Storia e fondamenti della matematica III
a cura della
prof.ssa Eleonora Faggiano
Teoria dei numeri e numeri primi:
fattorizzazione e infinità dei
numeri primi
GRUPPO:
DE TOMMASO Elisabetta, 4592
DI NATALE Anna Maria, 6141
TONINELLI Daniela, 5239
Teoria dei numeri e numeri primi:
fattorizzazione e infinità dei numeri primi
Destinatari
Primo anno di Scuola Superiore, ad esempio un Liceo.
Prerequisiti
Insieme dei numeri naturali N.
Operazioni fondamentali tra numeri naturali (somma differenza, prodotto ed elevamento a
potenza, fattoriale) e loro proprietà.
Ordinamento in N.
Leggi di cancellazione
Contenuti
Divisione tra due numeri naturali.
Divisore e multiplo di un numero naturale.
Divisori banali e non banali.
Numeri primi e composti.
Teorema fondamentale dell’aritmetica.
Criteri di divisibilità.
Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo.
Numeri primi fra loro.
Attività
Sono previste un paio di lezioni, al fine di presentare i contenuti esposti, mettendo bene in rilievo
come si è orientata la ricerca matematica a proposito dei numeri primi, nonché i possibili legami fra
2
l’aritmetica e l’algebra e tra l’aritmetica dei numeri primi e la geometria al fine di mostrare il
rapporto fra numeri ed, in particolar modo, fra i numeri primi.
− Divisione tra due numeri naturali: dati due numeri interi non nulli a e b, eseguire la divisione
del primo per il secondo consiste nel trovare gli unici numeri q (detto quoziente) e r (detto resto)
tali che:
a = b*q + r con r positivo e minore di b.
− Definizione di divisore e multiplo di un numero naturale:
1. Un numero naturale diverso da zero è divisore o sottomultiplo di un altro numero naturale se
la divisione tra quest’ultimo ed il numero dato è esatta; cioè se la divisione da come resto
zero.
2. Un numero naturale è multiplo di un altro numero se la divisione del primo per il secondo dà
come resto zero.
− Definizione di divisori banali e non banali:
Per ogni numero naturale n si dicono banali i fattori 1 e n; mentre tutti gli altri fattori sono detti non
banali.
Esercizi mirati alla scoperta di ordinamento, transitività e combinazioni lineari tra fattori e
divisori.
1) che relazione d’ordine c’è tra un naturale ed un suo fattore? Qual è più grande tra un naturale e
un suo fattore?
Per esempio 2 è divisore di 6 e 3 è divisore di 6 e inoltre 1 è divisore di 6 e 6 è divisore di 6: come
si vede, tutti i fattori di 6 sono minori o uguali a 6; questa proprietà è vera in generale?
2) consideriamo un naturale per esempio 3, un suo multiplo per esempio 12 ed un multiplo di
quest’ultimo per esempio 24: 24 è anche multiplo di 3; questa proprietà è vera in generale? cioè un
multiplo di un multiplo di un naturale è un multiplo di quel naturale?
3) consideriamo i naturali 24 e 18: valgono 3 è divisore di 24 e 3 è divisore di 18, con quozienti 8 e
6; valgono anche 3 è divisore di (24+18) e 3 è divisore di (24−18); questa proprietà è vera in
generale? Ossia la somma e la differenza di due multipli di un naturale sono entrambi multipli di
quel naturale?
3
4) moltiplichiamo i naturali 24 e 18 (entrambi divisibili per 3) rispettivamente per 2 e 5 e
sommiamo i prodotti ottenuti: il risultato 24*2+18*5 = 138. E’ ancora divisibile per 3? Sì perché
138:3 = 46.
In generale, allora, la somma dei prodotti di due multipli di un naturale per due naturali è ancora un
multiplo di quel naturale?
Ovviamente dopo la fase di scoperta di tali proprietà si svolgerà una fase in cui le stesse saranno
opportunamente formalizzate.
Esempio ad “effetto”
Scrivete un numero di tre cifre e poi scrivete ancora queste cifre nello stesso ordine. Poi si dice “E’
divisibile per 7, vero?”. E poi: “anche per 11, vero?”, lo stesso poi si chiede per 13. I ragazzi
potranno facilmente verificarlo con la calcolatrice e di sicuro sarà un qualcosa ad impatto. L’aver
generato un numero a caso contrasterà con la loro idea che sia divisibile sempre per gli stessi
numeri.
Ciò che si verifica facilmente è che un numero così costruito è sempre multiplo di 7, 11, 13 in
quanto non faremo altro che moltiplicare il numero di partenza per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7,
11, 13. Infatti:
235235 = 235*1000 + 235 = 235* (1000 + 1) = 235*1001 = 235*7*11*13
Esercizi per casa.
• Dati i due numeri naturali 57 e 4, determinare il loro quoziente q ed il resto r
• Qual è il più piccolo naturale che ha tre differenti fattori?
• Dimostrare che la somma di cinque naturali consecutivi è sempre divisibile per 5.
• Che cosa si può dire, rispetto alla divisibilità, del prodotto di tre numeri naturali consecutivi?
− Definizione di numeri primi e composti:
1. ogni numero naturale, diverso da 1, che ammette solo fattori banali è detto numero primo;
2. ogni numero naturale che non sia né 1 né un numero primo è detto numero composto.
4
− Teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni numero naturale maggiore di 1 può essere
scomposto in modo unico in un prodotto di primi (cioè ogni naturale composto è fattorizzabile in
primi) a meno dell’ordine.
− Criteri di divisibilità
Divisibilità per 2:
Un numero intero n è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è pari.
Esempi:
18 - 314 - 7650 – 317956 - 639001332
sono numeri pari
19– 227– 10003 - 1199685 - 2462480241 sono numeri dispari
Divisibilità per 5:
Un numero intero n è divisibile per cinque se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.
Esempi: 123675 - 67876310
sono multipli di 5
761 - 5553 - 50000002 – 3507896665327
non sono multipli di 5
Divisibilità per 4 e 25:
Un numero intero n è divisibile per 4 e 25 se il numero formato dalle ultime due cifre a destra lo è,
oppure queste cifre sono 00.
Esempi: 295264 - 310500
sono divisibili per 4
157275 - 98200
sono divisibili per 25
917426 - 784040
non sono divisibili per 4 e 25
Divisibilità per 3:
Un numero intero n è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3:
Esempi:
74391 (7 + 4 + 3 + 9 + 1 = 24 = 3*8)
è divisore di 3
32723 (3 + 2 + 7 + 2 + 3 =17)
non è divisore di 3
5
Divisibilità per 9:
Un numero intero n è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9:
Esempi:
65682 (6 + 5 + 6 + 8 + 2 = 27 = 9*3)
è divisore di 9
15747 (1 + 5 + 7 + 4 + 7 = 24 = 3*8)
non è divisore di 9
Divisibilità per 11:
Un numero intero n è divisibile per 11 se sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto
pari, la differenza tra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 1.
Esempi: 6150914 (4 + 9 + 5 + 6) - (1 + 0 + 1) = 24 - 2 = 22
122333 (3 + 3 + 2) - (3 + 2 + 1) = 8 - 6 = 2
multiplo di 11
non è multiplo di 11
− Definizione di M.C.D. e m.c.m.:
1. il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più
piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
2. il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più
grande fra i divisori comuni.
Esercizi vari mirati alla scoperta di alcune relazioni fra M.C.D. e m.c.m..
1) Qual è il M.C.D.(30, 18)? E il M.C.D.(30-18,18)? E il M.C.D. (18-12, 12)? E’ possibile
determinare una proprietà vera in generale?
2) Qual è il M.C.D.(8, 12), quale il m.c.m.(8, 12) e quale il loro prodotto? Qual è il M.C.D.(3, 15),
quale il m.c.m.(3, 15) e quale il loro prodotto? Il prodotto fra i due numeri è pari al prodotto del
Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo tra tali numeri. Questa proprietà è vera
in generale?
− Definizione di fattori primi tra loro:
Due numeri a e b, diversi da 0, si dicono primi tra loro (coprimi) se ammettono come unico fattore
comune 1, ossia se M.C.D.(a, b) = 1.
Esercizio: Qual è il m.c.m. tra 2 e 3? E tra 3 e 5? E tra 7 e 11? Questi numeri sono primi tra loro e il
loro m.c.m. è proprio il loro prodotto. Questa proprietà è vera in generale?
6
Un modo molto immediato per “vedere” la proprietà di due numeri di essere primi tra loro può
essere il seguente: una rappresentazione geometrica di tali numeri, mediante la quale è possibile
stabilire se questi ultimi siano o no primi tra loro.
Dopo aver introdotto i numeri interi si potrà citare i seguente
− Teorema di Bezout: dati due numeri a e b, diversi da 0, se M.C.D.(a, b) = c, allora esistono due
interi relativi (ossia positivi o negativi) x e y tali che xa + yb = c.
Esempio
7
Dati a =190 e b = 75, il cui M.C.D.(a, b) = 5, si verifica che esistono due interi relativi x = 2 e y = -5
tali che 190x + 75y = 5.
Infatti:
1) 190 = 75*2 + 40;
2) 75 = 40*1 + 35;
3) 40 = 35*1 + 5
4) 35 = 5*7
Dalla 3) si ricava che: 5 = 40 - 35*1 = 40 - (75- 40) *1 = 2*40 – 75*1 (per la 2) ) = 2*(190 – 75*2)
– 75*1= 2*190 + (- 5)*75 (per la 1)). Da qui si ottiene x = 2 e y = -5.
Una conseguenza del teorema che può essere interessante mostrare ai ragazzi è quella per cui
esisterà un’altra coppia di interi (n,m) tali che an + bm = 1.
Esercizi
• Dati i due numeri naturali 57 e 4, determinare il loro quoziente q ed il resto r.
• Qual è il più piccolo naturale che ha tre differenti fattori?
• Dimostrare che la somma di cinque naturali consecutivi è sempre divisibile per 5.
• Che cosa si può dire, rispetto alla divisibilità, del prodotto di tre numeri naturali consecutivi?
STORIA
Così come nel tempo, fin dall’antichità, i matematici si sono interrogati su diverse questioni
concernenti i numeri primi, può essere interessante proporre agli studenti domande tali da porre
l’accento sulle principali caratteristiche dell’insieme dei numeri primi. In questo modo sarà
possibile ripercorrere alcune importanti tappe della storia della matematica facendo emergere le
linee principali della ricerca sui numeri primi dalle sue origini fino alle frontiere attuali, nonché le
difficoltà incontrate dai matematici proprio nel tentativo di trovare risposta a tali domande.
Si potrebbe così chiedere:
Determinate i numeri primi… tutti.... è possibile? Quanti sono?
Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite a trovare una formula
che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo?
Secondo voi qual è la frequenza con cui ci si imbatte in un numero primo percorrendo la
sequenza dei numeri naturali? E’ possibile determinarla?
8
Al primo problema già Euclide nel III secolo a.C. aveva trovato risposta e, come si legge nei suoi
Elementi aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti.
Il secondo problema, relativo alla determinazione di tutti i numeri primi mediante una particolare
formula, affligge invece la mente dei matematici da secoli, la successione dei numeri primi
rappresenta, infatti, fin dall'antica Grecia uno dei misteri più affascinanti della scienza: c'è un ordine
prevedibile nella serie dei numeri primi? Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi
sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare.
Degne di nota a questo proposito è di sicuro:
n
− Ipotesi di Fermat (XVII secolo): “tutti i numeri della forma 22 + 1 sono primi”.
− Nel 1732 Eulero dimostrò che già per n=5 l’ipotesi non è vera.
− Nel 1859 il matematico tedesco Bernard Riemann, animato da una magnifica ossessione per i
numeri primi, presentò, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa
grandezza", una sua ipotesi per arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel caos apparente
della successione dei numeri primi, ossia per determinare la distribuzione dei primi tra gli altri
numeri. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi”.
È improbabile che Riemann abbia risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui
pubblicato mai una dimostrazione. È possibile che avesse comunque ideato linee di attacco diverse
da quelle studiate in seguito, ma purtroppo parte delle sue carte furono distrutte dopo la sua morte
da una troppo zelante domestica; non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato
o risolto il problema.
Da un secolo e mezzo dunque, l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici, e oggi chi riuscisse a
dimostrarla vincerebbe un premio da un milione di dollari! Stabilire, ad ogni modo, una regola
matematica che dimostri se esiste o no una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei
numeri primi, significherebbe comprendere se vi è una "aritmia" totale in quest'ultima o meno;
questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future.
− Per ora il risultato migliore nella ricerca di una formula che generi tutti i numeri primi è del 1976,
quando J. P. Jones, D. Sato, H. Wada e D. Wiens dimostrarono l’esistenza di un polinomio in 26
variabili i cui valori positivi, al variare delle variabili sui numeri interi, sono esattamente i numeri
primi.
9
Ciò che però sappiamo già da secoli e con certezza è che è possibile determinare i numeri primi che
precedono un determinato numero.
Già nel III sec. a.C. Eratostene da Cirene determinò un procedimento, detto crivello di Eratostene
per determinare tutti i numeri primi minori di un prefissano numero. Crivello che significa setaccio,
il metodo infatti consiste nell’eliminare progressivamente, come facendoli passare attraverso un
setaccio, tutti i numeri composti, ovvero i numeri che oltre ad essere divisibili per 1 e per se stessi,
hanno altri divisori. Esso permette, dunque, di costruire una tavola di tutti i numeri primi minori di
un dato numero n scrivendo in ordine tutti i numeri interi minori di n, e poi cancellando tutti i
multipli di 2, tra i rimanenti tutti i multipli di 3 e così via fino ad aver eliminato tutti i numeri
composti.
E’ bene comprendere che non si tratta di una regola matematica, ma di un vero espediente pratico
che semplifica la ricerca dei numeri primi, dato che l’unico modo per sapere se un numero è primo
consiste nel verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono!
L’esempio che segue rappresenta la tavola di tutti i numeri primi minori di 225.
10
Al di là dei risultati trovati o solo ricercati a proposito dei numeri primi, ciò che si è visto è che il
passo decisivo nella ricerca di una legge da cui dipenda la distribuzione dei primi fu compiuto
quando i matematici rinunciarono agli inutili tentativi di trovare una formula matematica semplice
che rappresentasse tutti i numeri primi o desse il numero esatto degli stessi contenuti nei primi n
numeri interi, e cercarono di chiarire, invece, la distribuzione media dei primi tra i numeri naturali.
Uno dei risultati più importanti a questo proposito è riconducibile a Gauss, vissuto fra il XVIII e il
XIX secolo, il quale scoprì una buona approssimazione del comportamento medio della
distribuzione dei numeri primi (negli anni successisi trattando la funzione logaritmica si potrà
ricordare che è proprio questa ad approssimare il comportamento in esame).
Per capire qual è la frequenza dei numeri primi all’interno dell’insieme dei naturali possono essere
d’aiuto le immagini che seguono, in cui si vede proprio la disposizione in un piano dei primi numeri
primi.
11
A questo punto si conclude il discorso sottolineando che sono ancora tante e varie le questioni
aperte a proposito della teoria dei numeri primi, alcune delle quali, una volta ipotizzate, hanno visto
anche una serie di verifiche empiriche, per quanto non ne sia stata dimostrata la validità. Si può così
citare la più illustre nonché famosa
La congettura di Goldbach: ogni numero pari diverso da 2 può essere rappresentato come somma
di due numeri primi.
Una congettura che sopravvive dal 1742, quando il suo autore, in una missiva, la sottopose
all’attenzione di Eulero, chiedendogli di dimostrarla o di trovarne un controesempio. Eulero non
rispose mai a tale lettera, così come alla congettura non è stata mai trovata dimostrazione, benché
allo stato attuale siano state fornite numerose verifiche empiriche.
Esempi.
I naturali 8, 9, 27, 1234567890 ammettono fattori propri; invece si può verificare che i seguenti
naturali ammettono come fattori solo quelli banali:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
Esempi di fattorizzazione.
• Consideriamo il numero 666: cominciamo a dividerlo per 2
666 = 2*333
12
ora 333 non è ulteriormente divisibile per 2; proviamo a dividere per 3 e troviamo
333 = 3*111 :
111 è ancora divisibile per 3,
111 = 3*37
e 37 è primo cioè non ulteriormente fattorizzabile; quindi riassumendo
666 = 2*3*3*37 = 2*32*37.
• Consideriamo il numero 6545: non è divisibile per 2, ne per 3 e il più piccolo primo
che divide 6545 è 5:
6545:5 = 1309 ;
1309 non è ulteriormente divisibile per 5 e il primo immediatamente superiore a 5
che divide 1309 è 7:
1309:7 = 187
e 187 non è ulteriormente divisibile per 7; lo è per 11:
187:11=17
e 17 è primo: in conclusione. 6545=5*7*11*17.
Lavoro per casa.
• Fattorizzare in primi i seguenti naturali: 6, 15, 19, 24, 1386
• Trovare i cinque più piccoli interi composti consecutivi
• Riconoscere quali dei seguenti interi sono primi:
101, 103, 107, 111, 113, 121, 201, 203, 207, 211, 213, 221
• Argomentare le risposte alle seguenti domande:
− il prodotto di un primo per un primo può essere un primo?
− la divisione di un non primo per un non primo può essere un primo
Per concludere si può citare la seguente caratterizzazione dei numeri primi:
Un numero n è primo se e solo se
(n-1)! + 1
è divisibile per n.
Una proposizione che può essere facilmente utilizzata come test di primalità di un numero
naturale, ossia per verificare se esso sia o no primo.
13
BIBLIOGRAFIA:
J. DELAHAYE, Stupefacenti numeri primi, Ghisetti e Corvi Editori, Peschiera Borromeo (MI),
2004
M. BERGAMINI, A. TRIFONE, G. BAROZZI, Manuale di algebra, Zanichelli Editore, Ozzano
Emilia (BO), 2008
R. COURANT, H. ROBBINS, Che cos’è la matematica?, Universale Bollati Boringhieri, Torino,
1971.
C. B. BOYER, Storia della matematica, Osca saggi Mondadori, Milano, 1990.
14
