6. I numeri reali e complessi ( ℝ e ℂ ).
6.1 I numeri reali
ℝ .
Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci
portano a quelli reali, all’insieme , e ℝ d infine ai complessi, ℂ . Farlo in modo rigoroso richiede
costruzioni piuttosto tecniche, ma vogliamo comunque dare un'idea di “come sono fatti” questi insiemi
numerici e delle loro proprietà.
Nel costruire i razionali, abbiamo visto che nella struttura ( ℚ , + , ×) , tutte le equazioni
polinomiali di primo grado (cioè ove la x appare con esponente 1, come 3x+4=0 ) sono risolubili.
Che dire di questa equazione?
x2 = 2
Cioè, esiste un numero razionale che moltiplicato per se stesso dia 2?
No, non esiste.
La dimostrazione è piuttosto semplice. Supponiamo per assurdo che tale numero razionale esista;
allora lo si può scrivere come una frazione ridotta ai minimi termini a/b , tale che (a/b)2 = 2; ciò equivale a
dire che a2/ b2= 2 e cioè che
a2 = 2b2 .
Notiamo che non possiamo avere che a e b siano entrambi pari perché altrimenti avrebbero un
fattore comune, il 2, e la frazione a/b non sarebbe ridotta ai minimi termini.
Dall’uguaglianza a2 = 2b2 si vede anche che a non può essere dispari, in quanto in quel caso
2
anche a lo sarebbe, mentre deve essere uguale a 2b2, che chiaramente è pari. Quindi a è pari e allora b
deve essere dispari, per quanto notato sopra.
Se b è dispari anche b2 è dispari, cosicché 2b2 contiene il fattore 2 solo una volta. Ma a è pari,
quindi contiene il fattore 2 (almeno una volta), ed allora a2 contiene il fattore 2 almeno due volte! Quindi
non si può avere a2 = 2b2 e siamo arrivati ad un assurdo perciò l’uguaglianza (a/b)2 = 2 è impossibile.
Più in dettaglio: se a è pari si può scriverlo a = 2.a', allora a2 = 22.(a' )2 , così a2 contiene il
fattore 22 e perciò risulta assurdo che a2 = 2b2 perché da una parte abbiamo il fattore 22 e dall’altra solo
21.
Geometricamente ciò si traduce nel dire che un quadrato (vedi Fig. 6.1) il cui lato AB misura 1,
ha una diagonale la cui misura non è esprimibile con un numero razionale, in quanto per il teorema di
Pitagora, abbiamo AB2 + BC2 =AC2 , e cioè 2 = AC2 e quindi AC = 2 .
Fig. 6.1
77
Questo fatto ci dice anche che quando riportiamo i numeri razionali su una retta (come in Fig. 6.2),
essi non "la ricoprono", e cioè rimangono dei punti della retta a cui non corrisponde nessun numero
razionale, benché essi siano densi sulla retta (nel senso visto in 5.3).
Fig 6.2
Riportando sulla retta la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, essa dovrebbe
corrispondere ad un numero razionale il cui quadrato è 2, ma, come abbiamo visto, un tale numero razionale
non esiste.
Questa volta l'ampliamento di ℚ ,, × che vogliamo è quello che ci permetta di "ricoprire
la retta": di assegnare ad ogni suo punto un numero.
Questa costruzione è piuttosto complessa: si pensi che è stata effettuata solo nella seconda metà
dell'800, da vari matematici come Weierstrass, Cantor, Dedekind, anche se l’uso dei numeri reali è molto
precedente (vedi §1).
Per avere un'idea di come sono fatti questi numeri, riprendiamo il problema di trovare un numero che al
quadrato faccia 2, e cerchiamo di approssimarlo con dei numeri decimali finiti: se approssimiamo per
difetto, avremo numeri come:
1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; .... (cioè tutti numeri che al quadrato sono < 2 );
approssimando per eccesso avremo invece:
2 ; 1,5 ; 1,42 ; 1,415 ; 1,4143 ; ... (cioè tutti numeri che al quadrato sono >2)
Per "riempire il buco" che abbiamo sulla retta in corrispondenza del "numero che al quadrato fa
2", aggiungiamo a ℚ tutti i decimali infiniti non periodici. Il numero: 1,4142... che sta fra tutti i
decimali finiti che al quadrato sono < 2 e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due sarà il numero
che stiamo cercando (naturalmente questo decimale non può essere periodico, altrimenti sarebbe un
numero razionale): non è troppo difficile mostrare che elevato al quadrato esso non può essere né maggiore
né minore di due, quindi deve dare 2! Tali decimali non periodici (quindi non in ℚ ) si dicono numeri
irrazionali.
Chiamiamo ℝ , insieme dei numeri reali, l'insieme ottenuto, cioè quello ove abbiamo tutti i
possibili decimali finiti ed infiniti, periodici (razionali) o meno (irrazionali). Rappresentano ad esempio dei
numeri reali (irrazionali) espressioni decimali infinite come:
3,101001000100001... ; 0,1234567891011121314151617... ; 0,248163264128256...,
dove la "legge" con si succedono le cifre è chiara, ma non c'è periodicità.
Si possono definire operazioni di somma e prodotto in
ℝ che ci danno una struttura ( ℝ ,
+ ,×) che estende ℚ ,, × , conservando tutte le proprietà che abbiamo visto, cioè in ℝ ,,×
per ogni numero diverso da zero esiste l'inverso rispetto al prodotto (e quindi si può sempre eseguire la
78
divisione per elementi diversi da 0) oltre ovviamente ad avere tutte le solite condizioni sulle operazioni:
associatività, commutatività, esistenza degli elementi neutri, distributività.
Inoltre si dà anche un ordinamento di ℝ , che estende quello di ℚ , e tale ordine è denso
(come in ℚ ) e completo (cosa che non avviene in ℚ ), cioè "non ci sono buchi": comunque faccia
una successione crescente e limitata di numeri reali , come per la successione 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ;
1,4142 ; .... che abbiamo visto prima, esiste un numero reale che viene approssimato da questa (per difetto:
se prendo un analoga successione decrescente l'approssimazione avverrà per eccesso).
In
ℝ si ha poi la seguente proprietà, che non si aveva in ℚ :
Ogni equazione del tipo x2 = r , con r ∈ ℝ
, r ≥ 0 , ha soluzione in
ℝ .
Cioè in ℝ è sempre eseguibile l'operazione di radice quadrata dei numeri positivi, dove per
"radice quadrata di r ", si intende un numero positivo che moltiplicato per se stesso dia r . Tale numero si
indica con
r . Anzi , per ogni r > 0, esistono due numeri che elevati al quadrato danno r: e cioè ± r
.
Esempi: x2 = 25
⇒ x = ±5
;
3x2- 16 = 0 ⇒ x2 = 16/3 ⇒ x = ±
4
3
⇒ x = ±4
3
3
;
Notiamo nell'ultima scrittura che in presenza di frazioni ove appaia un denominatore irrazionale, si
cerca (ove possibile) di scriverle con numeratore irrazionale e denominatore razionale (intero). Questo
soprattutto perché nel trovarne il valore approssimato, sarà più semplice avere un decimale al numeratore da
dividere per un intero. Nell'esempio in questione, si ha:
4
4 3
4 3
=
=
3
3
3 3
Più in generale, per ogni numero naturale n > 0, si definisce l'operazione di radice n-esima di un
numero reale r > 0 , come quel numero positivo, se esiste, che elevato alla n dà r . In simboli: n r .
Se r è un numero positivo, allora n r esiste sempre in ℝ ; inoltre se r è intero, allora o il
numero n r è anch'esso intero (ad esempio 3 27 = 3), oppure è irrazionale (si dimostra in modo analogo al
caso di 2 ).
Non è invece eseguibile in ℝ la radice quadrata dei numeri negativi; infatti ogni numero reale
elevato al quadrato risulta sempre positivo: un'espressione come − 1 non ha alcun senso in ℝ ; nello
stesso modo non esistono le radici pari (quarte, seste, ecc.) dei numeri negativi.
Nel'ultimo capitolo si può trovare una descrizione più dettagliata del calcolo in
logaritmi ed anche un richiamo generale al calcolo letterale.
79
ℝ con radici,
6.2 Cenni sui numeri complessi
ℂ .
L'ultima "estensione dell’insieme dei numeri", a cui accenniamo soltanto, è proprio quella con la
quale introduciamo il numero − 1 , di solito denotato con i e detto "unità immaginaria".
I numeri complessi sono formati da espressioni del tipo a+ib , ove a,b ℝ ∈ ed i è quella che
abbiamo denotato come unità immaginaria. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono secondo le
regole usuali del calcolo letterale, tenendo conto che i2= -1; ad esempio
(12+i) + (1+4i) = 13 + 5i ; (2+3i)(1-i) = 2 -2i +3i -3i2 = 2+i + 3 = 5 + i ;
(2+i)(2-i) = 4 - i2 = 4 - (-1) =5 ; [(1+i)/ 2 ]2 = (1+i)2/2 = (1-1+2i)/2 = i .
Nei numeri complessi si ha che ogni equazione polinomiale (di qualsiasi grado) è risolubile. Per
rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta più; avremo invece bisogno di un
piano (vedi Fig. 6.3):
Fig. 6.3
I numeri reali si vedono "dentro" i complessi sull'asse orizzontale di Fig. 6.3 (asse reale), mentre
sull'asse verticale appariranno i numeri immaginari puri (come i, 2i, 5i, e cioè tutti quelli che sono della
forma ai, dove a ∈ ℝ ).
Naturalmente anche nella struttura ℂ ,, × , varranno le proprietà delle operazioni che
avevamo in ℝ ; quello che però stavolta perdiamo è la struttura di ordine: in ℂ non abbiamo un
ordine compatibile con le operazioni .
I numeri complessi hanno tante belle proprietà, ad esempio il fatto che ogni equazione polinomiale
di grado n , come
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0= 0
ha sempre n soluzioni complesse (magari alcune coincidenti).
4
Per esempio l’equazione x - 1 = 0 ha quattro soluzioni: 1, -1, i, -i . , mentre se consideriamo
3
x - 1 = 0 , avremo tre soluzioni: 1,
−1− 3i
,
2
−1 3i
. In generale, si ha che ogni numero
2
complesso ha 2 radici quadrate, tre radici terze, quattro radici quarte e così via.
80
7. Calcolo delle Probabilità.
7.1. La logica dell’incerto.
Il Calcolo delle probabilità si configura come un tentativo di “dominare l’incerto”, cioè di dare
delle leggi per regolare le nostre azioni dinanzi a fenomeni il cui andamento non è interamente
prevedibile… ad esempio, le leggi (espresse con formule matematiche) della fisica ci dicono come si muove
la Luna attorno alla Terra, e ci permettono di prevedere le eclissi, ma non ci permettono di prevedere quale
sarà il risultato di un lancio di dadi, o di una moneta: il movimento del sistema Terra –Luna, pensate come
due sfere soggette solo all’attrazione di gravità reciproca, è meno complesso di quello di due dadi che
ruzzolano su di un tavolo.
Il calcolo delle probabilità ci consente di avere delle leggi che ci possono essere da guida in questi
casi: non ci darà previsioni esatte, ma ci fornirà degli orientamenti su che cosa aspettarci.
Ecco un esempio del tipo di domande a cui vogliamo fornire risposta:
Qual è il risultato più
probabile da ottenere se
lanciamo due dadi ?
L’esperienza mostra che non sempre le risposte ai quesiti che riguardano le probabilità sono quelle
intuitivamente immediate, anzi che sono molto diffuse aspettative e considerazioni inesatte o infondate;
vediamo alcuni esempi che analizzeremo in seguito:
1) Supponete di andare a giocare al lotto e che vi venga detto che sulla ruota della vostra città i numeri 27
e 45 non escono da più di sei mesi…invece la settimana scorsa sono usciti i numeri 2, 23, 43, 65 e 84.
Dovendo scegliere fra il giocare l’ambo 27; 45 e quello 23; 43, ritenete preferibile il primo ambo
rispetto al secondo?
2) Venite a sapere che in media 5 persone su mille sono malate di epatite e molti non lo sanno. Esiste un
test per l’epatite che offre il 98% di sicurezza (cioè il 98% delle risposte è esatto ed il 2% sbagliato), ed
è quindi molto affidabile, tanto che in media ne vengano effettuati 2000 al giorno. Voi vi sottoponete
al test e vi viene tristemente comunicato che siete risultati positivi… La vostra probabilità di avere
l’epatite è allora del 98% ?
3) Considerate il seguente gioco: da un mazzo di 40 carte il banco ne estrae una. Voi puntate 1 euro e
vincete 1 euro sia che venga estratta una carta di coppe sia se viene estratta una figura (di qualsiasi
seme), se la carta estrattà non è né coppe, né una figura perdete la vostra puntata. Vi conviene giocare?
E se la vincita invece che alla pari fosse di 1,15 euro?
81
7.2 La probabilità: definizione “ingenua”.
Ciò che considereremo adesso è una teoria “ingenua” della probabilità: daremo una definizione di
probabilità definita tramite il linguaggio della teoria degli insiemi e verificheremo che tale definizione
soddisfa certe “aspettative minime” che richiediamo da una tale teoria. Definiamo questa teoria “ingenua”
perché non prenderemo in considerazione tutti i numerosi problemi di fondazione per realizzare una teoria
della probabilità…per esempio non ci addentreremo in cosa voglia dire che certi eventi “hanno la stessa
possibilità di verificarsi” (ad esempio i possibili risultati del lancio di un dado o di una moneta non
truccati); tali concetti sono infatti piuttosto problematici (come si verifica che testa o croce “hanno le stesse
possibilità di verificarsi”?) e diverse scuole danno risposte diverse a questi problemi (per una discussione di
ciò, vedi ad esempio [SA] ).
Supponiamo di avere un insieme di eventi U, che considereremo come aventi tutti la stessa possibilità di
accadere (come i sei risultati del lancio di un dado non truccato, o i risultati “Testa” e “Croce” nel lancio di
una moneta). Sia A ⊆ U un sottoinsieme (quindi una particolare classe di eventi), che in genere si indica
come l’insieme degli eventi favorevoli (pensando per esempio a quelli vincenti in un gioco) mentre U è
detto l’insieme di tutti gli eventi possibili.
Definizione: Si dice probabilità di A, e si indica p(A), il numero razionale
elementi di A ed nU è il numero di elementi di U.
Quindi
nA/nU ove nA è il numero di
p(A) è il rapporto fra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.
Osserviamo che se il tipo di eventi indicato da A è impossibile, allora A = ∅ , e quindi nA = 0 e p(A) = 0;
ad esempio se U è dato dai possibili esiti nel lancio di un dado, e considerassimo A = {esito maggiore di
8}, allora avremmo p(A) = 0.
Se invece l’evento di tipo A è certo , cioè se A = U , allora si ha ovviamente p(A) = 1, poiché
quindi p(A) = nU/nU = 1 .
nA = nU , e
Esempi:
1) Qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado? Se U è dato dai possibili esiti nel
lancio di un dado avremo U = {1,2,3,4,5,6}, e se A = {esiti pari}, avremo A ={2,4,6}, cosicché
p(A) = 3/6 = 1/2 .
2) Qual è la probabilità di ottenere almeno una croce lanciando due monete? Se U è dato dagli esiti del
lancio di due monete, avremo U = {TT, TC, CT, CC}, nU = 6, e se A = {esiti in cui esce almeno una
croce}, allora p(A)= 3/4, infatti A ={TC, CT, CC}, quindi nA = 3 .
3) Qual è la probabilità di vincere alla roulette puntando sul rosso? Se giochiamo in Europa, la roulette ha
37 numeri: dall’uno al 36 (i numeri rossi o neri) più lo zero che è verde (negli USA ci sono anche delle
roulette con 38 numeri perché hanno anche il doppio zero). Abbiamo quindi nU = 37, mentre se ad
esempio A = {numeri rossi}, si ha nA = 18 . Quindi la probabilità di vincere è p(A)= 18/37= 0,486…
(un po’ meno di ½).
Poiché se vinciamo la puntata viene pagata alla pari, il gioco è a favore del banco per quella “piccola
differenza” fra 0,5 e 18/37. In assenza dello zero il gioco sarebbe perfettamente equo (“equo”= ogni
giocatore ha la stessa probabilità di vincere).
4) Qual è la probabilità di vincere alla roulette puntando sul numero 28? Se puntiamo sul numero 28
(come su ogni altro numero) per quanto visto prima abbiamo un unico evento per noi vincente (l’uscita
del 28) sui 37 possibili. La probabilità di vincere è quindi di 1/37.
82
Poiché la vincita viene pagata 35 volte la posta giocata, anche in questo caso il gioco sarebbe equo se
non ci fosse lo zero: in media giocando 36 volte si vincerebbe una volta, perdendo quindi 35 puntate che
però riguadagneremmo con la vincita… ma la presenza dello zero fa sì che si vinca in media una volta
su 37, e quindi ogni 37 giocate ci si può aspettare di vincere una volta, incassando 35 puntate, ma di
perdere 36 volte. Se ad esempio si puntasse un euro ogni volta, in media si perderebbe un euro ogni 37
giocate. Tutti i tipi di puntate che si possono fare alla roulette hanno la stessa caratteristica: sarebbero
eque se non ci fosse lo zero che introduce quel “trentasettesimo” di differenza. Notiamo che comunque
la roulette è molto più equa per i giocatori che non i più comuni giochi gestiti dal monopolio di stato
quali il lotto, il Superenalotto, i gratta e vinci o molti altri giochi d'azzardo.
Spesso nel risolvere un quesito che riguarda la probabilità il primo problema è proprio quello di
determinare nU, cioè di capire qual è il numero degli eventi possibili per il fenomeno che stiamo studiando.
Ad esempio se ci chiediamo se sia più facile, lanciando due volte una moneta, ottenere due risultati
uguali o due risultati diversi potremmo (sbagliando) ragionare così:
"si possono avere in tutto 3 casi: o otteniamo 2 teste, oppure 2 croci, oppure una testa ed una croce."
Quindi in tutto si avrà nU = 3. Poiché i casi in cui si ottengono due risultati uguali sono due (TT o CC),
la probabilità dell’evento A = “avere due risultati uguali” risulterebbe: p(A) = 2/3.
Ma il ragionamento è errato, perché gli eventi possibili sono quattro e non tre! Infatti gli eventi sono
dati dai risultati dei due lanci, e si ha quindi U = {TT, TC, CT, CC} (vedi Esempio 2), quindi si ha nU = 4
e p(A) = 2/4 = 1/2 , e non 2/3 !
ESEMPIO:
Consideriamo il seguente gioco, effettuato con un mazzo di 52 carte:
Pesca due carte qualsiasi dal mazzo… Vinci se peschi due carte di uguale valore.
Quante probabilità di vincere hai???
Risposta:
I "casi possibili", nU , sono dati da tutte le possibili coppie di carte in un mazzo di 52 carte; essi sono:
52 × 51
=1326
2
e questo rappresenta il numero degli eventi possibili (le possibili pescate di due carte).
83
Come otteniamo questo numero? Vediamo: Abbiamo 52 possibilità per la prima carta, e poi 51 per la
seconda; questo dà 52×51 coppie possibili, ma dobbiamo dividere per due questo numero perché abbiamo
contato 2 volte ogni coppia; ad esempio la coppia (3♣, K♠) è stata contata anche come (K♠, 3♣), mentre
non ci interessa distinguere l’ordine in cui le due carte sono state pescate.
Quante sono invece le coppie di carte dello stesso valore? Consideriamo, ad esempio, gli assi: ci sono
quattro assi nel mazzo: A♣, A♦, A♥, A♠ , e con essi si possono formare 6 diverse coppie:
(A♣, A♦), (A♣, A♥), (A♣, A♠), (A♦, A♥), (A♦, A♠), (A♥, A♠).
Quindi le coppie di carte di uguale valore (e cioè gli eventi favorevoli) sono 6 per ognuno dei 13
possibili valori di una carta {A, 2, 3, …,10, J, Q, K}, infatti ci sono 4 carte di ogni valore e quindi
4× 3
=
2
6 diverse coppie formate con quelle 4 carte, come abbiamo visto per gli assi; in tutto quindi avremo 6×13
= 78 diverse coppie di carte di uguale valore.
La probabilità di vittoria a questo gioco è quindi
78
= 0,058…, cioè un po’ maggiore del 5,8%.
1326
7.3 Proprietà delle probabilità
Vediamo adesso quali sono le proprietà fondamentali della probabilità così come l’abbiamo definita;
premettiamo una ulteriore definizione che useremo nella proprietà 4): siano A,B sottoinsiemi di U (il nostro
insieme di tutti gli eventi che consideriamo); indichiamo con p(B|A) la probabilità che si verifichi B una
volta che si sia verificato A , cioè quando l’universo degli eventi si è ristretto da U ad A. Il valore di tale
probabilità è quindi dato dalla quantità:
nA∩ B
nA .
Le proprietà fondamentali della funzione di probabilità, p: U →
1) p(U) = 1 ;
¤ , che abbiamo definito, sono:
p(∅) = 0 ;
2) ∀A ⊂ U , se A≠∅ e
A≠U, allora 0 < p(A) < 1 ;
3) ∀A, B ⊂ U , p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) ;
4) ∀A, B ⊂ U , p(A∩B) = p(A)× p(B|A) ;
Dimostrazione:
Le prime due proprietà sono ovvie dalla definizione di probabilità. Per la terza, si ha:
n
p(A∪B) = nA∪ B
U
La quarta proprietà è quasi immediata:
=
n
nA + nB − nA∩ B
= p(A) + p(B) - p(A∩B) .
nU
n
p(A∩B) = An∩ B = n A ×
U
U
Notiamo in particolare che:
84
nA∩ B
nA = p(A)× p(B|A).
5) se A e B si escludono a vicenda (cioè se A∩B = ∅), allora in 3) si ha p(A∪B) = p(A) + p(B) (infatti
p(A∩B)=0).
6) Se A e B sono statisticamente indipendenti (cioè il verificarsi di A è indipendente dal verificarsi di B)
allora:
p(A∩B) = p(A)× p(B)
7) sia A’ l’insieme complementare di A (cioè l’insieme degli elementi di U che non stanno in A). Allora:
p(A’) = p(U) - p(A) = 1 - p(A).
Cioè, se p(A) è la probabilità che si verifichi l’evento A, la probabilità che esso non si verifichi è 1- p(A).
Esempi:
Consideriamo il seguente gioco: tiriamo un dado e vinciamo se il risultato è dispari oppure un numero
primo. Avremo allora: U = {1,2,3,4,5,6}, e se A = {esiti dispari} = {1,3,5}, mentre B = {esiti primi} =
{2,3,5}, allora la probabilità di vincita è (dalla 5):
p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 12 + 12 - 13 = 23 .
Infatti A∩B = {3, 5}, quindi p(A∩B) = 13 .
Vediamo ancora di vedere la probabilità di A∩B usando la 4); si ha che p(B|A) è la probabilità che sia
uscito un numero primo dato che si è avverato A, cioè è uscito un dispari. I dispari sono {1,3,5} = A, e di
essi solo 2 sono primi, cosicché p(B|A) = 23 e p(A∩B) = p(A)× p(B|A) = 12 × 23 = 13 .
7.4 Elementi di calcolo combinatorio.
Abbiamo visto, nell’esempio del gioco in cui si pescano due carte, che talvolta il problema è saper
valutare il numero degli eventi in considerazione; vediamo adesso alcune considerazioni che ci forniranno
degli strumenti a questo scopo.
Permutazioni
Se abbiamo un insieme con n elementi: A = {a1, a2, a3, …, an}, in quanti modi diversi possiamo
ordinarli? Ogni diverso ordine in cui consideriamo gli elementi si dice una permutazione di A.
Ad esempio se n=3 si hanno 6 possibili permutazioni:
{a1, a2, a3} , {a1, a3, a2} , {a2, a1, a3} , {a2, a3, a1} , {a3, a2, a1} , {a3, a1, a2} .
In generale, è facile vedere che si possono avere:
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1
permutazioni distinte, infatti abbiamo n scelte per il primo elemento, poi (n-1) scelte per il secondo, (n-2)
per il terzo e così via, fino all’ n-esimo, per cui abbiamo una sola scelta.
Usiamo il simbolo n! per indicare questo prodotto di tutti i numeri da n ad 1; avremo 2! = 2, 3! = 6,
4! = 24, 5! = 120, …
Disposizioni
Se adesso consideriamo di nuovo l’insieme A = {a1, a2, a3, …, an}, ed un numero k ≤ n , possiamo
chiederci quante diverse “k-uple” (cioè sottoinsiemi di k elementi) ordinate possiamo estrarre da A.
Chiameremo queste le disposizioni di k oggetti fra gli n dati.
Ad esempio, se A = {a1, a2, a3}, le disposizioni di 2 elementi fra i tre dati sono sei:
(a1, a2) , (a1, a3) , (a2, a1) , (a3, a1) , (a2, a3) , (a3, a2) .
In generale il numero delle disposizioni sarà:
n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
infatti abbiamo n scelte per il primo elemento, poi (n-1) scelte per il secondo, (n-2) per il terzo e così via,
fino al k-esimo, per cui abbiamo (n-k+1) scelte. Nel caso ora visto avevamo infatti 3.2=6 scelte.
85
Osserviamo che il numero delle disposizioni si può anche scrivere:
n!
n(n-1)(n-2)…(n-k+1) = ( n − k )! .
Esempio:
Se in una corsa corrono 17 atleti, quanti diversi ordini di arrivo per il podio si possono avere?
Poiché sul podio ci sono 3 posti, dobbiamo calcolare il numero di disposizioni di 3 oggetti su 17, che sarà:
17.16.15 = 4080.
Combinazioni
Invece una combinazione di k elementi fra n dati è un sottoinsieme di A = {a1, a2, a3, …, an}, ove
non si tiene conto dell’ordine degli elementi (come ad esempio nel gioco con l’estrazione di due carte che
abbiamo visto prima).
Se ad esempio consideriamo di nuovo A = {a1, a2, a3}, le combinazioni di 2 elementi di A sono
solo 3:
{a1, a2} , {a1, a3} , {a2, a3} .
In generale il numero delle combinazioni è:
n
=
k
Per cui si usa il simbolo
n ( n − 1)...( n − k + 1)
k!
=
n!
( n − k )!k !
n
k che si legge “n su k”. La formula si dimostra osservando che possiamo
prima considerare le disposizioni, che sono n(n-1)(n-2)…(n-k+1), e poi dividerle per k! che è il numero di
volte che compare la stessa disposizione con l’ordine permutato.
Esempio: Quante sono le possibili estrazione dei 5 numeri del lotto su una ruota? I numeri sono 90,
quindi dobbiamo calcolare
90 90.89.88.87.86
= 43.949.268.
5=
5.4.3.2
Quindi la probabilità di azzeccare una cinquina giocando 5 numeri su una ruota è 1/ 43949268.
Vediamo invece le probabilità per un ambo. Supponiamo di giocare l’ ambo 2 – 43 sulla ruota di
Napoli. Il numero degli eventi possibili è dato da tutte le possibili cinquine estraibili, ed è stato calcolato
nell’esempio precedente: nU = 43949268. Quante sono invece le cinquine che contengono il nostro ambo?
L’insieme A degli eventi favorevoli è composto dalle cinquine del tipo: {2,43,a,b,c} (l’ordine non conta).
Quindi il numero di queste cinquine sarà dato da tutte le possibilità per la terna {a,b,c}, che può variare fra
gli 88 numeri diversi da 2 e 43; quindi avremo in tutto:
88
nA = = 88.87.86
= 109736
3.2
3
cinquine vincenti, e quindi la nostra probabilità di vittoria sarà:
p(A) = 109736/43949268 = 0,00249…
Pari (con una leggera approssimazione) allo 0,25%, cioè a 25/10000 = 1/400.
Proviamo adesso a risolvere lo stesso problema per un’altra strada: vediamo quante sono le probabilità
di non vincere. Non vinciamo se nessuno dei due numeri esce, oppure se ne esce solo uno.
Gli eventi in cui non esce nessuno dei due numeri giocati sono dati da tutte le cinquine dove non
appaiono né il 2 né il 43. Quanti sono? Saranno tutte le composizioni di 5 elementi su 88 (90-2), e quindi :
86
88
5 =
88.87.86.85.84
= 39175752
5.4.3.2
L’altro caso in cui non vinciamo è quello in cui esca il 2 ma non il 43 o viceversa. Quante sono le
cinquine che contengono il 2 ma non il 43? Tenendo conto che il 2 è fissato, e che il 43 non ci deve essere,
esse sono del tipo: {2,a,b,c,d}, ove a,b,c,d possono variare fra gli 88 numeri diversi da 2 e da 43; avremo
quindi in tutto:
88 88.87.86.85
= 2331890
4 =
4.3.2
cinquine che contengono il 2 e non il 43. Naturalmente un calcolo analogo ci darà anche 2331890 cinquine
che contengono il 43 e non il 2. Quindi in tutto il numero dei casi sfavorevoli, cioè quelli ove non
vinciamo, è: 39175752 + 2331890 + 2331890 = 43839532.
Quindi la probabilità di non vincere è:
43839532/43949268 = 0,99750…
Allora la probabilità di vincere risulterà, dalla proprietà 7) e con una leggera approssimazione, pari a:
1 - 0,9975 = 0,0025
in completo accordo con quanto visto prima.
7.5 Risposte ai quesiti iniziali
Tutto quanto abbiamo visto ci dà la possibilità di dare una risposta ai quesiti che ci eravamo posti
all’inizio; vediamoli uno ad uno.
-
Qual è il risultato più probabile da ottenere se lanciamo due dadi ?
I risultati possibili del lancio di due dadi sono: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Ma non sono equiprobabili!
Essi sono i risultati possibili, ma non gli eventi possibili! Gli eventi in questo caso sono i possibili risultati
di un lancio dei due dadi, e cioè le coppie di valori risultanti sulla faccia del primo e su quella del secondo
dado… sono quindi tutte le possibili coppie ordinate (a,b), con a,b∈ {1,2,3,4,5,6}. Per ognuna delle
possibili 6 scelte per a abbiamo 6 possibili scelte per b, e quindi abbiamo in tutto 36 eventi possibili.
La seguente tabella mostra tali eventi, riportando direttamente il risultato a + b :
Possiamo così notare, ad esempio, che il risultato 8 , appare 5 volte su 36, corrispondendo agli eventi:
(6,2) , (5,3) , (4,4) , (3,5) , (2,6).
Il risultato più probabile risulta essere il 7, che può uscire in 6 modi diversi, e quindi la sua probabilità
è: 6/36 = 1/6. Invece il 2 ed il 12 sono i risultati meno probabili, avendo entrambi la probabilità 1/36.
87
-
Supponete di andare a giocare al lotto e che vi venga detto che sulla ruota della vostra città i numeri
27 e 45 non escono da più di sei mesi…invece la settimana scorsa sono usciti i numeri 2, 23, 43, 65 e
84. Dovendo scegliere fra il giocare l’ambo 27; 45 e quello 23; 43, ritenete preferibile il primo
ambo rispetto al secondo?
Per quanto abbiamo visto, per tutti gli ambi la probabilità si calcola allo stesso modo, e non è
naturalmente influenzata da cosa sia accaduto nell’estrazione precedente! Le palline contenenti i numeri da
estrarre non sono più facili da estrarre se il loro numero non esce da un anno… Quindi nella domanda sopra
si ha che i due ambi sono del tutto equiprobabili, ed è quindi indifferente giocare l’uno o l’altro.
Nonostante queste elementari osservazioni, continuano a prosperare rubriche sui giornali, nelle
trasmissioni televisive od altro che tengono nota e consigliano i numeri in ritardo per le giocate del lotto!
- Venite a sapere che in media 5 persone su mille sono malate di epatite e molti non lo sanno. Esiste un
test per l’epatite che offre il 98% di sicurezza (cioè il 98% delle risposte è esatto ed il 2% sbagliato), ed è
quindi molto affidabile, tanto che in media ne vengano effettuati 2000 al giorno. Voi vi sottoponete al
test e vi viene tristemente comunicato che siete risultati positivi… La vostra probabilità di avere l’epatite
è allora del 98% ?
No, non è così alta…. Come mai? Consideriamo quali sono gli eventi possibili: nel giorno in cui avete
fatto il test, ne sono stati fatti 2000; poiché 5 persone su mille hanno l’epatite, ci saranno 10 persone fra
quelle 2000 che ne sono affetti, e 1990 che non lo sono. Il 98% di queste 1990 persone avrà un risultato
negativo dal test, e cioè circa 1950, ma altre 40 persone (il 2%) risulterà positivo per un errore del test.
Quindi in tutto si avranno 50 test positivi, ma solo 10 riguarderanno persone effettivamente malate, gli altri
saranno errori. Allora se avete avuto un test positivo, la probabilità di essere malato è 10/50 = 1/5 , pari al
20% e non al 98% !!
La risposta può sembrare strana, per esempio può sembrare che dipenda da quante persone hanno
effettuato il test quel giorno, cosa che pare indifferente rispetto al vostro risultato positivo… In effetti la
risposta non dipende da quanti erano i test quel giorno; il seguente grafico vi mostra la situazione per un
qualsiasi numero x di test effettuati:
249
. x test positivi (tra veri e falsi), fra i quali solo
10000
1
corrispondono a persone effettivamente malate, e cioè circa
, qualsiasi sia x.
5
Avrete sempre
88
49
.x
10000
-
Considerate il seguente gioco: da un mazzo di 40 carte il banco ne estrae una. Voi puntate 1 euro e
vincete 1 euro sia se la carta estratta è una carta di coppe che se è una figura (di qualsiasi seme),
altrimenti perdete la vostra puntata. Vi conviene giocare? E se la vincita invece che alla pari fosse di
1,15 euro?
Vediamo quante sono le probabilità di vincita. Se A = “esce una coppe”, e B = “esce una figura”,
allora gli eventi vincenti sono dati da A ∪ B. Nel mazzo ci sono 10 carte di coppe, quindi p(A)=10/40;
mentre le figure sono 12, quindi p(B) = 12/40. Per la proprietà 3), si ha che
p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) ;
qui la probabilità di p(A∩B) è data dalla probabilità che esca una figura di coppe; tale probabilità è 3/40;
quindi la probabilità di vincere è:
p(A∪B) = 10/40 + 12/40 – 3/40 = 19/40.
Poiché la probabilità di vincere è minore di ½, il gioco non è equo nella prima ipotesi (vincita e
perdita entrambe di un euro): in media ogni 40 giocate vinceremo 19 volte e perderemo 21 volte,
rimettendoci 2 euro.
Nell’ipotesi che la vincita sia pagata invece 1,15 euro, vediamo ancora cosa accade su 40 giocate:
in media perderemo 21 volte, perdendo 21 euro, e vinceremo 19 volte, vincendo 19 × 1,15 = 21,85 euro.
Quindi in questa ipotesi il gioco ci risulta invece vantaggioso, anche se di poco.
89
8. Elementi di calcolo algebrico e letterale (in ℝ ).
In questo capitolo si richiamano nozioni essenziali per operare con i numeri reali e per orientarsi anche nel calcolo
letterale; assumeremo sempre che il campo numerico in cui ci muoviamo sia ℝ .
8.1 Valore assoluto.
Definizione: Dato un qualsiasi
r ∈ℝ , si indicherà come valore assoluto di r (in simbolo: |r | ) il numero:
∣r∣ =
r se r ≥0
−r se r 0
Esempi: |5|=5 ; |0,23| = 0,23 ; |-12| = 12 ; |−π| = π .
Quindi il valore assoluto di un numero è sempre una quantità positiva. Notare che se si usa il valore assoluto con quantità
indeterminate (indicate da lettere), un errore comune può essere il seguente:
∣−r∣ = r
questa uguaglianza infatti non è detto che sia vera: l'uguaglianza è vera solo quando r è positivo, ma se, ad esempio, fosse r
∣−r∣ = ∣−−5∣ = ∣5∣ = 5 = −r .
= −5, allora si avrebbe:
Notiamo che ogni volta che si tratta con espressioni letterali, si ha che un'unica espressione in un valore assoluto viene
descritta da due espressioni diverse a seconda dei valori assunti dalle variabili, ad esempio:
∣3−a∣ = 3−a ,
−3a ,
per 3−a≥0, cioè a≤3
per 3−a0, cioè. a3
Questo ci porterà a dover spesso compiere una simile analisi quando i valori assoluti appaiono in equazioni o disequazioni.
8.2 Potenze, Radici e Logaritmi.
Ricordiamo la definizione di potenze intere di numeri reali:
1) ∀ r ∈ℝ , con r≠0: r 0 = 1 .
2) ∀ r ∈ℝ , ∀ n∈ℕ , n≠0 : r n =
r ×...×r , n volte .
n
1
1
3)
∀ r ∈ℝ , con r≠0, ∀ n∈ℕ: r −n = = n .
r
r
0
Ricordiamo che l'espressione 0 non è definita.
Alcune elementari proprietà delle potenze:
4)
∀ r ∈ℝ , con r≠0, ∀ n , m∈ℕ : r nm = r n ×r m ; r n m = r nm .
5) ∀ r ∈ℝ , con r≠0, ∀ n , m∈ℕ : r n−m = r n :r m .
Grazie alla 3), le proprietà 4), 5) si possono compendiare nella:
5')
∀ r ∈ℝ , con r≠0, ∀ n , m∈ℤ : r nm = r n×r m .
Esempi:
91
2 −2 9
=
3
4
;
−3
0,1
= 1000
−2−2=
;
1
4
;
1
9
3−5 ×33 =3−2 =
;
−2=
1
2
.
___________________________
Per le radici, ricordiamo che con il simbolo r (radice quadrata di r), ove r ∈ℝ , r ≥0 si indica:
“quell'unico numero non negativo t , tale che t 2 = r “
Notiamo quindi che:
1) Non si può fare la radice quadrata di numeri negativi.
2) Il numero r è sempre un numero ≥0 .
3) Se vogliamo indicare i due numeri che elevati al quadrato mi danno r, scriveremo ± r .
In modo analogo si hanno le radici di ordine superiore; ∀ n∈ℕ , n2, ∀ r ∈ℝ , r ≥0 :
n r = “quell'unico numero non negativo t , tale che t n = r “.
Ad esempio avremo:
3 8=2
,
4 81=3
,
2 9= 9=3
,
7 1=1
,
13
0=0
.
Se n è dispari, la definizione si può estendere anche al caso in cui r sia negativo:
∀ n∈ℕ , con n dispari, sia r ∈ℝ , r ≥0 ; allora
n −r = −n r , cioè è “quell'unico numero negativo t , tale che
Ad esempio avremo: ,
3 −27=−3
,
7 −1=−1
,
5 −32=−2
t n = −r “.
.
Notiamo che in questi casi si preferisce portare il segno “-” fuori dal simbolo di radice, e scrivere ad esempio
−27=−3 27 .
3
Si hanno per le radici proprietà analoghe a quelle delle potenze:
1)
2)
3)
n m
r= r
n
nm
;
n : m
r = r , se n è divisibile per m.
n r m=r m : n , se m è divisibile per n.
Esempio: ,
m
3 26 =2 2=4
,
3 33=3
,
64= 64=2
3
6
.
Spesso è utile estrarre dalle radice tutti i fattori per cui risulti possibile semplificare, ad esempio:
1000= 100 . 10= 10 2 . 10=10 10
;
50= 25.2=5 2
;
3 128=3 64.2=4 3 2
;
In espressioni ove le radici appaiono al denominatore di una frazione, si preferisce una scrittura che abbia radicali solo al
numeratore (“razionalizzazione del denominatore”); ad esempio:
3 3 3
=
= 3 , mentre :
3 3
92
1
3
3
= = ;
3 3 3 3
7 7 5
=
;
5 5
3 3 2
=
;
2 2
3
1
22 = 3 4
=
;
3 2 3 2 3 22 2
3
3
3 2
=
= ;
2
6 3 2
3
2
2 32 2 3 9
=
=
.
3 3 3 3 3 32 3
Si può usare lo sviluppo della differenza di quadrati per razionalizzare denominatori con la somma di due radici:
1
=
3− 2
1
3− 2
3 2 = 3 2 = 3 2
3−2
3 2
.
Esempi:
3
3 3−1 = 3− 3 = 3− 3 ;
3−1
2
31 3−1
31
2
32
4 334
32 =
=
= 4 37
3−2
3−2 32
3−2
6
6 5− 2
=
= 2 5− 2 ;
3
5 2
=
Notiamo un comune errore di valutazione: E' vero che
x 2= x
;
?
x 2≥0 .
. In modo analogo si ha che x 6=∣x 3∣
NO: se x è negativo, l'uguaglianza è palesemente falsa, perché
x 2=∣x∣
E' vero invece che:
2
, mentre
x 4= x 2
va bene in quanto
x ≥0 , qualunque sia il segno della x.
Un modo alternativo di esprimere le radici si ha tramite l'utilizzo di esponenti frazionari (numeri razionali); definiamo
nel modo seguente le potenze ad esponente frazionario:
a
∀ q∈ℚ , q0, q= , ∀ r ∈ℝ , r ≥0 :
b
a
b
r q=r b = r a .
Ad esempio:
1
3
1
27 =3 27=3 ,
3
25 2 = 25=5 ,
4
r 4 = r 3 ,
x 0,15=
10
100
x 15=20 x 3
,
3
10
3
2 3 = 2 = 2 5 .
Esercizi:
- Semplificare al massimo le seguenti espressioni:
50
–
147
;
;
3 81
;
3 a 5 b 3 c 4
;
4 32 a 5
;
1
;
15
3 9
3 81
;
45
9
;
1
27 3 .
Dire se siano vere o false le seguenti uguaglianze (ove appaiono variabili x, a , b... con “vero” si intende che
l'uguaglianza deve valere per ogni valore che venga loro attribuito):
VERO
100 x =10 x
4
FALSO
2
93
80 x 7=4 x 3 5 x
5 −32 x10 =−2 x 2
3 80 x 7=2 x 2 . 3 10∣x∣
24 x 6 =2 x 3 3
Attenzione! Nel definire le potenze ad esponente frazionario
a
rb
abbiamo supposto che la base r sia positiva (o nulla);
potrebbe sembrare che tale ipotesi sia inutile quando sono in gioco radici con indici dispari; ad esempio che si possa
considerare:
1
5
−3 =
5 −3 = −5 3
questa espressione, apparentemente “innocua”, cela invece qualcosa di contraddittorio: essa infatti rappresenta un numero
negativo, ma la frazione 1/5 si può anche scrivere come 2/10, ed allora si avrebbe:
2
10
−3 10 = −32 =10 9=5 3 ,
che è invece un numero positivo!
Il problema è che la distinzione pari-dispari che è valida fra i numeri interi, perde di senso se si cerca di applicarla
alle frazioni (pari vuol dire “divisibile per 2”, ma tutti i numeri razionali sono divisibili per 2 !) e quindi cercare di
considerare esponenti razionali per basi negative ci porterebbe a risultati contraddittori, come nell'esempio qui sopra.
Logaritmi.
Premettiamo la nozione di equazione esponenziale; un'equazione esponenziale è un'equazione del tipo:
ove a , x , b ∈ ℝ .
In generale tali equazioni si considerano solo per a ,b ≥ 0 , in quanto per a < 0 si ha che
per alcuni valori interi o razionali di x ; non si considerano neanche i casi banali a = 1 , a = 0.
Si ha che se a ,b 0 , a ,b ≠ 1 allora l'equazione ha una sola soluzione.
a
x
x
a =b ,
è definito solo
Definizione: Dati a ,b ∈ ℝ , con a ,b 0 , a ,b ≠ 1 , l'unico valore di x che sia soluzione dell'equazione
x
a = b si chiama logaritmo in base a di b, e si indica con: log a b .
Quindi:
Dire che
c
a =b .
log a b=c equivale a dire che
Le seguenti proprietà dei logaritmi sono immediatamente deducibili dalle corrispondenti proprietà delle potenze:
log a a=1 ;
log a 1=0 ;
a
log a b
=b ;
log a uv=log a ulog a v ;
v
log a u =v log a u .
Esempi:
94
u
log a =log a u−log a v ,
v
log 3 9=2 ;
log 10
log 9 3=
1
1
; log 3 =−2 ; log 3 81=4 ;
2
9
log 2 16=4 ;
log 10 100=2 ,
1
=−3
1000
Sottolineiamo che nell'espressione :
log a b , si considera sempre b > 0 , a > 0 e a≠1 .
8.3 Calcolo letterale.
Ricordiamo alcuni principi fondamentali del calcolo letterale sui numeri reali:
Con una lettera (in genere minuscola), indichiamo un numero reale qualsiasi, cioè non determinato; per le operazioni di
somma, sottrazione e divisione fra quantità rappresentate da lettere utilizziamo gli usuali simboli, mentre più lettere (e
eventualmente un numeri) non separateda alcun simbolo indicano un prodotto:
abc=a×b×c ; 2 xy =2×x× y .
Un tale prodotto è spesso indicato con il termine monomio; si indica invece con il termine polinomio una somma di
monomi, ad esempio: 2 x 4 y 220 x 3 y 3−4 x 2 y 4 . Si usano talvolta i termini binomio, trinomio, etc. per polinomi
composti da 2,3 monomi.
Si dice grado di un monomio, la somma degli esponenti delle variabili (lettere) che vi compaiono; ad esempio 3 x 5 y
, 21 a 4 y 2 , 4 abc 4 , hanno grado 6, mentre 3x , 5a , b , hanno grado 1 e i polinomi formati solo da una costante
numerica, come 58, 0, π , hanno grado 0. Per un polinomio, il grado è il massimo fra i gradi dei monomi che lo
compongono.
Talvolta si considera il grado di un monomio o di un polinomio solo rispetto ad una o ad alcune delle variabili che lo
compongono; ad esempio 3 a x5 y ha grado 7, ma ha grado 5 rispetto alla sola x, e grado 6 rispetto ad x e y. Questo si
usa spesso nelle equazioni, dove il grado è considerato solo rispetto all'incognita (o alle incognite) da ricavare:
2
3 ax bx −7=0 è un'equazione di secondo grado in x.
Notiamo che spesso si riesce a scrivere in modo più compatto un'espressione tramite il raccoglimento di fattori comuni, ad
esempio:
2 x 4 y 220 x 3 y 3−4 x 2 y 4 = 2 x 2 y 2 x 210 x y−2 y 2 .
Esempi:
15 a 3 b 220 a3 b3−35 a 4 b 7 = 5 a 3 b 2 34 b−7 a b 5 ;
8 2
4
5 2
4
4
48 a b 12 a b−24 a b = 12 a b 4 a b1−2 a b ;
15 x 6 y 220 x 3 y3 −3 x 3−4 y = 5 x 3 y 2 3 x 34 y −3 x3 4 y = 3 x 34 y5 x 3 y 2−1 .
Notiamo come si semplificano frazioni letterali:
2 a3 b2−4 a 2
4 a 212 a b9 b 2−4 a 2
3 b 4 a3 b
=
=
= 4 a3 b .
3b
3b
3b
Un errore che si incontra con una certa frequenza è un errata semplificazione del tipo:
95
2 a3 b−4 a
= −4 a !!!!
2 a3 b
La semplificazione è errata in quanto solamente l'intero numeratore può essere diviso per 2a+3b , non solo un suo
addendo!
Una possibile riscrittura dell'espressione precedente è la seguente:
2 a3 b−4 a
2 a3 b
4a
4a
.
=
−
= 1−
2 a3 b
2 a3 b 2 a3 b
2 a3b
Si preferisce talvolta una forma come quella sopra, in quanto può consentire più rapidamente la valutazione della
grandezza dell'espressione; ad esempio in questo caso si vede immediatamente che se a e b sono positivi, il valore
dell'espressione è minore di 1.
Esempi:
2nmm
2 n3 m
m
;
=
= 2
nm
nm
nm
qui possiamo notare ad esempio che se n ed m sono positivi, allora il risultato è un numero compreso fra 2 e 3.
E se n ed m sono entrambi negativi?
Può essere utile avere in mente alcuni usuali prodotti notevoli, cioè scomposizioni particolarmente ricorrenti:
a±b2 = a 2±2 a bb2 (quadrato di un binomio);
ab a−b = a 2−b 2 (differenza di quadrati);
ab3 = a33 a 2 b3 a b 2b 3 (cubo di un binomio);
2
2
2
2
abc = a 2 a bb 2 ac2 bcc (quadrato di un trinomio);
a 3±b 3 = a±ba 2∓a bb 2 (differenza di cubi).
Per utilizzarli bisogna saper individuare ad esempio forme del tipo
2
2
A −B , ove A e B siano ad esempio dei polinomi,
4
2
6
2
2
3 2
come in : 36 y 1−12y − y = 6 y −1 − y = 6 y 2−1 y 36 y 2−1− y 3 , ove
A=6 y 2−1 e B= y 3 .
Esempi:
a 2 b4 4 a b 2 c 3 d 4 c 6 d 2 = ab 22 c 3 d 2 ;
2
2
4
2
2
a 2 a bb −d = abd ab−d ;
x 12−12 x 6 y36 y 2−9 x 6 = x 6−6 y3 x 3 x 6−6 y−3 x 3 ;
8 a 6 b 312 a 4 b36 a2 b 3b3 = b 3 2 a 2 b13 ;
6 3
3
2
4 2
2
2
8 a b −c = 2 a b−c4 a b 2 a bcc .
96
9. Esercizi e Problemi.
Gli esercizi proposti qui di seguito non sono solo una "verifica" sugli argomenti trattati nei capitoli
precedenti (sono solo in parte direttamente legati ad essi); si tratta anche e soprattutto di una specie di
"palestra", in cui allenarsi alla manipolazione dei numeri, al loro uso nella pratica, alla comprensione della
"loro" logica, cioè della logica con la quale sono stati costruiti e vengono usati.
Provate a risolverli prima di guardare le soluzioni; spesso i modi di risolverli sono vari e diversi
fra loro; cercate la "vostra" via, non pensate che ci deve per forza essere un metodo standard per la
soluzione e che dovete trovare esattamente quello. Alcuni sono molto facili, altri piuttosto difficili; la cosa
importante e che cerchiate una via, anche per tentativi ed errori, all'inizio: spesso il problema si chiarisce
solo dopo averci "messo le mani" in qualche modo A volte il metodo risolutivo consiste nell'impostare una
semplice equazione, trovando una quantità incognita da denominare x e attraverso la quale esprimere il
problema.
9.1 Esercizi sui numeri naturali.
1.1:
Quanto vale la somma dei primi 100 numeri naturali? Ed in generale quanto varrà la somma dei
primi n numeri naturali?
1.2: Qual è la somma di tutti i numeri pari da 2 a 50?
1.3: E quella dei primi dieci numeri dispari?
1.4: Trovare il più piccolo numero naturale n, tale che :
n311 >
8622.
1.5: (Da [PT]) Trovare l'errore nella dimostrazione del seguente "Teorema" (falso):
TEOREMA: Esiste al massimo un solo numero dispari.
Dimostrazione: Consideriamo due qualsiasi numeri dispari a e b in ℕ e dimostriamo che sono
necessariamente uguali. Se sono entrambi dispari, allora a+b sarà pari, si ha quindi che esisterà un numero
c ∈ℕ , tale che: a+b = 2c. Moltiplicando entrambi i lati di questa uguaglianza per (a-b) si ottiene:
(a+b)(a-b) = 2c(a-b)
dalla quale si ricava:
a2-b2 = 2ac - 2bc
che dà:
a2-2ac = b2-2bc
2
da cui (aggiungendo c ad entrambi i membri):
a2-2ac+c2 = b2-2bc+c2
che si può scrivere come:
(a-c)2 = (b-c)2
e quindi:
a-c = b-c
ed infine:
a=b.
Quindi i due numeri erano necessariamente uguali. Dov'è l'errore?
1.6: 263 e 323 sono numeri primi? (Naturalmente rispondere senza usare tavole dei numeri primi).
97
1.7: Se 1350 F (Franchi Svizzeri) valgono 810 €, quanto valgono 2500 F? Ed un Franco?
1.8: Pensa un numero da 1 a 10; a questo somma 2, poi fai il quadrato di quanto ottenuto. Togli 4 da tale
quadrato e poi dividi per il numero iniziale. Sottrai ancora il numero iniziale. Il risultato è 4. Come mai?
1.9: Un quadrato magico è un quadrato formato da nxn caselle contenenti ciascuna un numero, senza
ripetizioni, in modo che la somma dei numeri di ciascuna riga (=fila orizzontale) e colonna (= fila verticale)
e di ciascuna delle due diagonali dia sempre lo stesso risultato (detto costante magica).
Esempio (con costante magica = 18):
Costruire un quadrato magico 3x3 usando le cifre dall'uno al nove.
1.10: Trovare la scomposizione in fattori primi dei seguenti numeri:
60 ; 128 ; 65 ; 51 ; 72 ; 1000 .
1.11: Trovare il MCD delle seguenti coppie di numeri: (13, 64) ; (60, 28) ; (231, 105) ; (81,10101), (4,
134.227). Per le prime tre coppie trovare anche il m.c.m.
1.12: Un numero intero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue ultime due cifre lo è. Perché?
Stessa cosa per la divisibilità per 25.
1.13: Se raddoppio entrambi gli addendi di una somma, che accade del risultato? E se raddoppio entrambi
i fattori di una moltiplicazione?
1.14: I seguenti numeri sono scritti in base nove; quanto valgono ? 11 ; 32 ; 104 .
1.15: In quale base il numero dieci si scrive: 110 ?
1.16: Trovare due numeri la cui somma sia 6 e che siano uno il doppio dell'altro.
1.17: La velocità del suono nell'aria è 340 m/sec . Quella della luce è circa 300.000 km/sec . Quante volte
la luce è più veloce del suono? Se la distanza Terra - Sole è circa 150 milioni di km, quanto tempo impiega
la luce del Sole a raggiungerci?
9.2 Esercizi sui numeri interi.
2.1: Io ho 53 anni e mio figlio 28; fra quanti anni la mia età sarà doppia della sua?
2.2: Ordinare in ordine crescente: -4 ; -2 ; (-3)2 ; -32 ; 0 ; (-11)0 ; (1-3)2 ; 5 .
98
2.3: (Da [EC]) Che differenza di ore c'è fra l'Italia(+1) e il Brasile(-3), e fra il Brasile e New York (-5)? I
numeri scritti fra parentesi sono le rispettive ore locali rispetto al fuso orario del meridiano di Greenwich
(UK), assunto come 0.
2.4: Trovare due numeri tali che la somma sia 2 e la differenza sia 8.
2.5: Trovare tutti i divisori del numero -12 (in ℤ ) .
9.3 Esercizi sui numeri razionali.
3.1: Ordinare in ordine crescente i seguenti numeri :
3.2 : Calcolare: [5/7×(2,1) - 1/2]56 .
3.3: Trovare due numeri il cui rapporto sia 4/5 e la somma 3.
3.4: Trasformare le seguenti frazioni in numeri decimali: 1/5 ; 22/7 ;12/3 ; 17/15 ; 1/9 .
3.5: Trasformare i seguenti numeri decimali in frazioni:
0,21 ; 1,1 ; 0,11 ; 1,11 ; 3,14 ;
0, 3 ; 0, 9 .
3.6: Gli ordini di grandezza, in metri, dei diametri di Luna, Terra e Sole sono 106, 107 e 109. Se facciamo
un modellino in cui il Sole è grande come un'arancia (10 cm di diametro), quanto dovrebbe essere grande la
Terra? E la Luna? E a quale distanza dovremmo porre la Terra dal Sole nel nostro modello (Vedi es. 1.17)?
Se disegniamo la Luna con il diametro di un cm , quanto dobbiamo fare grande la Terra per rispettare le
proporzioni? Ed il Sole? Qual è la scala che stiamo usando?
3.7: Se il 12% di una certa cifra è 720 Euro , quanto è l'intera somma ?
3.8: Un investimento di 60.000 Euro ha reso il 15%, ma il guadagno viene tassato per il 3%. Qual è il
guadagno netto ottenuto? Qual è il tasso percentuale di rendimento dell'affare, al netto delle tasse?
3.9: Da una quantità se ne toglie 1/3, poi 1/2 di quello che rimane, ed infine 1/4 del restante. Quanta parte
della quantità iniziale è rimasta?
3.10: Aumentando di 1 il numeratore ed il denominatore di una frazione, il suo valore cambia?
99
3.11: Qual è il doppio di 3/4? E la metà di 3/5?
3.12: (da [ST]) Se riesco a dipingere una stanza in 4 ore, ed un mio amico ne impiega 2, quanto
impiegheremmo dipingendola insieme?
3.13: Se 8 persone stanno chiuse in una stanza sigillata, quanto tempo ci mettono a consumare metà
dell'ossigeno presente? (Una persona consuma 400l di ossigeno al giorno, l'ossigeno è circa il 21%
dell'aria, assumete che la stanza sia, in metri, 3x3x4).
3.14: Un numero è tale che sommando il suo terzo, il suo sesto ed il suo doppio si ottiene 30; quanto è il
numero?
3.15: Risolvere le seguenti equazioni: x/3 + 1/3 = x/6 ; 3x/5 + 1/10 = 2x/15 ; 5x/2 = 3x/4 .
3.16: Calcolare (1/3)-2 ; 2-3 ; 1236×123-6 ; (-3)-3 .
9.4. Esercizi sui numeri reali .
4.1: Ordinare in ordine crescente i seguenti numeri reali: π ,
10 , 22/7 , 3,14 ( lo sviluppo decimale di
π è 3,1415..).
4.2: Scrivere con denominatore razionale i seguenti numeri:
3 5
4
;3 ;
.
5 2 5
4.3: Dire se sono vere o false le seguenti uguaglianze:
a)
1)
a+
2)
a ×
3)
3
4 +
4 =4
a =a , ∀a>0;
b =
a =
6
ab , ∀ a,b > 0;
a ,∀a>0.
4.4: Dire se i seguenti numeri decimali sono razionali o irrazionali:
43,5430345054303450543... ; 14,2314232314232323142323232314.... ;
0,1111... ; 0,321; 3,1234567891011…
9.5
Esercizi di probabilità.
5.1: Qual è la probabilità di ottenere 3 teste lanciando 3 monete? E di una testa e due croci?
5.2: Qual è la probabilità di fare 4 lanciando 2 dadi? E quella di fare 16 lanciandone tre?
5.3: In un’urna ci sono 10 palline rosse e 10 nere. Ne peschiamo 2. E’ più facile che siano dello stesso
colore o no?
5.4: In un’urna ci sono 20 palline rosse, 10 nere e 1 bianca. Qual è la probabilità di estrarne 2 di colori
diversi?
100
5.5: Considerate due dadi a forma di ottaedro (hanno 8 facce, vedi figura). Che probabilità ho, lanciandoli,
di ottenere 12?
9.6. Soluzioni degli esercizi .
1.1:
Quanto vale la somma dei numeri naturali da 1 a 100? Ed in generale quanto varrà la somma dei
numeri naturali da 1 a n?
Considerate la somma: 1 + 2 + ...+ 99 + 100 , se la consideriamo come
(1+100) + (2+99) + ...+ (50+51) = 50.101
avremo che il numero cercato è 5050.
In generale, si può dimostrare allo stesso modo che la somma dei numeri naturali da 1 a n è :
1+2+3+...+n =
n(n + 1)
.
2
1.2: Qual è la somma di tutti i numeri pari da 2 a 50?
Considerate la somma:
2 + 4 + 6 +...+ 48 + 50 = 2(1+2+...+25),
se consideriamo 1+2+...+25, come (1+25) + (2+24) + ...+ (12+14) + 13 = 12.26 + 13 = 12.2.13 + 13 =
(24+1)13 = 25.13, avremo che:
2 + 4 + 6 +...+ 48 + 50 = 2(13.25) = 25.26 = 650.
In generale, si può dimostrare allo stesso modo che la somma dei numeri pari da 2 a 2n è n(n+1).
1.3: La somma dei primi dieci numeri dispari è :
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 1+19 + 3+17 +5+15 + 7+13+9+11 = 5.20 = 100 .
Provate anche a vedere che la somma dei primi n numeri dispari è n2.
1.4 Trovare il più piccolo numero naturale n, tale che :
Si ha 8622= (82)311, quindi
65.
n311 >
n311 >
8622.
8622 = (82)311 è equivalente ad
n > 82 = 64 , e perciò la risposta è
1.5 L'uguaglianza (a-c)2 = (b-c)2 non implica a-c = c-b , ma solo a-c = ±(c-b) .
1.6
263 : Si controlla che 263 non è divisibile per nessun numero primo da 2 a 17. Notiamo poi che
17×17 = 289 > 263, e quindi che nessun prodotto di numeri primi maggiori di 17 può dare 263, che quindi è
primo.
323 = 17×19 .
1.7 Un Franco varrà 810/1350 € , cioè 3/5 = 0,60 € .
101
Quindi 2500 F valgono
con una proporzione:
2500×0,60=1500 €. Si può anche rispondere alla prima domanda
1350 : 810 = 2500 : x
da cui 1350 x = 2500.810, e quindi x =
2500×810
=1500 €..
1350
1.8 Sia x il numero pensato; le operazioni indicate si possono scrivere così:
x → x+2 → (x+2)2 → (x+2)2-4 = x2+4x +4 -4 = x2+4x → (x2+4x) : x = x+4 → x+4 - x = 4
1.9
Una risposta possibile è :
Per esempio si può notare che aggiungendo una stessa costante ad ogni elemento di un quadrato
magico si ottiene un nuovo quadrato magico. Quello qui sopra è ottenuto da quello dato nell'esempio
sottraendo uno in ogni cella.
1.10
60 = 22.3.5 ; 128 = 27 ; 65 = 5.13; 51 =3.17 ; 72 = 23.32 ; 1000 = 23.53.
1.11
MCD(13, 64) = 1 ; MCD(60, 28) = 4 ; MCD(231, 105) = 21 ;
MCD(81,10101) = 3 ; MCD(4, 134.227) = 1.
mcm(13, 64) = 832 ; mcm(60, 28) = 420 ; mcm(231, 105) = 1155;
mcm (81,10101) = 272.727 ; mcm(4, 134.227)= 536.908.
Notare che MCD(4, 134.227) = 1 poiché 4 è divisibile solo per 2, mentre 134.227 è dispari, quindi non ci
sono fattori primi comuni.
1.12 Poiché 100 è divisibile per 4, la parte del numero che è data da centinaia, migliaia o potenze del dieci
ancora più grandi è sicuramente divisibile per 4. Quindi il problema riguarda soltanto la parte del numero
formata dalle sue ultime due cifre. Stesso ragionamento per la divisibilità per 25.
1.13 Se raddoppio entrambi gli addendi di una somma, il risultato raddoppia. Se raddoppio entrambi i
fattori di una moltiplicazione il risultato quadruplica (scriverlo con delle lettere).
1.14
11 = 9 + 1 = 10 ; 32 = 3.9 + 2 ; 104 = 81 + 4 = 85.
1. 15 In base 3:
101 = 9+1 = 10.
1.16: x+y = 6 e x = 2y ; quindi 2y + y = 6 ; 3y = 6 ; y = 2 e x = 4 .
1.17: La velocità del suono nell'aria è 340 m/sec , quella della luce 3.105 km/sec = 3.108 m/sec . Quindi la
luce è circa 106 volte (un milione di volte) più veloce del suono.
102
Poiché la distanza Terra - Sole è circa 150 milioni di km = 1,5.108 km = 1,5.1011 m , la luce del Sole
impiega circa 1,5.1011: 3.108 sec = 500 sec = 500/60 min = circa 8min e 20sec a raggiungerci.
2.1: La differenza di età è di 25 anni: se l'età di mio figlio è x, la mia è x+25; vogliamo sapere quando si ha
2x = x+25 ; risolvendo l'equazione si ottiene x=25: la mia età sarà il doppio di quella di mio figlio quando
lui avrà 25 anni . Poiché la domanda era "fra quanti anni" accadrà questo, e ora mio figlio ha già 28 anni, la
risposta è "-3", "fra -3 anni", cioè è avvenuto 3 anni fa (e non avverrà più perché la soluzione dell'equazione
è una sola).
2.2 -32 = -9 ; -4 ; -2 ; 0 ; (-11)0=1 ; (1-3)2 = 4; 5 ; (-3)2= 9.
2.3: Le differenza di ore cercate si ottengono con la differenza dei rispettivi fusi, quindi
1-(-3) = 4 e -3 - (-5) = 2 .
2.4: Si vuole x+y = 2 e x-y = 8. Dalla prima equazione si ha x = 2-y , sostituendo nella seconda si
ottiene 2-y-y = 8 , cioè 2-2y = 8 , che dà y = -3 .
2.5: I divisori sono: 1, 2, 3, 4, 6,12, -1, -2, -3, -4, -6, -12 .
3.1 L’ ordine crescente è :
9/4 ; 8/3 ; 2,7 = 2,6(9) ; 2,701 ; 8/3 ; 28/9 .
3.2
1.
3.3
Si vuole x+y = 3 e x/y = 4/5 .
Quindi x = 4/5y ; 4/5y+y = 3 ; 9/5y = 3 ; y = 5/3 ; x =4/5.5/3 =4/3 .
3.4
1/5 = 0,2 ; 22/7 = 3,(142857) ; 12/3 = 4 ; 17/15 = 1,1(3) ; 1/9 = 0,(1) .
3.5
0,21 = 21/100; 1,1 = 11/10 ; 0,11 = 11/100 ; 1,11 = 111/100 ; 3,14 = 314/100;
0, 3 = 1/3 ; 0, 9 = 1 .
Il rapporto fra gli ordini di grandezza di Sole e Terra è 1/100 ; quello Luna e Sole è
1/1000; quindi se il Sole è di 10 cm , la Terra deve misurare 0,1 cm (1 mm) e la Luna 0,1
mm .
Notiamo che nella nostra scala 10 cm = 109 m = 1011 cm , cioè la scala è di 1:1010 (uno a dieci miliardi).
Poiché la distanza Terra - Sole è 150 milioni di km = 1,5 . 1011 m, e nella nostra scala abbiamo che 1cm = 108 m,
dobbiamo porre la Terra a distanza di 1,5.103 1cm = 1500 cm = 15 m.
Se invece il modello della Luna misurasse 1 cm, la Terra dovrebbe risultare di 10 cm, e il Sole di 1000 cm = 10 m .
o
3.7 12/100 x = 720, quindi x = 6.000.
3.8 La resa dell'investimento è stata 15/100 . 60.000 = 9.000.
La tassa da pagare è 3/100 . 9.000 = 270; quindi il rendimento netto per il nostro investimento è
9.000 – 270 = 8.730.
Il tasso percentuale x di rendimento è il rapporto fra il rendimento netto e l’investimento, cioè: 8730 : 60.000 = x :
100, quindi x = (8730.100)/60.000 = 14,55. Il rendimento è del 14,55% .
3.9 : Se indichiamo con x la quantità incognita su cui si opera, avremo:
I° passo:
x−
x
x
2x
=2 =
3
3
3
; II° passo:
103
2x 1 2x
2x x
x
−
=
− =
;
3 2 3
3 3
3
III° passo:
x 1 x
x x
4 x −x 3 x
x
− = − =
=
=
.
3 4 3
3 12
12
12
4
La quantità rimasta è un quarto di quella iniziale.
3.10: Aumentando di 1 il numeratore ed il denominatore di una frazione, il suo valore cambia; ad esempio
partendo da 2/3 si ottiene:
(2 +1)/(3 + 1) = 3/4 ≠ 2/3.
Possiamo notare che se partiamo da una frazione positiva a/b < 1(cioè con a<b), allora aggiungere 1 a
numeratore e denominatore aumenterà il valore della frazione, infatti:
a1 b a1
a b1
abb
a
aba
=
=
=
=
.
b1 b b1 b b1 b
bb1 bb1
Dallo stesso procedimento si vede che se invece a/b>1 , allora il valore della frazione aumenterà.
3.11
Il doppio di 3/4 è 3/2; la metà di 3/5 è 3/10 .
3.12 La mia velocità di pittura è di 1/4 di stanza all'ora, quella del mio amico è di 1/2 di stanza all'ora. Se
dipingiamo insieme la nostra velocità si somma, quindi sarà di 1/4 + 1/2 = 3/4 di stanza all'ora. Per
dipingere una stanza impiegheremo 1 : 3/4 = 4/3 di ora, cioè 1ora e 20 minuti.
3.13 Il volume della stanza è di 36 m3 , il suo contenuto di ossigeno è di 21/100.36 = 7,56 m3 , pari a
7560 l (1 m3 = 1000l). Otto persone consumano 3200 l di ossigeno al giorno, cioè 3200/24 =133,(3) l
all'ora ; il tempo per consumare la metà dell'ossigeno (3825 l), sarà quindi :
3825 : 3200/24 = 3825. 24/3200 = 28,6875 ore, cioè circa 28 ore e 40 minuti
3.14
3.15
x/3 + x/6 + 2x = 30 ; 15/6x = 30 ; x = 12 .
Soluzioni delle equazioni: x = -2 ; x = -3/14 ; x = 0 .
3.16 (1/3)-2 = 9 ; 2-3 = 1/8 ; 1236×123-6 = 1 ; (-3)-3 = -1/27
4.1
3,14 ; π , 22/7 ;
10 .
4.2: Scritti con denominatore razionale:
3 5 53 4
;
;
2
5
20
.
5
4.3
a)
4.4
vera
b)
4 + 4 =4
a+ a =a , ∀a>0;
c)
a ×
vera
d)
3
b =
a =
6
ab , ∀ a,b > 0;
a ,∀a>0.
falsa
vera
0,1111... ; 0,321; 43,5430345054303450543... : sono razionali .
3,1234567891011…..14,2314232314232323142323232314.... : sono irrazionali .
5.1: Lanciando 3 monete si hanno 8 possibili eventi ( 2×2×2 ). C’è un unico evento che dà tre teste, quindi
la probabilità è di 1/8. Invece possiamo ottenere una testa e due croci in tre modi diversi: TCC, CTC,
CCT. Quindi la probabilità è 3/8.
104
5.2: La probabilità di fare 4 lanciando 2 dadi è di 1/12, infatti si può fare 4 in tre modi:
1+3, 2+2, 3+1, e poiché gli eventi possibili sono 36, la probabilità è di 3/36 = 1/12.
Fare 16 lanciando tre dadi è possibile in sei modi: 5+5+6, 5+6+5, 6+5+5, 4+6+6, 6+4+6, 6+6+4. Poiché i
possibili esiti del lancio di tre dadi sono 6×6×6=216, la probabilità sarà 6/216= 1/36.
5.3: Ci sono 10 palline rosse e 10 nere. Le possibili pescate di 2 palline sono date da
20 20.19
= 2 = 190
2
E questi sono gli eventi possibili. Le pescate di due palline rosse sono
10 10.9
= 2 = 45
2
e analogamente ne avremo per due palline nere. Quindi ci sono 90 modi di prendere 2 palline dello stesso
colore, e 190-90 = 100 di prenderle di due colori diversi, il che sarà più probabile. Le probabilità dei due
eventi sono 90/190 = 9/19 e 100/190 = 10/19.
5.4: Nell’urna ci sono 20 palline rosse, 10 nere e 1 bianca. Invece della probabilità di estrarne 2 di colori
diversi calcoliamo quella di estrarne due dello stesso colore. Le possibili pescate di 2 palline su 31 sono:
31 31.30
= 2 = 465
2
che danno tutti gli eventi possibili. Posso avere 2 palline uguali pescandone 2 nere, e lo posso fare in 45
modi (vedi es. 5.3), oppure 2 rosse, in
20 20.19
= 2 = 190
2
modi. In tutto ho 235 modi di pescare due palline uguali su 465, quindi 230 modi di pescarne 2 diverse, il
che è meno probabile.
5.5: Lanciando due dadi a 8 facce gli eventi possibili sono 8×8 = 64. Per ottenere 12 posso fare:
5+7, 6+6, 7+5, 8+4. Quindi la probabilità è di 5/64.
4+8,
Bibliografia.
[MA]: M.Arezzo; Frazioni, numeri razionali e numeri decimali . Quaderno dell’ Univ. di Genova. (1996).
[BP]: R.Bersani, E.Peres; Matematica, un corso di sopravvivenza. Ponte alle Grazie, Milano (1998).
[EC]: E.Castelnuovo; La via della Matematica, I numeri. La Nuova Italia, Firenze (1966).
[DAO]: B.D'Amore, P.Oliva; Numeri. Franco Angeli, Milano (1993).
[GI]: G.Ifrah: Storia Universale dei Numeri. Mondadori, Milano (1989).
[GL]: G.Lolli: Il riso di Talete, Matematica ed Umorismo. Bollati Boringhieri, Torino (1997).
[JPA]: J.P.Allen: Gli Snumerati. Leonardo, Milano, 1989.
[LLR]: L.L.Radice: La Matematica da Pitagora a Newton . Ed. Riuniti, Roma (1992).
[SS]: S.Singh L' ultimo Teorema di Fermat . Rizzoli, Milano (1998).
105
[SA]: G.Spirito Matematica dell'incertezza. Newton Compton, Roma (1995).
[ST]: S.Tobias; Come vincere la paura della matematica. Longanesi, Milano (1994).
[PT]: P.Toni; Disfide Matematiche a scuola. Muzzio, Padova (1985).
106
APPENDICE A:
La costruzione di
ℤ .
Il lettore avrà familiarità con i numeri negativi e con le regole per operare con essi che si trovano
nel capitolo 4; vogliamo qui vedere come si può "costruire" la struttura dei numeri relativi in modo rigoroso
e formale, usando ℕ e la teoria degli insiemi; lo scopo di questo tipo di costruzione è di evidenziare
aspetti e problemi logici di questa struttura.
Consideriamo i tre insiemi: ℕ = { 1, 2, 3, 4, 5,... } , { ♥ , ♠ } , { 0 } , e formiamo il nuovo
insieme :
ℤ = { 0 } ∪ ( { ♥ , ♠ } × ℕ ) = { 0 , (♥, 1), (♠,1), (♥, 2), (♠, 2), (♥,3), ... }.
Definiamo in
ℤ
delle operazioni di somma e prodotto , che per adesso indicheremo con + e
x , per distinguerle dalle precedenti operazioni + e × , definite su ℕ . La definizione di + è data dai
seguenti sei punti:
s0)
∀ z,u ∈ ℕ , z + u = u + z .
s1)
0+0=0.
s2)
∀ n ∈ ℕ : 0 + (♥ , n) = (♥ , n) ; 0 + (♠ , n) = (♠ , n) .
s3)
∀ n, m ∈ ℕ :
(♥ , n) + (♥ , m) = (♥ , n+m) .
s4)
∀ n, m ∈ ℕ :
(♠ , n) + (♠ , m) = (♠ , n+m) .
s5)
∀ n, m ∈ ℕ :
(♥ , n) + (♠ , m) =
(♠ , m − n)
0
( ♥ , n − m)
se m > n
se m = n
se m < n
Esempi: (♥, 4) + (♥, 3) = (♥, 7); (♠ , 2) + (♠ , 8) = (♠ , 10); (♥ , 2) + (♠ , 8) = (♠, 6) .
Notiamo che l'operazione è definita su tutto ℤ ; che 0 è l'elemento neutro rispetto a + , per le
s1) ed s2); che + è commutativa per la s0) , ed è possibile vedere che + è anche associativa, usando
l’associatività di + su ℕ . Cioè + ha tutte le proprietà essenziali di cui godeva + su ℕ .
ℤ
s6)
Inoltre + ha un'altra proprietà, che + non aveva: l'esistenza dell'opposto. Si ha infatti che in
ogni elemento ha un opposto rispetto all'operazione +, e cioè
∀x∈ ℤ
, ∃ *x∈
ℤ , tale che x + *x = 0 .
Infatti l'inverso di 0 è se stesso, mentre l'inverso di
(♥ , n) è (♠ , n), e viceversa, dalla s5) .
Un'altra notevole osservazione che possiamo fare è che se consideriamo in ℤ il sottoinsieme:
N = { 0 , (♥, 1) , (♥, 2) , (♥,3) , (♥,4), ..., (♥,n) ,... },
108
questo ha, rispetto alla somma + , le stesse proprietà d ℕ i rispetto al +. Quindi, identificando le due
strutture algebriche ( N, +) ed ( ℕ ,+ ), tramite l'associazione (♥ , n) → n , possiamo pensare alla
struttura ( ℤ ,+) come ad un'estensione di ( ℕ ,+ ), in quanto ne contiene una "copia conforme".
Chiameremo i numeri in
(relativi) negativi.
N , interi (relativi) positivi, mentre chiameremo i numeri del tipo (♠ , n) , interi
Vediamo adesso come si può definire la moltiplicazione:
m0)
m1)
m2)
m3)
m4)
∀ z,u ∈ ℤ : u x z = z x u.
∀z∈ ℤ : 0x z= 0 .
∀ n, m ∈ ℕ : (♥ , n) x (♥ , m) = (♥ , n×m) .
∀ n, m ∈ ℕ : (♥ , n) x (♠ , m) = (♠ , n×m) .
∀ n, m ∈ ℕ : (♠ , n) x (♠ , m) = (♥ , n×m) .
Notiamo che anche qui l'operazione è definita su tutto ℤ ; che
(♥,1) risulta, dalle m2) ed m3),
x ; che x è commutativa per m0); ed infine che è possibile vedere che
x è anche associativa e distributiva rispetto a + , usando le relative proprietà di × e + su ℕ .
Cioè anche per x si ha che essa gode di tutte le proprietà essenziali di cui godeva × su ℕ .
Notiamo anche che con questa operazione stabiliamo un’asimmetria in ℤ fra i numeri positivi e quelli
negativi: l’elemento neutro di x è (♥ ,1) e non (♠ ,1).
essere l'elemento neutro rispetto a
N dei numeri positivi: esso ha, anche
ℤ
rispetto all'operazione x , le stesse proprietà di
rispetto al ×. Quindi, identificando le due strutture
algebriche (N,+, x ) ed ( ℕ , + ,×), possiamo pensare ( ℤ ,+, x ) come un'estensione di ( ℕ , +
,×), di nuovo in quanto ne contiene una "copia conforme", come desiderato.
Analogo sarà anche il discorso riguardo all'insieme
Consideriamo adesso la sottrazione,
rispetto alla somma, +:
Definizione:
- , in ℤ , definendola anche qui come operazione inversa
∀ x,y ∈ ℤ , si dice x - y quell'elemento z ∈ ℤ , che sommato ad y dà x . Cioè:
x - y = z se x = z + y .
Vediamo che l'operazione - è stavolta definita su tutto ℤ . Come abbiamo notato, in ℤ
esiste l'inverso rispetto alla somma. Ora denotiamo con il simbolo *y l'inverso di y; avremo che se y =
(♥, n), allora *y = (♠ , n), mentre se y = (♠ , n), allora *y = *(♠ , n) = (♥ , n), ed infine, se y = 0
anche *y=0 .
Si ha allora che
x - y = x + *y , cioè che z = x + *y è l'elemento richiesto, infatti :
z + y = (x + *y) + y = x + (*y + y) = x + 0 = x .
Quindi x - y esiste sempre in
l'opposto"; ad esempio:
ℤ , ed è uguale a x + *y , cioè "sottrarre è uguale a sommare
109
(♥, 3) - (♥, 6) = (♥ , 3) + (♠ , 6) = (♠ , 3) ; (♥, 7) - (♠, 5) = (♥, 7) + (♥, 5) = (♥, 12).
Facciamo adesso un "aggiornamento di notazioni"; infatti è piuttosto pesante usare simboli come
(♥ , n), *y, (♠ , n), ed anche simboli diversi per le operazioni in ℕ e quelle in ℤ . Invece di
(♥ , n), poiché, come abbiamo detto, tali elementi si identificano con quelli di ℕ , indicheremo questi
elementi semplicemente con n, o con +n (ove n∈ ℕ ). Indicheremo invece con -n gli elementi del
tipo (♠ , n), sempre per n∈ ℕ ; inoltre, ∀y ∈ ℤ , indicheremo con - y il suo opposto (invece
di *y ); avremo quindi:
-5 = (♠ , 5) , 4 = (♥ , 4) , - (-7) = *(♠ , 7) = (♥ , 7) = +7 ; -23 = (♠ , 23) = *(♥ , 23) .
L' insieme
ℤ
è così adesso divenuto come nella sezione 4:
ℤ
= {..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... }.
Useremo anche +, - , × invece di +, -,
quelle in
ℤ
x , rinunciando a distinguere fra le operazioni in ℕ e
. Si scriverà allora:
3 + (-4) = -1 invece di (♥ , 3) + (♠ , 4) = (♠ , 1) ,
(-2) × (-5) = 10 e non (♠ , 2) x (♠ , 5) = (♥ , 10) .
E per la sottrazione si scriverà:
13 - 27 = 13 + (-27) = -14 ; 56 - 33 = 23 , ...
Possiamo notare che l'uso di questi simboli non-standard ( ♥ , ♠ , ∗ , +, -, x ) permette di evitare la
“confusione” notata nella sezione 4 nell'uso del simbolo “-” ed i suoi tre significati diversi, come anche di
specificare che si stanno definendo nuove operazioni rispetto a quelle già presenti in ℕ .
110
APPENDICE B: Tabelle di Verità per l'uso dei connettivi.
Riprendiamo qui di quella parte iniziale della Logica Matematica che viene detta “Logica degli Enunciati” e che
tratta di quella parte del nostro linguaggio fatta di enunciati; come visto nel Capitolo I intenderemo per “enunciato” una
frase corretta in lingua italiana di cui sia possibile dire senza ambiguità se è vera oppure falsa. Per rendere più chiaro l'uso
dei connettivi per la costruzione di enunciati complessi, vedremo per ognuno di essi la relativa “tavola di verità”: una tabella
che dà il valore di vero o falso di un enunciato composto usando il connettivo in questione, a seconda di quello che accade
per gli enunciati che lo compongono.
B.1 I connettivi.
In genere useremo delle lettere maiuscole A,B,C,… come simboli per enunciati. Introduciamo ora dei connettivi,
attraverso i quali potremo connettere enunciati semplici per formarne di più complessi.
Il connettivo “non”.
Il connettivo “non”, per cui si usa il simbolo ¬ (ma in alcuni testi si usa anche il simbolo ~ , oppure si sopralinea il
simbolo dell’enunciato) che corrisponde all’uso della congiunzione italiana “non”; ad esempio se A = “Roma è in Italia” ,
avremo che ¬A = “Roma non è in Italia”. La situazione dei valori di verità è ovvia, ed esplicata nella seguente tabella,
ove con v ed f si sono indicati i valori di verità “vero” e “falso”:
Il connettivo “e”.
Il connettivo “e”, per cui si usa il simbolo ∧ , corrisponde all’uso della congiunzione italiana “e”; ad esempio se A =
“Roma è in Italia” , B = “Parigi è in Germania”, avremo che
A ∧ B = “Roma è in Italia e Parigi è in Germania”.
La cosa importante è sapere quale è il valore di verità da assegnare ad A ∧ B una volta assegnati i valori (vero o falso)
ad A ed a B. La situazione è esplicata nella seguente tabella:
Come si può vedere, si ha che A ∧ B è vera se e solo se sia A che B sono vere. Ad esempio, se A e B sono come
sopra ( A = “Roma è in Italia”, B = “Parigi è in Germania”), avremo che A ∧ B è falsa perché per averla vera dovremmo
allo stesso tempo avere che Roma è in Italia (vero) e che Parigi è in Germania (falso).
111
Il connettivo “o”.
Il connettivo “o”, per cui si usa il simbolo ∨ , corrisponde all’uso della congiunzione italiana “o”, “oppure”: ad
esempio se poniamo ancora A = “Roma è in Italia” , B = “Parigi è in Germania”, avremo che
A ∨ B = “Roma è in Italia oppure Parigi è in Germania”.
Quale è il valore di verità da assegnare ad A ∨ B una volta assegnati quelli di A ed a B ? La situazione è esplicata nella
seguente tabella:
Come si vede, si ha che A ∨ B è vera se almeno una fra A e B è vera. Ad esempio, se A, B sono come sopra (A =
“Roma è in Italia” , B = “Parigi è in Germania”), avremo che A ∨ B è vera perché per averla vera basta il fatto che Roma
sia in Italia, anche se è falso che Parigi sia in Germania.
Attenzione: In italiano la congiunzione “o” si usa con due possibili significati: quello del latino vel (che è il caso
appena visto), e quello detto dell’ “o esclusivo” (l’ aut … aut latino) , come nella frase “o metti il cappotto grigio o metti
quello blu” dove si esclude che possa aversi che si indossino contemporaneamente i due cappotti.
Noi non considereremo l’ ”o” esclusivo, che potrebbe essere espresso così:
(A ∨ B) ∧ (¬(A ∧ B)) .
Esempio:
“Oscar sta portando il dolce o il vino” (= A ∨ B , ove A = “ Oscar sta portando il dolce” e B = “Oscar sta
portando il vino”). L’enunciato sarà vero se A è vera o se lo è B (e non è escluso che lo siano entrambe, cioè che Oscar
stia portando sia il dolce che il vino).
Esercizio: Fare la tabella di verità dell’ ”o” esclusivo, cioè di (A ∨ B) ∧ (¬(A ∧ B)) .
Il connettivo “implica”.
Il connettivo “implica”, o “se.. allora…”, per cui si usa il simbolo ⇒ , corrisponde all’uso del verbo italiano
“implicare”; ad esempio se A = “Piove” e B = “Prendo l’ombrello” , avremo che A ⇒ B sta per “Se piove allora prendo
l’ombrello” (oppure “Piove implica che io prenda l’ombrello”).
La tabella di verità è:
112
Come si può notare, A ⇒ B è falsa solo nel caso che A sia vera e B sia falsa.
Vediamo di farci un’idea di che cosa esprime l’enunciato A ⇒ B . Esso afferma che dall’occorrenza del fatto A deve
seguire quella del fatto B. Cioè se A è vera, allora anche B deve essere vera perché A ⇒ B sia vera. Se invece A è
falsa, la frase A ⇒ B non esprime nessuna necessità per B, così avrò che A ⇒ B è vera in ogni caso (sia che B sia vera
che sia falsa; ad esempio se non piove la frase “Se piove allora prendo l’ombrello” non sarà invalidata sia che io prenda
l’ombrello che non lo prenda).
Consideriamo ora la seguente frase: “O non piove oppure prendo l’ombrello” = (¬A) ∨ B , ove A = “piove” e B =
“prendo l’ombrello”. L’enunciato sarà vero se ¬ A è vera (non piove), oppure se B lo è (ho preso l’ombrello). Abbiamo
che la frase in oggetto assume gli stessi valori di verità di “Se piove allora prendo l’ombrello”.
Cioè i due enunciati A ⇒ B e (¬A) ∨ B assumono gli stessi valori di verità, qualsiasi siano i valori di verità di A e B.
Definizione: Due enunciati si dicono logicamente equivalenti se i loro valori di verità sono gli stessi qualunque siano i
valori di verità degli enunciati che li compongono.
Esempio : Abbiamo appena visto che gli enunciati A ⇒ B e (¬A) ∨ B sono equivalenti.
Esercizio: Dimostrare che gli enunciati ¬(A ∨ B) e (¬A) ∧ (¬B) sono equivalenti.
Definizione: Un enunciato composto che sia sempre vero qualunque siano i valori di verità degli enunciati che in esso
appaiono si dice una tautologia; uno sempre falso si dice una contraddizione.
Esempi:
- Qualunque sia l’enunciato A, l’enunciato (¬A) ∧ A è una contraddizione, mentre (¬A) ∨ A è una tautologia.
– Gli enunciati: ( A ⇒ B) ∨ (¬Β) ; ¬(A ∧ B) ⇒ (¬B) ∨(¬ A); (A ⇒ B) ∨ A sono tautologie, mentre i seguenti
sono contraddizioni: ( A ⇒ B) ∧ A ∧ (¬B) ; (A∨ (¬B)) ∧ ((¬A) ∧ B )
Esercizio:
- Dimostrare che gli enunciati dell'esempio precedente sono tautologie o contraddizioni.
A ⇒ ¬Α è una contraddizione?
Il connettivo “se e solo se”.
Il connettivo “coimplica”, o “se solo se”, per cui si usa il simbolo ⇔ , corrisponde all’affermare che valgano
simultaneamente A ⇒ B e B ⇒ A . Vale a dire:
A ⇔ B è vera significa che A e B hanno gli stessi valori di verità;
ad esempio se A = “Piove” e B = “Prendo l’ombrello” , avremo che A ⇔ B sta per:
“Se piove allora prendo l’ombrello e se non piove non lo prendo” .
La relativa tabella dei valori di verità è:
Osserviamo che se A ⇔ B è vera, allora A e B sono logicamente equivalenti, e viceversa.
113
B.2 Le deduzioni.
Una deduzione (o “ragionamento”) è costituita da un insieme di enunciati detti “premesse” o “ipotesi” e da un
enunciato detto “conclusione” o “tesi”. La deduzione si dirà corretta (o valida) se per ogni valore di verità delle variabili per
cui le premesse sono tutte vere anche la conclusione lo è. Ad esempio, se le premesse sono “se piove prendo l’ombrello” e
“piove”, mentre la conclusione è “prendo l’ombrello”, allora la deduzione è valida.
In genere si usa scrivere le premesse al di sopra di una barra e la conclusione al di sotto, nel seguente modo:
Se piove prendo l’ombrello
A⇒B
Piove
A
Lo schema in simboli risulta del tipo:
Prendo l’ombrello
B
Nell’esempio qui sopra (in logica mediovale una deduzione di questo tipo si chiama modus ponens) la deduzione è
corretta in quanto quando A ed A ⇒ B sono entrambe vere si ha che B è vera, come si può controllare consultando la
tavola di verità di A ⇒ B (vedi più in dettaglio sotto).
Questo è invece un esempio di deduzione non valida:
Se piove prendo l’ombrello
Prendo l’ombrello
Piove
Lo schema in simboli risulta del tipo:
A⇒B
B
A
Basta di nuovo controllare la tavola di verità per vedere che può accadere che le due premesse A ⇒ B , B siano
entrambe vere, ma A sia falsa.
Vediamo ora come si controlla se una deduzione è valida oppure no. Quello che dobbiamo fare è una tabella di verità
in cui compaiono tutte le variabili (A,B,C,…) presenti negli enunciati, con tutte le loro possibili combinazioni rispetto ai loro
valori di verità (cioè v ed f), i relativi valori delle premesse e quelli della conclusione; poi consideriamo solo le righe della
tabella ove tutte le premesse risultano vere: se in quelle righe anche la conclusione è vera (compaiono solo dei “v”), allora
la deduzione è valida, altrimenti non lo è (osserviamo che le righe ove una o più delle premesse siano false non ci
interesseranno). Ad esempio se riprendiamo lo schema del primo esempio di deduzione, la tabella da considerare è
semplicemente la seguente:
Variabili
Premesse
Conclusione
L’unica riga che ci interessa è la prima, perché è l’unica ove le premesse siano entrambe vere; in tale riga si ha che
anche la conclusione risulta vera, quindi la deduzione è valida.
Vediamo invece la tabella relativa al secondo esempio
114
Variabili
Premesse
Conclusione
In questo caso nella prima e nella terza riga le premesse sono entrambe vere, ma nella prima riga anche la conclusione
è vera, mentre nella terza no! Quindi la deduzione non è valida.
Ecco altri esempi di deduzioni:
A∧B
C ∨ (¬ B)
C
A⇒B
B⇒C
¬C
A⇒B
C⇒B
A
A⇒B
B⇒C
B
¬A
C
A∨C
Controlleremo qui solo la prima delle quattro deduzioni sopra; le altre vengono lasciate per esercizio.
Variabili
Premesse
Conclusione
C’è una sola riga, la prima, ove le due premesse siano vere entrambe; in quel caso anche la conclusione è vera, quindi
la deduzione è valida.
115
