Lezione 15 - Storia della Matematica
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Storia della matematica Lezione 15 Enrico Rogora Lezione 15 Keplero Volumi e baricentri Enrico Rogora [email protected] Università di Roma 3 Aprile 2017 - Roma Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 1 / 19 Keplero Lezione 15 Uomo profondamente religioso. Credeva nel dovere cristiano di comprendere l’opera di Dio. A questo dedicò sempre i suoi sforzi. Credeva nell’ordine matematico dell’universo e vedeva nella matematica lo strumento con cui Dio aveva ordinato il mondo. Si occupò di astronomia, del problema dei volumi e dei centri di gravità, di ottica, proprietà focali delle coniche, dei poliedri e dei logaritmi, dello studio delle forme ottimali. La sua ricerca procede per assiomi, intuizioni e ipotesi, anche fantasiose, che superano i limiti imposti dalla tradizione, ma mantiene sempre uno straordinario rispetto per i dati. L’ipotesi copernicana permette di calcolare i rapporti tra le distanze dei diversi pianeti e il sole (cfr. [Dijk], p. 403). Nel Mysterium cosmograficum 1596, affronta due problemi astronomici fondamentali: Perché ci sono 6 pianeti? (Li conosceva fino a Saturno). Perchè stanno alle distanze misurate da Copernico? Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 2 / 19 Dal Mysterium I Lezione 15 In questo piccolo libro, caro lettore, mi sono proposto di dimostrare che il Creatore Ottimo Massimo nella creazione di questo nostro mondo mobile e nella disposizione dei cieli ha guardato a quei cinque corpi regolari che hanno goduto di così grande fama dai tempi di Pitagora e Platone sino ai nostri giorni, e che alla loro natura ha accordato il numero e la proporzione dei cieli, e i rapporti dei moti celesti [...]. Tre erano soprattutto le cose di cui cercavo instancabilmente le cause, perché fossero così e non altrimenti, ossia il numero, le dimensioni e i moti degli orbi. Ad osar ciò mi convinse quella mirabile corrispondenza delle cose immobili, cioè il Sole, le fisse e lo spazio intermedio, come Dio Padre, il Figlio e lo Spirito Santo: questa analogia svilupperò più ampiamente nella mia cosmografia. Tale essendo la situazione per quanto riguarda le Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 3 / 19 Dal Mysterium II cose immobili, non dubitavo che un quadro analogo si sarebbe presentato anche per quelle mobili. La natura ama la semplicità, ama l’unità. In essa non vi è niente di inutile o di superfluo; al contrario, spesso destina un’unica cosa a produrre più effetti. Ora, nelle ipotesi tradizionali, non vi è alcun limite all’invenzione di nuovi orbi [...]. E dunque [Copernico] ha non solamente liberato la natura dal fardello inutile e pesante di tante sfere immense, ma ha anche aperto un tesoro inesauribile di considerazioni assolutamente divine riguardanti la disposizione meravigliosa del mondo intero e dei suoi corpi celesti. Io non esito ad affermare che tutto quello che Copernico ha stabilito a posteriori, e dimostrato a partire dalle osservazioni per mezzo degli assiomi della geometria, tutto questo può essere dimostrato a priori e senza nessuna difficoltà. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 4 / 19 Armonia geometrica Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 5 / 19 Dimostrazione che i pianeti devono essere sei Lezione 15 Enrico Rogora La dimostrazione di Keplero è la seguente: consideriamo la sfera di Saturno e il cubo inscritto i questa sfera, allora la sfera inscritta nel cubo è la sfera di Giove. Inscriviamo nella sfera di Giove un tetraedro. La sfera inscritta nel tetraedro è la sfera di Marte, Analogamente si prosegue mettendo un dodecaedro tra Marte e la Terra, un icosaedro tra la Terra e Venere e un ottaedro tra Venere e Mercurio. Questo, secondo Kepler,o spiega il numero dei pianeti, sei come il numero delle sfere iscritte e circoscritte ai solidi regolari. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 6 / 19 Keplero: tra fantasia e rigore Lezione 15 Le intuizioni circa le intime operazioni della natura, per quanto indubbiamente affascinanti, tendono ad essere infruttuose. Se esse contengono effettivamente un germe di verità lo si può scoprire soltanto attraverso la verifica empirica: l’immaginazione, che costituisce un elemento indispensabile della scienza, non può mai venir considerata completamente senza sospetto. Ora non ci fu forse mai un ricercatore scientifico che avesse tante ispirazioni come Keplero e che allo stesso tempo assumesse un atteggiamento così critico verso di esse, la cui immaginazione volasse così in alto e la cui mente restasse nondimeno cosìfredda, che si lasciasse tanto trasportare dalla propria immaginazione e fosse poi in grado di esaminare con sobrietà e pazienza se i suggerimenti di questa fossero effettivamente sostenibili. Solo questa combinazione di ispirazione e di esattezza rese il Pitagorismo veramente fecondo e mantenne il misticismo matematico al servizio della scienza. [Dijk] pp. 404 – 405]. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 7 / 19 Keplero e Tycho Brahe Lezione 15 Keplero voleva avere accesso ai dati astronomici disponibili più precisi ed aggiornati. Nell’anno 1600 divenne l’assistente di Tycho Brahe, che nel frattempo aveva lasciato la sua isola – osservatorio a Uraniborg per recarsi presso l’imperato Rodolfo II a Praga. Keplero, copernicano convinto, assegnava al sole un ruolo importante non solo dal punto di vista ottico (illuminare il sistema planetario) ma di governo dell’intero sistema. [cfr. Dijk] pp. 406]. Il sole come Dio padre. Misticismo, matematica, astronomia e fisica sono inestricabilmente associate nella mente di Keplero. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 3 Aprile 2017 8 / 19 Nuova astronomia delle cause, o fisica dei cieli, . . . Lezione 15 Nel 1601, alla morte di Tycho Brahe viene nominato astronomo imperiale, con il compito principale di dare consigli astrologici all’imperatore. Studia approfonditamente l’orbita di Marte. Nell’opera di cui al titolo enuncia, dopo faticossisime e travagliate ricerche, le prime due leggi dei moti dei pianeti, basandosi sulle tavole astronomiche compilate da Tycho Brahe e più accurate delle precedenti. Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. Nel 1619 aggiunge una terza legge I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal sole. Simulazione interattiva delle tre leggi di Keplero Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 9 / 19 La genesi dele leggi di Keplero I Lezione 15 Secondo Platone, l’ orbita di un pianeta è una circonferenza percorsa con velocità uniforme. Le osservazioni degli astronomi mostrano chiaramente come l’ipotesi a priori di Platone non si accorda con le osservazioni. Si cerca però di spiegare il moto dei pianeti usando moti circolari uniformi, forse condizionati dal pregiudizio che questi siano i moti perfetti e quindi i moti dei corpi celesti. Tolomeo propone di descrivere l’orbita come il moto uniforme su una circonferenza (epiciclo) il cui centro si muove con velocità uniforme su un’altra circonferenza deferente. Per migliorare l’interpolazione dei dati propone anche che la terra non sia al centro del cerchio deferente (posizione eccentrica) e che il moto del pianeta sia segato sull’orbita dal moto uniforme Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 10 / 19 La genesi dele leggi di Keplero II di raggi immaginari che ruotano intorno a un punto equante e descrivono un cerchio equante. Copernico cambia sposta il riferimento del sistema tolemaico dalla terra al sole e ne ottiene una descrizione cinematica equivalente. Keplero, in un primo momento, cerca di interpolare le precise osservazioni di Tycho Brahe scegliendo opportunamente i parametri del modello di Copernico, che corrispondono, (cambiando il centro) a quelli di Tolomeo: distanza del sole e del punto equante dal centro dell’orbita. Ipotesi vicaria (ausiliaria) Keplero comincia a ipotizzare che il moto di un pianeta intorno al sole avvenga su una circonferenza, che la velocità sia uniforme non rispetto al centro C ma rispetto al puntum equans E e che il sole S sia posto sulla congiungente EC dalla parte opposta rispetto ad E e a Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 11 / 19 La genesi dele leggi di Keplero III Lezione 15 distanza e detta eccentricità. Questo modello si dice a (eccentricità bisecata). Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri L’ipotesi vicaria non fornisce sufficiente accordo con i dati. Nel caso dell’orbita di Marte, c’è una discrepanza compresa tra due e otto minuti d’arco e inoltre questa discrepanza è più grande in zone ben determinate dell’orbita. Keplero osserva che all’afelio e al perielio la velocità del pianeta è inversamente proporzionale alla distanza dal sole e ipotizza, Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 12 / 19 La genesi dele leggi di Keplero IV Lezione 15 rinunciando all’ipotesi del centro equante, di estendere questo risultato a tutta l’orbita. Legge (errata) delle distanze. Le difficoltà matematiche di trattare questo modello suggeriscono a Keplero una modifica di comodo, che è una approssimazione della sua legge errata delle distanze e che costituisce però la legge vera: il segmento che unisce il sole con il pianeta descrive aree uguali in tempi uguali (seconda legge di Keplero). Da ciò Keplero deduce il valore dell’eccentricità dell’orbita, ma osserva anche che questo parametro dovrebbe variare nel tempo. Decide allora di rinunciare all’ipotesi che l’orbita sia una circonferenza, ipotizzando che il moto avvenga lungo un’ellisse con il sole posto in uno dei fuochi (prima legge di Keplero). Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 13 / 19 La genesi dele leggi di Keplero V Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Nel 1619 enunciò la terza legge i quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal sole. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 Volumi e baricentri 14 / 19 Accordo con i dati Lezione 15 per noi, cui la bontà di Dio ha dato in Tycho Brahe un osservatore molto accurato, dalla cui osservazioni si rivela un errore di 8 minuti nei calcoli di Tolomeo, è doveroso riconoscere con cuore grato questo bel dono di Dio e farne uso. Affatichiamoci pertanto per scoprire alla fine la vera natura dei movimenti celesti, basandoci sulla prova dell’inesattezza delle ipotesi avanzate. Io stesso seguirò questa strada nella misura in cui le mie capacità me lo concedono... Questi otto minuti da soli hanno pertanto mostrato la via verso una riforma completa dell’astronomia; essi sono l’oggetto della discussione di gran parte di quest’opera. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri 15 / 19 La dinamica dei moti planetari Lezione 15 Dobbiamo pertanto stabilire uno dei due fatti seguenti: o le animae motrices (dei pianeti) sono tanto più deboli quanto più sono lontane dal Sole, oppure v’è soltanto un’anima motrix al centro di tutte le orbite, cioè nel sole, che spinge un corpo con tanta maggior forza quanto più gli è vicina, ma che diventa inefficace nel caso dei corpi più distanti, a motivo della distanza e del conseguente indebolimento della sua forza. Keplero, Mysterium, 1594. Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri Se il termine anima viene sostituito con quello di vis otteniamo proprio il principio su cui è basata la fisica celeste nei commentari su Marte (cioè nell’Astronomia nova) Keplero, Mysterium, nota presente nell’edizione del 1621. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 16 / 19 Rivoluzione Kepleriana [Kepler] fu il primo a superare, almeno parzialmente, l’ossessione per la circolarità, da cui Galileo non fu mai capace di liberarsi, e di spogliare l’astronomia dall’ingombrante apparato di sfere e cerchi che Copernico aveva rigidamente mantenuto. Di conseguenza, dal punto di vista prettamente scientifico, egli, ancor più di Copernico che tecnicamente fu un tolemaico o addirittura un seguace stretto di Ipparco, fu il vero fondatore della nuova astronomia. Ma d’altra parte fu lui che si oppose, con tutte le sue forze al tentativo di Giordano Bruno di rendere infinito l’Universo e credette, con fede d’acciaio – o piuttosto di ghiaccio, in quanto di tale materiale la riteneva costituita – nell’esistenza di una volta celeste che racchiudeva l’universo e conteneva le stelle fisse. Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri A. Koyré, [Ko] p. 119. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 17 / 19 I modelli di Eudosso, Tolomeo a Copernico a confronto Lezione 15 Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri https://www.youtube.com/watch?v=wGjlT3XHb9A Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 18 / 19 Il problema delle quadrature e dei centri di gravità Lezione 15 1543, stampa a Basilea delle opere di Archimede. Impulso alle ricerche sul calcolo dei volumi e dei baricentri di figure solide Tutti i più capaci matematici dell’epoca si confrontano con il problema di estendere i metodi di Archimede, di eliminare la riduzione all’assurdo, di trattare il continuo, gli indivisibili e l’infinito. Questo lavoro anticipa e prepara la strada alla creazione del calcolo infinitesimale, da parte di Newton e di Leibniz. Enrico Rogora Keplero Volumi e baricentri Commandino, 1565, De centro gravitatis solidorum, calcola i baricentri del cono, e del paraboloide di rotazione. Ispirato fortemente ad Archimede ma con dimostrazioni che lasciano a desiderare. Maurolico, dimostrazioni impeccabili secondo i canoni classici. Opere di Maurolico restano inedite fino al 1685 e esercitano scarsa influenza Luca Valerio, 1604, De centro gravitatis solidorum, tratta correttamente gli stessi solidi di Commandino e anche l’iperboloide di rotazione. Grande novità metodologica, che sarà poi caratteristica: non più casi particolari ma tentativo di dare i risultati per classi generali di figure. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 15 3 Aprile 2017 19 / 19
