Esercizi sui circuiti

Esercizi Parte I:
Circuiti in regime stazionario
A cura del Prof. Antonio Maffucci, Università degli Studi di Cassino
1
Potenza istantanea, potenza media ed energia.
ESERCIZIO 1.1
Considerato il seguente circuito, e con riferimento ai tre diversi andamenti della tensione e(t )
riportati in figura, calcolare:
a. la potenza istantanea p (t ) assorbita da R2
+
b. l'energia wt f assorbita da R2 nel generico intervallo (0, t f )
R1
e(t )
R2
c. la potenza media Pt f assorbita da R2 nel generico intervallo (0, t f )
e(t)
E
e(t ) = Eu(t )
0
t
e(t)
E
0
e(t ) = Esin( "t )
"=
2!
T
-E
T
t
e(t)
E
%
e(t ) = E $ # (t ! kT )
0
# ( t ) " u ( t ) ! u ( t ! T / 2)
k =0
T
t
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2
ESERCIZIO 1.2
Calcolare l'energia e la potenza media assorbita dal condensatore nell'intervallo di tempo (0,5!) ,
dove ! = RC è la costante di tempo del circuito.
R
e(t )
+
C
+
v (t )
!
e( t ) = E 0 u ( t )
v (t ) = E0 [1 " exp( "t / !)]u(t )
E 02
1
2
Risultato: w ! CE 0 , P !
.
2
10 R
ESERCIZIO 1.3
Lasciando i fari accesi ad automobile spenta, il circuito elettrico equivalente al sistema batteria +
lampade è quello rappresentato in figura. Tenendo conto che l’energia immagazzinata nella batteria
è pari a w = 3.456 ! 105 J , dopo quanto tempo la batteria si sarà scaricata completamente?
E
+
R
E = 12 V
R=6!
Risultato: t = 4 h.
ESERCIZIO 1.4
Nel circuito seguente l'andamento della corrente nell'induttore per t > 0 è descritto da
i L (t ) = J [1 " exp(" t / !)] , dove ! = L / R . Calcolare:
i L (t )
a) la potenza istantanea p (t ) assorbita dall'induttore
Ju (t )
b) l'energia w assorbita dall'induttore nell'intervallo (0,+!)
Risultato: a) p(t ) = RJ 2 [exp( "t / !) " exp( "2t / !)] ;
b) w =
R
L
1 2
LJ .
2
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3
Serie, parallelo e partitori nelle reti resistive
ESERCIZIO 2.1
Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R5 .
E
R3
R1
+
R5
R4
R2
E = 10 V
R1 = 10 ! R2 = 2 !
R3 = 3 ! R4 = 5 ! R5 = 2 !
Risultato: PˆE = 8.79 W , PR5 = 72 mW .
ESERCIZIO 2.2
Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore R1 .
R3
R4
J
R1
R5
R2
J =5 A
R1 = R4 = 5 ! R2 = 3 !
R3 = R5 = 2 !
Risultato: PˆJ = 62.25 W , PR1 = 7.25 W .
ESERCIZIO 2.3
Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
R1
R5
C
A
R2
R3
R6
R4 = 4 ! R5 = 3 !
D
B
R1 = R2 = 5 ! R3 = 10 !
R6 = 2 !
R4
Risultato: ReqAB = 67.125 !, ReqCD = 1.600 !.
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4
ESERCIZIO 2.4
Calcolare la tensione ai capi del generatore J e la potenza erogata dallo stesso.
R2
R5
J
R1
R6
R4
R3
J = 20 A
R1 = R3 = 1 ! R2 = 3 !
R4 = R5 = 10 ! R6 = 2 !
Risultato: v J = 15.8 V, PˆJ = 0.32 kW.
ESERCIZIO 2.5
Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.
+ v3 !
E
+
E = 220 V
R1 = 50 !
R3
R1
R2
R2 = R3 = 100 !
Risultato: v3 = 110 V .
ESERCIZIO 2.6
Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.
R2
i3
J
R1
R3
J = 10 mA
R1 = R3 = 5 µ!
R2 = 3 µ!
Risultato: i3 = !3.84 mA.
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5
Sovrapposizione degli effetti; Thévenin e Norton
ESERCIZIO 3.1
Calcolare la potenza totale erogata dai generatori, usando la sovrapposizione degli effetti.
R2
R3
R1
J
R4
E
+
E = 10 V J = 20 A
R1 = R2 = 3 !
R3 = 2 ! R4 = 5 !
Risultato: PˆE = !7.7 W , PˆJ = 0.74 kW .
ESERCIZIO 3.2
Calcolare la potenza assorbita dal resistore R2 usando il teorema di Thevenin.
R3
R1
J
R2
E
R4
+
E = 1 V J = 2 mA
R1 = R2 = 1 k! R3 = 2 k!
R4 = 5 k!
Risultato: PR2 = 0.85 mW .
ESERCIZIO 3.3
Calcolare l’equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti A-B.
R2
R1
J
a
R3
+
R4
b
J = 20 A
E = 10 V
R1 = R2 = 2 !
R3 = R4 = 4 !
E
Risultato: Req = 1.33 !, I CC = 5 A.
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6
ESERCIZIO 3.4
Calcolare la corrente i5 (suggerimento: applicare Thevenin ai capi di R5 )
R1
E
+
i5
R3
R2
R2 = 0.6 k!
R4 = R5 = 0.4 k!
R5
R4
E = 12 V
R1 = R3 = 0.2 k!
Risultato: i5 = !18 mA.
ESERCIZIO 3.5
Calcolare la potenza assorbita da R5 (usando il teorema di Thévenin) e quella assorbita da R3
(usando il teorema di Norton).
R2
R3
R1
R5
E
+
R4
J
E = 5V
J = 1 µA
R1 = R3 = 2 M!
R2 = 500 k!
R4 = R5 = 300 k!
Risultato: PR5 = 2.08 µW , PR3 = 0.43 µW
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7
Matrice di incidenza e di maglia; Potenziali nodali
ESERCIZIO 4.1
Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R4 .
R3
J1
R4
i4
J1 = J 2 = 1 A
J2
J3
R2
R1
R5
J3 = 3 A
R1 = 30 ! R2 = 10 !
R3 = 25 ! R4 = 5 !
R5 = 35 ! R6 = 15 !
R6
Risultato: i4 = 2.625 A .
ESERCIZIO 4.2
Utilizzando il metodo dei potenziali nodali modificato calcolare la potenza erogata dai due
generatori e la potenza assorbita dai resistori (verificare la conservazione delle potenze).
E
+
R3
R1
R2
J
R4
E = 50 V J = 60 A
R1 = 5 ! R2 = 40 !
R3 = 80 ! R4 = 120 !
Risultato: PˆE = !1.5 kW , PˆJ = 180 kW , PR1 = 4.5 kW , PR2 = 1 kW , PR3 = 98 kW , PR4 = 75 kW .
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8
ESERCIZIO 4.3
Utilizzando il metodo dei potenziali nodali dimostrare la FORMULA DI MILLMANN:
A
+
G3
G2
G1
v AB
+
+
G1 E1 + G2 E 2 + G3 E3
G1 + G2 + G3
!
E3
E2
E1
+
v AB =
B
ESERCIZIO 4.4
Con riferimento alla seguenti reti, scrivere il sistema completo delle equazioni di Kirchhoff
utilizzando la matrice di incidenza ridotta e di maglia fondamentale.
R6
J1
R1
J2
R2
R4
R4
R3
R5
R1
R6
R5
R2
E1
E1
+
E2
+
E3
(a)
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R3
+
+
+
E2
R7
J1
J2
(b)
9
Analisi e sintesi di doppi-bipoli resistivi
ESERCIZIO 5.1
Analizzando i seguenti doppi-bipoli:
i2
i1
+
v1
RA
RB
RC
!
RAB
i1
+
v1
+
v2
R AC
i2
RBC
!
!
+
v2
!
schema a Π (triangolo)
schema a T (stella)
a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni seguenti
(formule di sintesi): R A = R11 ! Rm , RB = R22 ! Rm , RC = Rm ;
b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni seguenti
(formule di sintesi): G AC = G11 + Gm , G BC = G22 + Gm , G AB = !Gm ;
c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre
l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π):
T "!
" !T
R AB =
R A RB + R A RC + RB RC
RC
RA =
R AC =
R A RB + R A RC + RB RC
RB
RB =
RBC =
R A RB + R A RC + RB RC
RA
RC =
R AB
R AB R AC
+ R AC + RBC
R AB
R AB RBC
+ R AC + RBC
R AC RBC
R AB + R AC + RBC
ESERCIZIO 5.2
Con riferimento alla seguente rete:
a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori;
b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;
E1
+
R1
Risultato: a) G11 = G22 =
R1
R2
R1
R1
R1
+
E2
E1 = E 2 = 10 V
R1 = 2 ! R2 = 1 !
1
1
S , Gm = ! S ; b) P = 50 W .
3
12
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10
ESERCIZIO 5.3
Con riferimento alla seguente rete:
a. caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori;
b.
utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;
R4
R2
J
R1
+
R3
E
E = 50 V J = 20 A
R1 = 1 ! R2 = 5 !
R3 = R4 = 10 !
Risultato: a) H 11 = 0.909 ", H 22 = 0.073 S , H 12 = ! H 21 = 0.045 ; b) P = 0.546 kW .
ESERCIZIO 5.4
Con riferimento al seguente doppio-bipolo:
a. caratterizzarlo attraverso la matrice R;
b. sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;
R1
i1
+
v1
!
Risultato:
R2
R4
R3
i2
R5
R6
+
v2
!
R1 = R2 = R3 = R4 = R
2
1
R R6 = R
3
3
R = 24 !
R5 =
a) R11 = 24 !, R22 = 12 !, Rm = 8 ! ;
b) R A = 16 !, RB = 4 !, RC = 8 ! .
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11
Generatori controllati.
ESERCIZIO 6.1
Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un amplificatore di tensione. Calcolare:
a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo visto ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2';
b) il guadagno di tensione Av = vU / v S
c) i valori dei parametri Rin ed Rout per cui il guadagno Av è massimo.
iin
RS
+
vin
+
vS
Rout
1
+
Rin
!
!vin (t )
RU
+
vU
!
2!
1!
Risultato:
2
a) G11 = 1 / Rin , G12 = 0, G21 = "! / Rout , G22 = 1 / Rout ;
b) Av = !
Rin
RU
; c) Av max = # per Rin ! ", RU ! 0 .
Rin + RS Rout + RU
ESERCIZIO 6.2
Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'
iR
R
1
E
+
J
!i R (t )
1!
Risultato: V0 = E +
RJ
R
, Req =
.
" !1
1" !
ESERCIZIO 6.3
Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente.
A
J
!
v1
+
+
R1
!v1
B
J =3A
R2
R1 = 4 " R2 = 10 "
!=4
Risultato: V A = 4 V , V B = 20 V .
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12
ESERCIZIO 6.4
Calcolare la potenza dissipata in R2 .
R1
R2
E = 6V
E
+
icc
R1 = 10 " R2 = 20 "
!icc
!=5
Risultato: P2 = 5 W .
ESERCIZIO 6.5
Il circuito seguente rappresenta il modello equivalente di un aspirapolvere con il suo alimentatore.
Calcolare la tensione E necessaria a fornire una potenza di 150 W al motore, collegato tra i morsetti
a e b.
R1
E
+
a
R2
+
R3
i
ri
R1 = R2 = 5 !, R3 = 100 !
r =5!
b
Risultato: E = 60 V .
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13
Esercizi Parte II:
Circuiti in regime sinusoidale
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14
Fasori ed impedenze
ESERCIZIO 7.1
Esprimere la corrente i (t ) in termini di fasore nei seguenti tre casi:
a) i (t ) = 4 cos("t ! 1.14)
b) i (t ) = 10 cos(#t " !)
Risultato: a) I = 4 exp( ! j1.14) ; b) I = !10 ;
c) i (t ) = 8 cos("t + ! / 2)
c) I = 8 j .
ESERCIZIO 7.2
Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti indicati col
pallino:
R
2C
R
L
(a)
L
C
R
L
C
(c)
R = 10 " L = 1 mH
( b)
R = 8 !, L = 15 mH
R = 200 #, L = 16 mH
! = 10 4 rad / s
C = 0.4 mF , f = 50 Hz
C = 10 µF , " = 2.5 ! 103 rad / s
Risultato:
a)
b)
c)
Z! = 10 + 10 j = 10 2 exp( j" / 4) ! ;
Z! = 8 + 11.54 j = 14 exp( j 0.965) ! ;
Z! = 8 + 20 j = 21.5 exp( j1.19) ! ;
ESERCIZIO 7.3
Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre
casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore di R, C o L
a) v (t ) = 15 cos(400t + 1.2) , i (t ) = 3 sin(400t + 1.2) ;
b) v(t ) = 8 cos(900t " ! / 3) , i (t ) = 2 sin(900t + 2! / 3) ;
c) v (t ) = 20 cos(250t + ! / 3) , i (t ) = 5 sin(250t + 5! / 6) ;
Risultato: a) L = 12.5 mH ; b) C = 0.28 mF ;
c) R = 4 ! .
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15
ESERCIZIO 7.4
Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria dell’impedenza vista
ai capi dei morsetti indicati col pallino risulti Im{Z! }= 100 !.
R
L
C
C = 10 µF
f = 1 kHz
Risultato: L = 2.19 mH .
ESERCIZIO 7.5
A quale di queste impedenze corrisponde la fase # = " ! / 4 ?
1: R-L serie
R = 10 "
L = 10 mH
2: R-C serie
R = 10 "
C = 10 mF
3: R-C parallelo
R = 0.5 "
C = 0.2 F
4: L-C serie
C =1 F
L =1 H
! = 100 rad / s
! = 100 rad / s
! = 10 rad / s
! = 1 rad / s
Risultato: Caso 3 ( Z! = 0.25(1 " j ) $ # = " ! / 4 ).
ESERCIZIO 7.6
Dati i seguenti fasori V1 = 10 exp( j! / 6) , V2 = 10 exp( " j! / 6) , V3 = 5 exp( " j! / 3) :
a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1 , V2 , V3 ;
b) calcolare i fasori: V1 + V2 , V1 ! V2 , V1 + V3 , V1 ! V3 ;
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), avendo
definito la trasformazione fasoriale come segue: v (t ) = V cos(#t + !) " V = V exp( j!)
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16
Analisi di reti in regime sinusoidale
ESERCIZIO 8.1
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
d) l'impedenza Z! eq vista ai capi del generatore;
e) le correnti i L (t ) e iC (t )
R
i L (t )
iC (t )
+
C
L
e(t )
e(t ) = 10 cos(1000t ) V
R = 10 ! L = 20 mH
C = 0.1 mF
Risultato: a) Z! eq = 5 " j15 ! ; b) i L (t ) = 0.45 cos(1000t ! 1.11) A, iC (t ) = ! sin(1000t ) A .
ESERCIZIO 8.2
Con riferimento al seguente circuito valutare le correnti i L (t ) ed iC (t ) .
ic ( t )
j1 (t ) = 10 cos(1000t ) A
R
C
j1( t )
j2 (t ) = 10sin(1000t ) A
R
j2 ( t )
L
i L (t )
R =1!
L = 1 µH
C = 1 µF
Risultato: i L (t ) = 7.07 cos(1000t " ! / 4) A ; iC (t ) = 7.07 cos(1000t + ! / 4) mA .
ESERCIZIO 8.3
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) l'impedenza Z! eq vista ai capi del generatore;
b) la potenza complessa S! erogata dal generatore;
C
j (t )
R
R
j (t ) = 10 cos(2t ) A
L
R=2!
L =1 H
C = 0.25 F
Risultato: a) Z! eq = 0.8 + j 0.4 ! ; b) S! = 40 + j 20 .
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17
ESERCIZIO 8.4
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) la matrice delle ammettenze Y! del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori;
b) la potenza complessa S! erogata dai generatori;
i1 (t )
e1 (t )
i2 (t )
e1 (t ) = 10 cos(1000t ) V
L
R
+
+
C
R
e2 (t )
e2 (t ) = 20 sin(1000t ) V
R = 1 ! L = 1 mH
C = 1 mF
a) Y!11 = 0.5 " !1 , Y!m = 0.5 j " !1 , Y!22 = 0.5 ! j " !1 ;
b) S! er = 75 W , S! er = 50 W + j 200 VAr .
Risultato:
1
2
ESERCIZIO 8.5
Con riferimento al seguente circuito valutare
a) la potenza complessa erogata dal generatore;
b) la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva
vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase !
tale che cos ! = 0.9 (rifasamento).
L
e(t ) = sin("t ) V
e(t ) +
C
R
" = 10 4 rad / s, R = 1 !
C = 0.1 mF ,
L = 0.5 mH
Risultato: a) S! = 12.2 mW + j 0.11 VAr ; b) occorre un condensatore // ad e(t) avente C = 3.2 µF .
ESERCIZIO 8.6
Calcolare la potenza attiva P2 e la potenza reattiva Q2 assorbita dalla serie R2 ! L2 .
R1
j1( t )
L1
C
j1 (t ) = 4 cos(4t ) A
j 2 (t ) = 2 cos(4t # 2" / 3) A
R2
L2
j2 ( t )
R1 = R2 = 2 !
L1 = L2 = 1 H
C=2F
Risultato: P2 = 3.06 W , Q2 = 6.12 VAr .
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Analisi di reti in regime sinusoidale/2
ESERCIZIO 9.1
Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e
verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
R
j1 (t ) = cos(100t ) A
j1 (t )
j 2 (t )
C
L
j 2 (t ) = sin(200t ) A
R = 1 ! L = 1 mH
C = 0.1 mF
Risultato: P ! 0.5 W .
ESERCIZIO 9.2
Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R2 e
verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
e(t )
+
R1
j (t )
j (t ) = 14 A
e(t ) = 110 cos(20t ) V
R2
R1 = 12 ! R2 = 2 !
C
L = 0.2 H
L
C = 10 mF
Risultato: P = 0.41 kW .
ESERCIZIO 9.3
Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'.
i (t )
1
C
L
e(t )
+
+
ri (t )
R
1!
e(t ) = 2 sin(#t + " / 6) V
R = 2! r = 3!
X L = 4 ! X C = 1!
Risultato: V0 = 1.07e j 0.06 V , Z! eq = 0.4(1 " 2 j ) ! .
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19
ESERCIZIO 9.4
Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a transistor per alta
frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore di carico
RS +
v S (t )
+
Ro
C
vin
!
RU
gvin (t )
Ri
v S (t ) = 10 cos("t ) V
L
+
vU
" = 10 8 rad / s
!
RU = 100 !,
RS = Ro = 1 !, Ri = 5 !
g = 100 ! #1
L = 1 pH C = 1 nF
Risultato: vU (t ) = 95.9 cos(!t + 3.06) kV .
ESERCIZIO 9.5
Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito primario.
i1 (t )
e(t )
+
e(t ) = 10 2 sin(1000t ) V
R1 = 1 ! R2 = 200 !
R1
R2
L2
L1
L1 = 3 mH
L2 = 200 mH
M = 20 mH
Risultato: i1 (t ) = 5sin(1000t " ! / 4) A .
ESERCIZIO 9.6
Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa S! assorbita dal condensatore.
j (t )
R2
R1
L1
L2
C
j (t ) = 10 2 cos(100t ) A
R1 = R2 = 5 !
L1 = 1 mH ,
L2 = 4 mH
M = 2 mH , C = 12.5 mF
Risultato: S! = ! j 5 VAr .
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Esercizi Parte III:
Circuiti in evoluzione dinamica
A cura del Prof. Antonio Maffucci, Università degli Studi di Cassino
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Reti dinamiche del primo ordine.
ESERCIZIO 10.1
Considerato il seguente circuito nel quale all'istante t = 0 il generatore inverte la sua polarità,
calcolare la corrente nell'induttore per ogni t.
R1
R2
+
e(t )
$10 V
e( t ) = #
"% 10 V
R1 = 10 !
R1
iL (t )
t<0
t>0
R2 = 20 !
L
L = 2 mH
3
Risultato: i L (t ) = 0.2 A per t < 0 ; i L (t ) = 0.4e !12.5"10 t ! 0.2 A per t > 0 .
ESERCIZIO 10.2
Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore
v(t ) per ogni istante.
R
E1
+
A
t=0
+
v (t )
!
+
C
E2
E1 = 8 V , E 2 = 2 V
R = 10 k!, C = 2 mF
v(t ) = 8 ! 6e !0.05t V per t > 0 .
Risultato: v(t ) = 2 V per t < 0 ;
ESERCIZIO 10.3
Il seguente circuito è a riposo fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare:
a) la costante di tempo ! del circuito;
b) la tensione ai capi del condensatore per t > 0 .
t=0
R1
A
e(t)
+
+
v (t )
!
Risultato: a) ô = Req C = 11.7 ms ;
R2
C
R3
e(t ) = 10 cos("t )
" = 100rad / s
R1 = 20 !, R2 = 5 !
R3 = 10 !, C = 1 mF
b) v (t ) = !1.41 exp( !85.5t ) + 2.17 cos(100t ! 0.86) V
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t > 0.
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ESERCIZIO 10.4
In figura è riportato lo schema equivalente di un grilletto elettronico per pistola. L'uscita del sistema
è il segnale di tensione v(t ) prelevato ai capi di R2 . Determinare tale segnale per 0 < t < 0.3 s .
j (t )
+
v(t )
-
L
R1
j (t )
R2
L = 50 mH
0
Risultato: v(t ) = 480(1 ! e !1000t ) V
J = 40 A, T = 1 ms
R1 = 30 !, R2 = 20 !
J
t
T
per 0 < t < T ;
v(t ) = 480(e ! 1)e !1000t V per t > T .
ESERCIZIO 10.5
La seguente rete rappresenta lo schema elettrico equivalente del circuito di carica della stazione
spaziale orbitante. La carica avviene tra l'istante t = 0 e l'istante t = T , intervallo in cui
l'interruttore A resta chiuso. Per t > T , invece, il condensatore C viene collegato al resto della rete
attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponedo la rete a riposo per t < 0 , valutare:
a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0 < t < T ;
b) l'energia massima Wmax erogabile da C per t > T ;
c) il tempo necessario affinchè su R2 venga dissipata l'energia 0.9Wmax .
R1
A
e(t )
+
Risultato:
t = 0, T
B
t =T
+
v (t )
!
A
C
e(t ) = 100 sin(20t ) V
R1 = 10 !
chiuso
R2
aperto
aperto
0
T
t
C = 10 mF
T =2s
a) v(t ) = 40e !10t ! 40 cos ( 20t) + 20 sin( 20t) V per 0 < t < T ;
1
b) Wmax = Cv 2(T) = 8.64 J ;
2
c) per poter rispondere alla domanda c) occorrerebbe conoscere R2 .
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Reti dinamiche del secondo ordine
ESERCIZIO 11.1
Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , quando il generatore si spegne. Calcolare:
a) il valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 +
b) la corrente iL (t ) per t > 0
$20 A
j (t ) = #
"0 A
R=2!
L = 10 µH
C = 5 µF
R
R
iL (t )
C
j( t )
L
t<0
t>0
5
b) i L (t ) = e "1.5!10 t [10 cos(1.3 ! 10 5 t ) + 11.5sin(1.3 ! 10 5 t )]
Risultato: a) vc (0 + ) = 20 V ; i L (0 + ) = 10 A .
ESERCIZIO 11.2
Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un sistema digitale trasmettitore-canalericevitore. Calcolare la tensione sul ricevitore ( RU ) in ogni istante.
e S (t )
+
RS
L
RU
C
e S (t )
E = 6 V , T = 10ns
RS = RU = 50 !
+
v(t )
!
E
L = 2 nH , C = 10 pF
9
0
T
t
9
Risultato: v(t ) = 0 V per t < 0 ; v(t ) = !3.74e !4.45"10 t + 0.74e !22.55"10 t + 3 V per 0 < t < T ;
9
9t
v(t ) = "320e "4.45!10 t + 4.6 ! 10 9 e "22.55!10
per t > T .
ESERCIZIO 11.3
Con riferimento al seguente circuito, calcolare la tensione vC (t ) in ogni istante.
! v R (t ) +
R
+
e(t )
+
vC (t )
-
$20 V
e(t ) = #
"% 20 V
R =1!
R
C
t<0
t>0
L = 5 µH
C = 5 µF
L
5
Risultato: vC (t ) = 10 V per t < 0 ; vC (t ) = 20e ! 2"10 t cos(2 " 10 5 t ) ! 10 V per t > 0 .
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ESERCIZIO 11.4
Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t = 0 , istante in cui il generatore si spegne.
Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante.
R
R
iL (t )
j( t )
L
C
$10 cos(100t ) A
j (t ) = #
"0 A
R = 0.5 !
L = 10 mH
C = 50 mF
t<0
t>0
Risultato: i L (t ) = 4.21 cos(100t ! 1.06) A per t < 0 ; i L (t ) = 4.98e !72.4t ! 2.91e !27.6t A per t > 0 .
ESERCIZIO 11.5
La rete in figura è in regime stazionario fino t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore. Calcolare la
corrente iL (t ) per t > 0 .
t=0
E
R
+
iL (t )
R
C
E = 2V
R = 1/ 3 !
L = 1 mH
C = 2 mF
L
Risultato: i L (t ) = e !1000t ! 4e !500t + 6 A .
ESERCIZIO 11.6
All'istante t = 0 si chiude l'interruttore A e si apre l'interruttore B. Calcolare la tensione sul
condensatore per ogni istante di tempo.
A
B
L
t=0
t=0
j 2 (t )
J1 = 2 A
+
R
C
vC (t )
j 2 (t ) = 2 sin("t ) A
R
!
J1
" = 10 6 rad / s
R = 1 !, L = 1 mH
C = 1 mF
6
Risultato: vC (t ) = 1 V per t < 0 ; vC (t ) = 2.28e !10 t cos(10 6 t + 0.90) + 1.26 cos(10 6 t ! 0.32) V per t > 0 .
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