Problema di Brocard

Sul Problema di Brocard
(versione estesa n!+k = m2 quadrato perfetto)
Gruppo “B. Rieman”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our considerations about Brocard’s Problem
Riassunto
In questo lavoro ci occuperemo del Problema di Brocard (da non
confondere con la congettura di Brocard, già da noi dimostrata (Rif.1)
Questo problema risulta ancora tra i problemi irrisolti in matematica.
Riportiamo parzialmente la relativa voce di Wikipedia:
Problema di Brocard
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In teoria dei numeri, il problema di Brocard chiede di trovare per quali interi n, l'espressione
n! + 1 è un quadrato perfetto; si congettura che ciò avvenga solo per n uguale a 4, 5 o 7. In
altre parole, non è noto se esistano altre soluzioni (n, m) dell'equazione diofantea
1
n! + 1 = m2
a parte le coppie (4, 5), (5, 11) e (7, 71). Queste coppie vengono chiamate numeri di Brown.
Il problema fu posto per la prima volta da Henri Brocard nel 1876, e indipendentemente, nel
1913, da Srinivasa Ramanujan. Nel 1906 A. Gérardin dimostrò che, se esistono soluzioni per
m > 71, allora m ha almeno 20 cifre. Nel 1935 H. Gupta affermò che non vi fossero soluzioni
per n ≤ 63 oltre a quelle già note.
Nel 1993 M. Overholt dimostrò che, se la forma debole della congettura di Szpiro è vera,
allora esistono solo un numero finito di soluzioni dell'equazione.
Nel 1986 Wells verificò che non ci sono soluzioni per n ≤ 107, e nel 2000 Bruce Berndt e
William Galway hanno esteso questo risultato ad n ≤ 109.
Generalizzazione [modifica]
È naturale generalizzare il problema, e, fissato un intero positivo k, chiedersi quante e quali
siano le soluzioni dell'equazione
In teoria dei numeri, il problema di Brocard chiede di trovare per quali interi n, l'espressione
n! + 1 è un quadrato perfetto; si congettura che ciò avvenga solo per n uguale a 4, 5 o 7. In
altre parole, non è noto se esistano altre soluzioni (n, m) dell'equazione diofantea
n! + k = m2
A. Dabrowski dimostrò che le soluzioni sono finite se k non è un quadrato perfetto. Inoltre,
assumendo la forma debole della congettura di Szpiro, dimostrò che le soluzioni sono in
numero finito anche se k è un quadrato perfetto…”
Poiché sembra che le soluzioni per
n! + 1 = m2
sembrano poche ( n = 4, 5, e 7), trascuriamo per il momento queste
soluzioni e ci concentreremo sulla forma estesa
n! + k = m2
Premesso che qualsiasi numero N, con r = √N si trova tra n2 ed
(n+1)2 (da una nostra dimostrazione della congettura di Legendre,
Rif. 2) per la quale la parte decimale del quadrato di n è
2
proporzionale alla distanza di N dal quadrato precedente, ne
consegue che i fattoriali n 4!, 5! e 7!” (le poche soluzioni note)
prossimi ad un quadrato perfetto, hanno parte decimale altissima
prossima a 1.
24 +1 = 25 = 52
Infatti 4! = 24, r = √24= 4,89,
5! = 120, r = √120, n=10,95
120+1 = 121 = 112
7! = 5040, r= √5040 = 70,99 5040+1= 5041 =712
Per la generalizzazione, i fattoriali n! distano dal quadrato perfetto
successivo per un numero k calcolabile facilmente come segue: per es.
per 6! = 720; √720 = 26,83; quadrato superiore = (26 +1)2 = 272 = 729
729 -720 = 9 = k, per cui 6! + 9 = 729 = 272 = quadrato perfetto che
soddisfa la
n! + k = m2
per n = 6 e per k = 9 = 32 anche questo quadrato perfetto (Dabrowski),
per cui tutti i fattoriali n! + k così calcolato sono dei quadrati perfetti,
come vedremo con la seguente tabella iniziale
3
TABELLA 1
n
n!
r = √n!
Quadrato
successivo q
Differenza k
con n!
(r’= parte
intera di r)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
39916800
479001600
1,41
2,44
4,89
10,95
26,83
70,99
200,79
602,39
1904,94
6317,99
21886,10
(r’+1)^2
4
9
25
121
729
5041
40401
363609
3629025
39917124
479040769
13
6227020800
78911,47
6227103744
2
3
1 =12
1 =12
9=32
1=12
81=92
729= 272
225=152
324=182
39169=
13*23*131
82944=2882
=32 * 962
Osservazioni: k è quadrato anch’esso ( tranne che per 2 e 3 iniziali,
ma anche per 12! per il quale k= 39169 =13*23*131 non quadrato
perfetto), k è il quadrato di una potenza di 3 (es. 1=30, 9= 32, 81=
34, 729= 36) o multiplo di 3 (per es. 15 =3*5, 18=2*32,
225 = 32 *52, 324 = 34 * 22 = 182, ecc.); infatti √k = 3, 9, 27, 15,
18, 288, ecc.
4
k, quindi è quadrato perfetto nella grande maggioranza dei casi, almeno
dei primi fattoriali e quindi vale l’osservazione di Dabrosky:
A. Dabrowski dimostrò che le soluzioni sono finite se k non è un quadrato perfetto. Inoltre,
assumendo la forma debole della congettura di Szpiro, dimostrò che le soluzioni sono in
numero finito anche se k è un quadrato perfetto…”
E quindi le soluzioni della generalizzazione sono finite, e precisamente
2n+1 (qui però n è la radice quadrata di un quadrato perfetto) per ogni n!
(qui invece n è un qualsiasi numero naturale come vedremo in seguito).
Il nostro principale contributo è il modo rapido di trovare k per ogni
fattoriale, tale che n! + k = m2
Solo quando k è un quadrato perfetto si può considerare il problema
geometricamente, con il teorema di Pitagora, avendo già due quadrati
( quadrato successivo Q e k), e come ipotenusa il fattoriale n!, poiché
n! + k = Q corrisponde alla formula del teorema di Pitagora:
c2 = a2 + b2, con c2 = Q, a2= n! e b2 = k = quadrato perfetto
per esempio 121 = Q, 120 =6! e 1 = k2
con 11 ipotenusa, √120 = 10,9544511501 cateto maggiore ed 1 cateto
minore.
Nel nostro problema di Brocard, il quadrato successivo Q al fattoriale è
l’ipotenusa al quadrato, la differenza k è il quadrato del cateto minore e
5
il fattoriale n! è il quadrato del cateto maggiore.
Ma anche come algoritmo di fattorizzazione alla Fermat, essendo q il
quadrato della semisomma, e k il quadrato della semidifferenza , da cui p’
(in questo caso un fattoriale più piccolo), per cui , da p = s - d, abbiamo
p’ = q – k q’ = q + k
6!
720
26,83
729
9 =32
Prendiamo una delle tante fattorizzazioni di 720 (fattorizzazione
impropria, poiché 24 e 30 non sono numeri primi), per esempio:
720 = 24*30;
somma fattori S = 24 + 30 = 54 , semisomma s = 54/2 =
27; differenza D = 30 – 24 = 6, semidifferenza d = 6/2 = 3= √k = √9,
da cui poi p’ è s +d = p’ = 27 - 3 = 24, q’ = s + d = 27+3 = 30, anche
se qui 24 e 30 non sono primi, ma la regola di Fermat vale per tutti i
numeri, primi e non primi. Questa è una fattorizzazione corrispondente ad
s = 27 e d = 3.
Prendiamo un’altra fattorizzazione, per esempio:
729 = 10 *72, abbiamo s = (10+72)/2 = 82/2= 41, e d = (72 -10)/2 = 31
Da cui p’ = 41- 31= 10 e q’ = 41+31 = 72.
6
Questo (più fattorizzazioni) ovviamante vale per numeri con molti
fattori, come nel caso dei fattoriali, o primoriali ecc. mentre per i
semiprimi c’è una sola soluzione, per es. : 35 = 5*7, con s = 5 e d = 2
(infatti si tratta di due numeri primi gemelli), per cui
p = 7-2=5 e q = 5+2 = 7.
Ma la stessa Tabella 1 si può fare anche come Tabella 2 con i primoriali
p#, ottenendo risultati simili
Tabella 2
p
p#
√p#
2
3
6
30
2,44
5,47
5
7
…
210
1470
…
14,49
38,34
…
Q = quadrato k
successino
3
32 = 9
6
62 =36
152 = 225
15
2
51
39 =1521
…
…
Tra i primi valori di k non si riscontrano ora quadrati perfetti, che
potrebbero trovarsi invece per p# più grandi.
Ma, alla fin fine, pur essendo i fattoriali numeri molto particolari, sono pur
sempre numeri naturali, e come tutti questi, sono compresi tra un quadrato
e l’altro, i quali hanno, com’è noto , una differenza di :
(n+1)2 – n2 = 2n + 1, ed ogni numero dista dal quadrato
7
successivo di una differenza k, che può essere o no un quadrato perfetto
(I quadrati perfetti k’ compresi in questa differenza sono mediamente
k’ = √(2n+1), per esempio tra 100 - 81 = 19 e tra 1 e 19 ci sono circa
√19 = 4,35 quadrati perfetti, in realtà sono solo quattro: 1, 4, 9, 16,
e 19 - 4 = 15 valori di k non quadrati perfetti).
In ogni caso, k è sempre minore di 2n +1, ≈ 2r , con r =√n!;
per es. per 12!, k = 39169 < 43772,21 = 2*21776,10 = √12!
Anche il problema di Brocard si inquadra in generale in questo contesto
per cui i fattoriali possono avere un valore di k quadrato perfetto o no,
oppure 1 = 12. Per ottenere una risposta al problema di Brocard (per quali
n abbiamo k = 1 oltre che per n = 4, 5 e 7), occorrerebbe provare molti
altri n, ed essendo 1 un quadrato perfetto tra quelli possibili, è molto
probabile che qualche altro n! abbia 1 come valore di k, oltre che qualche
altro k =quadrato perfetto compreso tra 1 e 2n+1, oltre ovviamente a tutti
gli altri possibili valori di k da 1 a 2n + 1.
Conclusioni
Possiamo quindi concludere che, poiché k è compreso tra 1 e 2n+1
per qualsiasi n, fattoriali compresi, le soluzioni sono sempre finite, e k può
essere sia 1, ma più raramente (1 è un quadrato perfetto improprio,
8
12=1), sia (meno raramente, poichè i quadrati perfetti rimanenti sono più
di uno) sono in un altro quadrato perfetto tra quelli compresi da 1 a 2n+1,
sia un numero non quadrato perfetto, purchè compreso tra 1 e 2n+1.
E questo spiega la rarità di k=1 quadrato perfetto nella forma n! +1 = m2,
poiché 1 è solo uno dei possibili quadrati perfetti compresi tra 1 e 2n +1.
E precisamente la parte intera di √2n+1, quale che sia n (n qui è sempre la
radice del quadrato più piccolo, e non di n!)
Per esempio, prendiamo n = 9
92 = 81, quadrato successivo = 102 = 100.
Tutti i numeri compresi tra 81 e 100 distano da 100 per un valore di k
compreso ovviamente tra 81 e 100, e quindi tra 100-81 = 19 = 2*9+1 ,
come da Tabella 3 successiva (dove figurano 4 quadrati perfetti, poiché
4,35 = √19
Tabella 3
a = 81
81
82
83
84
85
86
b = a + k’ =
81+k’
100
81+1
81+2
81+3
81+4
81+5
k’’ = b – a =
100 - b
19
18
17
16
15
14
9
k = quadrato
no
no
no
si 16= 42
no
no
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
81+6
81+7
81+8
81+9
81+10
81+11
81+12
81+13
81+14
81+15
81+16
81+17
81+18
81+19
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
no
no
no
no
si 9= 32
no
no
no
no
si 4=22
no
no
si 1=12
no
Le righe in blu sono le posizioni analoghe dei fattoriali n! quando k è un
quadrato perfetto, sia esso 1 (per es. per 4!, 5! e 7! ed eventuali altri
ancora da scoprire ma in teoria possibili) mentre per le altre righe ci sono
valori di k compresi tra 2 e 19 = 2*9+1, come sopra detto, come valore
massimo di k delle soluzioni della formula n + k = quadrato perfetto.
Nel problema di Brocard, n è sostituito da n!, ma le regole di cui sopra
sono le stesse. Vediamo infatti per 4! = 24, con 2*4+1 = 9 soluzioni
possibili;
Tabella 4
a
16
17
b = a +k’
16
16+1
k’’ =b - a
25-16 = 9
25-17 = 8
10
k quadrato
si 9=32
no
18
19
20
21
22
23
24 = 4!
25
16+2
16+3
16+4
16+5
16+6
16+7
16+8
16+9
25-18 = 7
25-19 = 6
25-20 = 5
25-21 = 4
25-22 = 3
25-23 =2
25 -24 =1
25- 25= 0
no
no
no
si, 4=22
no
no
si, 1=12
no
Come si vede, i fattoriali per i quali k=1, in questo caso 24 = 4!, e quindi
anche 5! e 7! , si trovano sempre nella penultima riga , con n! = m2 -1
Come prima detto, tra 1 e 9 ci sono 3 quadrati perfetti, poiché
√9 =3, così come, per l’esempio precedente, i quadrati sono 4, circa
√2n+1 = √19 = 4,35. Il numero esatto dei quadrati è la parte intera di
radice quadrata di 2n + 1; se 2n+1 fosse per esempio 2*20 +1=41, i
quadrati sarebbero √41 = 6,40, e quindi 6, poichè fino a 41 ci sono 6
quadrati; 1, 4, 9, 16, 25 e 36.
Quanto sopra, applicato ai fattoriali n! considerati nel problema di
Brocard, spiega come sia possibile un altro n!, quantunque grande ma non
ancora trovato, con k = 1, mentre le soluzioni con k quadrato perfetto e
maggiore di 1 sono più comuni, vedi Tabella 1 per n = 6, 8, 10 e 11.
oltre che per 4, 5 e 7 con k = 1.
11
Riferimenti
1) TEOREMA
DI BROCARD - GRUPPO
ERATOSTENE
Gruppo Eratostene
La congettura di Brocard dice che:
“ fra i quadrati di due numeri primi , consecutivi e maggiori di 2,
ci sono almeno quattro primi”.
Non solo tale congettura è vera, ma può essere già estesa al
seguente nostro teorema, che proponiamo di chiamare
Teorema di Brocard – Gruppo ERATOSTENE…
(formula principale per i numeri primi compresi tra due quadrati
di due numeri primi consecutivi (ma per due quadrati consecutivi di
due numeri qualsiasi vale a partire da n = 6 in poi):
π(n+1)2 – π(n2) ≈ (n+1)2 / ln (n+1)2 - n2/ln (n2)
poiché l’intervallo tra due quadrati cresce più velocemente del loro
logaritmo, il numero dei numeri primi in tale intervallo cresce sempre
più e anche sempre maggiore di 4 , dimostrando la congettura. Per es,
tra 102 =100 e 112 = 121 ci sono circa
121/ ln (121) - 100/ (ln 100) = 121/4,79 - 100/4,60 = 25,26 – 21,73 =
12
3,53; con 3,53 valore stimato per difetto ; il valore reale è di 5 numeri
primi: 101
103 107 109 113 compresi tra 100 e 121.
La congettura di almeno quattro primi è confermata, ma essa vale solo
per n minimo = 6 in poi (per n = 5 abbiamo solo i due numeri primi
29 e 31 tra 52 = 25 e 62 = 36
Per i numeri primi, come prevede l’ex congettura, facciamo come
esempio 101 e 103, due numeri primi gemelli
1032/ ln (1032) – 1012 /ln(1012 ) = 10609/9,26 – 10121/9,23=
1145,68 – 1101,55 = 44,13 valore stimato per difetto; il valore reale è
invece 52, poiché tra 10121 e 10609 ci sono i seguenti 52 numeri
primi:
10133
10193
10273
10343
10457
10531
10139
10211
10289
10357
10459
10559
10141
10223
10301
10369
10463
10567
10151
10243
10303
10391
10477
10589
10159
10247
10313
10399
10487
10597
10163
10253
10321
10427
10499
10601
10169
10259
10331
10429
10501
10607
10177
10267
10333
10433
10513
10181
10271
10337
10453
10529
L’ex congettura di Brocard è confermata, come per tutti i numeri
primi maggiori di 3, poiché tra i quadrati di 2 e di 3, e quindi tra 4 e
9, ci sono solo i due numeri primi 5 e 7.
2) “La congettura di Legendre”
ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese, Dr. Michele Nardelli, prof.
Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof.Annarita Tulumello
Introduzione
13
In questo lavoro discutiamo sui risultati ottenuti finora con la congettura di
Legendre e le proposte da noi avanzate.
sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
( idem come sopra, poiché l’ex congettura di Legendre prevedeva
almeno un numero primo nello stesso intervallo; essa vale gia da n =1,
poichè tra 12= 1 e 22 = 4 ci sono i due numeri primi 2 e 3), per
n = 2 tra 22 = 4 e 32 = 9 ci sono i due numeri primi 5 e 7 , e non
quattro. Invece tra 32 = 9 e 52 = 25 ci sono i cinque numeri primi :
11
13
17
19
23
e così via all’infinito : i numeri primi tra due quadrati perfetti
crescono sempre più, a causa della stima logaritmica per difetto, con
un numero di numeri primi sempre superiore a quello dato dalla
stima logaritmica. Quindi la congettura di Brocard come la riporta
Wikipedia:
La congettura di Brocard è una congettura riguardante i numeri primi.
Afferma che, se n>1 e
primi tra
e
rappresenta l'n-esimo numero primo, allora ci sono almeno quattro
.
Deve essere modificata in :
La congettura di Brocard è una congettura riguardante i numeri
primi.
14
Afferma che, se n > 2 e
rappresenta l'n-esimo numero primo, allora
ci sono almeno quattro primi tra
e
.
essendo 3 > 2 il più piccolo numero primo per cui vale la congettura
Caltanissetta 1.6.2012
FINE
15