Elettronica I – Risposta dei circuiti RC e RL nel

Elettronica I – Risposta dei circuiti
RC e RL nel dominio del tempo;
derivatore e integratore
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica I – Risposta dei circuiti RC e RL nel dominio del tempo; derivatore e integratore – p. 1
Risposta libera di un circuito RC (1/7)
S
+
+
V0
R
v(t)
C
S è un interruttore ideale: si comporta come un circuito
aperto quando è spento (“off”), e come un cortocircuito
quando è acceso (“on).
L’interruttore S è acceso per t < 0, e viene spento all’istante
t = 0.
Calcolare l’andamento nel tempo della tensione di uscita
v(t).
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1
Risposta libera di un circuito RC (2/7)
S
+
+
R
V0
v(t)
C
interruttore acceso per t < 0:
dalla KVL alla maglia esterna si ricava la tensione di
uscita v(t) = V0 .
La corrente nel resistore è iR = VR0 .
La carica immagazzinata nel condensatore è qC = CV0 .
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Risposta libera di un circuito RC (3/7)
S
+
+
V0
R
v(t)
C
interruttore spento per t ≥ 0:
il generatore di tensione viene scollegato; per risolvere
il circuito occorre scrivere la KCL al nodo di uscita
contrassegnato con il segno (+).
iR (t) + iC (t) = 0
dove iR (t) = corrente nel resistore R e iC (t) = corrente nel
condensatore C.
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2
Risposta libera di un circuito RC (4/7)
Dalla KCL iR (t) + iC (t) = 0, sostituendo iR (t) =
iC (t)
= C dv(t)
dt ,
v(t)
R
e
si ricava l’equazione differenziale:
v(t)
dv(t)
+C
=0
R
dt
La tensione ai capi del condensatore deve essere una
funzione continua nel tempo (perché in caso contrario
dovremmo avere una corrente infinita, che è fisicamente
impossibile). Quindi abbiamo la condizione iniziale
v(0+) = v(0−) = V0 , e il problema di Cauchy:

dv(t)
1


v(t)
 dt = − RC


 v(0) = V0
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Risposta libera di un circuito RC (5/7)
Il problema di Cauchy

dv(t)
1


v(t)
 dt = − RC


 v(0) = V0
si risolve facilmente separando le variabili v e t:
dv(t)
dt
=−
v(t)
RC
e integrando a partire dalla condizione iniziale:
Z
v(t)
V0
dv(t)
=−
v(t)
Z
0
t
dt
RC
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Risposta libera di un circuito RC (6/7)
Z
Poiché
R
dv
v
v(t)
V0
dv(t)
=−
v(t)
Z
t
0
dt
RC
= ln v, si ottiene:
ln v|v(t)
V0
cioè
ln
t t
=−
RC 0
v(t)
t
=−
V0
RC
Calcolando l’esponenziale di entrambi i membri, si ottiene
la soluzione:
v(t) = V0 e−t/RC
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Risposta libera di un circuito RC (7/7)
tensione
v(t) = V0 e−t/RC
V0
V0
2
0
0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
tempo
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tensione
Costante di tempo (1/3)
V0
V0
2
0
0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
tempo
Nella soluzione del circuito RC, il prodotto RC prende il
nome di costante di tempo e si indica con τ:
τ = RC
Geometricamente, la costante di tempo è l’intersezione
della tangente alla curva v(t) per t = 0 con l’asse dei tempi t.
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tensione
Costante di tempo (2/3)
V0
V0
2
0
0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
tempo
Per t = τ, la tensione v si è ridotta alla frazione 1/e del valore
iniziale:
1
v(τ) = v(0) ≈ 0.368 v(0)
e
Si noti che la funzione esponenziale v(t) = V0 e−t/RC tende al
valore finale 0 senza mai raggiungerlo.
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5
tensione
Costante di tempo (3/3)
V0
V0
2
0
0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
tempo
Per t = 3τ, la tensione v si è ridotta a circa il 5 % del valore
iniziale, e per t = 7τ all’1 per mille.
Quindi, in pratica, il transitorio si può considerare esaurito
dopo alcune costanti di tempo.
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Risposta libera di un circuito RL
i(t)
L
I0
S
R
Circuito RL (duale del circuito RC)
L’interruttore S è spento per t < 0, e viene acceso all’istante
t = 0.
L’andamento nel tempo della corrente i(t) è:
i(t) = I0 e−t/τ
con τ = LG = RL .
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Circuito derivatore (1/2)
R
C
_
vout
+
+
vin
Calcolare vout (t) in funzione di vin (t).
Anzitutto, bisogna osservare che l’amplificatore
operazionale è retroazionato negativamente.
Quindi si applica il principio della terra virtuale: v− = v+ .
Pochè v+ = 0, risulta anche v− = 0.
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Circuito derivatore (2/2)
R
C
_
+
vout
+
vin
KCL applicata all’ingresso (–): iC (t) = iR (t), da cui:
C
d (vin (t) − 0) 0 − vout (t)
=
dt
R
e risolvendo rispetto a vout (t) si ottiene:
vout (t) = −RC
dvin (t)
dvin (t)
= −τ
dt
dt
L’uscita è proporzionale alla derivata dell’ingresso.
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Risposta nel tempo del derivatore (1/2)
R
C
_
+
vout
+
vin
dvin (t)
dvin (t)
= −τ
dt
dt
Se vin (t) = VA sin 2π f0 t, allora:
vout (t) = −RC
3π
vout (t) = −2π f RCVA cos 2π f0 t = 2π f RCVA sin 2π f0 t +
2
!
L’ampiezza della tensione è moltiplicata per 2π f0 RC = 2π f0 τ.
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Risposta nel tempo del derivatore (2/2)
R = 1 kΩ, C = 1 nF, VA = 1 V, f0 = 1 MHz
8.0V
4.0V
0V
-4.0V
-8.0V
0s
V(V1:+)
0.5us
V(E1:3)
1.0us
1.5us
2.0us
Time
Costante di tempo: τ = 1 µs;
ampiezza della tensione di uscita: 2π f0 τVA = 6.28 V.
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Circuito integratore
C
R
vout
_
+
+
vin
(t)
Dalla KCL al nodo di terra virtuale si ha vinR(t) = −C dvout
dt , e
risolvendo rispetto a vout (t) si ottiene:
Z t
1
vout (t) = −
vin (t) dt + v(0)
RC 0
L’uscita è proporzionale all’integrale dell’ingresso.
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Risposta nel tempo dell’integratore (1/2)
C
R
_
+
vout
+
vin
1
vout (t) = −
RC
Z
t
vin (t) dt + v(0)
0
Se vin (t) = VA sin 2π f0 t, allora:
VA
π
VA
cos 2π f0 t + v(0) =
sin 2π f0 t + + v(0)
vout (t) =
2π f0 RC
2π f0 RC
2
L’ampiezza della tensione è divisa per 2π f0 RC = 2π f0 τ.
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Risposta nel tempo dell’integratore (2/2)
R = 1 kΩ, C = 1 nF, VA = 1 V, f0 = 1 MHz
1.5V
1.0V
0V
-1.0V
-1.5V
0s
V(E1:3)
0.5us
V(R1:1)
1.0us
1.5us
2.0us
Time
Costante di tempo: τ = 1 µs;
ampiezza della tensione di uscita:
VA
2π f0 τ
= 0.159 V.
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Circuiti con più capacità e induttanze
La relazione tensione-corrente per le capacità e le
induttanze è espressa mediante una derivata (o un
di
integrale) nel tempo: i = C dv
dt per la capacità e v = L dt per
l’induttanza.
Quindi, in generale, per risolvere un circuito contenente n
elementi circuitali C o L bisogna risolvere una equazione
differenziale di ordine n rispetto al tempo t.
Per evitare le complessità di calcolo, invece di ricavare la
risposta nel dominio del tempo, si ricava la risposta nel
dominio della frequenza. L’operatore matematico che
permette di passare dal dominio del tempo al dominio della
frequenza (e viceversa) è la trasformata di Fourier .
La definizione matematica della trasformata di Fourier e il
suo uso nell’analisi dei circuiti fanno parte del programma
di Elettronica II.
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