La radice cubica
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 20:18 - Ultimo aggiornamento Sabato 26 Febbraio 2011 11:09
I più antichi esempi di estrazione di radice cubica che ci sono pervenuti, sono databili tra la fine
del VI secolo e ne è autore il matematico indiano Aryabata. Per quanto riguarda la letteratura
europea troviamo le prime estrazioni di radici cubiche nel Liber abaci di Fibonacci e,
naturalmente si tratta di procedimenti a galera. Il primo esempio di estrazione cubica a danda è
esposto da Bombelli ne
L’
Algebra
, ma si tratta di un esempio piuttosto complicato, giacché l’autore estrae la radice cubica di
98.765.432.100
[1]
.
Vedremo ora un metodo per l’estrazione della radice cubica di un numero, Rafael Bombelli nell’
Algebra
espone questo metodo servendosi di un esempio che noi andremo a vedere e che tradurremo
in linguaggio moderno.
Ettore Bartolotti afferma che l’apparente confusione dell’enunciazione del Bombelli nasce dal
fatto che il Bombelli opera tutti i passaggi direttamente.
Vediamo l’esempio esposto nel Libro primo dell’Algebra.
“Presupposto che si havesse a trovare il prossimo lato cubo di 1100, prima si cerca il più
prossimo numero cubo che non lo superi, che sarà 10, il cubo è 1000, che cavato di 1100 resta
100.
Hor piglisi il triplo di 10 fa 30 e questo si moltiplichi via il 100 rimasto, fa 3000, e salvisi: poi
quadrasi 10 fa 100, giongasegli la sua metà per regola, fa 150, quadrisi fa 22500, e gionghisi al
3000 salvato, fa 25500, e di questo si pigli il lato quadrato prossimo, ch’è 159
, e di questo si cavi il 150 che fu quadrato, resta 9
, e questo va partito per il 30 triplo del 10, ne viene ovvero
, questo è il rotto cercato, che gionto con 10 fa 10
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, e questo è il lato prossimo cercato,…”
Supponiamo di voler trovare la radice cubica del numero N=1100.
Troviamo un numero che elevato al cubo si avvicini al numero 1100 senza superarlo, questo
valore è a=10 che elevato al cubo ci dà 1000. Sottraendo questo valore dal numero 1100 si
ottiene un residuo
r:
1100-10 3 =1100-1000=100.
Cioè:
N - a 3 = r.
Consideriamo il triplo del numero a e moltiplichiamolo per il residuo o rotto ottenuto:
3 * a * r = 3 * 10 * 100 = 30 * 100 = 3000
Ora eleviamo al quadrato a e aggiungiamoci la sua metà:
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consideriamo il quadrato del valore trovato e aggiungiamoci il valore 3000 ottenuto in
precedenza:
Si calcoli ora la radice quadrata di questo valore e si sottragga dal risultato il numero 150, si ha:
Questo valore ottenuto va diviso per 30 che è i triplo del numero 10 e si ottiene:
questo è il rotto cercato, cioè la x.
Per cui:
o come scrive il Bombelli:
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Dunque questa regola si ricava ponendo:
N = a 3 + r = (a + x) 3
si ha:
a 3 + r = a 3 + 3a 2 x +3ax 2 + x 3
e trascurando x 3 si ottiene, per determinare x, l’equazione di secondo grado:
3 a x 2 + 3 a 2 x = r
da cui, con la scrittura del Bombelli:
Quindi dobbiamo cercare il più grande valore a che elevato al cubo sia minore di N, trovato
questo valore giungiamo facilmente al valore di
r
, in quanto:
N = a3 + r
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pertanto il calcolo di x, tramite la formula precedentemente ricavata, diventa semplice ed è
possibile formulare un algoritmo in qualsiasi linguaggio di programmazione.
[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.
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