Prefazione
«Proprio perché le nuove scoperte del XIX secolo formavano una rete di connessioni tra parti precedentemente distinte della scienza, esse potevano essere colte individualmente o come un tutto in un’ampia
varietà di modi e condurre allo stesso risultato nale.». Questo rilievo di T. Kuhn ben si presta a descrivere l’insegnamento di sica della materia impartito nei corsi di laurea in sica, oscillante tra analisi
termodinamica e quanto-meccanica di uidi e sistemi condensati, studio delle proprietà di trasporto e
risposte a campi elettromagnetici.
In queste note si parte dai singoli atomi per passare poi alle proprietà elettroniche e nucleari di
molecole e sistemi aggregati, insistendo sia su alcuni paradigmi concettuali che sulle proprietà termiche,
ottiche e di trasporto. Nello sviluppo di questo percorso si è cercato di evidenziare alcuni concetti fondamentali, come quelli di stato, osservabile, operatore, simmetrie spazio—temporali, particelle identiche,
campo medio, modi di oscillazione di molecole, solidi e campi e.m.. evidenziando il legame tra descrizioni
termodinamiche e quantistiche. Gli stati vengono così descritti a seconda dei casi da equazioni di stato
termodinamiche, funzioni d’onda, funzionali densità, matrici densità e parametri d’ordine. Per insiemi
di particelle identiche si parla di congurazioni, termini, numeri di occupazione dei livelli di energia e
tassi di variazione degli stessi (”rate equations”). Alle simmetrie si ricorre per individuare gli integrali
del moto e per classicare stati di atomi, molecole e vibrazioni molecolari e reticolari. Si insiste particolarmente sui concetti chiave di correlazione spaziale e temporale, di coerenza di sistemi condensati e
campi e.m.. Si utilizza la matrice densità a due elettroni q(1) (r> r0 ) per introdurre il metodo del campo
autoconsistente (SCF) di Hartree, Hartree-Fock ed il funzionale densità (DFT). Le funzioni d’onda sono
costruite mediante combinazioni lineari (metodo LCAO) di prodotti di orbitali molecolari con spin. Si
evidenzia il ruolo dell’approssimazione di Born-Oppenheimer per lo studio del moto dei nuclei sia nelle
molecole che nei solidi.
Ai concetti di stato e dinamica di un sistema sico sono dedicati i due capitoli iniziali, dove sono
messe a confronto descrizioni classiche, quantistiche e termodinamiche, e si evidenzia il passaggio da
singole entità (atomo o molecola) a sistemi di molte particelle. Le proprietà dei solidi sono riassunte nel
Cap. 3 mentre alcuni esperimenti e tecniche particolarmente signicativi sono sommariamente descritti
nel Cap. 4. I capitoli centrali sono centrati sulle caratteristiche classiche e quantistiche di atomi, molecole
e solidi. All’interazione della radiazione con la materia sono dedicati i Capp. 10 e 11. In particolare, la
discussione sulla regola d’oro di Fermi è preceduta da un riepilogo delle proprietà dei campi e.m. nella
materia basandosi sulla teoria della risposta lineare di un mezzo. L’ultimo capitolo, il 12, introduce alle
statistiche quantiche. Si è cercato di alleggerire il testo raccogliendo gli sviluppi matematici — per quanto
possibile — nelle Appendici.
Queste note sono rivolte a studenti sia della laurea triennale che di quella specialistica in sica,
scienza dei materiali e di alcuni indirizzi di ingegneria e chimica. Mentre ai primi è diretta la descrizione
dei principali fenomeni, sono stati pensati per i secondi gli accenni a metodi avanzati di meccanica
quantistica e sica statistica. Le sezioni dedicate a questi approfondimenti sono indicate con un asterisco.
Analogamente sono riportati in caratteri più piccoli sia argomenti particolarmente signicativi che sviluppi
analitici che si possono omettere in una prima lettura. Ad illustrazione di singoli argomenti, si rinvia a
siti web e ad alcune simulazioni disponibili in rete1 .
Le grandezze sono espresse prevalentemente in unità del sistema internazionale SI (o MKSA). L’energia è espressa, a secondo dei casi, in Joule (M), Rydberg (U|), elettron-volt (hY ), fp1 , Hertz (K})>
mentre i campi magnetici sono espressi in Tesla ( W ). Nei capitoli dedicati alla sica atomica e molecolare
si è invece usato prevalentemente il sistema di unità atomiche di Hartree (x=d=), omettendo in molte formule le costanti che in x=d= risultano pari ad 1 (~, il raggio di Bohr d0 , la carica h e la massa dell’elettrone
ph ) ed indicando le altre grandezze con i relativi valori in x=d=(p.e. f con l’inverso della costante di
1
si è indicato http://demonstrations.wolfram.com/titolo simulazione con [W]titolo simulazione .
15
16
Prefazione
struttura ne , la costante di Rydberg con 1@2, il magnetone di Bohr con 1@2, la permittività %0 e la
permeabilità del vuoto 0 rispettivamente con 1@4 e 42 ). In questi casi si è aggiunto nelle formule
l’indicazione x=d=.
Formule concatenate in modo poco chiaro ed argomentazioni che danno adito a dubbi ed incertezze
sono alcuni dei limiti che il testo ancora presenta. La loro rimozione avrebbe richiesto un’adeguata
interazione con gli studenti sull’intero spettro degli argomenti trattati, cosa questa avvenuta solo in parte
a causa delle forti turbolenze dell’oerta didattica di questi anni: si conda nella collaborazione di quanti
scriveranno agli autori proponendo modiche ed integrazioni atte a migliorare la valenza didattica di una
futura edizione di queste note.
Si ringraziano i colleghi A. Barone, A. Coniglio, G. Ciccotti, R. Figari, G. Iadonisi, L. Marrucci, M.
Pica Ciamarra, A. e F. Sciarrino, C. Serpico per la lettura critica di parte delle note, Un grazie va a G.
Cantele, M. Micciarelli e F. Tafuri, per i numerosi suggerimenti forniti su argomenti legati alla struttura
a bande del grafene e nanotubi, alla dinamica molecolare ed alla superconduttività. La sezione dedicata
alla microscopia in campo vicino è stata rivista da A. Ambrosio. Molto hanno inuito sull’impianto dei
vari capitoli i numerosi suggerimenti di G. Marmo e A. Tagliacozzo. Un grazie particolare va all’amico
G. Celentano per l’assistenza oerta nell’assemblare la prima versione del manoscritto.
Queste note sono dedicate a Vladilen S. Letokhov a ricordo dei suoi fondamentali contribuiti allo
studio dei processi di interazione radiazione-materia in sica atomica e molecolare.
Carlo Altucci
Corrado de Lisio
Alberto Porzio
Salvatore Solimeno
Dipartimento di Scienze Fisiche, Università ”Federico II”, CNR—SPIN e CNISM
Napoli, luglio 2011.
Capitolo 1
Sistemi quantistici
Le lezioni di “Termodinamica” tenute da Enrico Fermi1 all’Università di Chicago iniziano
così:
I sistemi termodinamici2
Lo stato di un sistema e le sue trasformazioni
Lo stato di un sistema, in meccanica, é completamente determinato, ad
un dato istante di tempo, se sono date la posizione e la velocitá di ciascun
punto materiale che lo componga. Per un sistema di Q punti materiali, la
determinazione dello stato richiede la conoscenza del valore di 6Q variabili.
In termodinamica s’introduce un diverso concetto di stato che risulta essere molto piú semplice. Infatti, utilizzare il concetto di stato dinamico risulterebbe molto sconveniente a ragione del fatto che i sistemi con cui ci si
confronta in termodinamica contengono un numero necessariamente grande di
punti materiali...
Questo incipit fa uso del concetto di stato come paradigma valido in diversi ambiti della
Fisica. In queste note lo si utilizzerà per sottolineare i punti di contatto e le dierenze tra
le descrizioni termodinamiche (TD), quantistiche (MQ) e statistiche (MS) dei fenomeni
oggetto di studio in sica della materia.
Storicamente, parlare di stato equivaleva a riferirsi alle tre principali forme di aggregazione della materia: solido, liquido e gassoso. In un solido atomi e ioni sono strettamente
legati fra loro e formano un reticolo cristallino più o meno regolare. In un liquido le molecole sono legate debolmente e, sebbene siano ben compattate, possono scorrere le une
sulle altre incontrando una resistenza viscosa generalmente debole. Nello stato gassoso le
molecole interagiscono molto debolmente muovendosi liberamente tra loro.
Le caratteristiche dei vari sistemi gassosi, liquidi e solidi dipendono in larga misura
dai campi e.m. da essi stessi creati ed associabili a potenziali di interazione dipolo-dipolo,
legami covalenti, legami molecolari, legami a idrogeno, ecc.
Tra lo stato liquido ed il solido si trovano i cristalli liquidi scoperti nel 1888 dal
botanico austriaco Friedrich Reinitzer, il quale si accorse che il benzoato di colesterile
all’aumentare della tempreatura dapprima diventava opaco, per poi schiarirsi. Una volta
rareddato, il liquido diventava bluastro e cristallizzava. In pratica tali sostanze non
passano direttamente dallo stato solido a quello liquido, ma in particolari condizioni si
1
2
Premio Nobel per la Fisica nel 1938.
E. Fermi, “Termodinamica”, Bollati-Boringhieri, Torino 1977.
17
18
Sistemi quantistici
organizzano in fasi intermedie (mesofasi) che presentano caratteristiche sia dello stato
solido cristallino che di quello liquido.
A quelli ricordati va aggiunto lo stato di plasma, gas ad alta temperatura completamente ionizzato, in cui le forze molecolari a breve raggio, tipiche dei gas, sono sostituite
da quelle tra cariche e correnti a lungo raggio. Il plasma, considerato come il quarto stato
della materia, è un gas ionizzato costituito di elettroni e ioni, globalmente neutro e fu
individuato da William Crookes nel 1879 producendo scariche elettriche in tubi a vuoto
muniti di elettrodi, dispositivi che da lui prendono nome e che costituirono gli antenati dei
tubi catodici. Il termine plasma fu introdotto da Irving Langmuir3 nel 1928. Mentre sulla
terra la presenza del plasma è relativamente rara, nell’universo costituisce più del 99%
della materia conosciuta: di plasma sono fatti il Sole, le stelle e le nebulose. L’interesse
per i plasmi iniziò alla ne degli anni cinquanta del secolo scorso con gli studi sullo
sfruttamento pacico della fusione nucleare. Nello stesso periodo cominciarono i primi
studi del sico svedese Hannes Alfvén4 sugli eetti di un campo magnetico sui plasmi
ionosferici. Il loro intrappolamento da parte della magnetosfera terrestre genera le fasce
di Van Allen, scoperte nel 1958 dal primo satellite articiale Explorer.
Ci sono altri stati che compaiono in condizioni particolari di temperatura e pressione
come i liquidi quantici fermionici 5 e bosonici 6 il cui comportamento è fortemente condizionato dalle proprietà quantistiche delle particelle costituenti. Tra questi vanno citati gli
elettroni di conduzione di un metallo, i superconduttori7 , l’elio superuido ed i condensati
di Bose 8 (BEC). Portando 105 ÷ 107 particelle a temperature dell’ordine dei qN, si
manifesta un comportamento quantistico su scala macroscopica: una parte delle particelle forma un condensato. Questo stato, predetto da Einstein, basandosi su un lavoro di
Satyendra Nath Bose del 1925, fu prodotto, per la prima volta, nel 1995 da Eric Cornell e
Carl Wieman al NIST-JILA di Boulder, usando un gas di Rb connato e rareddato a 170
qN con tecniche sviluppate da Ketterle9 . Questi insiemi di atomi ultrafreddi, ottenuti con
tecniche di rareddamento laser sviluppate in particolare da Steven Chu, Claude Cohen—
Tannoudji and William Daniel Phillips10 , sono descritti da un’unica ben denita funzione
d’onda collettiva, e si comportano in modo coerente dando luogo a vistosi fenomeni di
interferenza simili a quelli osservati con fasci di luce.
Un altro aspetto riguarda i sistemi mesoscopici 11 , sistemi semiconduttori o metallici
di dimensioni minori della lunghezza di coerenza elettronica ottenuti mediante tecniche
nanolitograche. Questi sistemi pur essendo poco più che microscopici, vengono controllati applicando pressioni, tensioni, correnti, e radiazione come per i sistemi macroscopici.
Caratteristica peculiare dei sistemi mesoscopici è quella di essere dominati dalla coerenza
quantistica e dalla delocalizzazione tipiche della meccanica quantistica.
3
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5
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7
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9
10
11
premio Nobel per la chimica nel 1932.
premio Nobel per la sica nel 1970.
il premio Nobel per la sica fu assegnato nel 1938 ad E. Fermi per la scoperta di reazioni nucleari
indotte da neutroni lenti.
v.p.e. H. B. Callen, “Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics”, J. Wiley and Sons,
N. Y. 1986, Cap. 18.
v.p.e. www.spin.cnr.it
V.S. Letokhov, “Laser Control of Atoms and Molecules”, Oxford U.P., Oxford 2007, Cap 8.
insigniti del premio Nobel per la sica nel 2001.
insigniti del premio Nobel per la sica nel 1997.
v.p.e. B. Altshuler, A. Tagliacozzo and V. Tognetti, ”Quantum Phenomena in Mesoscopic Systems”,
Proc. Int. School ”E. Fermi”, CLI Course, IOS Press, Amsterdam 2003; www.ifn.cnr.it
1.1 Stati quantici
19
Attualmente si realizzano nanostrutture 12 , dispositivi a bassa dimensionalità dalle particolari proprietà di trasporto, quali i quantum dot, quantum wire e giunzioni tunnel
mesoscopiche (in sistemi ibridi di metalli normali, superconduttori o magnetici).
Come si vede è tipico della sica confrontarsi con sistemi molto diversi per dimensioni
e numero di costituenti cercando di utilizzare un numero di parametri sucientemente
piccolo. Un sistema viene percepito attribuendogli uno stato, dalle connotazioni diverse
secondo che si adotti un approccio termodinamico (TD), quantistico (MQ) o statistico
(MS). In TD il sistema è descritto da grandezze quali temperatura, pressione, calore,
ecc., legate tra loro da una equazione di stato, in MQ è rappresentato da funzioni d’onda associate ad una Hamiltoniana in cui appaiono grandezze siche quali la posizione, il
momento, lo spin, ecc. La MS nata dalla rappresentazione classica dei gas visti come particelle materiali in agitazione, si è evoluta inglobando la MQ nella descrizione di sistemi
a temperatura non nulla. Suo punto di partenza sta nella sostituzione della descrizione mediante una singola funzione d’onda con una matrice densità, ovvero un miscuglio
incoerente di funzioni d’onda.
1.1
Stati quantici
Atomi e molecole presentano livelli di energia discreti, peculiarità spiegata da Bohr13
quantizzando l’azione (integrale del moto) delle orbite elettroniche.
In un atomo un’orbita classica chiusa risulta instabile. Infatti, una carica che descrive
un’orbita accelerata irradia una potenza elettromagnetica S (w) proporzionale al quadrato
dell’accelerazione “d (w)” (formula di Larmor),
S =
2 h2 d2
=
3 4%0 f3
(1.1)
Questa equazione poggia sulla rappresentazione dell’elettrone come carica puntiforme14 .
Ne segue che in un atomo di idrogeno l’elettrone descrivendo orbite chiuse dovrebbe
irradiare una potenza proporzionale ad d2 (w) nendo così per ricombinarsi col protone.
D’altro canto avvicinandosi al nucleo l’energia cinetica tende ad esplodere e l’elettrone
tende a uttuare rispetto a quest’ultimo. Questo stato di cose non si riesce a descrivere
coerentemente nell’ambito della meccanica classica.
A questa dicoltà cercò di trovare una prima risposta J.J. Thomson15 immaginando
l’elettrone come una nuvola a forma di anello di fumo, la cui stabilità veniva assicurata
dal teorema di Stokes valido per i moti vorticosi di un uido.
Il fatto che riducendo la carica in movimento ad una nuvola scompaiono gli eetti
radiativi non deve sorprendere: una situazione analoga si trova per una corrente continua
che circola in un conduttore. Anche in questo caso la potenza irradiata è nulla nonostante
il fatto che la corrente sia trasportata da elettroni, ciascuno dei quali preso singolarmente
12
13
14
15
v.p.e. G. Iadonisi, G. Cantele, V.M. Ramaglia, et al., Physica Status Solidi B 237, 320 (2003).
Fisico danese Premio Nobel nel 1922. Durante un soggiorno al Laboratorio di Rutherford a Manchester
(1912-1916), gettò le basi della teoria atomica, formulata in tre celebri memorie sull’atomo di idrogeno
apparse sul Philosophical Magazine nel 1913 e nel 1915.
non s’è indicata la dipendenza di S ed d dal tempo per non arontare il problema del ritardo temporale
tra l’accelerazione di una particella ed il campo a grande distanza.
A. Pais, “Niels Bohr’s Times in Physics”, Clarendon Pres, Oxford.
20
Sistemi quantistici
dovrebbe irradiare secondo la formula di Larmor. Molti si son chiesti se passando a
distribuzioni di cariche si potessero trovare situazioni in cui il sistema non irradi16 .
Un modo di evitare la sequenza di implicazioni: orbita chiusa accelerazione non nulla irraggiamento elettromagnetico collasso della carica sul nucleo esplosione delle
uttuazioni dell’energia cinetica sta nel rinunciare alla corrispondenza puntuale tra lo
stato di una particella ed un punto astratto che si muove nello spazio. In MQ17 si sceglie
come mediatore tra stato sico e rappresentazione matematica una funzione d’onda # (r> w)
a valori generalmente complessi, a cui è associata la densità di probabilità di trovare la
particella nel punto u,
|# (r> w)|2
# (r> w) = R
=
(1.2)
|# (r0 > w)|2 g3 r0
Si noti che la funzione d’onda non è un osservabile sico a dierenza del suo modulo
quadrato |# (r> w)|2 .
Un postulato della MQ aerma che18 :
se un sistema si può trovare sia in uno stato # 1 che in #2 allora può trovarsi anche
in una loro arbitraria combinazione lineare, ovvero per le funzioni d’onda # vale il
principio di sovrapposizione
# (r> w) = F1 # 1 (r> w) + F2 # 2 (r> w) =
(1.3)
Per semplicare gli sviluppi analitici della MQ conviene trattare # (r> w) come elemento
(punto) |#i di un insieme H di funzioni a valori generalmente complessi. Pertanto la (1.3)
assume la forma
|#i = F1 |#1 i + F2 |#2 i =
(1.4)
Su H si può inoltre introdurre l’operazione di prodotto scalare tra un generico stato |#i
ed il duale h#0 |, di |#0 i > denito dall’integrale
Z
h#0 | #i = #0 (r) # (r) g3 r =
(1.5)
Ne discende che H costituisce un spazio vettoriale 19 sul campo C dei numeri complessi, a
cui vien dato il nome di spazio di Hilbert 20 H associato al sistema quantistico S.
16
17
18
19
20
G.A. Schott, Philosophical Magazine. 7 15, 752 (1933), trovò che una distribuzione sferica può presentare orbite che non irradiano; Bohm e Weinstein, Phys. Rev. 74, 1789 (1948) individuarono
distribuzioni che pur oscillando non irradiano. G.H. Goedecke, Phys. Rev. B 135, B281—B288, (1964)
stabilì la condizione generale perchè una distribuzione estesa di correnti non irradi. H.A. Haus, Am.
J. of Phys. 54, 1126 (1986), stabilì le condizioni per una carica puntiforme. Per una rassegna v. P.
Pearle, Foundations of Physics 8, 879 (1978); P. Pearle, “Classical Electron Models ”, in Teplitzn (ed.),
“Electromagnetism: paths to research”, New York: Plenum., 211 (1982).
per la transizione dalla meccanica classica a quella quantistica v.p.e. G. Esposito, G. Marmo and G.
Sudarshan, “From Classical to Quantum Mechanics”, Cambridge U. P., Cambridge 2004, Cap. 14.
v.p.e. L. Landau e E. Lifchitz,”Fisica Teorica. Vol. III Meccanica Quantistica”, Ed. Riuniti, Roma
2010, Sez. 2.
per una approfondita discussione di spazi vettoriali complessi associati a stati quantici v.p.e. A. Peres,
“Quantum Theory: Concepts and Methods”, Kluwer Academic Publishers, New York 2002, Cap. 3.
v.p.e. P. R. Halmos, ”Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity”, Chelsea
Publ. Co. New York 1957; P. R. Halmos, ”A Hilbert Space Problem Book”, van Nostrand Co.
Princeton 1967.
1.1 Stati quantici
21
Si tenga ben presente che il vettore F |#i H con F un generico coeciente complesso
rappresenta lo stesso stato sico |#i H.
Un generico |#i H può essere rappresentato in generale nella forma
|#i =
QH
X
Fq |hq i
q=1
dove gli stati |hq i (hhp | hq i = pq ) formano una base ortonormale di H. La dimensione
QH (cardinalità) può risultare nita o innita (numerabile o continua).
1.1.1
Sistemi bipartiti
Si consideri una coppia di sistemi quantistici D e E associati rispettivamente agli spazi
HD e HE = Se nulla si sa sulla interazione di A con B, la MQ non è in grado di eettuare
alcuna previsione su AB. Al massimo potrà lavorare su stati del tipo
X
X
Fp |hDp i ×
Fq |hEq i =
|#DE i = |#D i |"E i =
p
q
ovvero su stati che appartengono all’insieme prodotto cartesiano CDE di HD per HE :
CDE = HD × HE
A dierenza di HD > HE CDE non è uno spazio vettoriale.
Nel caso invece che D e E siano quantisticamente accoppiati allora lo stato più generale
del sistema è del tipo
X
|#DE i =
Fpq |hDp i |hEq i
pq
ovvero l’insieme degli stati coincide con il prodotto tensoriale
HDE = HD HE
di HD per HE =
In particolare l’insieme CDE è un sottoinsieme di HDE = Stati di HDE non compresi in
CDE sono detti stati entangled.
1.1.2
Operatori
Un operatore21 O che modichi # (r> w) in ! (r> w), trasforma |#i in |!i = O |#i = Se inoltre
O (|#i + |# 0 i) = |!i + |!0 i O è un operatore lineare.
Una classe importante di operatori è formata da quelli indipendenti dal tempo. Quando agiscono su sistemi con Hamiltoniane indipendenti dal tempo, la loro azione viene
descritta dagli elementi di matrice
Z
Opq = h#p |O| #q i = #p (r) O#q (r) g3 r =
(1.6)
21
v.p.e. L. Landau et. al., vol. III, loc. cit. pag. 20, Sezz. 3,4; G. Cosenza, “Metodi Matematici della
Fisica” , Bollati-Boringhieri, Torino 2004, Vol.2 Cap.1, Vol.3 Capp. 2,3.
22
Sistemi quantistici
¯ ¯ ®
L’operatore O† tale che " ¯O† ¯ # = h# |O| "i è detto l’aggiunto di O. Tra gli
operatori un ruolo fondamentale è giocato dagli osservabili sici, ovvero da operatori
hermitiani O = O† corrispondenti a parametri sici.
Il valore di aspettazione di un osservabile O = O† per un sistema che si trova nello
stato |#i è dato in generale da
h# |O| #i
hOi =
=
(1.7)
h#| #i
Gli operatori si possono sommare e moltiplicare tra loro generando così nuovi operatori.
Ad esempio si può avere O = FD OD +FE OE +FFG OF OG +FHI J OH OI OJ +· · · = Mentre
la somma risulta commutativa (FD OD + FE OE = FE OE + FD OD ) in genere il prodotto
non lo è (OD OE 6= OE OD ) =
Più complessi da gestire sono gli operatori dipendenti dal tempo. Esempi di questo
tipo verranno discussi nel Cap. 11 dedicato all’interazione di campi e.m. oscillanti con
sistemi atomici. In tal caso si ricorre al formalismo dell’operatore di evoluzione discusso
in Sez. D.2.
Importanti operatori sono i proiettori su un generico stato normalizzato
P! = |!i h!|
che agiscono su |#i trasformandolo in h!| #i |!i = In particolare essi godono della proprietà
che P!2 = P! .
Particolarmente importanti sono le correlazioni tra osservabili
F (OD OE ) = hOD OE i =
h# |OD OE | #i
=
h#| #i
(1.8)
Stati che soddisfano equazioni del tipo
O |#i = |#i >
sono detti autostati di O= Può accadere che ad un autovalore corrispondano più autostati, nel qual caso si parla di degenerazione. In ogni caso gli autostati di un operatore
hermitiano possono essere scelti in modo da risultare mutuamente ortogonali. Inoltre due
operatori che commutano tra loro ammettono insiemi comuni di autostati. Un assegnato
S è caratterizzato da un numero minimo di operatori tali che gli autostati comuni e mutuamente ortogonali di questo insieme corrispondono a gruppi di autovalori univocamente
determinati. Questo insieme prende il nome di insieme completo di osservabili.
La somma dei proiettori sugli autostati |!q i normalizzati e mutuamente ortogonali di
S fornisce un’utile decomposizione dell’unità,
e=
QH
X
|!q i h!q | =
(1.9)
q=1
1.1.3
Equazione di Schrödinger
Una funzione d’onda, indipendente dal tempo, si ottiene integrando l’equazione di Schrödinger stazionaria22
H |#i = H |#i >
(1.10)
22
nel 1933 ilpremio Nobel per la sica fu assegnato ad E Schrodiner e P Dirac per lo sviluppo di nuove
teorie sulla strutture atomiche.
1.1 Stati quantici
23
in cui H rappresenta l’Hamiltoniana del sistema.
A questa equazione E. Schrödinger pervenne all’inizio del 1926 quando, sulla scia della
proposta avanzata nel 1923 da Louis de Broglie di associare ad un elettrone di impulso s
una lunghezza d’onda h
h =
k
>
s
con k costante di Planck, pubblicò il primo di una serie di articoli dal titolo: Quantisierung
als Eigenwertproblem, in cui una particella di massa p che si muoveva in un potenziale
V (r) veniva descritta da un integrale # (r) dell’equazione:
μ
¶
~2 2
(1.11)
+ V (r) # (r) = H# (r) >
2p
formalmente equivalente all’equazione classica del moto:
s2
+V =H>
2p
in cui l’impulso p veniva trasformato nell’operatore:
p = l~ =
Nel caso più generale di un sistema non stazionario la funzione d’onda dipende dal
tempo ed è soluzione della (1.11) in cui l’autovalore H è sostituito dalla derivata temporale
C
l~ Cw
C
(1.12)
l~ |#i = H (w) |#i =
Cw
La velocità di una particella è data da
v (w) =
~
1
h# (w) |p| # (w)i = l h# (w) || # (w)i >
p
p
ovvero v (w) dipende dallo stato della particella all’istante w. Ben diverso è il caso dell’accelerazione
¿
À
¿
À
g
1 C
1
C
a (w) =
v (w) =
# (w) |p| # (w) +
# (w) |p| # (w)
gw
p Cw
p
Cw
l 1
=
h# (w) |[p>H]| # (w)i >
~p
che dipende sia dallo stato # (w) al tempo w che dalla sua evoluzione
1.1.4
C
# (w).
Cw
Principio di indeterminazione
Dal fatto che la posizione di una particella è descritta da una funzione d’onda che soddisfa
l’equazione di Schrödinger (1.11) discende la disuguaglianza
®
®
(1.13)
( hi)2 (s hs i)2 k2 >
24
Sistemi quantistici
con una delle coordinate, nota anche come principio di indeterminazione di Heisenberg 23 .
Questa disuguaglianza può assere estesa ad una generica coppia di osservabili24 del tipo
A (r> p) = d (r) + d{ (r) s{ + d| (r) s| + d} (r) s} > B (r> p) = e (r) + e{ (r) s{ + e| (r) s| +
e} (r) s} :
q
®
® 1
(A hAi)2 (B hBi)2 |h[A> B]i| =
2
1.1.5
Invarianza di gauge
Il movimento di una particella carica in un campo e.m. è deducibile dalla espressione
(A.23) dell’energia a cui è associata l’Hamiltoniana
q
H = (ph f2 )2 + |l~ + hA|2 f2 hY
(1.14)
con A (r> w) e Y (r> w) potenziali vettore e scalare del campo in cui si muove (v. Sez. A.4.3).
Per assegnati campi D (= f1 Y> A) non è univocamente denito dalla (A.13) potendo
essere
sostituito
³
´ da D" = D + C " con " una generica soluzione dell’equazione C C " =
2 1 C2
f2 Cw2
" = 0.
Introducendo la trasformazione unitaria di gauge 25
h
W" = hl | "
(1.15)
per due generiche funzioni i () e ! (r) analitiche di e r si verica facilmente che
h
i
h
W" i () W"† ! = i l (") ! =
~
Ne segue che la funzione d’onda
#" (r> w) = W" # (r> w)
è soluzione dell’equazione di Schrödinger:
l C
# = H" #"
~ Cw "
con H" denita da (1.14) con i nuovi potenziali D" :
H" = W" HW"† + h
C
"
Cw
Si consideri ora un generico osservabile sico O che dipenda da D = L’introduzione
della gauge " trasforma O in O " , il cui valore di aspettazione è dato da
¯ ®
® ¯
#" |O" | #" = # ¯W"† O" W" ¯ #
23
24
25
gli fu assegnato il premio Nobel per la sica nel 1933 per aver creato la meccanica quantistica.
H. P. Robertson, Phys. Rev. 34, 163 (1929); la disuguaglianza è stata estesa a due e più generici
osservabili da H. P. Robertson, Phys. Rev. 35, 667A (1930), E. Schrödinger, Sitzungsber. preuss.
Akad. Wiss. 296 (1930), e H. P. Robertson, Phys. Rev. 46, 794 (1934).
v.p.e. L. D. Landau e E. M. Lifshitz, “Fisica Teorica II: Teoria dei Campi”, Ed. Riuniti, Roma, 2004,
Sez. III.18.; C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, “Mécanique Quantique. Tomes I et II”, Hermann,
Paris 1977, Complement HIII .
1.1 Stati quantici
25
®
Se O rappresenta una vera grandezza sica #" |O" | #" non può dipendere dalla gauge
usata, per cui deve risultare
W"† O" W" = O
(1.16)
Se ne evince che
un operatore che rappresenta una vera grandezza sica oltre ad essere hermitiano,
deve soddisfare la condizione (1.16) di invarianza di gauge.
Ad esempio, per l’impulso p = l~ si ha W"† pW" = p", mentre per l’Hamiltoniana
risulta W"† H" W" = H+h C"
= Viceversa per la quantità di moto = ptA risulta W"† W" =
Cw
= Pertanto, sia p che H non sono invarianti, mentre lo è la quantità di moto. H è
invariante solo se si ha che fare con campi statici.
1.1.6
Interazione con l’ambiente
Per una Hamiltoniana indipendente dal tempo l’integrale generale della (1.12) si può
scrivere nella forma
¶
μ
X
Hq
# (r; w) =
Fq exp l w #q (r)
~
q
con la somma estesa all’insieme numerabile e continuo degli autostati #q (r) di H. Questo
risultato implica che un generico sistema che si trovi inizialmente al livello Hq vi permane
indenitamente. L’esperienza invece insegna che tutti i sistemi sici – se lasciati liberi di
evolvere – tendono spontaneamente a stati puri o misti dipendenti dalla temperatura T.
Se ne evince che la MQ basata sull’equazione (1.12) conduce a dei comportamenti molto
lontani dalla realtà. La ragione di fondo di questa discrepanza sta nel fatto che un sistema
nito S interagisce in generale con un sistema esterno Sh{w , formando con esso un sistema
associato ad una Hamiltoniana Hwrw = H + Hh{w + Vlqw > con Vlqw che modica S ma non
Sh{w . A W = 0 Sh{w può essere caratterizzato da un campo e.m. a valor medio nullo. Per
W 6= 0 Sh{w si comporta come un bagno termico, ovvero come un sistema termodinamico a
temperatura assegnata che non risente dell’evoluzione di S= Nel primo casoVlqw è associato
alle uttuazioni quantistiche del campo e.m. di Sh{w ed induce un decadimento radiativo
dei livelli eccitati #q = Nell’interazione col bagno termicoVlqw induce S ad evolvere verso
una congurazione di equilibrio termico in cui i vari livelli sono occupati secondo una
legge dipendente da W=
1.1.7
Corrente di probabilità
Dalla (1.12) discende che:
Z
Z
¡ 2
¢
C
l~
|# (r> w)|2 g3 r = # # #2 # g3 r
Cw
2p
Z
l~
· (# # ## ) g3 r >
=
2p
portando così a stabilire un’equazione di continuità
C
+ · J# = 0
Cw #
