Fisica Moderna - Homework 1

Fisica Moderna - Homework 1
Davide Bacchet ([email protected]), matricola 93983
7 gennaio 2009
1
Esercizio a
Una particella in una buca di potenziale infinita ha funzione d’onda con parte
spaziale:
(q
2
sin 2πx
0≤x≤L
L
L
ψ2 (x) =
0
altrove
2
La probabilità è proporzionale a |ψ2 (x)| . Verifichiamo che la probabilità valga
uno se valutata su tutto il dominio:
ˆ ∞
ˆ
2 L 2 2πx
2
P [−∞, ∞] =
|ψ2 (x)| dx =
sin
dx
L 0
L
−∞
L
2π
2π
2 L 2π
x − sin
x cos
x
=1
=
L 4π L
L
L
0
2
e quindi la funzione |ψ2 (x)| può rappresentare una densità di probabilità.
Determinare il valore di aspettazione di x.
ˆ
∞
2
x |ψ2 (x)| dx
<x> =
−∞
=
=
ˆ
ˆ 2π
2 L
2πx
2π
2 L2
x sin2
dx = x̃ =
x =
x̃ sin2 (x̃) dx̃
L 0
L
L
L 4π 2 0
2π
L
L 1 2
x̃ + sin2 (x̃) − 2x̃ sin(x̃) cos(x̃) 0 =
2
2π 4
2
Come ci si aspetta, il valor medio cade esattamente a metà dell’intervallo [0 : L]
2
in quanto la funzione |ψ2 (x)| è simmetrica rispetto a L2 .
1
Determinare la probabilità di trovare la particella in un intorno di
esempio tra 0.49L e 0.51L.
L
2,
ad
La probabilità di trovare la particella in un intervallo [a : b] è data da:
ˆ
P [a : b] =
a
b
b
1 2π
2π
2π
|ψ2 (x)| dx =
x − sin
x cos
x
2π L
L
L
a
2
E sostituendo i valori richiesti si ottiene:
P [0.49L : 0.51L] = 5.26 · 10−5
Determinare la probabilità di trovare la particella in un intorno di
lando la probabilità di trovarla tra 0.24L e 0.26L.
L
4,
calco-
Sostituendo i valori richiesti si ottiene:
P [0.24L : 0.26L] = 0.0399 ∼
= 4%
Determinare la probabilità di trovare la particella in un intorno di
colando la probabilità di trovarla tra 0.74L e 0.76L.
2
Poichè la funzione |ψ2 (x)| è simmetrica rispetto a
stessa che nell’intorno di L4 , quindi:
L
2,
3L
4 ,
cal-
la probabilità sarà la
P [0.74L : 0.76L] = 0.0399 ∼
= 4%
Il risultato di a) non contraddice i risultati successivi; discutere.
Il valore trovato in a) rappresenta il valor medio di x. Tale valore non ha
nulla a che vedere con il valore puntuale della probabilità in un intorno di < x >,
2
2
che come abbiamo visto può anche essere quasi nullo. Infatti la funzione |ψ2 (x)|
ha la forma
(nell’immagine è stato posto L=10).
La simmetria attorno a L2 produce un valor medio proprio uguale a L2
nonostante la densità di probabilità sia nulla in quel punto.
I massimi della densità di probabilità corrispondono proprio a L4 e 3L
4 , e
dunque in un intorno di tali valori la probabilità sarà massima.
2
Esercizio b
Dimostrare che la funzione
ψ(x) = Axe−bx
2
soddisfa all’equazione di un oscillatore armonico; determinare b in funzione dei
parametri m e ω, e l’energia totale. A quale livello corrisponde questo stato?
L’equazione di schroedinger di un oscillatore armonico è:
−
}2 ∂
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m ∂x2
con
1
1
V (x) = kx2 = mω 2 x2
2
2
q
k
potenziale armonico (ω = m ).
3
Calcoliamo il termine
i
2
2
2
2
∂ h −bx2
∂
ψ(x) =
Ae
− 2Abx2 e−bx = −2Abxe−bx − 4Abxe−bx + 4Ab2 x3 e−bx
2
∂x
∂x
2
= Axe−bx 4b2 x2 − 6b
quindi l’equazione diventa
−
2
2
2
}2
1
4b2 x2 − 6b Axe−bx + mω 2 x2 Axe−bx = EAxe−bx
2m
2
2
da cui semplificando i fattori Axe−bx si ottiene:
1
}2 2
}2
2
6b +
mω −
4b x2
E=
2m
2
2m
e poichè l’energia deve essere costante, imponiamo che il coefficiente di x2 sia
nullo:
1
}2 2
m2 ω 2
mω 2 −
4b = 0 ⇒ b2 =
2
2m
4}2
quindi il valore cercato di b è:
b=+
1 mω
2 }
(la soluzione negativa è stata scartata in quanto produrrebbe una soluzione
divergente).
Il valore dell’energia è quindi:
}2 3mω
3
1
E=
= }ω = }ω 1 +
2m }
2
2
che come si vede corrisponde all’energia di un oscillatore armonico nel primo
stato legato eccitato (numero quantico n = 1).
Che la funzione rappresentasse il primo stato eccitato si poteva capire anche
senza calcolare l’energia, in quanto la forma della funzione è la seguente:
4
e come si vede è una funzione dispari con un unico nodo per x = 0, quindi
corrispondente al primo stato eccitato.
3
Esercizio c
Per gli stati n = 1, l = 0 e n = 2, l = 0 dell’atomo di idrogeno calcolare il valore
più probabile per la posizione dell’elettrone e il valore di aspettazione.
3.1
caso n = 1, l = 0
In questa configurazione i numeri quantici sono n = 1, l = 0, m = 0. L’equazione
spaziale presenta simmetria sferica, quindi ci si può limitare a studiare la parte
radiale che è:
r
2
R10 (r) = 3 e− a
a
dove a è il raggio di Bohr.
La densità di probabilità è
2
P (r) = r2 |R(r)| =
4 2 − 2r
r e a
a3
Per calcolare il valore più probabile dobbiamo trovare il massimo di P (r):
∂P (r)
4
2 2 − 2r
2
− 2r
= 3 2re a − r e a = 0 =⇒ 2r − r2 = 0
∂r
a
a
a
da cui si ottiene r = a.
5
Il valore più probabile coincide proprio con il raggio di Bohr.
L’aspettazione si calcola come:
ˆ ∞
ˆ ∞
4 3 − 2r
rP (r)dr =
<r> =
r e a dr
a3
0
0
ˆ ∞
r
4
a 4
4
3
3 − a/2
r e
dr = 3 3!
=
= a
3
a 0
a
2
2
3.2
caso n = 2, l = 0
In questa configurazione i numeri quantici sono n = 2 , l = 0, m = 0. Anche
qui l’equazione spaziale presenta simmetria sferica, quindi ci si può limitare a
studiare la parte radiale che è:
R20 (r) = √
1
3
2a 2
1−
r −r
r − r
2 2
−
e 2a =
e 2a
3
2a
a
(2a) 2
La densità di probabilità è
2
P (r) = r2 |R(r)| =
1
8a3
2
r
r2
e− a
2r −
a
Come sopra, per calcolare il valore più probabile dobbiamo trovare il massimo
di P (r):
" 2 #
r
∂P (r)
1
r2
2r
1
r2
=
2 2r −
2−
−
2r −
e− a =
∂r
8a3
a
a
a
a
r
2r
1
4r
r2
r2
=
4
−
−
−
2r
−
e− a = 0
8a3
a
a
a
a2
le cui soluzioni sono:
• r=0
• r = 2a
• r =3±
√
5
Valutando la funzione di probabilità P (r) in ciascun valore
si trova che le solu√
zioni r = 0 e r = 2a sono due minimi, mentre r√= 3 ± 5 sono due massimi, di
cui il massimo assoluto è ottenuto per r = 3 + 5.
Un andamento del genere ce lo aspettavamo anche dalla forma della R20 (r),
che ha un andamento noto con 2 massimi relativi.
6
L’aspettazione si calcola come:
2
ˆ ∞
r
r
r2
2r −
e− a dr
<r> =
3
8a
a
0
ˆ ∞
ˆ ∞
ˆ
r
r
1
1
4 ∞ 4 −r
3 −a
5 −a
a
=
4
r e dr + 2
r e dr −
r e dr =
8a3
a 0
a 0
0
1
1
4
=
4 · 3!a4 + 2 5!a6 − 4!a5 = 6a
3
8a
a
a
4
Esercizio d
Si considerino il rame (Cu) e lo Zinco (Zn). Siano noti:
• densità Cu=8.96 g/cm3 Zn=7.133 g/cm3
• peso atomico Cu=63.5, Zn=65.5
• configurazioni elettroniche: Cu=[Ar] 3d10 4s1 , Zn=[Ar] 3d10 4s2
• resistività elettrica Cu= 1,673 µΩcm, Zn= 5.964 µΩcm
• struttura cristallina: Cu ccp (a=3.6 angstrom), Zn hcp (a=2.7 angstrom,
c=4.9 angstrom)
Per entrambi i metalli:
Descrivere e graficare la struttura cristallina.
Considerando gli atomi costituenti il reticolo come delle sfere dello stesso
raggio, l’impaccamento più compatto è quello esagonale che è generalmente
preferito perché è la configurazione in cui gli atomi sono più vicini.
Se noi sovrapponiamo un altro strato esagonale compatto alla sequenza dei
piani riportata in figura
possiamo osservare che il terzo può essere in corrispondenza del primo stra7
to, oppure invertito creando sequenze di piani del tipo ABA (hcp, esagonale
compatto) oppure sequenze del tipo ABCABC... creando un cubico compatto
(ccp).
Le due figure seguenti mostrano gli strati della struttura esagonale compatta,
propria dello Zinco, con evidenziato il reticolo cristallino.
La figura seguente mostra invece la struttura ABCA del cubico compatto,
proprio del Rame
L’impaccamento cubico compatto corrisponde ad un reticolo cubico a facce
centrate, in cui gli strati ABCA sono messi “di traverso” come mostrato nella
figura seguente.
8
Noto il parametro reticolare (a e c), calcolare la distanza tra atomi primi
vicini
Per il reticolo cubico compatto, gli atomi sono disposti come nella figura
precedente sui vertici e al centro di ogni faccia di un cubo di lato a. In particolare
gli atomi primi sono collocati ad una distanza pari a meta della diagonale della
faccia del cubo.
Quindi, per la struttura cristallina ccp la distanza fra atomi primi sara:
√
2
d=
a
2
Per il reticolo esagonale compatto invece gli atomi di ogni strato sono distanti
tra loro esattamente a, e lo strato B fra i due strati A si trova esattamente a
metà, quindi a distanza c/2.
Se la struttura
√ fosse perfetta, l’impaccamento massimo si otterrebbe con un
valore di c = 4/ 6 · a; in questo modo tutti gli atomi primi avrebbero distanza
tra loro d = a.
√
Con i dati forniti invece c = 4, 9 A > 4/ 6 · a; in questo caso lo strato B
si troverà esattamente a metà fra i due strati A, e la distanza fra atomi primi
risulta quindi diversa a seconda che gli atomi appartengano allo stesso “strato”
o a strati differenti.
Per atomi dello stesso strato la distanza sarà:
dAA = a
9
Fra due atomi primi che si trovino uno su uno strato A ed uno su uno strato
B, la distanza sarà invece:
r
c 2
dAB = l2 +
2
√
dove l = a 3/3 è la distanza fra il centro del triangolo equilatero formato da tre
atomi primi appartenenti tutti allo strato A e uno dei vertici, e c/2 è la distanza
fra lo strato A e lo strato B. Sostituendo i valori numerici si ottiene:
p
dAB = a2 /3 − c2 /4 = 2.9 A
che come si nota è maggiore di dAA .
Indicare la funzione di distribuzione che descrive il comportamento degli elettroni nei metalli e descrivere il suo comportamento in funzione della temperatura.
Nei metalli, usando il modello di Sommerfeld, la statistica utilizzata è quella
di Fermi-Dirac.
Questa statistica è stata formulata dopo la scoperta del Principio di esclusione di Pauli, e tiene conto del fatto che particelle con gli stessi numeri quantici
non possono occupare lo stesso stato energetico.
Tale statistica è espressa dalla formula:
1
f () =
e
(−µ)
kb T
+1
dove µ è detto potenziale chimico e allo zero assoluto coincide con l’energia di
Fermi F .
La caratteristica peculiare è che il limite per T → 0 è diverso a seconda che
l’energia sia maggiore o minore dell’energia di Fermi.
Se l’energia è maggiore il termine esponenziale tende a +∞ e quindi la
distribuzione vale 0; se invece < F il termine esponenziale si annulla e la
distribuzione vale 1.
Per temperature T > 0 la distribuzione si “smussa”, come mostrato nella
seguente figura.
Si noti come per = F la distribuzione valga sempre 1/2.
10
La figura seguente mostra la distribuzione di Fermi-Dirac per valori di temperatura T TF , dove TF è detta temperatura di Fermi e vale TF = F /kb :
come si vede la distribuzione tende a diventare un’esponenziale decadente.
La figura seguente mostra invece chiaramente come per ogni livello energetio ci possano essere solo due particelle (di spin opposto), e soprattutto come
l’occupazione dei livelli energetici varia con la temperatura.
Calcolare energia di Fermi EF , la temperatura di Fermi TF , la velocità di
Fermi vF .
La prima considerazione da fare riguarda gli elettroni di valenza. Poichè il
rame (Cu) ha un solo elettrone nell’orbitale più esterno, avrà un solo elettrone
di valenza. Lo zinco (Zn) al contrario ha due elettroni nell’orbitale più esterno,
quindi due elettroni di valenza.
Calcolo di EF , TF , vF per il Rame:
Il numero di particelle per unità di volume è dato dal numero di elettroni di
valenza nell’unità di volume.
11
Con i dati in nostro possesso, possiamo scrivere la seguente relazione:
N
Npartic
moli g Na
=
=
dCu = 8.497 · 1028 (m−3 )
V
mole
g
V
M
dove abbiamo indicato con M il peso atomico e con dCu la densità (in g/cm3 ) e
sfruttato la relazione che lega il peso in grammi di una mole con il peso atomico.
Per il rame, che ha un solo elettrone di valenza, il numero degli elettroni liberi
è uguale al numero delle particelle.
Calcoliamo quindi il vettore d’onda:
31
2N
= 13.6 · 109 (m−1 )
kF = 3π
V
E quindi si ricavano immediatamente le grandezze richieste:
2
2
1.054 · 10−34
}2 2
kF =
· 13.6 · 109 = 11.2898 · 10−19 J
EF =
−31
2m
2 · 9.1 · 10
TF =
EF
11.2898 · 10−19
= 8.18 · 104 K
=
kB
1.38 · 10−23
vF =
Calcolo di EF , TF , vF
}
kF = 1.57529 · 106 m/s
m
per lo Zinco:
In questo caso dobbiamo tener conto del fatto che lo zinco ha due elettroni
di valenza. Quindi ogni atomo parteciperà alla conduzione con 2 elettroni. La
relazione diventa quindi:
N
Npartic
moli g 2Na
=2
dZn = 13.11 · 1028 (m−3 )
=
V
mole
g
V
M
dove anche qui M indica il peso atomico, dZn la densità (in g/cm3 ) e il fattore
2 serve a tener conto degli elettroni di valenza portati da ogni atomo.
Calcoliamo quindi il vettore d’onda:
kF =
3π
2N
V
13
= 15.716 · 109 (m−1 )
E le grandezze richieste:
EF =
2
2
1.054 · 10−34
}2 2
kF =
· 15.716 · 109 = 15.076 · 10−19 J
−31
2m
2 · 9.1 · 10
TF =
15.076 · 10−19
EF
=
= 10.9248 · 104 K
kB
1.38 · 10−23
12
}
kF = 1.82 · 106 m/s
m
è interessante notare come le temperature di Fermi siano in entrambi i casi
molto maggiori delle temperature di fusione dei solidi.
vF =
Calcolare l’energia cinetica media allo zero assoluto. L’energia cinetica media sarebbe la stessa a temperatura ambiente?
Allo zero assoluto l’energia cinetica media vale < Ekin >= 53 EF .
Quindi per il Rame:
< EkinCu >= 6.774 · 10−19 J
e per lo Zinco:
< EkinZn >= 9.045 · 10−19 J
A temperatura ambiente i valori saranno pressochè gli stessi, in quanto solo
gli elettroni prossimi al livello di Fermi possono aquistare energia, perchè possono occupare i livelli energetici superiori che sono poco occupati. Questi elettroni
devono trovarsi entro una distanza dell’ordine di kB T da EF .
La frazione di elettroni interessata sarà circa kB T /EF .
Per il Rame
kB T ∼ 1.38 · 10−23 · 300
' 0.36%
=
EF
11.2898 · 10−19
e per lo Zinco
kB T ∼ 1.38 · 10−23 · 300
' 0.27%
=
EF
15.076 · 10−19
che come si vede sono percentuali estremamente piccole.
Calcolare il tempo di rilassamento e il libero cammino medio a 300°K.
Calcolo di τ e l per il Rame:
Il numero di particelle per unità di volume (n) è dato dal numero di elettroni
di valenza nell’unità di volume, calcolato in precedenza.
La conduttività elettrica si ricava immediatamente dai dati:
σ=
1
1
=
108 = 0.5977 · 108 Ω−1 m−1
ρ
1.673
13
e quindi immediatamente quanto richiesto:
τ=
σm
0.5977 · 108 · 9.1 · 10−31
=
= 2.5 · 10−14 s
2
e2 n
(1.6 · 10−19 ) 8.497 · 1028
l = τ vF = 2.5 · 10−14 · 1.57529 · 106 = 3.9375 · 10−8 m
Calcolo di τ e l per lo Zinco:
Il numero di particelle per unità di volume (n) è dato dal numero di elettroni
di valenza nell’unità di volume, calcolato in precedenza.
La conduttività elettrica vale :
σ=
1
1
=
108 = 1.677 · 107 Ω−1 m−1
ρ
5.964
e quindi immediatamente quanto richiesto:
τ=
σm
1.677 · 107 · 9.1 · 10−31
=
= 4.547 · 10−15 s
2
2
e n
(1.6 · 10−19 ) 13.11 · 1028
l = τ vF = 4.547 · 10−15 · 1.82 · 106 = 8.2756 · 10−9 m
Tralasciando il contributo reticolare, calcolare a 300 °K la conduttività termica. Commentare i risultati e verificare la validità della legge di WidemannFranz.
Calcolo per il Rame.
La conduttività termica elettronica si calcola immediatamente con:
Kel
=
π 2 · 8.497 · 1028 · 1.38 · 10−23 · 300 · 2.5 · 10−14
π 2 nkb2 T τ
=
= 438.755 W K −1 m−1
3m
3 · 9.1 · 10−31
e per verificare la legge di Widemann-Franz calcoliamo il numero di Lorenz:
L=
K
438.755
=
10−8 = 2.4469 · 10−8 W ΩK −2
σT
0.5977 · 300
che è estremamente vicino al valore teorico di 2.45 · 10−8 .
Calcolo per lo Zinco.
La conduttività termica elettronica vale:
14
Kel
=
π 2 · 13.11 · 1028 · 1.38 · 10−23 · 300 · 4.547 · 10−15
π 2 nkb2 T τ
= 123.124 W K −1 m−1
=
3m
3 · 9.1 · 10−31
e per verificare la legge di Widemann-Franz calcoliamo il numero di Lorenz:
L=
K
123.124
=
10−7 = 2.4473 · 10−8 W ΩK −2
σT
1.677 · 300
anche qui estremamente vicino al valore teorico di 2.45 · 10−8 .
Calcolare, per entrambi i metalli, la capacità termica molare utilizzando sia
il modello di Drude che quello di Sommerfeld. Commentare i risultati.
Consideriamo una mole. Il numero di elettroni sarà quindi pari al numero
di Avogadro Na per il rame e a 2Na per lo zinco.
Calcolo per il Rame.
La capacità termica, per i due modelli vale:
CelDrude
=
CelSom
=
3
3
N kB = Na kB = 8.31 JK −1
2
2
1 2
T
1
T
π N kB
= π 2 Na kB
= 0.1504 JK −1
2
TF
2
TF
Calcolo per lo Zinco.
La capacità termica, per i due modelli vale:
CelDrude
=
CelSom
=
3
3
N kB = 2Na kB = 16.6 JK −1
2
2
1 2
T
1
T
π N kB
= π 2 2Na kB
= 0.2252 JK −1
2
TF
2
TF
Come si vede per entrambi i materiali, il modello di Sommerfeld prevede una
capacità termica circa due ordini di grandezza più piccola di quella del modello
di Drude. Questo è concorde con le misure sperimentali.
Il motivo della differenza è che secondo il modello di Sommerfeld, non tutti
gli elettroni aquisiscono un’energia ∼ kb T per riscaldamento, ma solamente
quelli che appartengono all’intervallo di energia kB T rispetto al livello di Fermi
possono essere eccitati termicamente e occupare stati liberi vicini. Quindi gli
elettroni effettivamente eccitati sono una percentuale molto bassa del totale.
15