Campi magnetici generati da correnti
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Campi magnetici generati da correnti Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico generato nel punto r dal filo percorso da corrente i r r µ 0 i ⋅ ds ⋅ sin (θ ) dB = 4π r2 m µ 0 = 4π ⋅10 T ⋅ A −7 Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Legge di Biot-Savart r r r µ 0 ds × r dB = i⋅ 3 4π r r r r r ⎛ µ 0 ⎞ ds × r B = ∫ dB = ⎜ i⋅∫ 3 ⎟ l ⎝ 4π ⎠ l r La curva l rappresenta la geometria del filo Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico attorno ad un filo • Il filo percorso da corrente è circondato da campo magnetico • Il campo è più forte vicino al filo e diminuisce allontanandosi dal filo • L’orientamento del campo magnetico segue la regola della mano destra Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Regola della mano destra • Prendete il filo ponendo il pollice nella direzione della corrente • Chiudete la mano • Le 4 dita indicheranno l’orientamento delle linee del campo magnetico concentriche al filo Campo entrante Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico attorno ad un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da corrente continua r r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr B = ∫ dB = ⎜ i⋅∫ 3 ⎟ l ⎝ 4π ⎠ l r r µ 0 dsr × rr dB = i⋅ 3 4π r r µ0 dx d dB = i⋅ 2 4π x + d 2 x 2 + d 2 1424 3 cosθ ∫ (x 2 +d ) 3 − 2 2 x dx = d +∞ r µ0 B= id ⋅ ∫ x 2 + d 2 4π −∞ ( x +d 2 2 ) − 3 2 2 +c µ0 2 dx = id ⋅ 2 4π d ⎛π ⎞ cos(θ ) = sin ⎜ − θ ⎟ ⎝2 ⎠ r µ 0i B= 2πd Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico al centro di una spira percorsa da corrente r r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr B = ∫ dB = ⎜ ⎟i ⋅ ∫l 3 l r ⎝ 4π ⎠ r µ 0 rdθ dB = i⋅ 2 4π r r µ 0 2π rdθ B= i⋅ ∫ 2 4π 0 r r µ 0i B= 2r Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico sull’asse di una spira percorsa da corrente r r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr B = ∫ dB = ⎜ i⋅∫ 3 ⎟ l ⎝ 4π ⎠ l r r µ0 R Rdθ dB = i⋅ ⋅ 2 2 2 2 4π R +x R +x 1424 3 cos (α ) r µ 0 2π µ0 R Rdθ 2 2 2 i⋅R R + x ⋅ 2 = B= i⋅ ∫ 2 2 2 4π 0 R + x R + x 4π ( r µ0 B= i ⋅ R2 R2 + x2 2 ( ) − 3 2π − 2 ) ∫ dθ 0 3 2 Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Esperienza di Oersted interazione corrente – ago magnetico Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Esperienza di Faraday interazione campo magnetico – filo percorso da corrente Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Esperienza di Ampere interazione coppia di fili percorsi da corrente Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Definizione dell’Ampere Dati due fili percorsi da corrente, la forza con cui interagiscono è data dalla relazione F =k i1i2 l d e ponendo k= µ0 2π µ 0 = 4 π × 10 − 7 N A2 (permeabilità magnetica del vuoto) avrò k = 2 × 10−7 N A2 e quindi infine F= µ0 i1i2 l 2π d Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico Considero due fili percorsi da corrente e utilizzando le relazioni r r r F = il × B e F= µ 0 i1i2 l 2π d mi riprometto di dare una relazione che mi consenta di valutare il campo magnetico prodotto all’intorno di un filo percorso da corrente. Avrò per il filo 1 r r r F = i1 l B2 dove r B2 esprime il campo magnetico generato dal filo 2 Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico D’altra parte la forza i interazione fra i due fili sarà F= µ0 i1i2 l 2π d quindi si dovrà avere r r µ ii i1 l B2 = 0 1 2 l 2π d da cui semplificando r µ i B2 = 0 2 2π d o in generale il modulo del campo magnetico a distanza d all’intorno di un filo percorso da corrente i sarà r µ0 i B= 2π d Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Circuitazione Considero un campo vettoriale r a e una curva chiusa l stabilisco un verso di percorrenza di che assumo indicare il verso positivo delle tangenti. Suddivido la curva chiusa in n segmenti , orientati come indicato dal verso positivo della curva chiusa r ∆li per ogni r ∆li considero il corrispondente vettore r ai calcolo il prodotto scalare r r ai ⋅ ∆li Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Si dice circuitazione del campo vettoriale sulla curva chiusa orientata r a l la sommatoria n r r r Γ(a ) = ∑ ai ⋅ ∆li i =1 Al solito per il calcolo esatto della circuitazione si dovrebbe passare al limite per una suddivisione in infiniti segmenti n r r r r r Γ(a ) = lim ∑ ai ⋅ ∆li = ∫ a ⋅ dl n →∞ i =1 l Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Teorema di Ampere Pur dovendo essere maggiormente approfondito, consideriamo la circuitazione del campo magnetico attorno al filo, calcolata sulla circonferenza di raggio d Si avrà r r r µ0 i Γ (B ) = ∫ Bdl = 2πd = µ0i 2π d Se all’interno della circonferenza passano più fili percorsi da corrente si avrà r r r Γ (B ) = ∫ Bdl = ∑ µ 0ik = µ 0 ∑ ik k k Questa relazione va sotto il nome di teorema di Ampere Esiste un analogo del teorema di Gauss per il campo magnetico e ci dice che Teorema di Gauss per il campo magnetico r Φ S (B ) = 0 come conseguenza dell’assenza delle cariche magnetiche. Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Campo magnetico all’interno di un conduttore percorso da corrente i r r r Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik k k r πr 2 B 2πr = µ 0i 2 πR r B = µ0 i r 2 2πR Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Solenoide r r r Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik k r r Γ(B ) = B h = µ0 ∑ ik = µ0inh k r B h = µ0inh k r B = µ0in Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna Toroide o Toro r r r Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik k k r r Γ(B ) = B 2πr = ∑ µ0ik = µ0 Ni k r µ0 Ni B= 2π r Nel toro il campo non è uniforme ma diminuisce all’aumentare del raggio Andrea Zucchini Liceo Scientifico E. Fermi Bologna
