sempre dei legami
di tipo sp2) mostrano correnti dell’ordine dei nA attraverso
ciascuno degli atomi di C.
La resistenza di una molecola puo’ essere considerata come una
resistenza di contatto piu’ la somma delle resistenze di ciascuno dei
legami.
I legami doppi nei composti aromatici hanno basse resistenze
mentre altri tipi di legami hanno resistenze maggiori.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
Mentre un legame interno in una molecola e’ un elemento
riproducibile il contatto tra una data molecola ed un circuito
esterno di misura non e riproducibile.
Uno studio della resistenza di contatto di una molecola e’ stato
compiuto di recente. Gli autori hanno utilizzato un STM con una
punta d’oro immerso in una soluzione contenete una piccola
quantita’ di 4-4’-bipiridina e N-alcani-ditioli.
Gli atomi terminali della 4-4’-bipiridina sono atomi di azoto che si
lega all’oro (affinita’ oro-azoto).I gruppi terminali del ditiolo sono
atomi di zolfo che si legano anch’essi all’oro.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
L’apparato mostra i gradini di conduttanza (in unita’ 2e 2 /h
descritti in precedenza sia in presenza del nanofilo d’oro sia in
presenza delle molecole al posto del nanofilo.
I valori della conduttanza sono multipli di 0.01G0 .
La resistenza della 4-4’-bipiridina misurata tra i due atomi di azoto
e’ circa 1.3MΩ.
La presenza di multipli di 0.01G0 (NX0.01G0 ) e’ stata attribuita
alla presenza di N giunzioni in parallelo corrispondenti a N
molecole.
Invece il nanofilo d’oro riesce intrisecamente a creare N canali
interni di conduzione creando il profilo a gradini.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
Se si usano invece le 2-2’-bipiridina in cui l’atomo di azoto e’
presente in altre posizioni, tali molecole non riescono a creare
simultaneamente due contatto con l’oro e gli effetti di conduttanza
a gradini spariscono.
Tale effetto svanisce anche quando il potenziale della soluzione
rispetto all’oro e’ negativo in modo da non far legare le
4-4’-bipiridine.
Il motivo per cui risulta che la conduttanza e’ multiplo di 0.01 G0 e
non G0 e’ dovuto ad effetti legati alla barriera per il tunnel
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
In una molecola risulta infatti che G = G0 exp(−βN 0 ), dove N 0 e’ il
numero di legami che agiscono da barriera per il tunnel.Ponendo β
uguale a 1 risulta che N’ e’ uguale a 2.303.
Tale valore e’ attribuito all’effetto delle barriere oro-azoto,
azoto-anello ,anello-anello,anello-azoto,azoto-oro.
sono state studiate anche le molecole lineari N-alcano-ditioli
(N=6,8,10 corrispondenti a esano,ottano e decano).
In questo caso sono stati misurati valori di conduttanza
corrispondenti a G = 0.77xG00 exp(−βN) con β = 1 ± 0.1
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
I valori delle resistenze per (N=6,8 e 10) erano rispettivamente
10.5, 51 e 630 MΩ.
In questi studi le molecole mostrano la conduttanza minima per un
potenziale nullo mentre la conduttanza cresce di un fattore 4 o 5
nel range compreso tra 0.25 e 1 V. Le correnti misurate erano
dell’ordine del microampere.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
Questi esperimenti mostrano come i legami chimici agiscano come
barriere per il tunnel in modo che la funzione d’onda elettronica
decada esponenzialmente attraverso il legame.
E’ stato scoperto sperimentalmente che la resistenza di una catena
lineare di molecole con legami singoli cresce esponenzialmente con
il numero di legami della catena.
In altri legami chimici (doppi o tripli) gli elettroni si propagano con
decadimento piccolo o nullo come succede nei metalli o nelle
giunzioni Josephson. Per esempio nel benzene gli elettroni sono
sostanzialmente liberi di muoversi.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
Alcuni gruppi chimici nei quali degli anelli circondano un atomo
metallico (Co) si comportano da isole nelle quali gli elettroni si
possono localizzare.
Il potenziale di queste isole puo’ essere cambiato da un campo
elettrico esterno generato attraverso un elettrodo di gate.
Dispositivi tipo SET possono essere generati se le barriere per il
tunnel, costituite dai legami covalenti, hanno resistenze dell’ordine
dei 25MΩ.
Nel caso in cui le resistenze siano inferiori e’ sempre possibile
creare delle giunzioni tunnel e dei dispositivi SET.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Molecole singole come elementi attivi nei circuiti
elettronici
A seconda delle molecole utilizzate e’ possibile riuscire a creare
dispositivi molecolari che si comportano da diodi, FET o dispositivi
piu’ complessi.
Le difficolta’ maggiori sono quelle legate alla fabbricazione dei
dipositivi ed in particolare l’integrazione dei dispositivi molecolari
su scale piu’ grandi.
In particolare la difficolta’ maggiore e’ quella di posizionare il tipo
giusto di molecola (con i legami specifici per una determinata
funzione) nella posizione assegnata.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
Griglia di nanotubi di Carbonio per applicazioni RAM.
I nanotubi di Carbonio possono essere considerati come molecole
singole o come elementi che possono essere inseriti all’interno di un
chip a base silicio per formare una struttura ibrida.
Un’utilizzo molto ambizioso dei nanotubi di carbonio e quello
legato alla RAM.
Una griglia m x n di nanotubi e’ stata prpoposta. Cio’ fornisce
intersezioni con dimensioni del ananometro (giunzioni).
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
I due gruppi di nanotubi sono posti in modo tale che lo spazio tra
le superfici dei nanotubi e’ di varia da 0.3 a 6nm.
Ogni giunzione tra i nanotubi si comporta come una giunzione
tunnel avente limitate dimensioni e operante ad alte frequenze.
Nello stato fondamentale della giunzione (off) ogni nanotubo e’
dritto e la separazione iniziale tra i nanotubi corrisponde ad un alta
resistenza di tunnel tra i due tubi.
L’energia di interfaccia tra due nanotubi e’ data da:
E = Evan−der −Waals + Eelastic + Eelectrostatic
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
Il primo termine e’ attrattivo ed ha una forma del tipo:
Evan−der −Waals = −AS
dove S e’ l’area di contatto ed s la distanza
122
e A la costante di Hamaker (10−19 J)
L’energia elastica puo’ essere stimata come: Eelastic = ( 12 )Ky 2
dove K e’ la costante elastica del nanotubo e y e’ lo spostamento
del centro del nanotubo superiore verso quello inferiore.
Una stima dell’energia elettrostatica e’: Eelectrostatic = ( 12 )CV 2
dove C e la capacitanza effettiva tra i nanotubi che si incrociano e
V e’ la differenza di potenziale tra i nanotubi.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
La capacitanza trai i nanotubi cresce al diminuire della loro
distanza. La capacitanza corrispondente a questa geometria e’ di
circa 10−7 pF .
Il voltaggi V1 e V2 vengono applicati tra i nanotubi e tra i
nanotubi e il substrato.Per valori corrispondenti a V1=3V e
V2=-3V esiste un minimo stabile del sistema corrispondente ad
una separazione tra i nanotubi di 0.3 nm.
Variando il voltaggio V1=20V e V2=20V tale minimo sparisce.
In definitiva e’ stato stabilito che e’ necessario un valore di
potenziale attrattivo di almeno 4 V per avere l’avvicinamento dei
nanotubi ed un potenziale repulsivo di almeno 20 V per ottenere la
separazione.
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Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
L’energia di legame attrattiva corrispondente ad un potenziale di
4V e’ circa 4.5x1018 J=28.1 eV. Tali calcoli sono basati su nanotubi
single-wall di tipo (10,10). Il diametro corrispondente e’:
dtube = π −1 a(nn + mm + nm)1/2 dove a=0.249 nm.
Per un nanotubo (10,10) d=1.37nm.
Applicando un voltaggio al nanotubo superiore ci sara’ una forza
attrattiva che velocemente porta i due nanotubi ad avvicinarsi.
In corrispondenza delle separazioni piu’ piccole (0.3 nm) la forza di
van der Waals attrattiva blocchera’ i due nanotubi in quella
posizione corrispondente all’ON.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
In questa configurazione la resistenza di tunnel della giunzione e’
fortemente ridotta da 1 fino a 0.1 GΩ.
Tale distorsione e’ stabile fino a che un secondo impulso riesce ad
allontanare i due nanotubi.
Le dimensioni del sistema devono essere di almeno 20 nm per avere
separazioni iniziale dei nanotubi apprezzabili. Cio’ significa che il
numero di dispositivi per cm e’ dell’ordine di 0.5x 106 . In un chip di
1 cm2 ci sarebbe un altissima densita’ di dispositivi (1011 ).
La frequenza di switch stimata e’ di circa 100 GHz.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanoelettronica ibrida:combinazione di CMOS a base Si
e di elettronica molecolare:CMOL
La fabbricazione di RAM basate su questa tecnologia rappresenta
una sfida tecnologica.
L’assunzione e’ che nanotubi sufficientemente lunghi sia ancorati
meccanicamente al substrato sottostante attraverso un supporto
elastico di dimensione di 20 nm.
La produzione di una griglia di supporti richiede l’utilizzo di
tecniche sperimentali molto complesse e costose.
I nanotubi di sufficiente lunghezza possono essere prodotti
attraverso la chemical vapor deposition CVD. Il problema
principale e’ quello di creare la griglia di nanotubi sul substrato.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanotubi di carbonio per applicazioni di memorie ram
Un problema serio relativo alla miniaturizzazione dei dispositivi a
base silicio e’ che le celle di memoria diventano poco efficienti.
Le memorie RAM dinamiche standard (DRAM) sono costituite da
un capacitore ed un transistor. Quando le dimensioni del
capacitore diventano molto piccole lo strato di ossido diventa
talmente sottile da permettere il tunnel degli elettroni. Cio’
comporta una perdita di informazione.
Se si riuscisse a costruire un capacitore verticale sarebbe possibile
riuscire a ridurre le dimensioni della memoria senza avere problemi
di perdita di elettroni.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanotubi di carbonio per applicazioni di memorie ram
Uno schema di questo tipo e’ stato proposto di recente. In linea di
principio la fabbricazione di tali memorie e’ meno complessa
rispetto al caso precedente.
La capacitanza del nanotubo di sinistra di lunghezza L con
diametri degli elettroni interni ed esterni rispettivamente a e b e’:
0.5L/kc
0 L)
C = (2π
ln(b/a) = ln(b/a)
dove kc e’ la costante di Coulomb e e’ la costante dielettrica
dell’ossido depositato (SiNx ).
Considerando i valori L=1µm, a=60 nm, b=140 nm e
= 7.5(Si3 N4 ).
Nanoelettronica
Field effect transistor
Nanotubi di carbonio per applicazioni di memorie ram
−6
9
−15
10 )/9x 10 )
10
C = ((6.88x
= 0.417x
ln(140/60)
ln(2.333) =
0.42x10−15F = 0.42fF
che rappresenta un valore molto piccolo di capacitanza.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Processori 16-bit basati sull’auto aggregazione di
molecole
Recentemente e’ stato fabbricato un anello formato da 17 molecole
do benzene sostituito creato dall’auto-aggregazione di tali
molecole. La struttura corrispondente e’ planare con diametro di
circa 2.5 nm
L’orientazione di 16 molecole di benzene e’ verticale con gli atomi
di ossigeno orientati radialmente. I gruppi metilici hanno vari gradi
di liberta’ rotazionali ma quelli interni sono bloccati in una
posizione.Solo quelli esterni si possono orientare.
E’ stato testato un protocollo che permette l’auto aggregazione
delle 17 molecole nella struttura indicata.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Processori 16-bit basati sull’auto aggregazione di
molecole
La capacita’ di elaborazione di questo aggregato e’ 416 = 4.29x 109
corrispondente a 16 oggetti per ciascuno dei quali ci sono 4 stati
distinti.
Il protocollo necessario per l’auto aggregazione consiste
nell’evaporare le molecole su una superficie di oro a 77 K dove
tendono a rimanere planari e tendono ad aggregarsi in seguito alle
interazioni van der Waals.
Alcuni aggregati sono costituito da 4 molecole 6 che si aggregano
in configurazioni a quadrato o esagono.
Gli aggregati con 12 e 16 molecole tendono ad essere semicerchi.
Aggiungendo un molecola addizionale al semicerchio da 16
molecole crea un aggregato fatto da 16 molecole verticali con
all’interno una molecola.
Nanoelettronica
Field effect transistor
Processori 16-bit basati sull’auto aggregazione di
molecole
E’ stato scoperto che una variazione nella configurazione della
molecola centrale e’ indotta introducendo una carica dalla punta di
un STM.
Questa cambiamento configurazionale induce un effetto domino
sulle altre molecole circostanti.
Assumendo che ciascuna delle molecole circostanti possa assumere
4 diverse configurazioni si arriva a 416 = 4.29x 109 corrispondente a
32 bit.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul
ferromagnetismo.
Il disco rigido del computer rappresenta il piu’ importante
dispositivo magnetico nel campo delle tecnologie dell’informazione.
In tutti questi dispositivi l’informazione e’ contenuta nella direzione
del campo magnetico in regioni sottili (domini) di materiali
ferromomagnetici.
L’evoluzione in questo campo (che ha permesso la produzione di
laptop, ipod..) ha portato alla produzione di sensori di campi
magnetici piu’ piccolo e piu’ sensibili in modo da immagazzinare
l’informazione piu’ densamente.
Il premio nobel per la fisica del 2007 (Fert e Grunberg) e’ stato
attribuito per la scoperta degli effetti di (GMR) giant
magnetoresistance che hanno portato grosse innovazioni
tecnologiche.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul
ferromagnetismo.
I dispositivi ferromagnetici sono importanti specialmente perche’
sono non-volatili:l’informazione e’ mantenuta anche se il dipositivo
e’ spento.Inoltre tali dispositivi sono relativamente poco sensibili
alle radiazioni.
Le radiazioni ad alta energia come le particelle alfa o i neutroni
altamente energetici creano coppie elettrone-lacuna nei
semiconduttori che possono cambiare le informazioni
immagazzinate nei computer sotto forma di cariche elettriche.
Nei dispositivi ferromagnetici in cui l’informazione e’ contenuta
sotto forma di direzione di campi magnetici, le radiazioni non
hanno nessun effetto.
Nanoelettronica
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul
ferromagnetismo.
Nelle memorie ram SRAM (short-term random access memory)
sono necessari vari transistor (6) per cella di memoria costutiti dai
capacitori che immagazzinano la memoria.
La tecnologia precedente delle DRAM (dynamic random access
memory) necessitava una ricarica periodica dei capacitori che
immagazzinavano l’informazione.
Il vantaggio delle magnetic random access memory MRAM e’ che
la potenza e’ utilizzata solo per imagazzinare le informazioni, che
di solito necessita un impulso di corrente, e’ utilizzata per cambiare
la direzione di magnetizzazione di un magnete microscopico.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Ferromagneti hard e soft
Gli elementi essenziali dei sensori basati sulle valvole di spin sono
due film magnetici uno hard ed uno soft separati da un film di
rame non magnetico e conduttivo. Questo strato di Rame e’
spesso circa 8 nm.
Tale dispositivo risponde ad un campo magnetico esterno
invertendo la direzione di magnetizzazione del componente soft e
la resistenza degli elettroni e’ maggiore quando la direzione di
magnetizzazione sono antiparallele piuttosto che parallele.
Un ferromagnete possiede una magnetizzazione interna M(T) che
dipende dalla temperatura.
Il ferromagnetismo avviene in seguito alle interazioni di scambio
quando la costante JE e’ minore di zero. E’ accompagnato da una
traslazione dei livelli energetici di spin up rispetto a quelli spin
down.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Ferromagneti hard e soft
Il numero totale di spin up eccede il numero totale di spin down.La
densita’ per unita’ di energia N(E) di spin spin up in
corrispondenza del livello di fermi N(EF ) puo anch’esso essere
variato alla temperatura di transizione ferromagnetica.
In questo caso la variazione e’ di segno opposto:
NUP (EF ) = n+ << NDOWN (EF ) = n−
A basse temperature T << TC , M tende al suo valore di
saturazione NµB dove N e’ il numero di spin per unita’ di volume.
Cio’ significa che tutti i momenti magnetici sono allineati in modo
che il campo magnetico di saturazione sia µ0 M = µ0 µB .
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Ferromagneti hard e soft
Il campo si saturazione esiste all’interno di un particolare dominio
magnetico.Un campione di Fe ad esempio possiede in genere un
gran numero di domini magnetici aventi diverse direzioni di
magnetizzazione.
L’effetto di un campo magnetico esterno e’ quello di riallineare i
domini.
Il campo magnetico esterno ha una densita’ di energia µ0 B 2 /2, i
domini si si allineano a seconda del costo energetico necessario in
modo da ridurre il campo magnetico esterno.
Un campo magnetico esterno B aumentera’ i domini aventi e
l’isteresi compare in seguito alla presenza di barriere energetiche
interne che limitano il moto dei domini.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Ferromagneti hard e soft
La magnetizzazione residua Mr e’ grande nei ferromagneti aventi
un grande campo di coercizione.
Questi metalli hanno domini che tendono e resistere alle variazioni
di campo esterno e quando il massimo allineamento e’ forzato nel
sistema dall’applicazione di campi magnetici intensi una gran parte
di magnetizzazione e’ mantenuta anche quando il campo e’ zero.
Questo tipo di ferromagneti sono detti hard e sono usati come
magneti permanenti un esempio e’ il Co.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Ferromagneti hard e soft
D’altra parte se i domini riescono a muoversi facilmente, la
magnetizzazione di saturazione puo’ essere facilmente raggiunta
con un campo magnetico poco intenso:
B = BAPP (1 + χm ) = κm BAPP dove (1 + χm ) = κm e’ detta la
permeabilita’ magnetica.
Questa equazione descrive la pendenza iniziale della tipica figura di
isteresi in cui l’isteresi non si nota ancora.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Origine della magnetoresistenza gigante
I ferromagneti possiedono elettroni mobili che derivano dagli stati
d degli atomi costituenti. Ci sono anche elettroni mobili che
derivano dagli stati s degli stessi atomi.
La conducibilita’ di un metallo e’ data dalla somma delle
conduttivita’ di questi due tipi di elettroni (in genere la
conduttivita’ degli elettroni s e’ dominante poiche’ corrisponde ad
una bassa massa effettiva).
La conducibilita’ di un ferromagnete e’ principalmente dovuta agli
elettroni delle bande s.Il contributo alla conducibilita’ degli
elettroni delle bande d e’ molto inferiore poiche’ la loro massa
effettiva m∗ .compare al denominatore dell’espressione della
conducibilita’: σ = Ne 2 τ /m∗
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Origine della magnetoresistenza gigante
τ rappresenta il libero cammino medio delle cariche tra due eventi
di scattering che cambiano la direzione del moto variando percio’
la conducibilita’ e la resistivita’.
La massa effettiva risulta inversamente proporzionale alla curvatura
di E(k).La E(k) per le bande s in un metallo hanno in genere una
grande curvatura che corrisponde ad una piccola massa
efficace.Invece le bande d hanno una piccola curvatura che
corrisponde ad una grande massa efficace.
Una seconda distinzione deriva dalla orientazione dello spin delle
cariche in relazione all’orientazione del campo nel ferromagnetico.
I simboli ρ+ e ρ− sono utilizzati rispettivamente per la resistivita’
delle cariche maggioritarie e minoritarie.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Origine della magnetoresistenza gigante
Si ha che ρ+ < ρ− ed il rapporto tra le due α e’ utilizzato nel
campo GMR:
−
α = ρρ+ > 1
La resistivita’ ρ+ = 1/σ + con σ + = Ne 2 τ + /m∗ si puo’ scrivere
come:
m ∗ λ+
ρ+ = Ne
2v
F
in questo caso il tempo di scattering e legata al libero cammino
medio dalla relazione λ = τ vF dove vF = (2EF /m)1/2 e’ la
velocita’ degli elettroni in corrispondenza del livello di Fermi.
Cio’ indica che il libero cammino medio delle cariche maggioritarie
e’ maggiore di quello delle cariche minoritarie.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Scattering degli elettroni dipendente dallo spin
Un simbolo differente τsf e’utilizzato per descrivere il tempo medio
che intercorre tra le collisioni che invertono la direzione dello spin,
per esempio collisioni che fanno passare da cariche minoritarie a
cariche maggioritarie. Il tempo medio el legato al libero cammino
medio sf = vF τsf
In generale si ha che = vF τ <<sf = vF τsf , per cui una carica sara’
soggetta a diversi eventi di scattering prima che la direzione dello
spin sia invertita.
Nei sensori basati sulle valvole di spin e’ necessario che lo spin delle
cariche sia preservato in seguito allo scattering.Per qui la
condizione per i dispositivi di tipo GMR e’ che L<sf dove L e’ la
dimensione del dipositivo.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
Scattering degli elettroni dipendente dallo spin
In generale e’ possibile considerare la conducibilita’ come additiva
per cui si ha: σ = sigma+ sigma− , inoltre:
1
1
1
ρ = ( ρ+ ) + ( ρ− ), per cui:
ρ=
ρ+ ρ−
ρ+ ρ−
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
La valvola di spin GMR
L’elemento attivo della valvola di spin e’ un multistrato che
comprende un magnete di tipo hard (in genere Co), un conduttore
metallico (Cu), un magnete soft (NiFe).
Tale multistrato e’ perpendicolare ad un campo magnetico e le
cariche trasportano una corrente IIN e IOUT .
Il voltaggio attraverso questo multistrato e’ letto per misurare i
campi magnetici che puntano verso l’alto o verso il basso alle
interfacce tra i vari domini magnetici.
Una tipica traiettoria per una carica nel multistrato prevede
l’entrata da un lato e l’uscita dall’altro lato posto a lunghezza L.La
carica si muovera’ sia nello strato hard che in quello soft confinanti
con lo strato centrale di rame.
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La valvola di spin GMR
La resistenza di questo dispositivo dipende dall’orientazione
reciproca delle magnetizzazioni degli strati superiore ed inferiore.
La magnetoresistenza e’ definita come:
P
MR = RAPR−R
P
tale resistenza e’ ottenuta sommando le resistivita’ che la carica
subisce quando attraversa il dispositivo e trascurando la resistivita’
del layer di rame ed assumendo uguali escursioni della carica nei
due layer magnetici in cui le resistivita’ dipendono solo dalle
orientazioni relative di spin.
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La valvola di spin GMR
Se le magnetizzazioni sono parallele bisogna considerare due
diverse conducibilita’: σP = [ (2ρ1+ ) + (2ρ1− ) ] per cui:
ρP =
2
(1/ρ+ +1/ρ− )
Nel caso di magnetizzazione antiparallela le cariche minoritarie e
maggioritarie hanno resistivita’: ρ = ρ+ + ρ− da cui:
+
−
ρAP = (ρ 2+ρ .
da cui si ha:
2
P
= (1−α)
MR = RAPR−R
α
P
con α = ρ− /ρ+ > 1
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La valvola ad effetto tunnel
La valvola ad effetto tunnel e’ un circuito magnetoresistivo che si
basa sulla magnetoresistenza tunnel.
E’ costituita da una giunzione tunnel metallo-isolante-metallo
composta da una magnete soft (NiFe), una barriera tunnel isolante
(Al2 O3 ) ed un magnete hard.
In ogni elettrodo ferromagnetico le energie degli elettroni di
spin-up e spin down sono shiftate in seguito allo splitting di
scambio che e’ alla base del ferromagnetismo.
Cio’ significa che ci saranno densita’ differenti degli elettroni con lo
spin-up rispetto a quelli down.
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La valvola ad effetto tunnel
La corrente di tunnel da un elettrodo all’altro preserva la direzione
dello spin dell’elettrone, e la regola e’ che gli stati di spin-up
nell’elettrodo opposto possono accettare solo spin-up dall’altra
parte.
La regola base che si applica e’ che la densita’ di corrente di tunnel
e’ proporzionale al prodotto della densita’ degli stati iniziali per la
densita’ degli stati finali alla stessa energia.
L’idea base e’ quindi che variando la magnetizzazione dello strato
magnetico soft la sua densita’ di stati spin-up vs. spin-down sono
scambiate.
Cio’ genera una variazione della corrente di tunnel senza variare il
voltaggio, ossia una variazione di magnetoresistenza tunnel.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
La valvola ad effetto tunnel
Per avere questo tipo di fenomeno e’ necessario preparare la
giunzione in modo adeguato. In ogni caso e’ difficile misurare
fenomeni di questo tipo.
Quando il sistema e’ sottoposto ad un campo magnetico, il
ferromagnete soft invertira’ facilmente la direzione dello spin delle
cariche maggioritarie mentre il ferromagnete hard sara’ stabile.
Dal momento che le densita’ di stati di spin-up e spin-down in
ciascuno degli elettrodi puo’ essere significativamente differente e
la corrente di tunnel e’ proporzionale alla disponibilita’ di stati
iniziali e finali, la corrente totale (a voltaggio fissato) e’ variata in
modo significativo anche da un piccolo campo magnetico.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
La valvola ad effetto tunnel
Sono state osservate variazioni di TMR del 350% a 300 K in
giunzioni tunnel incorporate in unita’ disco.
La corrente di tunnel e’ proporzionale alla densita’ degli stati
iniziali al livello di Fermi (n+ per le cariche maggioritarie ed n− per
quelle minoritarie) moltiplicata per la densita’ degli stati vuoti
nell’altro elettrodo.
All’interno di ciascun elettrodo e’ possibile definire una
polarizzazione:
+
−
P = nn+ −n
+n− , da cui si ricava che:
n+ =
N(P+1)
,
2
e n− =
N(P−1)
2
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
La valvola ad effetto tunnel
Usando la stessa formula utilizzata nel caso della valvola di spin si
arriva alla resistenza TMR:
2P1 P2
TMR = 1−P
1 P2
I dispositivi TMR basati sell’effetto tunnel quantomeccanico sono
presenti nelle unita’ disco di nuova generazione.
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Dispositivi basati sullo spin elettronico e sul ferromagnetismo.
MRAM:magnetic random access memory
Le MRAM sono basate sulle giunzioni tunnel precedentemente
descritte.Questo tipo di dispositivi hanno il vantaggio di essere non
volatili , hanno un basso consumo di potenza e altissima durabilita’.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Limitazione delle riserve petrolifere
C’e’ una chiara evidenza del fatto che le riserve di petrolio sono
oramai limitate e distribuite solo in profondita’ di qualche
chilometro.
In realta’ e’ stato proposto che una grande frazione della crosta
terrestre possa essere una grande riserva di metano.Il metano si
genera dalla riduzione (perdita di ossigeno) delle rocce che si
trovano ad alta pressione ed alta temperatura a grandi profondita’
(3000 km).
Studi rigorosi fatti da geologi mostrano come il petrolio liquido si
e’ formato solamente in posizioni favorevoli corrispondenti ad una
finestra di profondita’ che varia dai 2.5 Km fino ai 5 Km.
Infatti andando ancora piu’ in profondita’ si ha un aumento della
temeperatura per riuscire a creare un liquido partendo da residui
biologici e gas naturali.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Limitazione delle riserve petrolifere
La limitata profondita’ e la lunghezza temporale necessaria per
creare il petrolio partendo da residui biologici supportano la
conclusione che le riserve di petrolio si stanno esaurendo su una
scala temporale di circa 100 anni.
Le grosse oscillazioni nel prezzo del petrolio che si sono verificate
di recente (dai 35 ai 147 dollari a barile) possono essere
interpretate come una indicazione del fatto che la grossa domanda
di petrolio non puo’ essere sempre soddisfatta dalle risorse presenti
(momentanemamente).
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Alterazione dell’atmosfera
La comunita’ scientifica e’ sempre piu’ convinta del fatto che
l’ossidazione accelerata del carbone e del petrolio sta’ alterando
l’atmosfera.
L’aumento della combustione contribuisce alle variazioni nella
composizione della atmosfera terrestre in modo da alterare i bilanci
energetici e di conseguenza aumentare la temperatura terrestre.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Energia solare e la sua conversione
In questo momento sono necessarie nuove fonti di energia
alternative a quelle tradizionali.
L’energia solare sebbene sia la fonte principale di tutta l’energia
presente sulla terra contribuisce direttamente solo per una piccola
frazione della energia utilizzata.
Solo circa 1% di tutta l’energia utilizzata proviene da fonti solari
dirette.
La conversione della energia solare e’ intrinsecamente legata a
tecnologie che sfruttano processi elettronici.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
La densita’ di corrente indotta dalla radiazione solare in una cella
fotovoltaica e’ data da: J = Ge (W + Ln + Lp ), dove L e’ la
lunghezza di diffusione delle cariche minoritarie e maggioritarie e W
e’ la larghezza della giunzione.
G rappresenta la probabilita’ di creazione di una coppia elettrone
lacuna creata da un fotone la cui energia deve essere maggiore del
band-gap del materiale.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Le cariche generate per essere utilizzate, devono essere prodotte
all’interno di uno strato all’interfaccia avente dimensione minore di
L=(Dτ )1/2.
La densita’ di corrente totale e’ la somma di corrente indotta dalla
luce e della corrente termoionica:
J = Ge (W + Ln + Lp ) + J0 [exp(eV /kt − 1)]
Ponendo V=0 (condizione di corto circuito) il secondo termine e’
zero per cui si ha:
Jsc = Ge (W + Ln + Lp )
dove W e’ la larghezza della zona di svuotamento.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Il voltaggio a circuito aperto Voc si ottiene quando J=0 in modo
che: exp(eVoc /KT ) = 1 − Jsc /J0 e Voc = (kT /e)ln(1 + Jsc /J0 ). Il
massimo valore che puo’ avere Voc e’ Eg /e.
La potenza in uscita per unita’ di area e’ JV. Tale potenza e’
massimizzata in corrispondenza di un determinato voltagio Vmp .
Considerando la condizione:∂(JV )/∂V = 0 si ottiene che:
Vmp = Voc − (kT /e)ln(1 + eVoc /kT )
la corrente corrispondente Jmp ha un valore leggermente inferiore
rispetto a Jsc . Il rapporto tra la massima potenza disponibile e la
potenza limitante e’ detto fill factor:
FF = Jmp Vmp /Jsc Voc
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
L’efficenza di una cella fotovoltaica e’ data da:
η =Jsc Voc FF /Pinc
I valori di efficenza per celle a singola giunzione sono dell’ordine del
30%. Esiste un limite massimo di efficenza del 44%.
E’ possibile stimare alcuni parametri della cella a priori in modo da
prevederne l’efficenza.Per esempio il limite superiore del Voc e’
uguale a Eg /2 dove Eg e’ il gap del semiconduttore.
Assumendo che ci sia una singola giunzione ed un band-gap
uniforme.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Si assume che i fotoni la cui energia e’ inferiore rispetto a quella
del gap non contribuiscono alla fotocorrente.Si assume inoltre che
l’eccesso di energia hc/-Eg sia perso in calore nel semiconduttore.
Uno svantaggio delle giunzione singole e’ che tutti i fotoni con
energia inferiore rispetto ad Eg sono persi.Bisogna percio’ scegliere
un materiale con gap tale da massimizzare il numero di fotoni
assorbiti.
Possiamo approssimare lo spettro di emissione solare con quello di
un corpo nero a temperatura 5973 K.Il picco λm corrisponde ad
una energia di 2.55 eV.
Se il gap del Si e’ di 1.12 eV molti fotoni con energie inferiori
saranno persi e la maggior parte dell’energia dei fotoni e’ persa in
calore.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Nel campo del fotovoltaico si utilizza uno spettro solare effettivo
detto air mass 1.5 G in cui e’ presente una correzione che tiene
conto del percorso diurno medio della luce che e’ 1.5 volte
superiore rispetto a quello corrispondente allo zenit.
Questo spettro e’ ridotto dalla parte superiore dell’atmosfera, air
mass 0 (AM 0) del 28%, di cui il 18% e’ dovuto all’assorbimento
ed il 10% allo scattering.
Lo scattering varia in funzione della lunghezza d’onda come λ−4 .
Per cui viene rimosso il blu dallo spettro diretto che pero’ viene
indirettamente aggiunto dopo lo scattering.
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Celle solari fotovoltaiche
Lo spettro risultante AM 1.5V G e’ poi utilizzato per calcolare
l’efficienza di conversione ideale di una cella a singola giunzione
che opera a 300 K in funzione del band-gap del semiconduttore.
I risultati per questo tipo di spettro mostrano una efficenza
massima del 29% per un band-gap dell’ordine di 1.4 eV. Questo
valore e’ simile a quello del semiconduttore GaAs.
Ci sono delle evidenze sperimentali che mostrano la presenza di
fotocorrenti proveniente da luce con lunghezze d’onda inferiori a
quelle del bandgap. Tali dispositivi sono ottenuti attraverso
l’accoppiamento di diversi quantum dots.
Tuttavia i corrispondenti dispositivi sono costosi per cui non sono
ancora sul mercato.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Un dispositivo che presenta alte efficienze sono e’ la cella tandem.
Tale cella e’ costituita da diverse giunzioni che sfruttano a pieno lo
spettro solare.
Queste celle vengono combinate con sistemi di specchi a
concentrazione.Questa tecnologia permette di superare il problema
del surriscaldamento della giunzione pn.
Cio’ viene fatto utilizzando un nonfocusing optical rod per
trasmettere lo spettro attivo solare concentrato. Tale dispositivo
permette di filtrare lo spettro infrarosso che non e’ attivo nelle celle
tandem e genera il surriscaldamento della giunzione.
La concentrazione della luce (di un fattore fino a 500) permette di
risolvere il problema del costo e della disponibilita’ degli elementi
costitutivi la cella (per esempio il Ga utilizzato nelle celle). Queste
tecnologie sono oggi sul mercato.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Queste tecnologie sono oggi sul mercato.L’efficienza dichiarata e’
del 37%. Il costo della energia prodotta e’ di 5c per KWh (il
prezzo dell’energia elettrica a New York e’ di 14c per KWh)
Esista una tecnologia piu’ elaborata e costosa delle celle a
giunzione multipla che coinvolge la scomposizione dello spettro
solare in varie componenti a diverse energie attraverso strumenti
ottici dispersivi.Un esempio semplice sarebbe quello del prisma di
vetro a base triangolare di Newton.
La luce viene scomposta in porzioni di alta energia, media e
bassa.La luce corrispondente ai vari range di energia e diretta dagli
strumenti ottici dispersivi verso sistemi multi-giunzione.
Tali sistemi hanno raggiunto l’efficienza recod del 42.8%.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
In generale: la cella a singola giunzione al massimo riesce ad avere
efficienze del 30%. Andando oltre la cella a singola giunzione ci
sono in principio tre diversi modi di aumentare l’efficienza.
Il primo prevede l’utilizzo di fotocorrenti provenienti da luce con
lunghezze d’onda inferiori a quelle del bandgap. Tali dispositivi
sono ottenuti attraverso l’accoppiamento di diversi quantum dots.
Il secondo metodo e’ il piu’ sviluppato e prevede l’accatastamento
di varie giunzioni in serie (tandem) che sono combinate in modo
che la luce che non viene convertita nella prima giunzione possa
essere convertita in quelle successive.
Questo approccio ha portato le efficienze ideali nell’ordine del
40.7%.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
Le celle tandem sono tipicamente basate sul GaAs e sono utilizzate
commercialmente per applicazioni in cui il costo non e’ il
parametro fondamentale.
Il terzo approccio in principio prevede il miglioramento
dell’efficenza attraverso la moltiplicazione del numero di cariche
prodotte prt fotone assorbito.
Questo approccio prevede l’utilizzo della porzione blu dello spettro
solare che non viene pienamente utilizzato nelle celle a singola
giunzione.
La perdita di energia dei fotoni con energia superiore al band-gap
puo’ essere concettualmente ridotta utilizzando una schema che
prevede l’utilizzo di quantum dots.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari fotovoltaiche
L’idea e’ quella di creare il maggior numero di elettroni in modo che
per esempio un fotone con energia 3Eg riesca a creare tre coppie
elettroni-buca invece di uno come e’ convenzionalmente assunto.
Il processo fisico prevede che un eccitone altamente energetico
decada in N coppie elettrone-buca con energia corrispondente al
band-gap.
Durante il processo viene assorbito un fotone ad alta energia
hc/ = Eg + 6∆, dove ∆ e’ la differenza di energia di stati quantici
successivi di un quantum dot.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile vs. celle solari cristalline
L’uso delle celle solari come fonte primaria di energia (a parte
applicazioni di nicchia) e’ limitato dall’alto costo delle celle stesse.
Le celle solari a cristallo singolo di Si hanno un elevato costo.
Le celle solari a aventi maggiori efficienze sono basate sul GaAs.
Tali celle nella variante tandem raggiungono elevate efficienze.
Le celle basate su film sottili di materiali semiconduttori
rappresentano una valida alternativa a minor costo rispetto a
quelle tradizionali.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile vs. celle solari cristalline
In questo tipo di celle viene utilizzata una quantita’ molto minore
di materiale ed inoltre e’ possibile utilizzare silicio policristallino
che presenta minori costi di produzione.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile CIGS (CuIn1−x Gax Se2 )
Sono state recentemente prodotte celle solare a semiconduttore
aventi efficienze di circa il 20% basate su lege di
Selenio,Rame,Indio e Gallio dette CIGS.
Tali leghe cristalline sono tipicamente semiconduttori di tipo p con
band-gap appropriati e lunghezze di diffusione di eccitoni grandi.
La cella e’ composta da un layer di tipo n sottile posto di fronte ad
un assorbitore di CIGS con spessore dell’ordine del micron.
La giunzione p-n manda gli elettroni e le lacune in direzioni
opposte.
L’efficienza e’ limitata al 20%, ossia dell’ordine delle efficienze delle
celle policristalline.Tuttavia queste celle sono piu’ semplici da
fabbricare su larga scala e meno costose da produrre.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile CIGS (CuIn1−x Gax Se2 )
Le ragioni legate alla forte ascesa sul mercato di queste celle sono
principalmente l’efficenza e la durabilita’. Tuttavia la ragione
principale e’ legata al fatto che queste celle possono essere
prodottea temperatura e pressione ambinetali utilizzando delle
tecniche roll-to-roll simili a quelle della stampa moderna.
I substrati utilizzati sono di vetro ricoperto di Mo.Il layer
assorbitore CIGS e’ creato negli step successivi.
I metalli Cu,In, Ga sono stampate nella cella nella forma di
nanoparticelle di ossido sospese in una soluzione liquida che
costituisce un inchiostro.
L’ossigeno viene poi eliminato scaldando il tutto in una atmosfera
di idrogeno e azoto in modo che l’ossigeno lasci lo strato sotto
forma di vapore acqueo.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile CIGS (CuIn1−x Gax Se2 )
La lega metallica che rimane viene trasformata in una lega
semiconduttore attraverso reazioni chimiche che coinvolgono il
Selenio utilizzanfo un gas di H2 Se.
La lega metallica che rimane viene trasformata in una lega
semiconduttore attraverso reazioni chimiche che coinvolgono il
Selenio utilizzanfo un gas di H2 Se.
Il semiconduttore risultante ha uno spessore di circa 1000 nm. Lo
spessore deve essere sufficiente in modo da assorbire una quantita’
sufficiente di luce.
Lo step successivo e’ quello in cui viene depositato lo strato di tipo
n.Tale strato e’ costituito dal CdS depositato utilizzando la
chemical barh deposition.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle solari a film sottile CIGS (CuIn1−x Gax Se2 )
L’altro elettrodo trasparente e’ costituito da ZnO. L’efficenza piu’
alta di questo dispositivo e’ del 13.6% .
Questo tipo di tecnica sperimentale e’ importante poiche’ utilizza
la minor quantita’ possibile di metallo evitando l’utilizzo di
macchinare per fare il vuoto. Inoltre con queste tecniche e’
possibile ricoprire grandi aree a basso costo.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dimensioni delle centrali fotovoltaiche in relazione alla
quantita’ di energia prodotta
Il consumo di energia negli stati uniti nel 2004 e’ stato di circa 460
GW.
Considerando il 20% della efficenza di una singola cella l’area della
superficie di celle necessaria per ottenere questa energia e’ di
460GW /[(0.2)(205Wm−2 ] = 105.9Km2
Questa installazione (ignorando i problemi legati alla produzione
notturna ed in presenza di nuvole) risolverebbero i problemi di
elettricita’ degli stati uniti in modo permamente.
Se si volessero produrre 105.9Km2 di celle a film sottile utilizzando
le tecniche di stampa, sarebbero necessari tempi dell’ordine dei 374
giorni.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dimensioni delle centrali fotovoltaiche in relazione alla
quantita’ di energia prodotta
La quantita’ di materiale necessario per creare celle sottili con
spessore di un micron e’: 105.9Km2 x 1µm = 11215m3 .All’incirca
136 vagoni ferroviari di materiale.
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Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Un approccio differente di tecnologia solare a basso costo e’ quello
delle celle solari di tipo Dye-Sensitized.
Questo approccio si basa sulla presenza di un assorbitore che e’ in
parte costituito dal TiO2 (nella sua forma cristallina tetragonale
detta anatasio) ed in parte da molecole coloranti specifiche..
L’anatasio puo’ essere preparati in forma nanoporosa attraverso
diverse procedure.
Il band-gap del TiO2 e’ di 3.2 eV. Cio’ significa che la massima
lunghezza d’onda che puo’ essere assorbita e’ di 1240 eVnm/3.2
eV=388 nm.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Cio’ significa che solo una piccola parte dello spettro solare UV
puo’ essere assorbita.
E’ possibile ampliare in modo significativo il range di assorbimento
attraverso il ricoprimento della superficie di TiO2 con delle
specifiche molecole sensitizzanti.
In questo modo e’ possibile assorbire radiazioni fino ai 700 nm.
Ogni molecola colorante deve essere ancorata al substrato di TiO2
in modo che gli elettroni generati per effetto fotovoltaico possano
essere facilmente trasferiti al TiO2 .
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Il funzionamento di questi dispositivi puo’ essere suddiviso in vari
step:
Il primo step prevede l’assorbimento di un fotone da parte della
molecola di colorante. In genere le molecole coloranti sono dei
complessi metallo organici a base Rutenio che assorbono a
lunghezze d’onda comprese tra i 700 ed i 900 nm.
Il TiO2 assorbe invece a lunghezze d’onda inferiori di circa 390
nm.Cio’ permette di estendere il range dello spettro di
assorbimento delle celle fotovoltaiche e quindi di assorbire una
maggiore frazione dello spettro solare.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Nello step 2 gli elettroni delle molecole coloranti che sono stati
eccitati dalla radiazione solare possono saltare nella banda di
conduzione del TiO2 .
Il trasferimento e’ molto rapido solo se i livelli energetici della
molecola colorante hanno una energie superiore di almeno 0.2 eV
rispetto alla banda di conduzione del TiO2 .
Cio’ permette di ridurre la probabilita’ di trasferimento inverso
dalla banda di conduzione del TiO2 alla molecola colorante.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Lo step 3 prevede la diffusione degli elettroni attraverso lo strato di
TiO2 nanoporoso che ha uno spessore di circa 10 micon e termina
con un elettrodo.
Nello step 4 gli elettroni viaggiano attraverso il circuito esterno
avente resistenza R.
Nello step 5 gli elettroni vengono trasferiti all’interno di un
elettrolita, che permette di rifornire di elettroni le molecole di
colorante.
Nello step il dye e’ ritornato nel suo stato fondamentale.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Il Vo c stimato per questo sistema e’ approssimativamente uguale
all’energia del fotone divisa per e meno la variazione di potenziale
che avviene nello step 6 quando l’elettrolita rifornisce il colorante
di un elettrone.
Questo approssimazione e’ considerata molto semplificata. Ci sono
altri fattori che possono influenzare il valore di Vo c.
La modellizzazione di questi dispositivi non puo’ essere fatta come
nel caso delle celle basate su semiconduttori cristallini.
In questi sistemi infatti la lunghezza di diffusione degli eccitoni e’
molto maggiore, dell’ordine del micron.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
I fattori principali che limitano l’efficienza delle Dye-Sensitized
solar cells sono la bassa mobilita’ e la bassa lunghezza di diffusione
degli eccitoni.
Le prestazioni di una dye-densitized solar cell sottoposta ad una
irradiazione AM 15 G sono state simulate.
La corrente di corto circuito ottenuta era di 20.5 mAcm−2 . Il Voc
era di 720 mV e l’efficenza totale era del 10.4%.Questa efficienza
e’ molto simile al massimo valore ottenuto sperimentalmente.
Il colorante utilizzato in questa cella e’ detto black-dye poiche’
assorbe in un ampio range di frequenze.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dye-Sensitized solar cells
Questo tipo di celle fotovoltaiche non e’ stato fabbricato senza la
presenza dell’elettrolita.
Le celle di questo tipo che non hanno pero’ l’elettrolita vengono
dette dye-sensitized solar cells a stato solido.
Tuttavia questo tipo di celle presenta basse efficienze dovute al
fatto che l’elettrolita solido non aderisce efficientemente al
fotoelettrodo ad al TiO2 nanoproso.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica
Le celle fotovoltaiche piu’ facili da produrre sono quelle polimeriche
che prevedono il ricoprimento di uno strato conduttivo con due
polimeri. Il tutto viene poi ricoperto da un elettrodo trasparente.
Una delle prime celle solari costruite era a base di ZnPc/MPP. Tale
cella mostra efficienze del 1.05% quando viene illuminata con una
radiazione AM 1.5 avente intensita’ di 860 Wm−2 . La corrente di
corto circuito misurata era di 5.2mA.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
Un netto miglioramento delle efficienze di questo tipo di celle fino
al 6% e’ stato recentemente ottenuto.
L’architettura di questo dispositivo e’ di tipo tandem in cui due
diverse celle sono connesse in serie.
Ognuna delle celle costituenti e’ simile ad una cella polimerica
singola.
La differenza principale e’ che le eterogiunzioni presenti in ciascuna
delle celle sono in numero maggiore e sono distribuite su tutto il
materiale.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
Tutta la struttura e’ costruita su uno strato di vetro rivestito da un
film metallico.
I materiali utilizzati in questo tipo di cella sono polimeri
semiconduttori e derivati del fullerenei .
Tipicamente i polimeri semiconduttori presentano un’alternanza di
legami doppi e singoli .
La delocalizzazione dei legami doppi su tutta la struttura produce
un bandgap che varia tra 1.5 e 3eV.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
L’assorbimento della luce in questi materiali produce un eccitone
che puo’ diffondere ma deve essere dissociato per poter produrre
una fotocorrente.
Una efficiente dissociazione degli eccitoni e’ possibile quando due
polimeri (donore ed accettore) a band-gap diverso sono in contatto.
L’eccitazione avviene nel polimero donore e la separazione di carica
avviene all’interfaccia con il polimero accettore.
La dissociazione dell’elettrone porta un elettrone nel polimero
accettore mentre la lacuna rimane nel polimero donore.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
La separazione di carica genera una differenza di potenziale ai capi
del dispositivo.
Il sistema tandem descritto in precedenza il polimero e’ combinato
con dei derivati del fullerene in modo da migliorare la conduzione
elettronica.
In questo caso i polimeri (che assorbono la radiazione luminosa a
diverse lunghezze d’onda) si comportano come i coloranti nelle
DSSC.
Anche in questo caso la propagazione degli eccitoni e’
fondamentale per l’efficenza del dispositivo.Infatti l’eccitone deve
raggiungere l’interfaccia in modo da poter essere dissociato.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
La luce entra nel dispositivo attraverso il substrato vetro-ITO
attraverso la prima cella in basso.
L’assorbimento e la separazione di carica avvengono nella prima
cella PCPDTBT-fullerene. L’assorbimento avviene nell’UV ed
IR.Tuttavia la maggior parte dello spettro visibile passa attraverso
la cella.
La seconda cella a base P3HT-fullerene assorbe nel visibile. Per cui
l’assorbimento delle due celle e’ complementare .
Essendo le due celle in serie, e la corrente elettrica e’ costante
lungo la cella, la corrente di corto circuito e’ limitata a correnti
inferiori rispetto alle correnti delle singole celle.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche a base polimerica di tipo tandem
In ogni cella i fotoelettroni viaggiano verticalmente attraverso il
network di fullereni verso il layer conduttivo di TiOx .Nella seconda
cella tali elettroni viaggiano verso uno strato di alluminio nel
circuito esterno.
Nella prima cella i fotoelettroni si annichilano con le lacune
all’interfaccia dello strato di TiOx .Cio’ permette una corrente
continua lungo il dispositivo.
Le lacune generate nella prima cella vengono condotte all’altro
elettrodo.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Produzione di idrogeno attraverso il solare
Uno scenario per la distribuzione futura di energia dell’idrogeno
che puo’ essere compresso o liquefatto.
L’economia basata sull’idrogeno e’ stata promosso per lunghi anni
con l’idea che le automobili passare all’utilizzo di motori elettrici.
L’elettricita’ dovrebbe provenire da celle a combustibile che
utilizzano da gas di idrogeno conservato all’interno dell’automobile.
Questo tipo di tecnologia e’ stata testata in Islanda che possiede
risorse legate all’energie rinnovabile e non possiede petrolio,
carbone o gas.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
Sebbene la scomposizione fotochimica diretta sia concettualmente
molto promettente non e’ facile da ottenere.
E’ necessario creare coppie elettrone lacuna dall’assorbimento di
fotoni con la massima efficienza.
E’ inoltre necessario trasportare tali coppie elettrone-lacuna
all’interfaccia con l’acqua con la massima efficienza.
Infine bisogna ottimizzare il processo chimico di separazione
dell’acqua nei suoi costituenti.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
Consideriamo come esempio un dispositivo basato su una cella
solare tandem.
Tale dispositivo e’ caratterizzato come una cella elettrolitica
accoppiata in serie con una cella fotovoltaica tandem che serve a
fornire il potenziale necessario a dissociare l’acqua.
Gli strati di semiconduttore possono essere schematizzati come
batterie attivate dalla luce, il catodo nella parte destra e’
all’interno dell’elettrolita e il terminale nella parte sinistra
(contatto ohmico) e’ isolato dall’elettrolita ma connesso all’anodo
di Platino attraverso l’amperometro.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
L’elettrolita contenuto nella cella e’ acido solforico H2 SO4 .Per cui
la soluzione fortemente acida conduce attraverso gli ioni H + .
Consideriamo innanzitutto l’elettrolita. Il catodo e’ rivestito con
uno strato molto sottile di particelle di Platino.La reazione che
avviene al catodo e’ una riduzione: 2H + + 2e − → H2 (gas)
All’anodo avviene un areazione di ossidazione:
2H2 O(liq) → O2 (gas) + 4H + + 4e −
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
Se consideriamo la prima reazione ripetuta due volte e
aggiungiamo la seconda abbiamo: 2H2 O → O2 (gas) + 2H2 (gas)
che richiede un potenziale standard di 1.23 eV
Per far avvenire questa reazione e’ necessario tipicamente un
grande voltaggio.
Il voltaggio risultante dalle celle solari e’ limitato dal bandgap dei
semiconuttori. In questo caso i bandgap sono 1.83 eV per il
semiconduttore di destra e 1.42 per quello di sinistra.
La somma di questi due voltaggi fornisce un limite superiore per le
celle tandem. Tale voltaggio supera il voltaggio necessario per
ottenere la reazione di 1.23 eV.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
La fotocorrente fluisce lungo il filo rappresentato nel diagramma.I
livelli di Fermi del contatto ohmico e dell’elettrodo di Platino sono
allineati. Per cui si ha una caduta del potenziale sviluppato negli
strati di semiconduttore attraverso l’elettrolita. Cio’ porta alla
dissociazione dell’acqua.
Nei due strati di semiconduttore i livelli di Fermi sono piatti (non
c’e’ caduta di potenziale) per cui i fotovoltaggi delle due giunzioni
sono additivi.
La luce entra da destra e la giunzione di destra possiede un
bandgap maggiore.Cio’ implica che i fotoni ad energia minore
passano nella seconda giunzione dove sono assorbiti.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
In questa cella tandem la corrente elettrica deve essere la stessa in
ogni giunzione. Cio’ implica che la fotocorente totale della
giunzione e’ inferiore rispetto alla corrente di corto circuito della
giunzione meno potente.
Il potenziale e’ tuttavia additivo permettendo efficienze di
conversione maggiori rispetto ad una singola cella.
L’efficenza e’ stata calcolata come l’energia chimica nell’idrogeno
risultante dalla reazione divisa per la potenza solare assorbita.
L’energia chimica e’ stata calcolata dalla corrente misurata
moltiplicata per il voltaggio di 1.23 V che e’ legato alla formazione
delle molecole di idrogeno.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
L’efficienza di dissociazione dell’acqua e’ stata calcolata dalla
curva tensione-corrente dividendo il prodotto I x V per la potenza
solare entrante:
(0.12Ax 1.23V )/1190W = 0.124 per 1 cm2
Un dispositivo di questo tipo e’ estremamente costoso.
Utilizzando invece che una cella tandem una cella a singola
giunzione non si ottiene nessuna dissociazione dell’acqua. Infatti
nella corrispondente curva tensione corrente si ha una corrente
nulla in corrispondenza di un potenziale nullo.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
Il motivo risiede nel fatto che la banda di conduzione e di valenza
devono essere separate da una energia di almeno 1.2 eV per avere
un sufficente assorbimento di energia.
Allo stesso tempo il limite superiore della banda di conduzione
deve essere al di sopra rispetto all’energia di riduzione dell’acqua e
la banda di valenza deve essere al di sotto dell’energia di
ossidazione dell’acqua.
Tali condizioni non possono essere soddisfatte assieme senza
l’introduzione di un potenziale esterno come avviene nel caso delle
giunzioni tandem in cui tale potenziale e’ fornito dall’altra
giunzione pn.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
E’ possibile ipotizzare un dispositivo a minor costo che permetta la
dissociazione dell’acqua a partire da un dispositivo tandem a basso
costo.
Tale dispositivo e’ basata su due fotosistemi i serie (tandem).La
cella superiore e’ costituita da un film sottile di triossido di
tungsteno che assorbe la porzione blu dello spettro solare.
In questo caso le lacune provenienti dalla banda di valenza
ossidano l’acqua direttamente in ossigeno. Gli elettroni
appartenenti alla banda di conduzione vanno a finire nel secondo
dispositivo che e’ costituito da una dye-sensitized solar cell.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Dissociazione catalitica dell’acqua in idrogeno e
ossigeno
La DSSC e’ posta al di sotto della prima cella a base di triossido di
tungsteno e assorbe radiazioni solari nella parte verde e rossa dello
spettro.
Gli elettroni della banda di conduzione di questa cella riescono a
ridurre l’acqua producendo gas di idrogeno.
Questo tipo di dispositivo ha un minor costo di produzione rispetto
ai dispositivi costituiti da celle tandem a semiconduttore.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche tandem multifunzione
E’ possibile ipotizzare dei dispostivi basati sull’utilizzo delle celle
tandem che possano essere utilizzati sia per produrre corrente
elettrica che come celle elettrolitiche.
La cella tandem sotto illuminazione puo’ fornire in uscita un
voltaggio a circuito aperto maggiore di quello necessario a
dissocciare l’acqua.
il voltaggio residuo rispetto a quello necessario a dissociare l’acqua
potrebbe essere inviato ad un carico esterno.
Questo dispositivo generera’ principalmente potenza elettrica se
collegato ad una bassa resistenza di carico mentre dissociera’
l’acqua quando collegato ad una alta resistenza di carico.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Celle fotovoltaiche tandem multifunzione
La struttura potrebbe essere costruita considerando una cella CIGS
posta su uno strato sottile di alluminio. Nella parte superiore si
potrebbe utilizzare una cella a base di trioossido di tungsteno
metallizzata con un elettrodo trasparente.
Tra i due sistemi sarebbe inserita l’acqua che deve essere dissociata.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Elettrodi che dissociano l’acqua a base di Ematite
Fe2 O3 e’ un materiale che potenzialmente puo’ essere utilizzato
come elettrodo per la dissociazione dell’acqua.
Questo materiale presenta infatti un bandgap ottimale per la
dissociazione dell’acqua oltre che dei livelli energetici che
permettono la riduzione dell’acqua.
Tale materiale non e’ reattivo quando e’ immerso nell’elettrolita ed
e’ presente in grande abbondanza.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Elettrodi che dissociano l’acqua a base di Ematite
L’elettrodo che viene utilizzato e’ costituito da Fe2 O3 drogato con
silicio viene prodotto utilizzando la tecnica APCVD (atmospheric
pressure chemical vapor deposition) utlizzandi gas di Fe(CO)5 e
tetraetossisilano (TEOS).
Il sistema analizzato al micorscopio mostra una nanostruttura
denditrica con spessore di 500 nm e dimensioni laterali dell’ordine
dei 10-20 nm.
Una struttura dendritica assomiglia a quella di un albero.Ossia una
struttura connessa che parte dal substrato con diversi rami di
diamentro decrescente.
La struttura dendritica e’ connessa verticalmente.Cio’ promuove la
conduzione elettrica lungo la direzione di crescita.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Elettrodi che dissociano l’acqua a base di Ematite
Allo stesso tempo le dimensioni minori dei rami presenti nella
struttura superiori sono minori. Cio’ fa si che aumenti l’interfaccia
con l’elettrolita.
Tale struttura dendritica risulta favorevole per la dissociazione
dell’acqua se si assume che tale struttura sia sufficientemente
stabile nel tempo.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Matrici di nanotubi di TiO2 drogati C per la
dissociazione di H2 O
Uno dei maggiori problemi legati all’utilizzo dell’Anatasio
nanoporoso nelle DSSC e’ la bassa conducibilita’ elettrica.
Il vantaggio legato alle superfici nanoporose e l’ampiezza della
superficie che e’ utile per massimizzare il contatto con l’elettrolita
ed i dye.
I nanotubi a base titania (TiO2 ) offrono una ampia area di
superficie. Inoltre la loro forma cilindrica tubolare (non sferica
come nei nanoporosi) fa si che i nanotubi abbiano una grande
conducibilita’ elettrica nella direzione dell’asse del nanotubo.
Matrici di nanotubi sono state prodotte attraverso una
anodizzazione di un foglio di spessore di 25mm di Ti immerso in
une elettrolita.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Matrici di nanotubi di TiO2 drogati C per la
dissociazione di H2 O
I nanotubi amorfi risultanti venivano poi scaldati in atmosfera di
ossigeno a 450 gradi in modo da convertirli in nanotubi cristallini.
Successivamente sono state inseriti degli atomi droganti di
Carbonio.
Gli atomi di C inseriti nei nanotubi riducono il bandgap del TiO2
da un valore di 3-3.2 eV fino ad un valore di 2.2 eV.
Riducendo il bandgap si aumenta infatti la probabilita’ di creazione
di eccitoni nel TiO2 .
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Matrici di nanotubi di TiO2 drogati C per la
dissociazione di H2 O
Gli eccitoni vengono creati all’interfaccia elettrolita-ossido .
Se paragonato con altri simili tale apparato basato sui nanotubi
risulta abbastanza costoso. Rispetto al sistema dendritico descritto
in precedenza i nanotobi offrono una maggiore durabilita’.
Nanoelettronica
Applicazioni della nanoelettronica per le tematiche energetiche
Stoccaggio e trasporto di idrogeno come potenziale
carburante.
L’idrogeno gassoso puo’ essere condotto utilizzando gli stessi
metodi dei gas naturali.
Grandi volumi di idrogeno gassoso si possono trovare nel
sottosuolo.
L’idrogeno liquido necessita una temperatura molto bassa di 20.3
K.Possiede una grande densita’ ma la densita’ di energia e’ circa 4
volte inferiore rispetto a quella della benzina o del gasolio.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Un computer quantistico e’ un dispositivo di calcolo che fa uso
diretto dei fenomeni legati alla meccanica quantistica per compiere
delle operazioni di un set di dati.
I computer quantistici sono differenti dai computer digitali che
sono basati sui transistor. Mentre i computer digitali necessitano
che i dati siano codificati in digits binari (bits) i computer
quantistici utilizzano proprieta’ della meccanica quantistica per
rappresentare i dati ed operare su di essi.
Sebbene i computer quantistici siano ancora in una fase
embrionale, sono stati eseguiti di recente degli esperimenti in cui si
e’ riuscito a fare un numero limitato di operazioni su alcuni qubits.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
La ricerca in questo campo e’ attualmente molto attiva. I fondi di
ricerca sono principalmente pubblici ma anche agenzie private
hanno investito in questo campo.
Se realizzati i computer quantistici saranno piu’ veloci rispetto a
quelli attualmente sul mercato.
Un computer classico ha una memoria costituita da bits, dove ogni
bit puo’ essere o zero o uno.
La memoria dei computer quantistici e’ costituita da qubits. Ogni
qubit puo’ assumere il valore zero o uno oppure ogni
sovrapposizione quantistica di questi due stati.
Una coppia di qubits puo’ trovarsi istantaneamente in ogni
sovrapposizione quantistica di 4 stati.
Un normale computer avente nbits puo’ trovarsi istantaneamente
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Una terna di qubits puo trovarsi istantaneamente in una
sovrapposizione quantistica di 23 = 8 stati.
In generale un computer quantistico avente n qubits puo’ trovarsi
istantaneamente ed arbitrariamente in una sovrapposizione
quantistica di 2n stati.
Un normale computer avente n bits puo’ trovarsi istantaneamente
solo in uno dei 2n stati possibili alla volta.
Un computer quantistico opera impostando un valore iniziale per i
qubits che rappresentato la condizione iniziale del problema.
Successivamente opera sui qubits in modo da risolvere il problema
attraverso una sequenza fissa di porte logiche quantistiche.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
L’insieme di tutte le porte logiche e’ detto alogoritmo quantistico.
Il calcolo termina con la misura (lettura) di tutti gli stati.Tale
misura porta il sistema in uno stato in cui ogni qubit si trova in
uno stato puro (0 o 1).
Un esempio di implementazione di qubits per un computer
quantistico e’ un sistema costituito da particelle aventi due stati di
spin: up oppure down tipicamente indicato con | ↑> o | ↓> .
In generale i sistemi adatti per l’implementazione di computer
quantistici devono possedere un’osservabile A che si conserva
temporalmente e che puo’ assumere due autovalori discreti.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Un computer classico che possiede n bits e’ fondamentalmente
diverso da un computer quantistico che possiede nqubits.
Per rappresentare uno stato di un sistema avente n-qubit un
sistema classico deve memorizzare 2n coefficienti complessi.
Per esempio consideriamo un computer classico che opera su 3
bits. Ad ogni istante lo stato del computer ha una distribuzione di
probabilita’ distribuita su 23 = 8 stati differenti
{000, 001, 011, 111, 100, 110, 101, 010}.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Un computer classico deterministico si trovera’ ad ogni istante in
uno di questi 8 stati con probabilita’ pari a 1.
In un computer quantistico probabilistico si trovera’ ad ogni istante
in ciascuno degli 8 stati ciascuno con una probabilita’ minore di
uno e con somma totale uguale ad 1.
Nel momento in cui si misurano (leggono) i tre qubits, essi si
troveranno in uno degli 8 stati descritti in precedenza.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Sebbene uno stato classico a 3 bit ed uno stato quantistico a 3
qubit siano entrambi rappresentati come vettori 8 dimensionali, tali
vettori vengono manipolati in modo molto diverso a seconda che si
utilizzi un computer classico o quantistico.
In entrambi i casi il sistema deve essere inizializzato, per esempio
ponendo tutte le stringhe a zero 000.
La differenza sostanziale riguarda il modo con cui i computer
classici e quantistici operano sul sistema iniziale.
I computer classici operano attraverso matrici stocastiche che
conservano le probabilita’. I computer quantistici operano
attraverso matrici unitarie che corrispondeno a delle rotazioni.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Alla fine in entrambi i casi il risultato finale deve essere letto dal
computer.Nel caso dei computer classici si esegue un
campionamento della distribuzione di probabilita’ degli 8 stati in
modo da ottenerne uno ben definito.
Nel caso quantistico si esegue una misura dello stato del sistema.
Tale operazione e’ capace di far collassare il sistema in uno degli 8
stati possibili.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
I computer digitali moderni sono basati sui numeri binari: ossia due
valori che possiamo chiamare 0 ed 1.
I numeri vengono codificati attraverso un numero n di bits binari
con velocita’ estremamente elevate.
L’nformazione viene poi immagazzinata attraverso circuiti aventi
due stati differenti oppure attraverso la direzione dei momenti
magnetici di piccoli magneti.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Bits binari e Qubits
Considerato un numero n di bits binari, il numero di stati distinti
disponibili e’ pari a 2n .Possiamo descrivere questo numero come:
Z = {zi }, i = 1, 2, ...n dove zi puo’ essere o 1 o 0.
L’azione del computer e’ quella di prendere questo numero e
trasformarlo in un output della stessa forma.
Se per esempio n=28, (per cui ci sono 28 numeri binari che
descrivono lo stato istantaneo del sistema), il numero totale di
stati distinti e’ N = 228 = 2.68X 108 . Questo numero e’
corrispondente all’intera popolazione degli Stati Uniti.
Supponiamo di avere una lista casuale di nomi ed indirizzi e
vogliamo cercare l’indirizzo di una specifica persona.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Bits binari e Qubits
Il computer digitale richiedera’ uno step per testare ogni entrata e
in media ci vorrano N/2=134 milioni di step per trovare un unico
indirizzo.
Groover ha generalizzato il concetto di bit binario z considerando
una sovrapposizione complessa di 0 ed 1 chiamata qubit.:
χi = ai | ↑i > +bi | ↓i >
con la condizione di normalizzazione ai2 + bi2 = 1.
√
Cio permette di cercare tra N numeri random utilizzando N steps
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Bits binari e Qubits
Cio’ significa che ci vorranno circa 16400 steps per cercare tra 260
milioni di diverse entrate.
Lo stato quantico a due livelli e’ facile da presentare attraverso la
notazione di spin.
Nanoelettronica
Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Combinazioni lineari di qbits
Come sappiamo dalla meccanica quantistica, una combinazione
lineare di qubits e’ essa stessa un qubit.
Se χ1 e χ2 sono dei qubits, allora χ3 = 2−1/2 (χ1 + χ2 ) e’ un qubit.
Se sono richesti due numeri complessi per descrivere un qubit
allora ci vogliono quattro numeri per descrivere due qubits: le
ampiezze dei 4 = 22 stati {00, 11, 01, 10}.
Allo stesso modo per descrivere un sistema di 3 qubits ci vorranno
8 = 23 ampiezze complesse {000, 001, 011, 111, 100, 110, 101, 010}.
In generale cio’ corrisponde a 2n numeri necessari per descrivere la
condizione istantanea di un sistema n-qubits. Nel caso dei bits tale
numero corrisponde a n.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Combinazioni lineari di qbits
In generale si ha: Γ = {χ}, i = 1, 2...n
Ogni combinazione lineare di questi qubits sara’ anch’essa uno
stato del sistema. Il risultato e’ che il sistema sara’
contemporaneamente in 2n stati.
In generale la ricerca di √
N oggetti random utilizzando un computer
quantistico necessitera’ N steps.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
L’esempio canonico di qubit e lo spin 1/2 elettronico e nucleare.
La funzione d’onda di spin dipende da exp(±imφ) = exp(±iφ/2)
dove φ e’ l’angolo azimutale misurate nel piano xy.
Il momento magnetico µ
~ e’ parallelo al momento angolare :
~
µ
~ = (e/2m)L
E possibile dimostrare che ilvalore di aspettazione del momento
magnetico si spin 1/2 e’ un vettore, sotto l’ipotesi in cui si
utilizzano dei coefficienti complessi appropriati in una
combinazione lineare di spin up e down e’ un vettore µ
~ orientato in
ogni direzione della sfera unitaria definita dagli angoli θ e φ.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
Combinazioni lineari di questi stati sono note nel campo della
risonanza magnetica nucleare.
Se uno spin e’ nel suo stato di minima energia (che noi
consideriamo corrispondente a θ = 0), applicando campo
magnetico intenso lungo l’asse z ed un campo magnetico lungo il
piano xy ad una frequenza 2µB B/~ lo spin si trovera’ in uno stato
misto corrispondente ad una combinazione di spin up e down in cui
compie un moto di precessione nel piano x-y attorno all’asse z.
Questo stato e’ la base della tecnologia dell’imaging legato alla
risonanza magnetica.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
La lunghezza temporale in cui questo stato rimane misto e’ detto
T2 . Tale periodo di tempo e’ un esempio di tempo di coerenza di
un qubit.
Il qubit normalmente non eseguira’ nessun moto di precessione ma
si trovera’ in uno stato stazionario corrispondente ai punti θ e φ.
L’informazione sara’ contenuta nel valore degli angoli θ e φ.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
Un computer quantistico prende un input della forma:
Γ = {χ}, i = 1, 2...n e lo trasforma un una sequenza di output
simile.
Per questo motivo un calcolo puo’ essere considerato come una
rotazione di un vettore che coinvolge due numeri complessi per un
qubit singolo e 2n numeri complessi nel caso di n qbits accoppiati.
La posizione finale del vettore qbit sara’ la risposta al problema che
viene posto al calcolatore.
L’azione del programma e’ quella di ruotare sequenzialmente il
vettore qbit a partire dalla sua posizione iniziale fino alla posizione
finale che deve essere letta.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
Se abbiamo tre qubits allora sia l’input che l’output sara’ costituito
da vettori 23 = 8 dimensionali.
Se ci sono 28 qubits il processo di calcolo e’ concettualmente
equivalente a inizializzare,ruotare e misurare l’orientazione di un
vettore un uno spazio 28 dimensionale.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
Nel caso dei computer convenzionali e’ necessaria la lettura di n
bits binari (0 o 1).
Nel caso di un computer quantistico e’ necessario leggere n qubits
ciascuno caratterizzato da coefficienti complessi di probabilita’ ai e
bi tali che a2 + b 2 = 1.
Nell’ambito della meccanica quantistica la determinazione di tali
coefficienti richiede diverse misure indipendenti ciascuna
paragonabile alla lettura della faccia di una moneta.
Aumentando il numero delle misure aumenta l’attendibilita’ del
risultato.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
Fortunatamente esistono delle dimostrazioni che mostrano del
principio del quantum nondemolition measurements. Secondo
questo principio e’ possibile misurare senza alterazione uno fotone
in una cavita’ singola.
In base a questo principio la lettura dei risultati e’ meno
complicata rispetto a quella descrita in precedenza.
Esiste in ogni caso una problematica legata all’accuratezza con cui
i coefficienti debbano essere determinati.
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Spin 1/2 come Qubit
La connessione con la meccanica quantistica e’ costituita dalla
equazione di Schroedinger:
HΨ = i~∂Ψ/∂t
La funzione d’onda e’ alterata dall’operatore Hamiltoniano che
puo’ essere paragonato nel caso dei computer quantistici alle porte
logiche che operano sui qubits.
Il vettore di input Γ = {χ}, i = 1, 2...n, puo’ essere considerato
come la funzione d’onda iniziale che corrisponde a n spin.
L’operatore Hamiltoniano cambia la funzione d’onda in un valore
finale che costituisce la risposta finale al problema posto.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Spin 1/2 come Qubit
L’operatore Hamiltoniano agisce idealmente sugli spin individuali
(qubits), inoltre accoppia gli spin tra loro.
E’ stato stabilito che non e’ necessario che ogni qubit interagisca
con ogni altro qubit.Ma e’ necessaria l’interazione di uno spin con i
suoi primi vicini.
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carica come Qubit
L’esempio piu’ semplice di qubit di carica e’ costituito dallo ione
molecola di idrogeno. Gli stati di 0 e 1 sono cosituiti dall’elettrone
che si trova in un protone o nell’altro protone.
Lo stato fondamentale e’ costituito dallo stato misto combinazione
lineare simmetrica dei due stati.
In questo sistema i protoni sono molti vicini tra loro, cio’
costituisce un problema per la lettura dei risultati in un ipotetico
computer quantistico.
In generale per ottimizzare la lettura dei qubit bisognerebbe creare
sistemi di grossa taglia che pero’ riescano a mantenere una
coerenza quantistica.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Interazione tra spin elettronico e nucleare
L’interazione tra lo spin elettronico e nucleare (interazione iperfine)
e’ alla base di un possibile computer quantistico recentemente
proposto.
I protoni (ed i neutroni) hanno spin 1/2 con momenti magnetici
µN = (e/2mp )L. Tale momento magnetico e’ di intensita’ inferiore
rispetto al magnetone di Bohr di una quantita’ che dipende dal
rapporto tra la massa del protone e quella dell’elettrone:
µN = (1/1838)µB .
Gli spin nucleari sono considerati utili nel quantum computing
poiche’, essendo isoltai, possiedono dei tempi di vita di coerenza
molto lungi.
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Interazione tra spin elettronico e nucleare
Gli stati energetici di un momento magnetico di spin di un protone
immerso in un campo magnetico B sono:
E = ±2.79285µN B (il valore corrispondente pee il neutrone e’
-1.913).
Per un protone immerso in campo B=1T la differenza di energia e’
∆E = 0.176µeV
Questo valore corrisponde ad una frequenza di assorbimento di
risonanza di 42.7 MHz.
La MRI (Magnetic Resonance Imaging) e’ basata su una scansione
in cui un campo magnetico debole muove la posizione di un campo
magnetico B=1T in tutte le posizioni x,y,z di un campione.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Interazione tra spin elettronico e nucleare
Il valore µz = ±2.79285µN per il momento magnetico di un
protone e’ dovuto alle complicate dinamiche dei tre quark che lo
costituiscono (particelle aventi carica ±1/3e, ±2/3e).
Lo spin elettronico e nucleare sono entrambi candidati come qubit
nell’ambito dei computer quantistici.Il motivo e’ dovuto al fatto
che gli spin possono essere opportunamente preparati ed osservati
in stati quantici che corrispondono a combinazioni lineari degli
stati di base (spin-up e spin-down).
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Interazione tra spin elettronico e nucleare
Un modo di raggiungere lo stato entangled di combinazione lineare
di spin up e down e’ quello di considerare un protone con spin up
(stato fondamentale di piu’ bassa energia) e sottoporlo ad un
impulso π/2.
Questo impulso corrisponde ad un campo magnetico a radio
frequenza di ampiezza B1 di lunghezza temporale limitata t
(impulso) che ha l’effetto di far oscillare lo spin tra gli stati up e
down ad una frequenza di Rabi ω1 :
ω1 = gµN~ B1 = γn B1
Sotto la condizione che ω1 t = π/2, il vetore magnetizzazione
ruotera’ liberamente attorno al campo magnetico B0 ad una
freqUenza di risonanza (42.7 MHz per B0 = 1T ).
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Interazione tra spin elettronico e nucleare
Il campo magnetico prodotto avente frequenza di 42.7 MHz e’
rilevato dall’apparato MRI in modo che comunichi ad un computer
la presenza o no di protoni.
Una delle complicazioni nel riuscire ad ottenere un qubit partendo
dallo spin elettronico in un semiconduttore e’ che i nuclei dei
semiconduttori, che possiedono uno spin ed un momento
magnetico di spin, possono interagire con lo spin elettronico.
Per questo motivo e’ importante caratterizzare l’interazione tra lo
spin elettronico e lo spin nucleare.
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Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
Consideriamo l’interazione tra lo spin elettronico e nucleare che
avviene in un atomo di idrogeno. A questo tipo di interazione e’
dovuta la riga di emissione a 21.1 cm osservata per l’idrogeno che
che si trova nello spazio.
Cio’ significa che gli spin elettronici e nucleari possono essere
paralleli o antiparalleli e’ la differenza di energia tra questi due stati
corrisponde ad una radiazione di 21.1 cm.
Per comprendere questo tipo di interazione consideriamo
l’interazione dipolo-dipolo.
Consideriamo la stima del campo magnetico di dipolo di un
protone di un atomo di H. In modo approssimato si puo’ stimare:
B ' (µ0 /4π)(3gµb )a0−3 ' 20T
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Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
Questo campo magnetico e’ estremamente elevato e’ avrebbe
un’effetto circa 20 volte maggiore di quello che viene osservato
sperimentalmente.
il motivo e’ dovuto al fatto che, sebbene sia presente un campo
magnetico dovuto al dipolo elettronico nel nucleo, tale campo in
media si annulla. Infatti l’elettrone 1s dell’idrogeno si trovera’ con
eguale probabilita’ tutti i possibili angoli della sfera unitaria.
Cio’ comporta una cancellazione del campo di dipolo.
Per questo motivo bisogna considerare un’ altro tipo di interazione
che viene detta interazione di contatto iperfine.
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Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
L’interazione di contatto iperfine puo’ essere ipotizzata
considerando la funzione d’onda di stato fondamentale
dell’idrogeno:
−3/2
Ψ100 = (π)−1/2 a0 exp(−r /a0) il cui valore massimo si ha in
corrispondenza di r=0 ossia quando l’elettrone e’ in esatta
corrispondenza col protone.
L’interazione di contatto iperfine e’ data da:
2
2~ ~
HIS = ( 8π
3 )γe γn ~ |Ψ100 | I · S
In questa espressione γe γn e’ il prodotto tra i rapporti
giromagnetici dell’elettrone e del nucleo.Il simbolo I indica lo spin
del nucleo e S quello elettronico.
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Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
Una spiegazione intuitiva della interazione di contatto e’ che
l’elettrone interagisca con il campo magnetico nucleare solo nella
zona prossima al nucleo stesso.
L’energia relativa a questa interazioen e’ :
E = −A ∗ ~I · ~S.
Il valore di aspettazione calcolato mostra una frequenza di
radiazione di 1420.4 MHz per H che corrisponde ad una lunghezza
d’onda di 21.1 cm ed una energia di 5.86 neV.
Questi effetti derivano dalla inversione dello spin elettronico in
presenza di dello spin nucleare. Se l’interazione e’ descritta in
termini di campo magnetico prodotto dal nucleo questo campo ha
una valore di 50.8 mT.
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Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
Questo effetto e’ piu’ marcato in altri elementi, per esempio per gli
elettroni 2s del Fluoro il campo magnetico effettivo e’ di 1.7 T
La radiazione di 21.1 cm e’ osservata solamente dallo spazio, cio’
permette agli astrofisici di mappare la posizione dell’idrogeno nello
spazio.
L’eccitazione di 5.86 neV e’ osservabile solo dallo spazio. Infatti
tale energia corrisponde ad una temperatura di 0.067 K.Infatti la
radiazione di corpo nero osservata dallo spazio ha un picco che
corrisponde a 2.7 K. Per questo motivo gli atomi di idrogeno
presenti nello spazio avranno una eguale popolazione di elettroni e
protoni paralleli ed antiparalleli separati da una energia di 5.86 neV.
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Interazione iperfine tra lo spin elettronico e nucleare.
In generale le interazioni tra spin elettronico e nucleare in un atomo
di idrogeno in presenza di un campo magnetico esterno B0 e’:
H = ge µb B0 Sz + gN µN B0 Iz − A~I · ~S
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Qubits vs. Bits nei computer quantistici
Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
E’ stato recentemente proposto l’utilizzo dell’accoppiamento tra
spin elettronico e nucleare per la produzione di un computer
quantistico multi-qubit basato su un microscopio STM (scanning
tunneling microscope).
Il ruolo del microscopio STM e’ quello di misurare i livelli energetici
di un elettrone che interagisce con uno spin nucleare 1/2 (125 Te)
posto sulla superficie di un cristallo di Si.
Si assume che un campo magnetico intenso di 10 T e’ applicato al
sistema.
Consideriamo l’espressione:
H=ge µb B0 Sz + gN µN B0 Iz − A~I · ~S
Si ha che S=I=1/2,ge =2,gN = 0.882, B0 =10 T e’ diretto lungo la
direzione z e A/(2π~) = 3.5GHz.
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Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
Considerando l’espressione precedente e’ possibile vedere che la
frequenza di risonanza elettronica dipende dall’orientazione dello
spin nucleare I.
Si ha infatti che:
e µB B0
f = fe0 = g(2π~)
+
f = fe0 =
ge µB B0
(2π~)
−
A
4π~
A
4π~
(spin nucleare up)
(spin nucleare down)
Lo splitting iperfine e’ A/(2π~) = 3.5GHz per il (125 Te) posto
sulla superficie di un cristallo di Si..
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Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
Il punto fondamentale e’ che lo stato relativo allo spin nucleare
puo’ essere determinato dalla frequenza di risonanza dello spin
elettronico.
La frequenza di risonanza di precessione dello spin elettronico puo’
essere misurata a per ogni qubit di Te attraverso un microscopio
STM misurando la modulazione della corrente di tunnel.
Il moto dello spin elettronico produce infatti una frequenza di
modulazione nella corrente di tunnel che puo’ essere misurata con
un STM.
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Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
E’ stato proposto un sistema in cui viene creata uan serie di 250
qubits di 125 Te (I=1/2) disposti linearmente e separati da una
distanza a=5nm lungo la direzione x della superficie di Si
cristallino.
E’ stato proposto di variare lentamente l’intensita’ del campo
magnetico B lungo la direzione x, in modo che per la posizione
k-esima ci sara una ben definita’ e distinguibile frequenza di
risonanza nucleare del k-esimo qubit.E di conseguenza del k-esimo
elettrone.
Considerando una spazio tra i qubit di 5nm ed un gradiente del
campo dB/dx = 105 Tm−1 la variazione della frequenza di
risonanza elettronica fra siti adiacenti e’ di 14 MHz.
Per la frequenza di risonanza nucleare la variazione e’ di 6.75 KHz.
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Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
Il sistema sara’ sottoposto ad un campo magnetico oscillante
perpendicolare a B0 che permettera’ transizioni spin-up spin-down
in ognuno dei nuclei della catena.
In questo modo e’ possibile preparare una catena lineare di qubit in
cui ciascuno spin e’ nello stato fondamentale.La misura attraverso
il micrscopio STM permettera’ di individuare i siti in cui lo spin e’
nello stato eccitato.
a questo punto puo’ essere applicato un impulso di campo
magnetico π al k-esimo sito che permette di riportarlo nello stato
fondamentale.
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Computer quantistico basato basato sull’interazione
spin elettronico-spin nucleare
L’accoppiamento tra i qubit e’ ottenuto attraverso l’interazione tra
il k-esimo spin nucleare ed il campo magnetico di dipole del
k-1-esimo elettrone.
dal punto di vista sperimentali questo schema presenta il problema
di generare campi magnetici intensi di 10 T e la difficolta’ nella
analisi della corrente di tunnel STM.
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Qubits basati su una doppia buca di potenziale
Il primo esperimento di generazione di qubit di carica e’ stato
eseguito considerando una doppia buca di potenziale.
La struttura della doppia buca e’ stato il primo sistema ed esibire
una coerenza quantistica degli stati elettronici.
Il tilt delle bande energetiche nella figura mostra