2013/2014
Fondamenti della matematica e della logica
38. Sapendo che il triangolo 4ABC della figura è rettangolo, calcolare le aree Sa , Sb e Sc dei semicerchi sui lati a, b e
c, rispettivamente, nei casi seguenti:
(i) se b = 3 cm e c = 4 cm;
C
Sa
Sb
b
a
(ii) se b = 6 cm e a = 10 cm.
c
C’è alcuna relazione fra queste aree?
Dimostra che le aree dei semicerchi sui lati del triangolo
soddisfano il Teorema di Pitagora, cioè: Sa = Sb + Sc .
B
A
Sc
39. Quattro città formano un quadrato di lato 10km. Vogliono costruire una strada per
unire tutte le quattro città, ma hanno soldi per costruire soltanto 27,32km di strada. Lo
possono fare in qualche modo?
40. Dato un triangolo isoscele con un angolo di 120 e
con base 12cm, come quello in figura, qual’è la lunghezza dei suoi lati uguali? (Si può ricorrere
al fatto che:
p
sen(30 ) = 1/2 e che sen(120 ) = 3/2.)
C
120
A
B
12cm
41. Calcolare l’area ombreggiata della figura seguente,
dove è noto che il triangolo è equilatero di lato 12cm.
O
12cm
b e tale che i suoi cateti valgono
42. Dato il triangolo 4ABC, che sappiamo è rettangolo in A,
AB = 6 cm, AC = 8 cm, calcolare l’area ombreggiata della figura:
(i) Qual è la relazione fra l’area del triangolo e l’area
ombreggiata?
(ii) Potresti dimostrare che questa relazione fra l’area
del triangolo e l’area ombreggiata è certa sempre
per ogni figura analoga, cioè formata per un triangolo rettangolo e semicerchi? (Suggerimento: si
può usare l’esercizio 38.)
7
A
B
C
2013/2014
Fondamenti della matematica e della logica
43. In un rettangolo la base è il doppio dell’altezza e la differenza tra le due misure è 16 cm.
Calcolare:
(i) Il perimetro del rettangolo.
(ii) L’area del rettangolo.
44. La figura qui rappresentata è composta da un trapezio isoscele DCEF e da un parallelogrammo ABCD. Sapendo che: 1) nel trapezio la base maggiore è il doppio della base
minore; 2) nel parallelogrammo la base AB misura 12m e il lato BC misura 5m; 3) il lato
CD taglia perpendicolarmente a metà il segmento BE, calcolare:
F
(i) il perimetro di tutta la figura;
E
M
D
C
(ii) l’area di tutta la figura.
B
A
45. Come dobbiamo piegare un filo di 17 cm di lunghezza affinchè formi un angolo retto e i
suoi estremi siano a una distanza di 13 cm.
A
H
B
46. Una corda di una circonferenza misura 12 cm e
si trova a una distanza di 8 cm del centro. Qual è il
perimetro della circonferenza e l’area del cerchio?
O
x
A
47. Si deve costruire un ponte su un fiume, e il ponte deve partire
dall’estremo A all’estremo B. Camminando da A in linea retta e
perpendicolarmente a AB, arriviamo a un punto C dal quale si
vedono A e B da un angolo di 60 . Se continuiamo a camminare
altri 50 metri, sempre in linea retta, arriviamo a un punto D dal
quale si vedono A e B da un angolo di 40o . Quale è la lunghezza
del ponte che si deve costruire? (Si può ricorrere al fatto che:
sen(20 ) ⇡ 0, 34, sen(40 ) ⇡ 0, 64, sen(60 ) ⇡ 0, 87.)
8
B
↵
y
60o
C
50 m
D
40o
