Analisi Matematica 2 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Analisi Matematica 2
1.- Successioni e serie di funzioni. Convergenza ed uniforme convergenza di una successione di funzioni.
Teoremi del limite, di derivazione, di passaggio al limite sotto segno integrale. Serie di funzioni. Serie di
potenze. Raggio di convergenza. Serie di Taylor e di Mac Laurin. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie di
e x , sen x , cos x , log(1 + x ), arctang x , arcsen x . Serie di Fourier.
2.- Funzioni scalari o vettoriali di più variabili reali. Elementi di topologia in Rn : intorni, punto
interno, punto di accumulazione. Frontiera e derivato di un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi.
Insiemi compatti. Insiemi aperti connessi. Limiti. Funzioni continue. Teorema di esistenza degli
zeri. Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Inversione dell’ordine di derivazione.
Differenziabilità delle funzioni composte. Formula di Taylor. Funzione a gradiente nullo. Massimi e
minimi relativi ed assoluti. Ricerca dei punti di massimo e minimo. Funzioni implicite. Teorema del Dini.
Massimi e minimi vincolati.
3.- Equazioni differenziali ordinarie. Definizioni e terminologia. Problema di Cauchy: esistenza
ed unicità locale e globale. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni
differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali
omogenee. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo. Equazioni differenziali lineari a
coefficienti costanti. Equazioni differenziali di Eulero.
3.- Misura ed integrazione secondo Lebesgue. Misura dei plurintervalli, degli aperti e dei compatti di
Rn . Misurabilità degli insiemi limitati. Proprietà della misura. Misura degli insiemi non limitati. Funzioni
misurabili. Integrale di una funzione limitata misurabile in un insieme limitato misurabile. Integrale di una
funzione misurabile in un insieme misurabile, funzioni sommabili. Proprietà dell’integrale. Derivazione
sotto segno integrale. Teorema di Lebesgue sul passaggio al limite sotto segno integrale. Teoremi di Fubini
e di Tonelli. Formule di integrazione iterata per integrali doppi e tripli. Formule di cambiamento delle
variabili di integrazione.
4.- Curve ed integrali curvilinei. Curve in Rn . Curve regolari, generalmente regolari, chiuse. Riparimetrizzazione di una curva. Lunghezza. Integrali curvilinei.
5.- Forme differenziali lineari. Forme differenziali lineari esatte. Integrale curvilineo di una forma
differenziale lineare. Criteri di integrabilità. Forme differenziali chiuse. Costruzione della funzione
potenziale. Formule di Gauss-Green. Insiemi semplicemente connessi. Equazioni differenziali esatte.
Testi.
– G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell–Davis
– C.D. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson
– Testi di esercizi presso: www.dmi.unict.it/frasca/