Il moto dei corpi solidi estesi
Rotazione e traslazione
Quando un punto materiale è in movimento la sua posizione nello spazio cambia nel tempo. Il tipo
di moto a cui può essere soggetto un punto materiale si chiama traslazione. Con i corpi estesi le
cose stanno però in maniera diversa. Consideriamo infatti una ruota di bicicletta sollevata da terra
che viene fatta girare. Non c’è dubbio che la ruota si stia muovendo, eppure non cambia la sua
posizione nello spazio, addirittura c’è un punto della ruota (il suo centro) che è proprio fermo.
Questo tipo di moto si chiama rotazione. La ruota può essere soggetta anche a un moto di
traslazione; è possibile infatti spostare la bicicletta sollevandola da terra
senza far girare la ruota. Infine, la ruota del nostro esempio può essere
soggetta ai due moti combinati di rotazione e traslazione, ciò accade quando
saliamo in sella e pedaliamo; in tal caso si parla di rototraslazione. Il moto
più generale a cui può essere soggetto un corpo è sempre dato dalla
composizione di una traslazione con una rotazione. Nella traslazione tutti i
punti del corpo hanno lo stesso vettore velocità. Il moto rotazionale è più
complesso, vediamone quindi in dettaglio le caratteristiche.
I caratteri del moto rotazionale
Nella rotazione ogni punto del corpo esegue un moto circolare intorno a
un asse detto asse di rotazione (se il moto avviene su un piano
possiamo parlare di centro , anziché di asse, di rotazione). La velocità
angolare è la stessa per ogni punto del corpo, e tutti i punti dell’asse di
rotazione sono fermi. Per calcolare la velocità vP di un qualsiasi punto P
del corpo basta moltiplicare la sua distanza rP dall’asse per la velocità
angolare ω: v P = ω ⋅ rP . La direzione della velocità di P è
perpendicolare al raggio rP.
L’asse di istantanea rotazione
Una importante caratteristica del moto dei corpi solidi è la seguente: in ogni istante è possibile
trovare un asse (eventualmente esterno al corpo) rispetto al quale il moto del corpo è una rotazione
pura. Tale asse è detto asse di istantanea rotazione, l’aggettivo istantanea sta a significare che
durante l’evoluzione del moto la posizione di tale asse può anche cambiare. Con l’introduzione
dell’asse di istantanea rotazione possiamo ricondurre ogni moto ad una pura rotazione intorno ad un
asse eventualmente variabile. Il caso di una pura traslazione può essere interpretato come una
rotazione con asse molto lontano (un arco di circonferenza di lunghezza trascurabile rispetto al
raggio è bene approssimato dal segmento della retta tangente nel centro dell’arco, individuato dalle
intersezioni con i prolungamenti dei due raggi passanti per gli estremi dell’arco).
Esempio 1 – determinazione del centro di istantanea rotazione
Una scala è appoggiata a un muro. A un certo punto la base cede e la scala scivola verso terra restando in
contatto con la parete e il suolo. Dove si trova il centro di istantanea rotazione quando la scala inizia a
scivolare?
Scriviamo i dati del problema
Il moto della scala avviene con i due estremi che restano in contatto con la parete e il suolo.
Incognite
La posizione del centro di istantanea rotazione all’inizio del moto.
Analisi e soluzione
Chiamiamo A e B gli estremi della scala; durante il moto questi due punti restano in
A
contatto con la parete e il suolo rispettivamente. Ciò significa che la velocità vA del
C
punto A è diretta verticalmente verso il basso, mentre la velocità vB del punto B è
B
diretta orizzontalmente verso destra. Poiché in un moto di puro rotolamento la velocità di ogni punto è
perpendicolare alla retta congiungente il punto stesso con il centro di rotazione, quest’ultimo dovrà trovarsi
sulla perpendicolare al muro passante per A. Per lo stesso motivo il centro di rotazione dovrà trovarsi sulla
retta perpendicolare al suolo passante per B. Il centro di istantanea rotazione si troverà quindi nel punto C,
quarto vertice del rettangolo i cui altri tre vertici sono A, B, e la base del muro. Osserviamo che durante il
moto il punto A si abbassa mentre B si allontana, cosicché il centro di istantanea rotazione cambia
continuamente.
Rotolamento
Consideriamo una ruota o una sfera di raggio r su un piano orizzontale animata di un moto dato
dalla composizione di una traslazione verso destra con velocità v (cioè v è la velocità del baricentro
della ruota) e di una rotazione in senso orario con velocità angolare ω. Se la ruota è ferma sul posto
o se comunque la sua velocità di traslazione v è bassa rispetto alla velocità tangenziale dei punti sul
bordo dovuta alla rotazione, ωr, il punto il cui la ruota è a contatto con il terreno ha una velocità
diretta verso sinistra; è questo il caso, per esempio, in cui una ruota “sgomma” sul ghiaccio o sulla
sabbia. Se invece il moto di rotazione è assente o comunque la velocità di traslazione è alta rispetto
alla velocità tangenziale dei punti sul bordo dovuta alla rotazione, il punto il cui
la ruota è a contatto con il terreno ha una velocità diretta verso destra; è questo
il caso, per esempio, della palla da bowling che, appena lanciata, inizia il suo
moto strisciando sulla pista. Possiamo però avere anche il caso in cui i
contributi di traslazione e rotazione alla velocità del punto di contatto sono
esattamente uguali, e poiché hanno direzioni opposte questo è istantaneamente
fermo. In questo caso si parla di rotolamento puro, e il punto di contatto tra la
ruota e il suolo è il centro di istantanea rotazione. La condizione di puro
rotolamento, tenendo correttamente conto dei segni, è quindi v+ωr=0. Per
questo motivo è corretto (anche se suona un po’ strano) dire che anche quando
un macchina sta sfrecciando in autostrada a 120 all’ora vi sono punti dell’auto
fermi rispetto alla strada: si tratta dei punti di contatto tra le ruote e il terreno. È
bene però rimarcare che il punto della ruota a contatto con la strada è sì fermo,
ma istantaneamente, vale a dire che un attimo dopo si è già staccato dal suolo e
la sua velocità non è più zero.
L’energia cinetica di un corpo solido esteso
L’energia cinetica di un corpo solido animato da un movimento di rototraslazione è data dalla
somma di due contributi: quello della traslazione e quello della rotazione. Consideriamo un corpo di
massa M, momento di inerzia rispetto a un asse passante per il baricentro IG, velocità del baricentro
1
1
2
vG e velocità angolare ω. L’energia cinetica del corpo è: E c = MvG + I G ω 2 , dove il primo
2
2
termine è il contributo del moto traslazionale e il secondo di quello rotazionale.
Esempio 2 – Sfera che rotola su un piano inclinato
Vogliamo calcolare la velocità di una sfera di massa M e raggio r che scende partendo da fermo da un piano
inclinato di altezza h quando scivola senza rotolare e quando viene giù con un moto di rotolamento puro.
Scriviamo i dai del problema
Sfera: massa M; raggio r
Piano inclinato: altezza h
Incognite
Velocità v alla base del piano nel caso di moto traslatorio e di rotolamento puro
Analisi e soluzione
Poiché il baricentro della sfera scende di un tratto h, l’energia potenziale iniziale, Mgh, deve uguagliare
l’energia cinetica finale. Nel primo caso (pura traslazione) ω=0, e quindi Mgh =
1
Mv 2 , da cui v = 2 gh .
2
Nel secondo caso abbiamo entrambi i contributi nell’energia cinetica. Utilizzando la condizione di
v
r
rotolamento puro ( ω = − ) e il corretto valore per il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse
2
1
1 2
7
v
passante per il suo centro possiamo scrivere: Mgh = Mv 2 + ⋅ Mr 2 ⋅ − =
Mv 2 , da cui
2
2 5
r
10
10
v=
gh , che è un valore più basso del precedente in quanto non tutta l’energia potenziale iniziale si è
7
trasformata in energia cinetica traslazionale.
Il rotolamento dei corpi nel quotidiano
Nel caso ideale di una ruota perfettamente rigida il contatto della ruota con il suolo consiste in un segmento; i
punti di tale segmento hanno velocità zero e non vi sono perdite di energia tra la ruota e il terreno. In realtà
tale contatto sarà una piccola superficie, tanto più grande quanto più è sgonfia la ruota; in questo caso
avremo effetti equivalenti a una forza di attrito che faranno perdere energia cinetica alla ruota. Questo è il
motivo per cui su una bicicletta con le ruote a terra si dura molta più fatica rispetto a quando le ruote sono
ben gonfie.
Verifiche di comprensione
1.
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10.
11.
12.
A quale tipo di moto può essere soggetto un punto materiale?
A quali tipi di moto può essere soggetto un corpo solido esteso?
Quali sono i caratteri del moto rotazionale di un corpo solido?
Come si calcola la velocità di un qualsiasi punto di un corpo in rotazione?
Che cos’è l’asse di istantanea rotazione?
In che senso un moto di traslazione può essere interpretato come una rotazione?
Che cosa si intende per moto di puro rotolamento?
Quale condizione matematica esprime il rotolamento puro?
Come si scrive l’energia cinetica di un corpo in movimento (rotazione più traslazione)?
Come si scrive l’energia cinetica di un corpo in movimento (asse di istantanea rotazione)?
Perché una ruota che scivola lungo un piano inclinato acquista una velocità maggiore rispetto a
quella che acquisterebbe se rotolasse?
Per quale motivo è più faticoso andare in bicicletta con le ruote sgonfie?
Verifiche di conoscenza
1.
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Nel moto di un corpo solido esteso:
a. è possibile sia una traslazione senza rotazione che una rotazione senza traslazione
b. non è possibile una traslazione senza rotazione
c. non è possibile una rotazione senza traslazione
d. non è possibile né una traslazione senza rotazione né una rotazione senza traslazione
Nel moto rotazionale di un corpo i punti dell’asse di rotazione:
a. hanno velocità massima rispetto agli altri punti del corpo
b. hanno velocità nulla
c. non hanno tutti la stessa velocità
d. hanno una velocità variabile nel tempo
Nel moto rotazionale di un corpo i punti non appartenenti all’asse di rotazione:
a. hanno tutti la stessa velocità
b. hanno velocità inversamente proporzionali alla distanza dall’asse di rotazione
c. hanno velocità minori di quelle dei punti dell’asse di rotazione
d. hanno velocità direttamente proporzionali alla distanza dall’asse di rotazione
Qualsiasi moto di un corpo solido :
a. è sempre riconducibile ad una rotazione con asse eventualmente variabile
b. è sempre riconducibile ad una traslazione
c. è sempre riconducibile ad una rotazione con asse fisso
d. è riconducibile ad una rotazione a meno che non si tratti di una traslazione pura
Il centro di istantanea rotazione si trova nell’intersezione tra:
a. le rette di azione delle velocità di due punti qualsiasi
b. le congiungenti due coppie di punti qualsiasi
c. le perpendicolari alle velocità di due punti qualsiasi
d. due rette parallele all’asse di rotazione
Nel rotolamento puro:
a. la velocità del punto di contatto è zero
b. la velocità del punto di contatto è uguale alla velocità del baricentro
c. la velocità del punto di contatto è massima
d. tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità
Quali tra le seguenti affermazioni sono corrette per una ruota di raggio r, che si muove con
velocità di modulo v e velocità angolare di modulo ω?
a. frenata con bloccaggio delle ruote: v > ωr
b. accelerata di un’auto senza catene su una lastra di ghiaccio: v = ωr
c. auto rimasta impantanata che sgomma da ferma: v > ωr
d. bicicletta che sale a velocità costante su un pendio: v = ωr
Se in un moto di rotolamento puro raddoppiamo la velocità angolare:
a. l’energia cinetica traslazionale resta invariata
b. l’energia cinetica totale raddoppia
c. l’energia cinetica rotazionale quadruplica mentre quella rotazionale si riduce di un quarto
d. l’energia totale quadruplica
Problema svolto 1 – La carrucola
Un blocchetto di massa 0,015 kg è fissato ad un filo avvolto attorno ad una
carrucola di momento di inerzia 0,38 kg·m2 e raggio 0,25 m. Se il corpo viene fatto
scendere con velocità iniziale nulla, quanto vale la sua velocità quando si è
srotolato 1,00 m di filo?
Scriviamo i dati del problema
Massa del blocchetto: m = 0,015 kg
Momento di inerzia della carrucola: I = 0,38 kg·m2
Raggio della carrucola: r = 0,25 m
Altezza percorsa dal blocchetto: h = 1,00 m
Incognita
Velocità v del blocchetto alla fine della discesa
Analisi e soluzione
Poiché quando il blocchetto scende di un certo tratto il filo deve srotolarsi di un identico tratto, vale la
2
1
1
1
1 v
relazione v = ωr. Conservazione dell’energia: mgh = mv 2 + Iω 2 = mv 2 + I . Quindi:
2
2
2
2 r
2
v
m
m
, da cui v = 0,22 .
0,015 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 1,00 m = 0,5 ⋅ 0,015 kg ⋅ v 2 + 0,5 ⋅ 0,38 kg ⋅ m 2 ⋅
s
s
0,25 m
Problemi
1.
2.
Una ruota di raggio 32 cm fa 2,9 giri al secondo. A che velocità si sta spostando?
L’asteroide Vesta, di forma irregolare, compie una rotazione completa ogni 5 ore e 20 minuti.
Tramite misure radar si determina la velocità di un punto P dell’asteroide, che risulta essere pari
a 25,1
3.
m
. A che distanza da P si trova l’asse di rotazione dell’asteroide?
s
Un’asta di lunghezza 8,50 m è posta in rotazione intorno a un suo punto. Sapendo che il primo
estremo ha una velocità di 1,12
4.
5.
6.
distanza dal primo estremo si trova il centro di rotazione e quanto vale la velocità angolare?
Calcola la velocità di una ruota di momento di inerzia 0,55 kg·m2, massa 4,8 kg e raggio 0,42 m,
quando rotola, partendo da ferma, giù per un piano inclinato alto 0,85 m.
Una massa di 0,065 kg è legata ad un filo avvolto intorno ad una carrucola, come nel caso
illustrato nel problema svolto 1. La carrucola è un cilindro omogeneo di raggio 15 cm e massa
7,0 kg. Che velocità acquista la massa se, partendo da ferma, scende di 35 cm?
Una sfera di massa 2,50 kg e raggio 12,0 cm sta rotolando su un piano orizzontale con una
velocità di 8,00
7.
m
m
e il secondo estremo ha una velocità di 2,28 , a che
s
s
m
. Che lavoro bisogna compiere per fermarla?
s
Un carrettino è fatto da una cassa di legno di massa 27,0 kg montata su quattro ruote (da
considerarsi come cilindri omogenei) di massa 0,500 kg e raggio 10,0 cm. Quanto vale l’energia
cinetica del carrettino quando viaggia ad una velocità di 6,50
8.
m
?
s
Se l’asta del problema 3 ha una massa di 1,50 kg, quanto vale la sua energia cinetica?
