π π π π

Esercizio 1.a
Dato un segnale PCM con bit rate R=57.6 Kbit/s, stabilire:
con quale frequenza di campionamento è stato generato se deve essere garantito un rapporto segnale
rumore di quantizzazione non inferiore a 50 dB.
Qual è l’errore di quantizzazione introdotto dal convertitore analogico-digitale, se la dinamica
picco-picco del segnale analogico è pari a 3 V?
Se la bit rate generata convertendo il segnale s (t ) = [3 + cos(1400 ⋅ πt )] ⋅ cos(2000 ⋅ 2πt ) è maggiore,
minore od uguale a quella del segnale di partenza, nell’ipotesi in si campioni alla frequenza di
Nyquist e si utilizzi lo stesso numero di bit del punto a).
Soluzione
Visto che si deve garantire un rapporto segnale rumore di almeno 50 dB, si ottiene che il numero di
bit necessari è pari a
S
50
n= N =
= 8,3
6.02 6.02
Dovendo essere n un numero intero si approssima all’intero superiore in modo da avere un rapporto
segnale rumore superiore al valore specificato dal testo.
Noto il numero di bit, si può calcolare la frequenza di campionamento:
R 57600
fs = =
= 6400 Hz
n
9
Utilizzando n=9 bit per la conversione da analogico a digitale, si utilizzeranno L=2n=29=512 livelli
di quantizzazione. L’errore di quantizzazione è dato da:
V pp
3
∆
eq = ± = ±
=±
= ±2,93 mV
2
2L
1024
Analizzando lo spettro del segnale s(t) si vede che la massima frequenza è pari a B=2700 Hz, per
cui se si utilizzano 9 bit e una frequenza di campionamento pari a quella di Nyquist, si ottiene una
bit rate pari a:
R ′ = 2 ⋅ B ⋅ n = 2 ⋅ 2700 ⋅ 9 = 48600 bit / s che risulta essere inferiore a quella del segnale di partenza
Esercizio 1.b
Dato un segnale PCM con bit rate R=56 Kbit/s, stabilire:
con quale frequenza di campionamento è stato generato se deve essere garantito un rapporto segnale
rumore di quantizzazione non inferiore a 45 dB.
Qual è l’errore di quantizzazione introdotto dal convertitore analogico-digitale, se la dinamica
picco-picco del segnale analogico è pari a 2 V?
Se la bit rate generata convertendo il segnale s (t ) = [5 + 2 cos(2000 ⋅ πt )] ⋅ cos(3000 ⋅ 2πt ) è maggiore,
minore od uguale a quella del segnale di partenza, nell’ipotesi in si campioni alla frequenza di
Nyquist e si utilizzi lo stesso numero di bit del punto a).
Soluzione
Visto che si deve garantire un rapporto segnale rumore di almeno 50 dB, si ottiene che il numero di
bit necessari è pari a
S
45
n= N =
= 7,5
6.02 6.02
Dovendo essere n un numero intero si approssima all’intero superiore in modo da avere un rapporto
segnale rumore superiore al valore specificato dal testo.
Noto il numero di bit, si può calcolare la frequenza di campionamento:
R 56000
fs = =
= 7000 Hz
n
8
Utilizzando n=8 bit per la conversione da analogico a digitale, si utilizzeranno L=2n=28=2562 livelli
di quantizzazione. L’errore di quantizzazione è dato da:
V pp
∆
2
eq = ± = ±
=±
= ±3,9 mV
2
2L
512
Analizzando lo spettro del segnale s(t) si vede che la massima frequenza è pari a B=4000 Hz, per
cui se si utilizzano 8 bit e una frequenza di campionamento pari a quella di Nyquist, si ottiene una
bit rate pari a:
R ′ = 2 ⋅ B ⋅ n = 2 ⋅ 4000 ⋅ 8 = 64000 bit / s che risulta essere superiore a quella del segnale di partenza.
Esercizio 1.c
Dato un segnale PCM con bit rate R=58 Kbit/s, stabilire:
con quale frequenza di campionamento è stato generato se deve essere garantito un rapporto segnale
rumore di quantizzazione non inferiore a 58 dB.
Qual è l’errore di quantizzazione introdotto dal convertitore analogico-digitale, se la dinamica
picco-picco del segnale analogico è pari a 3 V?
Se la bit rate generata convertendo il segnale s (t ) = [4 + 4 cos(1800 ⋅ πt )] ⋅ cos(2000 ⋅ 2πt ) è maggiore,
minore od uguale a quella del segnale di partenza, nell’ipotesi in si campioni alla frequenza di
Nyquist e si utilizzi lo stesso numero di bit del punto a).
Soluzione
Visto che si deve garantire un rapporto segnale rumore di almeno 50 dB, si ottiene che il numero di
bit necessari è pari a
S
58
n= N =
= 9 .6
6.02 6.02
Dovendo essere n un numero intero si approssima all’intero superiore in modo da avere un rapporto
segnale rumore superiore al valore specificato dal testo.
Noto il numero di bit, si può calcolare la frequenza di campionamento:
R 58000
fs = =
= 5800 Hz
n
10
Utilizzando n=10 bit per la conversione da analogico a digitale, si utilizzeranno L=2n=210=1024
livelli di quantizzazione. L’errore di quantizzazione è dato da:
V pp
∆
3
eq = ± = ±
=±
= ±1.46 mV
2
2L
2048
Analizzando lo spettro del segnale s(t) si vede che la massima frequenza è pari a B=2900 Hz, per
cui se si utilizzano 10 bit e una frequenza di campionamento pari a quella di Nyquist, si ottiene una
bit rate pari a:
R ′ = 2 ⋅ B ⋅ n = 2 ⋅ 2900 ⋅ 10 = 58000 bit / s che risulta essere uguale a quella del segnale di partenza
Esercizio 2.a
Un segnale PCM ha una bit rate di 12 kbps. Per limitazioni imposte dal canale, la banda a
disposizione è di 4 kHz.
Al fine di trasmettere il segnale, si usa quindi un codice di linea multilivello.
Quanti livelli sarà necessario definire perché il segnale possa attraversi il canale senza subire perdite
in frequenza?
Quale sarà la frequenza di simbolo?
Se la sequenza binaria era:
001101000111110011010101
quale sarà la sequenza di simboli rappresentati dal codice di linea multilivello, ipotizzando di usare
una opportuna codifica di Gray ? (Suggerimento: si espliciti prima la corrispondenza tra sequenze di
bit e simboli)
Svolgimento
La banda di un segnale NRZ multilivello è pari a B=R/l ove l è il numero di bit per ciascun simbolo.
Ne segue che:
l=R/B=12000/4000=3
Il numero di livelli da definire sarà dato da L=2^3=8.
La frequena di simbolo sarà uguale a 4000 simboli/sec
Se si usano le seguenti corrispondenze:
000 Æ -7
001 Æ -5
011 Æ -3
010 Æ -1
100 Æ 1
101 Æ 3
111 Æ 5
110 Æ 7
Allora la sequenza di simboli sarà:
-5, 3, -7, 5, 7, -3, -1, 3
Esercizio 2.b
Sia dato un segnale PCM la cui bit rate (cadenza di bit) è pari a 64 kbps. Esso viene rappresentato
tramite un codice di linea multilivello a L=8 livelli.
Qual è la frequenza di simbolo del segnale rappresentato tramite il codice di linea multilivello?
Quale è la banda occupata?
Se la sequenza binaria era:
001101000111110011010101
quale sarà la sequenza di simboli rappresentati dal codice di linea multilivello ipotizzando di usare
una opportuna codifica di Gray ? (Suggerimento: si espliciti prima la corrispondenza tra sequenze di
bit e simboli)
Svolgimento
A ciascun simbolo corrispondono l=3 bit. Ne segue che la frequenza di simbolo sarà:
D=64000/3=21.3 k symbols/sec
La banda occupata sarà B=D=21.3 kHz
Se si usano le seguenti corrispondenze:
000 Æ -7
001 Æ -5
011 Æ -3
010 Æ -1
100 Æ 1
101 Æ 3
111 Æ 5
110 Æ 7
Allora la sequenza di simboli sarà:
-5, 3, -7, 5, 7, -3, -1, 3
Esercizio 2.c
Sia dato un segnale PCM rappresentato tramite un codice di linea multilivello a L=8 livelli.
Supponiamo che la banda di tale segnale sia 24 kHz.
Qual è la symbol rate del segnale multilivello?
Qual era la bit rate del segnale PCM originale?
Se la sequenza di simboli rappresentati dal codice di linea multilivello era la seguente (si supponga
che i livelli definiti siano –7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7):
-5, -3, 1, 3, -7, 5, 7, -1
quale è la corrispondente sequenza di bit (si supponga che venga utilizzata la codifica di Gray)?
Svolgimento
La symbol rate è 24 k symbols/sec.
La bit rate del PCM originario è:
R=D * l=24000*3=72 kbps.
La sequenza dei bit è la seguente:
001 011 100 101 000 111 110 010
Esercizio 3.a
Dato un canale di trasmissione con banda passante Bcan = 2 MHz con il quale si vuole trasmettere
un segnale digitale binario con codice di linea NRZ unipolare e con frequenza di cifra R = 9 Mbit/s.
Dire se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato tale da annullare gli effetti dell’ISI.
Nel caso in cui non fosse possibile, discutere su una possibile soluzione utilizzando la conversione
in segnale multilivello. In particolare, trovare quale è il minimo numero di livelli, L, da utilizzare
affinché sia possibile eliminare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale
(cioè con un coefficiente di roll-off compreso tra 0 e 1).
Calcolare i parametri del filtro di Nyquist a coseno rialzato necessario nel caso b).
Soluzione
Per provare se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale che annulli gli effetti
dell’ISI, calcoliamo il coefficiente di roll-off r tale che non si abbia ISI:
2 Bcan
4 MHz
5
r=
−1 =
−1 = − < 0
D
9 Mbit/s
9
Quindi concludiamo che in questo caso non è possibile annullare gli effetti dell’ISI.
Un modo per poter annullare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato è
utilizzando la conversione in segnale multilivello. In particolare, imponiamo 0 ≤ r ≤ 1 :
2 Bcan
2 Bcan
1
D
≤
≤1
−1 ≤ 1
1≤
≤2
Bcan ≤ D ≤ 2 Bcan
D
D
2 2 Bcan
Dato che D = R l , abbiamo:
R
R
R
≤l ≤
Bcan ≤ ≤ 2 Bcan
l
2 Bcan
Bcan
9
9
≤l ≤
2.25 ≤ l ≤ 4.5
l ∈ {3,4}
4
2
Quindi, il numero minimo di livelli per cui è possibile annullare gli effetti dell’ISI si ottiene per
l = 3 , e risulta L = 9 livelli.
R 1
In tal caso D = = 9 MHz = 3 MHz. Quindi la frequenza a –6dB del filtro a coseno rialzato è:
l 3
D
f 0 = = 1.5 MHz
2
2 Bcan
4 MHz
−1 =
− 1 = 0.33
e il coefficiente di roll-off è: r =
D
3 MHz
Di conseguenza: f ∆ = r ⋅ f 0 = 0.33 ⋅1.5 MHz = 500 Hz .
0≤
Esercizio 3.b
Dato un canale di trasmissione con banda passante Bcan = 2 MHz con il quale si vuole trasmettere
un segnale digitale binario con codice di linea NRZ unipolare e con frequenza di cifra R = 10
Mbit/s.
Dire se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato tale da annullare gli effetti dell’ISI.
Nel caso in cui non fosse possibile, discutere su una possibile soluzione utilizzando la conversione
in segnale multilivello. In particolare, trovare quale è il minimo numero di livelli, L, da utilizzare
affinché sia possibile eliminare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale
(cioè con un coefficiente di roll-off compreso tra 0 e 1).
Calcolare i parametri del filtro di Nyquist a coseno rialzato necessario nel caso b).
Soluzione
Per provare se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale che annulli gli effetti
dell’ISI, calcoliamo il coefficiente di roll-off r tale che non si abbia ISI:
2 Bcan
4 MHz
3
r=
−1 =
−1 = − < 0
D
10 Mbit/s
5
Quindi concludiamo che in questo caso non è possibile annullare gli effetti dell’ISI.
Un modo per poter annullare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato è
utilizzando la conversione in segnale multilivello. In particolare, imponiamo 0 ≤ r ≤ 1 :
2 Bcan
2 Bcan
1
D
≤
≤1
0≤
−1 ≤ 1
1≤
≤2
Bcan ≤ D ≤ 2 Bcan
D
D
2 2 Bcan
Dato che D = R l , abbiamo:
R
R
R
≤l ≤
Bcan ≤ ≤ 2 Bcan
l
2 Bcan
Bcan
10
10
≤l ≤
2 .5 ≤ l ≤ 5
l ∈ {3,4,5}
4
2
Quindi, il numero minimo di livelli per cui è possibile annullare gli effetti dell’ISI si ottiene per
l = 3 , e risulta L = 9 livelli.
In tal caso D =
R 1
= 10 MHz = 3.33 MHz. Quindi la frequenza a –6dB del filtro a coseno rialzato
l 3
è:
f0 =
D
= 1.67 MHz
2
2 Bcan
4 MHz
−1 =
− 1 = 0.2
D
3.33 MHz
Di conseguenza: f ∆ = r ⋅ f 0 = 0.2 ⋅1.67 MHz = 333 Hz .
e il coefficiente di roll-off è: r =
Esercizio 3.c
Dato un canale di trasmissione con banda passante Bcan = 3 MHz con il quale si vuole trasmettere
un segnale digitale binario con codice di linea NRZ unipolare e con frequenza di cifra R = 9 Mbit/s.
Dire se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato tale da annullare gli effetti dell’ISI.
Nel caso in cui non fosse possibile, discutere su una possibile soluzione utilizzando la conversione
in segnale multilivello. In particolare, trovare quale è il minimo numero di livelli, L, da utilizzare
affinché sia possibile eliminare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale
(cioè con un coefficiente di roll-off compreso tra 0 e 1).
Calcolare i parametri del filtro di Nyquist a coseno rialzato necessario nel caso b).
Soluzione
Per provare se è possibile trovare un filtro di Nyquist a coseno rialzato reale che annulli gli effetti
dell’ISI, calcoliamo il coefficiente di roll-off r tale che non si abbia ISI:
2 Bcan
6 MHz
1
r=
−1 =
−1 = − < 0
D
9 Mbit/s
3
Quindi concludiamo che in questo caso non è possibile annullare gli effetti dell’ISI.
Un modo per poter annullare gli effetti dell’ISI con un filtro di Nyquist a coseno rialzato è
utilizzando la conversione in segnale multilivello. In particolare, imponiamo 0 ≤ r ≤ 1 :
2 Bcan
2 Bcan
1
D
≤
≤1
0≤
−1 ≤ 1
1≤
≤2
Bcan ≤ D ≤ 2 Bcan
D
D
2 2 Bcan
Dato che D = R l , abbiamo:
R
R
R
≤l ≤
Bcan ≤ ≤ 2 Bcan
l
2 Bcan
Bcan
9
9
≤l ≤
1 .5 ≤ l ≤ 3
l ∈ {2, 3}
6
3
Quindi, il numero minimo di livelli per cui è possibile annullare gli effetti dell’ISI si ottiene per
l = 2 , e risulta L = 4 livelli.
R 1
In tal caso D = = 9 MHz = 4.5 MHz. Quindi la frequenza a –6dB del filtro a coseno rialzato è:
l 2
D
f 0 = = 2.25 MHz
2
2 Bcan
6 MHz
−1 =
− 1 = 0.33
e il coefficiente di roll-off è: r =
D
4.5 MHz
Di conseguenza: f ∆ = r ⋅ f 0 = 0.33 ⋅ 2.25 MHz = 750 Hz .