Campi magnetici
generati da correnti
Andrea Zucchini
Liceo Scientifico E. Fermi
Bologna
Campo magnetico generato nel
punto r dal filo percorso da corrente i
r
r µ 0 i ⋅ ds ⋅ sin (θ )
dB =
4π
r2
m
µ 0 = 4π ⋅10 T ⋅
A
−7
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Legge di Biot-Savart
r
r
r µ 0 ds × r
dB =
i⋅ 3
4π
r
r
r
r
r ⎛ µ 0 ⎞ ds × r
B = ∫ dB = ⎜
i⋅∫ 3
⎟
l
⎝ 4π ⎠ l r
La curva l rappresenta la geometria del filo
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Campo magnetico
attorno ad un filo
• Il filo percorso da
corrente è circondato da
campo magnetico
• Il campo è più forte
vicino al filo e diminuisce
allontanandosi dal filo
• L’orientamento del
campo magnetico segue
la regola della mano
destra
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Regola della mano destra
• Prendete il filo
ponendo il pollice
nella direzione della
corrente
• Chiudete la mano
• Le 4 dita indicheranno
l’orientamento delle
linee del campo
magnetico
concentriche al filo
Campo
entrante
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Campo magnetico attorno ad un filo rettilineo
infinitamente lungo percorso da corrente continua
r
r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr
B = ∫ dB = ⎜
i⋅∫ 3
⎟
l
⎝ 4π ⎠ l r
r µ 0 dsr × rr
dB =
i⋅ 3
4π
r
r µ0
dx
d
dB =
i⋅ 2
4π x + d 2 x 2 + d 2
1424
3
cosθ
∫ (x
2
+d
)
3
−
2 2
x
dx =
d
+∞
r µ0
B=
id ⋅ ∫ x 2 + d 2
4π
−∞
(
x +d
2
2
)
−
3
2
2
+c
µ0
2
dx =
id ⋅ 2
4π
d
⎛π
⎞
cos(θ ) = sin ⎜ − θ ⎟
⎝2
⎠
r µ 0i
B=
2πd
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Campo magnetico al centro di una
spira percorsa da corrente
r
r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr
B = ∫ dB = ⎜
⎟i ⋅ ∫l 3
l
r
⎝ 4π ⎠
r µ 0 rdθ
dB =
i⋅ 2
4π
r
r µ 0 2π rdθ
B=
i⋅ ∫ 2
4π 0 r
r µ 0i
B=
2r
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Campo magnetico sull’asse di una
spira percorsa da corrente
r
r ⎛ µ 0 ⎞ dsr × rr
B = ∫ dB = ⎜
i⋅∫ 3
⎟
l
⎝ 4π ⎠ l r
r µ0
R
Rdθ
dB =
i⋅
⋅ 2
2
2
2
4π
R +x R +x
1424
3
cos (α )
r µ 0 2π
µ0
R
Rdθ
2
2
2
i⋅R R + x
⋅ 2
=
B=
i⋅ ∫
2
2
2
4π 0 R + x R + x
4π
(
r µ0
B=
i ⋅ R2 R2 + x2
2
(
)
−
3 2π
−
2
) ∫ dθ
0
3
2
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Esperienza di Oersted
interazione corrente – ago magnetico
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Esperienza di Faraday
interazione campo magnetico – filo percorso da corrente
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Esperienza di Ampere
interazione coppia di fili percorsi da corrente
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Definizione dell’Ampere
Dati due fili percorsi da corrente, la forza con cui interagiscono è data dalla relazione
F =k
i1i2
l
d
e ponendo
k=
µ0
2π
µ 0 = 4 π × 10 − 7
N
A2
(permeabilità magnetica del vuoto)
avrò
k = 2 × 10−7
N
A2
e quindi infine
F=
µ0 i1i2
l
2π d
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Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico
Considero due fili percorsi da corrente e utilizzando le relazioni
r r r
F = il × B
e
F=
µ 0 i1i2
l
2π d
mi riprometto di dare una relazione che mi consenta di valutare il campo magnetico prodotto all’intorno di un
filo percorso da corrente.
Avrò per il filo 1
r r
r
F = i1 l B2
dove
r
B2
esprime il campo magnetico generato dal filo 2
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Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico
D’altra parte la forza i interazione fra i due fili sarà
F=
µ0 i1i2
l
2π d
quindi si dovrà avere
r r
µ ii
i1 l B2 = 0 1 2 l
2π d
da cui semplificando
r
µ i
B2 = 0 2
2π d
o in generale il modulo del campo magnetico a distanza d all’intorno di un filo percorso da corrente i sarà
r µ0 i
B=
2π d
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Circuitazione
Considero un campo vettoriale
r
a
e una curva chiusa
l
stabilisco un verso di percorrenza di che assumo indicare il verso positivo delle tangenti.
Suddivido la curva chiusa in n segmenti , orientati come indicato dal verso positivo della curva chiusa
r
∆li
per ogni
r
∆li
considero il corrispondente vettore
r
ai
calcolo il prodotto scalare
r r
ai ⋅ ∆li
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Si dice circuitazione del campo vettoriale sulla curva chiusa orientata
r
a
l
la sommatoria
n
r
r r
Γ(a ) = ∑ ai ⋅ ∆li
i =1
Al solito per il calcolo esatto della circuitazione si dovrebbe passare al limite per una suddivisione in infiniti segmenti
n
r
r r
r r
Γ(a ) = lim ∑ ai ⋅ ∆li = ∫ a ⋅ dl
n →∞
i =1
l
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Teorema di Ampere
Pur dovendo essere maggiormente approfondito, consideriamo la circuitazione del campo magnetico
attorno al filo, calcolata sulla circonferenza di raggio d
Si avrà
r
r r µ0 i
Γ (B ) = ∫ Bdl =
2πd = µ0i
2π d
Se all’interno della circonferenza passano più fili percorsi da corrente si avrà
r
r r
Γ (B ) = ∫ Bdl = ∑ µ 0ik = µ 0 ∑ ik
k
k
Questa relazione va sotto il nome di teorema di Ampere
Esiste un analogo del teorema di Gauss per il campo magnetico e ci dice che
Teorema di Gauss per il campo magnetico
r
Φ S (B ) = 0
come conseguenza dell’assenza delle cariche magnetiche.
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Campo magnetico all’interno di un
conduttore percorso da corrente i
r
r r
Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik
k
k
r
πr 2
B 2πr = µ 0i 2
πR
r
B = µ0
i
r
2
2πR
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Solenoide
r
r r
Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik
k
r
r
Γ(B ) = B h = µ0 ∑ ik = µ0inh
k
r
B h = µ0inh
k
r
B = µ0in
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Toroide o Toro
r
r r
Γ(B ) = ∫ Bdl = ∑ µ0ik = µ0 ∑ ik
k
k
r
r
Γ(B ) = B 2πr = ∑ µ0ik = µ0 Ni
k
r µ0 Ni
B=
2π r
Nel toro il campo non è uniforme ma diminuisce all’aumentare del
raggio
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