Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
1
ESERCIZI CON SOLUZIONE
1. Tre elettroni sono posti ai vertici di un triangolo equilatero di 0.2 nm di lato. Il campo elettrico
nel baricentro del triangolo ha modulo pari a circa (in unità di 1011 V/m)
(A) 3.14
(B) 3.6
(C) 5.1
(D) 2.55
(E) 1.7
Risposta. Sommando vettorialmente i campi delle tre cariche si ottiene risultante nulla, come evidente per ragioni di simmetria.
NB. Nessuna delle risposte fornite è accettabile. Segnare a margine (F) 0
2. Due cariche Q1 = 3.5 C e Q2 = 1.2 C sono tenute fisse su due punti diametralmente opposti di una circonferenza mentre la carica
q = 1.1 C è libera di muoversi solo sulla stessa circonferenza.
Nel punto in cui la carica q è in equilibrio l’angolo α1 della figura
vale circa
(A) 55°
Q2
(B) 35°
(C) 74°
NO!
(D) 16°
(E) 45°
E1 α1
d2
q
E2
α1 d
1
α1
α2
C
Q1
Risposta. Indichiamo con E1 ed E2 le intensità dei campi elettrici prodotti nella posizione di q da Q1
e Q2 e con d1 e d2 le distanze tra Q1 e q e tra Q2 e q. L’equilibrio si avrà quando il campo risultante
E1+E2 ha componente tangenziale nulla lungo la circonferenza, ovvero, quando il campo risultante
è diretto come la retta qC. Osserviamo che il triangolo Q1qC è isoscele, quindi gli angoli alla base
sono uguali; e anche l’angolo tra la direzione di E1 e la direzione del raggio Cq vale α 1 perché opposto al vertice. La componente di E1 tangenziale alla circonferenza è quindi E1⊥ = E1 sin α1 ; allo
stesso modo si può vedere che la componente di E2 tangenziale alla circonferenza è E2⊥ = E 2 sin α 2
(ed è diretta in verso opposto alla precedente). Dato che queste componenti devono essere uguali
abbiamo: E1 sin α1 = E2 sin α 2 = E2 cosα1 dove si è sfruttata la relazione tra funzioni trigonometriche di angoli complementari; infatti α 1 + α 2 = π / 2 per le proprietà del triangolo inscritto in una
semicirconferenza. Si ha allora
Q /d2
tan α 1 = E 2 / E1 = 2 22 = d 2 / d1
Q1 / d1
d2
Q
d
Q
=3 2
α 1 = tan −1 2 = tan −1 3 2 ≈ 34°59'
d1
Q1
d1
Q1
NB. Si barri con una croce la risposta corretta; il risultato numerico di solito è arrotondato: scrivere 34°59' a margine è equivalente a barrare (B). Indicare con NO la risposta barrata per errore.
da cui
3. Un grammo di idrogeno atomico viene separato in NA ≈6.02(1023) protoni, ciascuno con carica
e = 1.6(10−19) C e in altrettanti elettroni (con uguale carica negativa); i protoni vengono portati al
polo Nord e gli elettroni al polo Sud. Se il raggio terrestre è RT ≈ 6340 km, il campo elettrico al centro della Terra vale (in N/C)
(A) 98
(B) 0
(C) 43
(D) 4(107)
(E) 1.6(105)
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
2
Risposta. Al centro della Terra il campo elettrico è diretto verso sud ed è la somma di un contributo
della carica positiva al polo Nord e di una uguale e di segno opposto a sud. Perciò il campo elettrico
N e
in modulo vale E = 2k e A2 ≈ 43 N/C
RT
4. Nei vertici A e B di un triangolo equilatero sono state poste le cariche QA e
C
E
QB.Nel terzo vertice C si trova che il campo elettrico è normale a CB e diretto
nel senso indicato. Se la carica QA vale +1 C, la carica QB vale
(A) 1 C
(B) −0.5 C
EA
(C) 0.87 C
(D)−0.87 C
(E) non esiste
Etot
A
B
Risposta. La componente di EA parallela a CB (trattegEB
giata nella figura) vale |EA|cos60°=|EA|/2
Dalla figura si vede che |EB|=|EA|/2 e che il campo della carica in B deve essere diretto verso B. Perciò la carica in B è negativa e pari alla metà di quella in
A: QB= −0.5 coulomb
A
B
5. Una carica elettrica Q = 10 C è distribuita uniformemente, cioè a den2R2
sità ρ costante, nel volume di una sfera di raggio R = 10 cm. Il rapporto
2R1
tra il campo elettrico a R1 = 5 cm dal centro e il campo elettrico a
R2 = 15 cm dal centro, E(R1)/E(R2), vale circa
(A) 1/9
(B) 4/9
(C) 3/2
E1
E2
(D) 1.66
(E) 1.125
Risposta. Il problema si risolve applicando il teorema di Gauss ad una
superficie sferica passante per il primo punto e una per il secondo.
2R
Qcont
Per superfici sferiche si ha sempre E (r ) =
dove
Q
è
la
carica
cont
4πε 0 r 2
contenuta nella sfera (immaginaria) di raggio r.
Conviene esprimere i risultati in termini del campo elettrico alla superficie della sfera carica che per
quanto detto vale evidentemente:
Q
E0 =
4πε 0 R 2
Per R2 > R: la carica contenuta è la Q quindi
R2
R
E2 =
=
= E0
2
2
2
R2
4πε o R2 4πε o R R 2
Q
Q
2
= E0
Per R1< R la carica contenuta è data dalla densità di carica ρ =
10
15
2
=
E0
1. 5 2
Q
moltiplicata per il volume
4 / 3π R 3
4 / 3π R13 dalla superficie sferica di raggio R1 , quindi
Qcont
R13
R
Q
5 E0
=
= E0 1 = E0
=
2
3
2
R
10
2
4πε o R1
R 4πε o R1
e infine si ottiene E1/E2 = 1.125.
6. Su una superficie ellissoidale di 40 cm2 il campo elettrico E ha una componente normale alla superficie che vale in media E⊥= 5 N/C ed è sempre diretta verso l’esterno dell’ellissoide. La carica
elettrica contenuta nell’ellissoide, in Coulomb, vale circa
(A) 1.6(10−19)
(B) 200
(C) 8
(D) 1.78(10−13)
(E) 1.67(10−15)
Risposta. Il flusso del campo elettrico attraverso l’ellissoide vale Φ(E) = E⊥S =Q/ε0, da cui
Q = ε0E⊥S ≈ 8.85(10−12) × 5 × 40(10−4) ≈ 1.77(10−13) C
E1 =
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
3
7. Due cariche positive e pari a q = 2.3(10−6) C sono poste su vertici diagonalmente opposti di un
quadrato di lato 3.6 m. A che distanza dal centro del quadrato dobbiamo mettere una terza carica
positiva e uguale q perché il campo elettrico nel centro sia nullo?
(A) ∞
(B) 3.6 m
(C) 2.55 m
(D) 2.14 m
(E) 1.8 m
Risposta. Le due cariche sui vertici opposti producono già un campo nullo al c entro del quadrato
come somma di due contributi uguali ed opposti. La terza carica deve perciò essere posta all’infinito
per dare un contributo nullo ad E.
8. Una sferetta con m = 100 g e carica q (positiva) é appesa mediante un leggero filo di seta lungo
0.25 m a una sottile lamina conduttrice verticale che porta una carica di 0.1 mC/m2 (vedi figura). Se
l'
angolo formato tra filo la direzione verticale é ϑ = 30o la carica q della sferetta é .
(A) 5.1 nC
(B) 43.4 nC
(C) 50.1 nC
(D) 81.6 nC
(E) 100 nC
S2
S1
σ1
σ2
S2
ϑ
T
qE
mg
Risposta. Si deve calcolare il modulo del campo elettrico |E| prodotto
da una lamina carica, la quale viene idealizzata come due superfici
aventi densità di carica superficiale σ1 e σ2, con σ1 = σ2 . La carica
per unità di superficie della lamina è σ = σ1 + σ2 =0.1 mC/m2.
Il risultato è lo stesso sia che si prenda la superficie di Gauss del cilindro con base S1, sia che si prenda quello con base S2 della figura.
E = σ 1 / ε 0 = σ / 2ε 0
Nel primo caso si ha: S1 E = σ 1 S1 / ε 0
(la superficie S1 nella lamina non contribuisce al flusso).
Nel secondo caso abbiamo:
2 S 2 E = (σ 1 + σ 2 )S 2 / ε 0
E = (σ 1 + σ 2 ) / 2ε 0 = σ / 2ε 0
All’equilibrio il momento della forza elettrica qE e del peso mg rispetto al punto di sospensione devono essere uguali e opposti. Si può
anche dire che in tal caso la risultante qE+mg deve essere annullata
dalla tensione T del filo e deve quindi essere diretta come il filo. Perciò deve essere:
σ
;
T cos ϑ = mg e quindi
2ε 0
mg tan ϑ = qE
T sin ϑ = qE =
q=
2ε 0 mg tan ϑ
σ
(
)
≈ 1.00 10 −7 C
9. Secondo il modello atomico di Bohr, l’elettrone dell’atomo d’idrogeno (con massa
me ≈ 9.11 × 10−31 kg, carica q = e ≈ 1.6 × 10−19 C) percorre un’orbita circolare di raggio
r ≈ 5.3 × 10−11 m attorno al suo nucleo con frequenza (determinata dall’attrazione elettrica) (in Hz)
(A) 107
(B) 13.5(1012)
(C) 6.6(1015)
(D) 3.0(108)
(E) 9.0(1016)
Risposta. Occorre eguagliare la forza centripeta e l’attrazione coulombiana tra due cariche uguali e
di segno opposto; ricavando l’accelerazione centripeta dalla velocità angolare :
m eω 2 r = k e
q2
r2
ν=
ω
1
=
2π 2π
ke q 2
≈ 6.6(1015 ) Hz
me r 3
Questa è la frequenza della radiazione nell'
ultravioletto assorbita dall'
atomo di idrogeno quando
viene ionizzato. La frequenza moltiplicata per la costante di Planck (h) dà l'
energia di ionizzazione.
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
4
Una discussione "classica" dell'
atomo di idrogeno si presta ad illustrare intuitivamente la quantizzazione di orbite e di campo elettromagnetico.
q
q
1
2
10. Date le due cariche fisse della figura dove q1 = 0.2 C e
x
q2 = −0.5 C la posizione di equilibrio lungo l'
asse x di una terza
0
1m
carica mobile q3 = 0.01 C si trova nel punto con ascissa
(A) −1.721 m
(B) 0.387 m
(C) 0.500 m
(D) 0.613 m
(E) 2.721 m
Risposta. All'
interno del segmento (0,1) non vi può essere punto di equilibrio perché le cariche fisse tirano nella stessa direzione (a destra nel nostro caso). Se si impone l'
uguaglianza in modulo delle
forze su q3
kq1 q 3
kq 2 q 3
(q1 − q 2 )x 2 − 2q1 x + q1 = 0
=
2
2
x
( x − 1)
si ottiene una equazione di secondo grado in x (espresso in metri) che ha come soluzioni x=−1.721 e
x=0.387 tra cui si deve scartare la seconda soluzione perché interna al segmento.
11. Una sfera conduttrice di raggio R1 = 25 cm e carica iniziale q1 = 4 µC è posta brevemente in
contatto elettrico con una seconda sfera conduttrice di raggio R2 = 40 cm e carica iniziale q2 = −2
µC posta a tre metri di distanza dalla prima carica. Dopo che il contatto è stato rimosso le due sfere
si respingono con una forza di circa
(A) 0 N
(B) 0.95 mN
(C) 8.0 mN
(D) 8.52 mN
(E) 9 mN
Risposta. Le due sfere hanno una carica complessiva pari alla somma algebrica delle cariche
(q1 + q2 = 2µC). Durante il contatto le cariche si ridistribuiscono in modo che l’intero sistema abbia
lo stesso potenziale in ogni punto (i conduttori sono superfici equipotenziali).
Q
Per una sfera si ha V ( R) =
, ed essendo il potenziale delle sfere uguale, la carica comples4πε 0 R
siva sarà ripartita tra le due sfere proporzionalmente al raggio; dopo il contatto le sfere hanno cariche (indicate con apici) date da
R1
R2
25
40
q1' = (q1 + q 2 )
= 2 µC;
q 2' = (q1 + q 2 )
= 2 µC
R1 + R2
65
R1 + R2
65
q1'q 2'
La forza elettrica é data da k 2 = 0.947mN
d
12. Una carica Q1 = −1 µC è posta su di una sferetta metallica di 30 g
appoggiata ad un estremo di una bacchetta isolante lunga 30 cm. All'
alQ1
Q2
tro estremo della bacchetta vi è incollata una seconda sferetta, identica
alla prima, con una carica di Q2 = 0.1 µC. Se la bacchetta ruota in un
piano orizzontale attorno al punto P della figura, per quale periodo di ro5 cm
25 cm
tazione la prima sferetta si staccherà dalla bacchetta?
(A) 1.40 s
(B) 2.43 s
(C) 3.15 s
(D) 5.44 s
(E) ___________
Risposta. L'
attrazione di Coulomb (distanza 0.3 m) bilancia la forza centripeta richiesta dal moto
circolare di Q1 (raggio 0.05 m) al momento del distacco
P
QQ
2π
k 1 22 = m
T
0.3
2
× 0.05
T = 2.433s
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
5
ESERCIZI CON RISPOSTA
1. Due cariche Q1 = 0.3 C e Q2 = 0.4 C si trovano agli estremi
di un diametro di una circonferenza di raggio 0.5 m. Il punto P
della circonferenza dove il campo elettrico é normale al diametro ha ascissa x (vedi figura)
E1
(A) 0.10 m
(B) 0.20 m
(C) 0.36 m
(D) 0.64 m
Q2
(E) 0.80 m
0
2. Quattro cariche puntiformi di q = −3µC sono poste ai vertici
di un quadrato con lato l = 4 m. La componente lungo x della
forza agente su di una carica di 12µC posto al centro del quadrato vale approssimativamente
(A) −0.114 N
(B) −0.0286N
(C) 0.0 N
(D) 0.0286 N
(E) 0.114 N
E1+E2
E2
P
Q1
1
x
y
(2,2)
q
q
O(0,0)
q
x
q
3. Due elettroni [e=1.6(10−19) C ] alla distanza di 0.1 nm si respingono con una forza di
(A) 9.8 (10−9) J
(B) 3.4(10−15) N (C) 2.3(10−7) kg (D) 3.4(10−9) kg (E) 2.3(10−8)N
4. Due protoni (mp=1.67×10−27 kg, carica 1.6×10−19 C) in un nucleo di nickel sono distanti circa
4×10−15 m. Essi si respingono con una forza di (in newton)
(E) 14.4
(A) 3.92
(B) 36
(C) 0.576
(D) 1.57(10−16)
5 . Due cariche positive e pari a 2.3(10−6) C sono poste su vertici diagonalmente opposti di un quadrato di lato 3.6 m. Il campo prodotto dalle cariche su un terzo vertice
P vale in modulo (in N/C)
(A) 1600
(B) 2260
(C) 6500
(D) 11500
(E) ______
6. Una carica q= 4.1(10−6)C è nell’origine. Se si vuole che su una carica di 1.6(10−7)C si eserciti una
forza di 6.3(10−6) N nella direzione positiva dell’asse x questa carica deve essere posta nel punto di
ascissa
(A) 3.14 m
(B) 30. 6 m
(C) __________ (D) 18. 4 m
(E) −30.6 m
7. Una carica q1=5.5 (10−8) C è nell’origine dell’asse x e una carica q2=−3.3(10−8) C si trova in
x=0.58 m. A che punto dell’asse x il campo è nullo?
(A) 2.58 m
(B) 1.38 m
(C) −0.28 m
(D) 0.95 m
(E) 0.11
P
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
6
8. Dato un cerchio di raggio r= 0.15 m e densità di carica 6.3 (10−8) C/m , il campo elettrico nel
centro del cerchio vale
(A) 0 N/C
(B) 683 N/C
(C) 2.16(105) N/C (D)___________ (E) 4.8 (105) N/C
9. Due sferette conduttrici cariche di raggio pari a 1 cm si attirano inizialmente con una forza di 5 N
quando sono alla distanza di 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in contatto elettrico mediante un filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si respingono con una forza di 1
N. Il rapporto tra le cariche iniziali sulle sfere vale in valore assoluto (si scelga il rapporto >1)
(A) 1.67
(B) 1.86
(C) 2.38
(D) 3.14
(E) 5.83
10. Il campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una piastrina metallica carica a
forma di quadrato di 20 cm di lato e 0.1 mm di spessore é di 150 V/cm. La carica elettrica complessiva della piastrina é di circa
(A) 2.6 nC
(B) 5.1 nC
(C) 5.8 nC
(D) 10.6 nC
(E) 15.4 nC
11. Una carica di 1 nC è inizialmente posta ad un metro da un piano uniformemente carico da cui è
attratta con una forza di 0.5 N. Portando la carica a 2 metri dal piano la forza di attrazione diventa di
(A) 0.125 N
(B) 0.250 N
(C) 0.5 N
(D) 1 N
(E) 2 N
12. Il rivelatore di un contatore Geiger é costituito da un filo lungo 0.1 m e diametro 0.1 mm in asse con un cilindro metallico vuoto con diametro interno di 1 cm. Filo e cilindro sono sotto vuoto e
portano cariche di segno opposto e uguali in valore assoluto. Se il campo elettrico in prossimità della superficie interna del cilindro é 3(104) V/m, il campo elettrico in prossimità del filo vale
(A) 6(104) V/m
(B) 3(104) V/m
(C) 3(106) V/m
(D) 3(107) V/m
(E) 3π(104) V/m
13. Un protone con carica 1.6(10−19) coulomb è in mezzo a due schermi metallici paralleli, distanti
20 cm e collegati ai morsetti di una batteria da 80 V. Qual’è la forza agente sui protoni in Newton
(A) 3.2(10−20)
(B) 6.4(10−17)
(C) 400
(D) 16
(E) 80
14. Un protone (mp=1.67×10−27kg) con velocità iniziale di 3×106 m/s penetra 0.2 metri in un campo
elettrico uniforme prima di arrestarsi. L'
intensità media del campo elettrico che lo frena é di
(A) 75 kV/m
(B) 150 kV/m
(C) 235 kV/m
(D) 470 kV/m
(E) __________
15. Su una barra cilindrica di alluminio lunga 2 m e di 3 cm di diametro viene posta una carica di
5 µC. Il campo elettrico alla superficie della barra ad uguale distanza dagli estremi in modulo vale
(A) 0.54 MV/m (B) 3.0 MV/m
(C) 5.4 MV/m
(D) 13.5 MV/m (E) 25 MV/m
16. Due fili paralleli e distanti 1.25 m portano la stessa carica positiva con una densità di 3.8 10−6
C/m. Il campo a 0.75 m dal primo filo e 2 m dall’altro vale in modulo
(A) 5.7⋅104 V/m (B) 1.25⋅105 V/m (C) 8.55⋅104 V/m (D) 4.56⋅104 V/m (E)3.14⋅104 V/m
17. Il campo elettrico nel terzo vertice P di un triangolo equilatero di lato
r = 0.2 m, in cui gli altri due vertici sono occupati da una carica q = 15 nC
(positiva) e da una carica uguale q = 15 nC, vale in modulo
(A) 3375 V/m
(B) 5846 V/m
(C) 10125 V/m
(D) 17537 V/m
(E) ___________
P
q
q
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
7
18. Il campo elettrico alla superficie di un cilindro conduttore carico e indefinito di 10 cm di raggio
vale 4 N/C. Sull'
asse del cilindro il campo elettrico vale (in N/C)
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) ∞
(E) _________
19. Un campo elettrico uniforme di 2 N/C forma un angolo di 30° con la verticale ascendente. Il
flusso del campo elettrico attraverso un rettangolo di 2 m per 3 m in un piano orizzontale vale in
modulo (in Nm2/C)
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 10.4
(E) 12
20. Due sferette cariche, ambedue di 0.15 cm di raggio, si attirano inizialmente con una una forza di
90 N quando sono poste alla distanza di 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in contatto elettrico mediante un sottile filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si respingono
con una forza di 40 N. Tra le seguenti affermazioni sono vere (segnare con sí o crocetta quelle vere,
con no quelle false, non segnare quelle incerte)
(A) Le due cariche iniziali hanno segno opposto e valori assoluti diversi
(B) Le due cariche finali hanno lo stesso valore e lo stesso segno
(C) Con i dati del problema non é possibile determinare i segni delle cariche iniziali e finali
(D) Il valore assoluto di una delle due cariche iniziali é di 20 µC
(E) Il valore assoluto di una delle due cariche finali é di 66.7 µC
21. Si consideri la superficie chiusa del cubo di lato a
mostrato in figura. Il flusso del campo elettrico attraverso
tale superficie quando è presente un campo elettrico
E = E0i (costante e diretto come l’asse delle x) vale
(A) E0a2
(B) 2 E0a2
(C) 6E0a2
(D) ∞
(E) 0
z
y
22. Con riferimento al problema precedente, se il campo
elettrico è diretto come l’asse delle x e vale E = (Cx) i,
con C=costante positiva, la carica contenuta nel cubo vale
(A) ε0Ca
(B) ε0C/a3
(C) ε0Ca3
x
(D) ∞
(E) 0
23. Una carica positiva q è posta a 1 mm di distanza sopra il centro della
calotta semisferica di raggio 100 m della figura. Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie piana che chiude la calotta superiormente vale circa , in valore assoluto
(A) 0
(B) ∞
(C) q/ε0
(D) q/2ε0
(E) _________
24. Con riferimento al problema precedente, il flusso del campo elettrico attraverso la calotta semisferica vale circa, in valore assoluto
(A) 0
(B) ∞
(C) q/ε0
(D) q/2ε0
(E) _________
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
8
25. Una sfera isolante di raggio a ha una densità uniforme di carica e una carica totale Q. La sfera è
circondata da un guscio sferico concentrico conduttore con raggio interno b e raggio esterno c. Disegnare qualitativamente l’andamento in funzione della distanza dal centro del modulo del campo
elettrico nelle varie regioni (interno della sfera isolante, tra sfera e guscio, interno del guscio, esterno del guscio)
E
a
b
c
La carica indotta per unità di area sulla superficie interna del conduttore cavo vale ______________
La carica indotta per unità di area sulla superficie esterna del conduttore cavo vale ______________
Fisica Generale II
Esercitazione A –tutorato 10.2003
RISPOSTE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
ESERCITAZIONE A
1 (D) 0.64 m
2 (C) 0.0 N
3 (E) 2.3(10−8) N
4 (E) 14.4
5 (B) 2260
6 (B) 30.6 m
7 (A) 2.58 m
8 (A) 0 N/C
9 (C) 2.38
10 (D) 10.6 nC
11 (C) 0.5 N
12 (C) 3(106) V/m
13 (B) 6.4(10−17)
14 (C) 235 kV/m
15 (B) 3.0 MV/m
16 (B) 1.25(105) V/m
17 (B) 5846 V
18 (A) 0
19 (D) 10.4
20 (A) SI
(B) SI
(C) SI
(D) NO
(E) SI
21 (E) 0
22 (C) ε0Ca3
23 (D) q/2ε0
24 (D) q/2ε0
25 Interno: − Q / 4πb 2
Esterno: + Q / 4πc 2
9
