MC-02-scalari e vettori

GRANDEZZE SCALARI E
GRANDEZZE VETTORIALI
Una grandezza scalare è definita da un numero reale
con dimensioni.
Esempi: massa, tempo, energia, pressione ...
Una grandezza vettoriale è definita da un
modulo (numero reale non negativo con
dimensioni), da una direzione e da un
verso.
Si indica con il simbolo a, mentre il suo
modulo con a oppure con |a|.
Esempi: velocità, forza, campo elettrico, …
1
VETTORE SPOSTAMENTO
Il vettore spostamento
congiunge il punto di
partenza e quello di
arrivo indipendentemente
dal percorso seguito.
!
Il vettore s è la !somma
!
dei due vettori a e b e si
ottiene graficamente
disponendo i vettori uno
di seguito all’altro
(tecnica coda-punta).
B
!
a
A
!
b
!
s
C
! ! !
s = a+b
2
SOMMA VETTORIALE
La somma di più
vettori con la
tecnica coda-punta
si esegue come
descritto in figura.
! ! ! !
s = a+b+c
!
a
!
s
!
c
3
SOMMA VETTORIALE
Principio di azione simultanea di più muscoli e forza risultante.
4
SOMMA VETTORIALE
"
" 2 " 2
FR = FA + FB
"
FB
≅ 141; α = arctg " = 45 !
FA
5
SOMMA VETTORIALE
Proprietà commutativa
! ! ! !
a+b = b+a
!
a
!
a
! !
a+b
!
a
!
b
!
b
! !
a+b
! !
b+c
! ! !
a+b+c
!
b
!
c
Proprietà associativa
! ! !
! ! ! ! ! !
a+b+c = a+b +c = a+ b+c
(
)
(
6
)
SOMMA VETTORIALE
Il metodo del parallelogramma per sommare i vettori è
completamente equivalente al metodo coda-punta.
7
DIFFERENZA DI VETTORI
La differenza fra
→ →
due vettori a e b
! ! !
d = a−b
→
è quel vettore d
tale che
! ! !
d+b = a
8
SOMMA DI VETTORI PARALLELI
La somma di vettori paralleli si riduce alla somma di
grandezze scalari: si fissa un verso come positivo e si
associa a ciascun vettore un valore numerico uguale al suo
modulo se ha lo stesso verso di quello positivo, uguale al
suo modulo con il segno negativo nel caso opposto.
Somma di vettori
! ! ! !
s = a+b+c
Somma di scalari
s = a−b+c
9
SOMMA DI VETTORI PARALLELI
La somma algebrica rappresenta la somma dei
vettori con le seguenti caratteristiche:
ü  il valore assoluto della somma algebrica
rappresenta il modulo del vettore somma;
ü  il segno della somma algebrica rappresenta il
verso del vettore somma;
ü  la direzione del vettore somma è la stessa dei
vettori componenti.
10
COMPONENTI DI UN VETTORE
Scomposizione
di
!
un vettore a lungo
due direzioni x e y
! !
!
a = ax + ay
a x = a cos θ
a y = a sin θ
11
SOMMA VETTORIALE
Per sommare due o più vettori
tramite le loro componenti, si
scompongono i vettori lungo
due prefissate direzioni e poi si
sommano le componenti
parallele, ricostruendo il vettore
somma.
!
!
! ! ! !
!
c = a + b = ax + ay + bx + by
!
!
!
!
= ax + bx + ay + by
!
!
= cx + cy
(
) (
)
θ
!
c =
! 2 !
cx + cy
θ = arctg
2
cy
cx
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MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE
PER UNO SCALARE
!
!
L’espressione b = pa definisce un vettore con:
•  modulo b=|p|a
!
•  parallelo ad a
!
•  verso uguale a quello di a se p>0, opposto se p<0.
!
a
!
b
!
c
!
!
b = pa
!
!
c = pa
p = 0.5
p = −1.5
13
DIVISIONE DI UN VETTORE PER
UNO SCALARE
! !
L’espressione b = a q si riconduce! alla moltiplicazione
di
!
un vettore per uno scalare poiché b = (1 q)a.
!
a
!
b
!
c
! !
b = a/ q
! !
c = a/ q
q=3
q = −0.5
14